Bane

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 4. marts 2019; checks kræver 12 redigeringer .

Banen for et materialepunkt er en linje i rummet , som er et sæt geometriske punkter, hvor man kan finde et materialepunkt i et fysisk problem [1] . Typen af bane for et frit materialepunkt afhænger af de kræfter, der virker på punktet , de indledende bevægelsesbetingelser og af valget af referencesystem , og det ikke-frie afhænger også af de pålagte begrænsninger [2] .

Begrebet en bane giver mening selv isoleret fra enhver reel bevægelse. Men den bane, der er afbildet i et bestemt koordinatsystem, giver ikke i sig selv information om årsagerne til kroppens bevægelse langs det, før analysen af konfigurationen af feltet af kræfter, der virker på kroppen i det samme koordinatsystem, er udført [ 3] .

Måder at sætte en bane på

Typen af banen afhænger ikke af egenskaberne ved dens passage af et materielt punkt, derfor ikke fysiske love eller modeller, men midlerne til differentialgeometri kan bruges til at indstille banen .

Så banen er nogle gange givet af en funktion/funktioner, der forbinder koordinaterne på punktets bevægelseslinje:

{\displaystyle x=x_{min}\ldots x_{max))

når man bevæger sig i en lige linje,

y=y(x)

til den flade sag,

y=y(x)

og i bulk-sagen.

z=z(x)

Men her er den gensidige unikhed af forbindelsen af koordinater og fraværet af gentagen passage ved det materielle punkt i enhver sektion nødvendig. For eksempel, hvis kroppen bevægede sig langs et segment fra til og tilbage, så er banen en "dobbelt" (frem og tilbage) linje, som vil blive savnet i ovenstående tilgang. Ikke desto mindre er en sådan koordinattildeling af banen praktisk i mange simple situationer. $x_{min}$ $x_{maks.}$

I det generelle tilfælde er bevægelsen af et materialepunkt i kinematik beskrevet af radiusvektorens afhængighed af tid:

{\vec {r}}={\vec {r}}(t)

En sådan afhængighed repræsenterer en bane, der giver et overskud af information - ud over formen af en geometrisk linje tegnet af et punkt, der har , kan du få hastigheden og andre bevægelsesparametre. Opgaven indebærer opgaven med at ændre tre kartesiske koordinater i tid: ${\vec {r}}(t)$ ${\vec {r}}(t)$

{\vec {r}}(t)=x(t){\vec {i}}+y(t){\vec {j}}+z(t){\vec {k}}

hvor , , er orterne af . Tilstedeværelsen af tid her , ser det ud til, modsiger banens uafhængighed af detaljerne i bevægelse langs den, men faktisk kan du erstatte en en-til-en-funktion for at sætte banen på plads i udtrykkene , . Vilkårligheden vil ikke påvirke formen af banen, men vil "ændre" passagehastigheden: for eksempel, når den erstattes af hastighed, vil den fordobles på alle punkter af banen. $\vec{i}$ $\vec{j}$ $\vec{k}$ $t$ $t$ $x(t)$ $y(t)$ $z(t)$ $T(t)$ $t$ $T=2t$

I det valgte referencesystem kan kurven beskrevet af enden af radiusvektoren i rummet repræsenteres som konjugerede buer med forskellig krumning , placeret i det generelle tilfælde i skærende planer . I dette tilfælde bestemmes krumningen af hver bue af dens krumningsradius (ikke at forveksle med radiusvektoren ), rettet mod buen fra det øjeblikkelige rotationscenter (ikke at forveksle med radiusvektorernes oprindelse) , placeret i samme plan som selve buen. En ret linje betragtes som det begrænsende tilfælde af en kurve , hvis krumningsradius kan betragtes som lig med uendelig . ${\vec {r))$

Bane og relaterede begreber

Bevægelsesloven er afhængigheden af et punkts radiusvektor af tiden ; ${\vec {r}}(t)$
Sti - en krum koordinat langs banen af et materialepunkt (normalt angivet med symbolet ); $S$
Stilængde - længden af banen , beregnet som

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}|{\dot {\vec {r}}}(t)|dt

, hvor tallene 1 og 2 markerer henholdsvis punktets begyndelses- og slutposition;

Forskydning - en vektor fra punktets begyndelsesposition til den sidste

\Delta {\vec {r}}={\vec {r}}(t_{2})-{\vec {r}}(t_{1})

, mens altid ;

\Delta S\geq |\Delta {\vec {r}}|

Krumningsradius er den radius af den cirkulære bue, der bedst tilnærmer banen ved et givet punkt.

