Parabel

Parabel

Parabel, dens fokus og retning
Excentricitet	$e=1$
Ligninger
${\begin{aligned}&y=x^{2}\\&y=ax^{2}+bx+c\\&Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey=F \\&\quad (B^{2}-4AC=0)\end{aligned}}$
Andre keglesnit
Hyperbel Parabel Ellipse Cirkel

Parabel ( græsk παραβολή - tilnærmelse [1] ) er en plan kurve, en af typerne af keglesnit .

Definition

Gamle matematikere definerede en parabel som resultatet af skæringen af en cirkulær kegle med et plan, der ikke passerer gennem toppen af keglen og er parallel med dens generatrix (se figur). I analytisk geometri er en ækvivalent definition mere bekvem: en parabel er et locus af punkter på et plan, hvor afstanden til et givet punkt ( fokus ) er lig med afstanden til en given ret linje ( directrix ) (se figur) [ 2] .

Hvis fokus ligger på retningslinjen, så degenererer parablen til en brudt linje .

Sammen med ellipsen og hyperbelen er parablen et keglesnit . Det kan defineres som et keglesnit med enhedsexcentricitet .

Summit

Punktet på en parabel, der er tættest på dens retning, kaldes toppunktet for den parabel. Toppunktet er midtpunktet af den vinkelrette, der falder fra fokus til rettet.

Ligninger

Den kanoniske ligning for en parabel i et rektangulært koordinatsystem er :

\textstyle y^{2}=2px,p>0

(eller , hvis koordinatakserne er vendt om).

\textstyle x^{2}=2py

Tallet p kaldes fokalparameteren, det er lig med afstanden fra fokus til rettet [3] . Da hvert punkt i parablen er lige langt fra fokus og retningslinje, er toppunktet også, så det ligger mellem fokus og retningslinje i en afstand fra begge. $\frac{p}{2}$

Konklusion
Directrix- ligning PQ: , fokus F har koordinater Således er origo O er midtpunktet af segment CF. Ved definitionen af en parabel, for ethvert punkt M, der ligger på den, er ligheden KM = FM sand . Yderligere, siden og , så tager ligheden formen: $\textstyle x+{\frac {p}{2}}=0$ $\venstre (\frac{p}{2};0\right ).$ $\textrm{KM=KD+DM}=\frac{p}{2}+x$ $\textrm{FM}=\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}$ ${\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {p}{2}}+x .$ Efter kvadrering og nogle transformationer opnås en ækvivalent ligning $y^{2}=2px.$

Konklusion

Directrix- ligning PQ: , fokus F har koordinater Således er origo O er midtpunktet af segment CF. Ved definitionen af en parabel, for ethvert punkt M, der ligger på den, er ligheden KM = FM sand . Yderligere, siden og , så tager ligheden formen: $\textstyle x+{\frac {p}{2}}=0$ $\venstre (\frac{p}{2};0\right ).$ $\textrm{KM=KD+DM}=\frac{p}{2}+x$ $\textrm{FM}=\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}$

{\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {p}{2}}+x .

Efter kvadrering og nogle transformationer opnås en ækvivalent ligning $y^{2}=2px.$

Parabel givet af en kvadratisk funktion

Den andengradsfunktion for er også en ligning for en parabel og er grafisk repræsenteret af den samme parabel som , men i modsætning til sidstnævnte har den et toppunkt ikke ved origo, men på et tidspunkt A, hvis koordinater beregnes af formlerne: $y=ax^{2}+bx+c$ $a\neq 0$ $y=ax^{2},$

x_{\textrm {A}}=-{\frac {b}{2a)),\;y_{\textrm {A}}=-{\frac {D}{4a)),

hvor er diskriminanten for et kvadratisk trinomium.

D=b^2-4ac

Symmetriaksen for en parabel givet af en kvadratisk funktion går gennem toppunktet parallelt med y-aksen. For a > 0 ( a < 0 ), ligger fokus på denne akse over (under) toppunktet i en afstand på 1/4 a , og retningslinjen ligger under (over) toppunktet i samme afstand og er parallel med x-aksen. Ligningen kan repræsenteres i formen, og i tilfælde af at overføre oprindelsen til punkt A, bliver parabelligningen til en kanonisk. For hver andengradsfunktion kan man således finde et koordinatsystem, således at ligningen for den tilsvarende parabel i dette system er repræsenteret som kanonisk. Hvori $y=ax^{2}+bx+c$ $y=a(x-x_{\textrm {A)))^{2}+y_{\textrm {A)),$ $p=\frac{1}{|2a|}.$

Den generelle ligning for en parabel

Generelt behøver en parabel ikke at have en symmetriakse parallel med en af koordinatakserne. Men ligesom ethvert andet keglesnit er parablen en kurve af anden orden , og derfor kan dens ligning på planet i det kartesiske koordinatsystem skrives som et kvadratisk polynomium:

Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.

