Betty nummer

Betti-tal er en sekvens af topologiske ruminvarianter . Hvert mellemrum svarer til en sekvens af Betti-tal . $x$ $\beta _{0}(X),\beta _{1}(X),\prikker$

Betti-tallet på nul falder sammen med antallet af tilsluttede komponenter; $\beta _{0}(X)$
Det første Betti-tal repræsenterer intuitivt det maksimale antal snit i dette rum, der kan foretages uden at øge antallet af tilsluttede komponenter. $\beta _{1}(X)$

Betty-tallet kan tage ikke-negative heltalværdier eller uendeligt . For et rimeligt velarrangeret finit-dimensionelt rum (såsom en kompakt manifold eller et endeligt simplicialt kompleks ) er alle Betti-tal endelige og forsvinder med udgangspunkt i et eller andet tal.

Udtrykket "Betty-tal" blev opfundet af Henri Poincaré , som opkaldte dem efter den italienske matematiker Enrico Betti .

Definition

k -th Betty nummer rang , $\beta _{k}(X)=$ $H_{k}(X)$

hvor er den k - te homologigruppe i rummet X , som er abelsk , rang angiver rangordenen for denne gruppe . $H_{k}(X)$

Tilsvarende kan man definere det som dimensionen af vektorrummet H k ( X ; Q ), da homologigruppen i dette tilfælde er et vektorrum over Q :

$\beta _{k}(X)=$ dæmp H k ( X ; Q )

Ækvivalensen af disse definitioner i simple tilfælde er vist ved den universelle koefficientsætning .

I mere generelle tilfælde kan man for et givet felt F definere det k -te Betti tal med koefficienter i F som dimensionen af vektorrummet Hk ( X , F ). $\beta _{k}(X,F)$

Relaterede definitioner

Poincare-funktionen i rummet X er den genererende funktion af sekvensen af Betti-numre i rummet X : $P_{X}(z)=\beta _{0}(X)+\beta _{1}(X)z+\beta _{2}(X)z^{2}+\cdots .$

Det første Betti-tal i grafteori

I topologisk grafteori er det første Betti-tal af en graf G med n toppunkter, m kanter og k forbundne komponenter

\beta _{1}(G)=m-n+k.\

Dette kan bevises direkte ved matematisk induktion på antallet af kanter. Den nye kant øger enten antallet af 1-cyklusser eller reducerer antallet af tilsluttede komponenter .

Det første Betti-tal i en graf er det samme som det cyklomatiske tal for denne graf.

Egenskaber

For et endeligt forenklet kompleks K er homologigrupperne Hk ( K ) endeligt genereret og har derfor endelig rang . Hvis k overstiger den maksimale dimension af simplices K , så er de tilsvarende homologigrupper nul. I dette tilfælde
- Euler-karakteristikken K kan udtrykkes som følger $\chi (K)=\sum _{{i=0}}^{\infty }(-1)^{i}\beta _{i}(K)$
- Poincare-funktionen er et polynomium .
Ifølge Künneth-sætningen gælder følgende forhold for alle to rum X og Y for Poincaré-funktionerne

P_{X\ gange Y}=P_{X}P_{Y},

Hvis X er en lukket og orienterbar n - dimensional manifold , så, ifølge Poincaré dualitet , for enhver k : $\beta _{k}(X)=\beta _{{nk}}(X).$

Eksempler

Sekvens af Betty-tal for en cirkel : 1, 1, 0, 0, 0, …; $S^{1}$ Poincaré polynomium :. $1+x$
Sekvensen af Betti-tal for en todimensionel torus : 1, 2, 1, 0, 0, 0, …; $T^{2}$ Poincaré polynomium :. $1+2x+x^{2}=(1+x)^{2}$
Sekvensen af Betti-tal for en tredimensionel torus er : 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, …. $T^3$ Poincaré polynomium :. $1+3x+3x^{2}+x^{3}=(1+x)^{3}$
Tilsvarende for en n - dimensional torus er Poincare-polynomiet , det vil sige, at Betti-tallene er binomiale koefficienter . $(1+x)^{n}$
Uendelige dimensionelle rum kan have en uendelig sekvens af Betti-tal, der ikke er nul. For eksempel har et uendeligt-dimensionelt komplekst projektivt rum en sekvens af Betti-tal 1, 0, 1, 0, 1, ..., der er periodisk med periode 2. I dette tilfælde er Poincaré-funktionen ikke et polynomium, der repræsenterer et uendelig række, som er en rationel funktion: ${\frac {1}{1-x^{2}}}=1+x^{2}+x^{4}+x^{6}+\dotsb .$
- Generelt er Poincare-serien udtrykt ved en rationel funktion, hvis og kun hvis sekvensen af Betti-tal er lineær tilbagevendende .

Litteratur

Dold A. Forelæsninger om algebraisk topologi. — M .: Mir, 1976
Fomenko A. T., Fuchs D. B. Et kursus i homotopi topologi. — M .: Nauka, 1989