Et materialepunkts hastighed er altid rettet tangentielt til den bue, der bruges til at beskrive banen. I dette tilfælde er der et forhold mellem størrelsen af hastigheden , normal acceleration og krumningsradius for banen ved et bestemt geometrisk punkt: $v$ $a_n$ $R$

a_{n}={\frac {v^{2}}{R}}

Ikke enhver bevægelse med en kendt hastighed langs en kurve med en kendt radius og den normale (centripetal) acceleration fundet ved hjælp af ovenstående formel er forbundet med manifestationen af en kraft rettet langs normalen til banen ( centripetalkraft ). Således indikerer accelerationen af nogen af stjernerne fundet fra fotografier af lysets daglige bevægelser slet ikke eksistensen af en kraft, der forårsager denne acceleration og tiltrækker den til Polarstjernen som rotationscentrum.

Bane og ligninger for dynamik

Repræsentationen af en bane som et spor efterladt af bevægelsen af et materielt punkt forbinder det rent kinematiske koncept om en bane, som et geometrisk problem, med dynamikken i bevægelsen af et materielt punkt, det vil sige problemet med at bestemme årsagerne af sin bevægelse. Faktisk giver løsningen af Newtons ligninger (i nærværelse af et komplet sæt indledende data) banen for et materielt punkt.

Bevægelse af et frit materialepunkt

Ifølge Newtons første lov , nogle gange kaldet inertiloven , skal der være et sådant system, hvor et frit legeme bevarer (som vektor) sin hastighed. En sådan referenceramme kaldes inerti . Banen for en sådan bevægelse er en lige linje , og selve bevægelsen kaldes ensartet og retlinet.

Bevægelse under påvirkning af ydre kræfter

i inerti referenceramme

Hvis hastigheden af et objekt ( for en observatør, der er stationært i denne ramme ) med en masse i en inertieramme ændrer sig i retning, selv forbliver den samme i størrelse, det vil sige, at kroppen foretager en drejning og bevæger sig langs en bue med en radius på krumning , så oplever denne krop normal acceleration . Årsagen til denne acceleration er centripetalkraften, som er direkte proportional med denne acceleration. Dette er essensen af Newtons anden lov : $\vec{v}$ $m$ $R$ $a_n$

{\vec F}=m{\vec a}_{n}

hvor er vektorsummen af de kræfter, der virker på legemet, er dets acceleration og er inertimassen [4] . ${\vec F}$ ${\vec a}_{n}$ $m$

I det generelle tilfælde er kroppen ikke fri i sin bevægelse, og der pålægges restriktioner på dens position og i nogle tilfælde på hastighed , - begrænsninger . Hvis forbindelserne kun pålægger kroppens koordinater restriktioner, kaldes sådanne forbindelser geometriske. Hvis de også forplanter sig med hastigheder, så kaldes de kinematiske. Hvis begrænsningsligningen kan integreres over tid, kaldes en sådan begrænsning holonomisk .

Virkningen af bindinger på et system af bevægelige legemer beskrives af kræfter kaldet reaktioner af bindinger. I dette tilfælde er kraften inkluderet i venstre side af udtrykket af Newtons lov vektorsummen af de aktive (ydre) kræfter og bindingernes reaktion.

Det er væsentligt, at det i tilfælde af holonomiske begrænsninger bliver muligt at beskrive bevægelsen af mekaniske systemer i generaliserede koordinater , inkluderet i Lagrange-ligningerne . Antallet af disse ligninger afhænger kun af antallet af frihedsgrader af systemet og afhænger ikke af antallet af legemer, der indgår i systemet, hvis position skal bestemmes for en fuldstændig beskrivelse af bevægelsen.