Hvis en andenordenskurve givet i denne form er en parabel, så er diskriminanten sammensat af koefficienterne ved de højeste led lig med nul. $B^2-4AC$

Ligningen i det polære system

En parabel i polære koordinater centreret i fokus og nulretning langs parablens akse (fra fokus til spids) kan repræsenteres ved ligningen $(\rho,\vartheta)$

\rho (1 + \cos \vartheta) = p,

hvor p er den fokale parameter (afstand fra fokus til retningslinje eller to gange afstanden fra fokus til apex)

Beregning af koefficienterne for en kvadratisk funktion

Hvis for ligningen af en parabel med en akse parallel med y-aksen, koordinaterne for tre forskellige punkter af parablen er kendt , så kan dens koefficienter findes som følger: $y=ax^{2}+bx+c$ $(x_{1};y_{1}),\;(x_{2};y_{2}),\;(x_{3};y_{3}),$

a=\frac{y_{3}-\tfrac{x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{ 2}-x_{1}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}, \ \ b=\frac{y_{ 2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}-a(x_{1}+x_{2}), \ \ c=\frac{x_{2}y_{1}-x_ {1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}+ax_{1}x_{2}.

Hvis toppunktet og den førende koefficient er givet , beregnes de resterende koefficienter og rødder ved hjælp af formlerne: $(x_{0};y_{0})$ $-en$

b=-2ax_0

c=ax_0^2+y_0

x_1=x_0+\sqrt{-\frac{y_0}{a}}

x_2=x_0-\sqrt{-\frac{y_0}{a}}

Egenskaber

En parabel er en kurve af anden orden .
Den har en symmetriakse kaldet parabelaksen . Aksen passerer gennem fokus og toppunktet vinkelret på retningslinjen.
optisk egenskab. En stråle af stråler parallelt med parablens akse, reflekteret i parablen, opsamles ved dens fokus. Omvendt reflekteres lys fra en kilde, der er i fokus, af en parabel til en stråle af stråler parallelt med dens akse. Signalet vil også komme i én fase, hvilket er vigtigt for antenner.
Hvis parablens fokus reflekteres i forhold til tangenten, vil dens billede ligge på retningslinjen .
Segmentet, der forbinder midtpunktet af en vilkårlig akkord i parablen og skæringspunktet for tangenterne til den ved enderne af denne akkord, er vinkelret på retningslinjen, og dets midtpunkt ligger på parablen.
Parablen er linjens antipodera .
Alle parabler ligner hinanden . Afstanden mellem fokus og retningslinje bestemmer skalaen.
Banen for fokus for en parabel, der ruller langs en lige linje, er køreledningen [4] .
Den omskrevne cirkel af en trekant, der er omskrevet om en parabel, passerer gennem dens fokus, og højdernes skæringspunkt ligger på dens retning

Relaterede definitioner

Når en parabel drejes rundt om symmetriaksen, opnås en elliptisk paraboloid .

Variationer og generaliseringer

Grafer for en potensfunktion med en naturlig eksponent kaldes parabler af orden [5] [6] . Den tidligere betragtede definition svarer , det vil sige til en parabel af 2. orden. $y=x^{n}$ $n>1$ $n$ $n=2,$

Parablen er også en sinusformet spiral ved ; $\textstyle n=-{\frac {1}{2}}$

Parabler i det fysiske rum

Banerne for nogle kosmiske kroppe ( kometer , asteroider og andre), der passerer nær en stjerne eller et andet massivt objekt ( stjerne eller planet ) med en tilstrækkelig høj hastighed , har form som en parabel (eller hyperbel ). Disse kroppe bliver på grund af deres høje hastighed ikke fanget af stjernens gravitationsfelt og fortsætter deres frie flyvning. Dette fænomen bruges til gravitationsmanøvrer af rumfartøjer (især Voyager- køretøjer ).

For at skabe vægtløshed under terrestriske forhold flyver fly ad en parabolsk bane, den såkaldte Kepler-parabel.

