Projektor (matematik)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 27. april 2022; verifikation kræver 1 redigering .

I lineær algebra og funktionsanalyse kaldes en lineær operator, der virker i et lineært rum , en projektor (og også en projektionsoperator og en projektionsoperator ) hvis . En sådan operatør kaldes idempotent . $P$ $P^{2}=P$

På trods af sin abstrakthed generaliserer denne definition ideen om at konstruere en geometrisk projektion .

Følgende egenskab for en projektor kan bruges som en definition: en lineær operator er en projektor, hvis og kun hvis der er sådanne underrum og rum , der udvider sig til deres direkte sum , og desuden for ethvert par af elementer, vi har . Underrummene og er henholdsvis billedet og projektorens kerne og er betegnet med og . $P:X\til X$ $U$ $V$ $x$ $x$ $u\in U,\ v\in V$ $P(u+v)=u$ $U$ $V$ $P$ $\mathrm {Im} P$ $\mathrm {Ker} P$

I det generelle tilfælde er dekomponeringen af et lineært rum til en direkte sum ikke unik. Derfor er der for et underrum af rummet , generelt set, mange projektorer, hvis billede eller kerne falder sammen med . $V$ $x$ $V$

Egenskaber for projektionsoperatører

Lad være den samme operatør . Hvis det er en projektor, så er det også en projektor, og . $jeg$ $P$ $IP$ ${\mathrm {Ker}}{(IP)}={\mathrm {Im}}{P}$ $\mathrm {Im} {(IP)}=\mathrm {Ker} P$
I et endeligt-dimensionelt normeret rum er alle projektionsoperatører kontinuerlige .
For et Banach -rum vil projektionsoperatøren være kontinuerlig, hvis billedet er lukket , og projektorens kerne vil også være lukket. Således definerer den kontinuerlige projektor nedbrydningen af rummet til en direkte sum af lukkede underrum: . $X={\mathrm {Ker}}P\oplus {\mathrm {Im}}\,P$
En projektors egenværdier kan kun være 0 og 1. De tilsvarende egenrum for en projektor er dens kerne og billede.

Projektorkombinationer

Lad og være projektorer defineret på vektorrummet , og projicerer på henholdsvis underrum og . Derefter $P_1$ $P_2$ $x$ $M_{1}$ $M_{2}$

$P_{1}+P_{2}$ er en projektor på underrummet , hvis og kun hvis . $M_{1}\oplus M_{2}$ $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=0$
$P_{1}-P_{2}$ er en projektor hvis og kun hvis . projekterer på underrummet . $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=P_{2}$ $P_{1}-P_{2}$ $M_{1}\cap (X\ominus M_{2})$
Hvis , så er en projektor på underrummet . $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=P$ $P$ $M_{1}\cap M_{2}$

Eksempler

Den ortogonale projektion (se nedenfor ) af punkter i rummet på et plan er givet af matrixen $(x,y,z)$ $R^{3}$ $Oxy$

P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.

Det handler på punkter som følger:

P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}

Den enkleste ikke-ortogonale projektor udfører en skrå projektion af planets punkter på en lige linje . Det er givet af matrixen:

P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}.

Det er nemt at vise, at dette faktisk er en projektor:

P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0 \\\alpha &1\end{bmatrix}}=P.

Projektionen givet af er ortogonal hvis og kun hvis . $P$ $\alpha=0$

Ortho projektor

Hvis rummet er Hilbert , det vil sige, det har et indre produkt (og deraf begrebet ortogonalitet ), så kan vi introducere begrebet en ortogonal projektor. $x$

En ortogonal projektor er et specialtilfælde af en projektor, når de ovennævnte underrum og er ortogonale i forhold til hinanden, med andre ord, når , eller , eller . I dette tilfælde er projektionen af et element det element af rummet, der er tættest på det . $U$ $V$ $\forall u\in U,\forall v\in V$ $(u,v)=0$ $u\cdot v=0$ $u\perp v=0$ $x\i X$ $U$

Litteratur

Trenogin V. A. Funktionel analyse. — M .: Nauka , 1980 . — 495 s.
Halmos P. Finite-dimensional vektorrum = Finite-dimensional vektorrum. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 s.