Hvis bindingerne, der virker i systemet, er ideelle , det vil sige, at de ikke overfører bevægelsesenergien til andre energityper, så udelukkes alle ukendte reaktioner af bindingerne automatisk ved løsning af Lagrange-ligningerne.

Endelig, hvis de virkende kræfter tilhører klassen af potentielle kræfter , så bliver det med en passende generalisering af begreber muligt at bruge Lagrange-ligningerne ikke kun i mekanik, men også i andre områder af fysikken. [5]

De kræfter, der virker på et materielt punkt i denne forståelse, bestemmer entydigt formen af dens bevægelsesbane (under kendte begyndelsesbetingelser). Det omvendte udsagn er generelt uretfærdigt, da den samme bane kan finde sted med forskellige kombinationer af aktive kræfter og koblingsreaktioner.

i en ikke-inertiel referenceramme

Hvis referencerammen er ikke-inertiel (det vil sige, den bevæger sig med en vis acceleration i forhold til den inerti-referenceramme), så er det også muligt at bruge Newtons lov i den, dog på venstre side er det nødvendigt at tage tage højde for de såkaldte inertikræfter (herunder centrifugalkraft og Corioliskraft forbundet med rotation ikke-inertiel referenceramme) [4] .

Betydning af valget af referenceramme

Afklaringen omkring "bindingen" af banen til valget af koordinatsystemet er fundamental, da banens form afhænger af dette valg [6] . Kvalitative og kvantitative forskelle i baner opstår også mellem inertisystemer, og hvis et eller begge systemer er ikke-inertielle.

Bane observerbarhed

Det er muligt at observere banen, når objektet er stationært, men når referencerammen bevæger sig. Stjernehimlen kan således tjene som en god model for en inerti og fast referenceramme. Men under lange eksponeringer ser disse stjerner ud til at bevæge sig i cirkulære baner.

Det modsatte tilfælde er også muligt, når kroppen tydeligt bevæger sig, men banen i projektionen på observationsplanet er ét fikspunkt. Det er for eksempel tilfældet med en kugle, der flyver direkte ind i observatørens øje, eller et tog, der forlader ham.

Ændring af formen på banen

Det viser sig ofte, at banens form afhænger af det referencesystem, der er valgt til at beskrive et materielt punkts bevægelse på en radikal måde. Således vil retlinet ensartet accelereret bevægelse (f.eks. frit fald) i én inertieramme generelt være parabolsk i en anden ensartet bevægelig inertiereferenceramme (se fig.).

I overensstemmelse med Galileos relativitetsprincip er der et uendeligt antal lige inertiale systemer (ISO'er), hvis bevægelse i forhold til den anden ikke kan etableres på nogen måde ved at observere processer og fænomener, der kun forekommer i disse systemer. Den lige bane af den ensartede bevægelse af et objekt i en ramme vil også ligne en lige linje i enhver anden inertiramme, selvom størrelsen og retningen af hastigheden vil afhænge af valget af systemet, det vil sige størrelsen og retning af deres relative hastighed.

Galileo-princippet siger dog ikke, at det samme fænomen observeret fra to forskellige ISO'er vil se ens ud. Derfor advarer figuren om to typiske fejl forbundet med at glemme at:

1. Det er rigtigt, at enhver vektor (inklusive kraftvektoren) kan dekomponeres i mindst to komponenter. Men denne nedbrydning er fuldstændig vilkårlig og betyder ikke, at sådanne komponenter faktisk eksisterer. For at bekræfte deres virkelighed bør yderligere information inddrages , under alle omstændigheder ikke taget fra analysen af banens form. For eksempel er det fra figur 2 umuligt at bestemme karakteren af kraften F, ligesom det er umuligt at hævde, at den selv er eller ikke er summen af kræfter af forskellig art. Der kan kun argumenteres for, at den er konstant i det afbildede afsnit, og at kurvelinieariteten af den observerede bane i den givne FR dannes af den centripetale del af denne kraft, ganske defineret i den givne FR. Ved kun at kende banen for et materielt punkt i en hvilken som helst inertiereferenceramme og dets hastighed på hvert tidspunkt, er det umuligt at bestemme arten af de kræfter, der virker på det.