I mangel af luftmodstand er et legemes flyvevej i tilnærmelse til et ensartet gravitationsfelt en parabel.

Desuden bruges parabolske spejle i bærbare amatørteleskoper af Cassegrain-, Schmidt-Cassegrain-, Newton-systemerne, og der er installeret hjælpespejle i parablens fokus, som fører billedet til okularet.

Når et kar med en væske roterer omkring en lodret akse, skærer overfladen af væsken i beholderen og det lodrette plan langs en parabel.

Egenskaben ved en parabel til at fokusere en stråle af stråler parallelt med parablens akse bruges i design af søgelys, lamper, forlygter samt reflekterende teleskoper (optisk, infrarød, radio ...), i design af snævert rettede ( satellit og andre) antenner, der er nødvendige for at transmittere data til store afstande, solenergianlæg og andre områder.

Parabelformen bruges nogle gange i arkitekturen til konstruktion af tage og kupler.

Parabolsk bane og satellitbevægelse langs den (animation)
Faldende basketball _
Parabolsk solkraftværk i Californien , USA
Parabolske baner af vandstråler
Roterende beholder med væske
Parabel - antipodera lige

Noter

↑ Parabel . Ordbog over fremmede ord . Hentet 19. juni 2021. Arkiveret fra originalen 14. januar 2020. (ubestemt)
↑ Encyclopedia of Mathematics, 1984 .
↑ Alexandrov P. S. Parabel // Forløb for analytisk geometri og lineær algebra. - M . : Nauka , 1979. - S. 69-72. — 512 s.
↑ Savelov A. A. Plane kurver. Systematik, egenskaber, anvendelser (Referenceguide) / Red. A. P. Norden. M.: Fizmatlit, 1960. S. 250.
↑ Bityutskov V.I. Power-funktion // Matematisk leksikon (i 5 bind). - M .: Soviet Encyclopedia , 1985. - T. 5. - S. 208-209. — 1248 s.
↑ Power-funktion // Mathematical Encyclopedic Dictionary. - M . : Soviet Encyclopedia, 1988. - S. 564 -565. — 847 s.

Litteratur

Akopyan A. A., Zaslavsky A. V. Geometriske egenskaber af kurver af anden orden . - M. : MTSNMO, 2007. - 136 s.
Bronstein I. Parabel // Kvant . - 1975. - Nr. 4 . - S. 9-16 .
Markushevich AI Bemærkelsesværdige kurver . - Gostekhizdat , 1952. - 32 s. - ( Populære forelæsninger om matematik , nummer 4).
Parabel // Matematisk leksikon (i 5 bind). - M .: Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4. - S. 191-192. — 1216 s.

Links

Artikel i opslagsbogen "Anvendt matematik".
Animerede tegninger , der illustrerer nogle af egenskaberne ved en parabel.
Information ( engelsk ) om parablens forbindelse med fysik.
Pædagogisk film om parabler

Kurver

Definitioner

Forvandlet

Ikke-plan

Flad
algebraisk

Keglesnit

3. orden ( kubisk )

Elliptisk	Elliptisk kurve Jacobi elliptiske funktioner Elliptisk integral Elliptiske funktioner
Andet	Verziera Agnesi Kartesisk ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Semikubisk parabel Trident Cissoid af Diocles

4. orden

Lemniscates

Tilnærmelse

Spline
- B-spline
- Kubik
- monospline
- Udglatning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cycloidal

Andet

Krogede Gård

Flad
transcendental

Spiraler	Archimedov Gård Galilæa hyperbolsk "Tryllestav" Gylden clothoid logaritmisk sinusformet
Cycloidal	trochoid Cycloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Rose" quadrifolium Hurtig nedstigning (brachistochrone, cycloid bue)
Andet	Quadratrix cochleoid Jage traktor trochoid kæde linje omvendt buet konstant bredde sinusformet Ribokura Super formel Superellipse Reuleaux trekant polygon Lissajous figurer

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper dragekurve Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologisk	Sierpinski serviet Sierpinski tæppe Svamp Menger cirkulær fraktal Apollonius tæppe

Keglesnit
Hovedtyper	Ellipse Hyperbel Parabel
Degenereret	Prik Lige Par lige linjer
Et særligt tilfælde af en ellipse	Cirkel
Geometrisk konstruktion	keglesnit Mælkebær-bolde Steiners design
se også	Konisk konstant
Matematik • Geometri