2. Selv i tilfælde af observation fra IFR, vil formen af banen for et accelereret bevægeligt legeme blive bestemt ikke kun af de kræfter, der virker på det, men også af valget af denne IFR, som ikke påvirker disse kræfter i alligevel. Centripetalkraften vist i figur 2 opnås formelt, og dens værdi afhænger direkte af valget af ISO.

Et eksempel på et roterende system

Forestil dig en teatermedarbejder, der bevæger sig jævnt og retlinet i ristrummet over scenen i forhold til teaterbygningen og bærer en utæt spand maling over den roterende scene. Det vil efterlade et spor af faldende maling på den i form af en afviklingsspiral (hvis den bevæger sig fra scenens rotationscenter) og vridning - i det modsatte tilfælde. På nuværende tidspunkt vil hans kollega, som er ansvarlig for renligheden af det roterende trin og er på det, derfor være tvunget til at bære en ikke-utæt spand under den første, konstant at være under den første. Og dens bevægelse i forhold til bygningen vil også være ensartet og retlinet , selvom dens bevægelse i forhold til scenen, som er et ikke-inertielt system , vil være buet og ujævn . Desuden, for at modvirke drift i rotationsretningen, må han kraftigt overvinde virkningen af Coriolis-kraften , som hans øvre modstykke ikke oplever over scenen, selvom begges baner i teaterbygningens inertisystem vil repræsentere lige linjer .

Men man kan forestille sig, at opgaven for de her behandlede kolleger netop er at tegne en ret linje på en roterende scene . I dette tilfælde skal bunden kræve, at toppen bevæger sig langs en kurve, der er et spejlbillede af sporet fra den tidligere spildte maling, mens den forbliver over ethvert punkt på en lige linje, der passerer i den valgte radiale retning. Derfor vil retlinet bevægelse i en ikke-inertiel referenceramme ikke være sådan for en observatør i en inertiramme .

Desuden kan den ensartede bevægelse af en krop i et system være ujævn i et andet. Således vil to dråber maling, der på forskellige tidspunkter er faldet fra en utæt spand, både i deres egen referenceramme og i rammen af den nederste kollega, der ikke er bevægelig i forhold til bygningen (på scenen, der allerede er holdt op med at rotere), bevæge sig i en lige linje (mod jordens centrum). Forskellen vil være, at for den nederste observatør vil denne bevægelse blive accelereret , og for hans øverste kollega, hvis han snubler og falder , bevæger sig sammen med nogen af dråberne, vil afstanden mellem dråberne stige i forhold til tidens første magt , det vil sige, at gensidige bevægelsesdråber og deres observatør i hans accelererede koordinatsystem vil være ensartede med en hastighed bestemt af forsinkelsen mellem tidspunkterne for faldende fald; hvor er accelerationen af det frie fald . $v=g\Delta t$ $\Delta t$ $g$

Derfor giver formen af banen og kroppens hastighed langs den, betragtet i en vis referenceramme, som intet er kendt på forhånd , ikke en entydig idé om de kræfter, der virker på kroppen. Det er muligt at afgøre, om dette system er tilstrækkeligt inerti kun på grundlag af en analyse af årsagerne til forekomsten af virkende kræfter.

I et ikke-inertial system er for det første krumningen af banen og/eller hastighedens inkonsistens et utilstrækkeligt argument til fordel for påstanden om, at eksterne kræfter virker på et legeme, der bevæger sig langs det, hvilket i sidste tilfælde kan forklares med gravitations- eller elektromagnetiske felter, og for det andet er banens rethed et utilstrækkeligt argument til fordel for påstanden om, at ingen kræfter virker på et legeme, der bevæger sig langs det.

Traktorløs bevægelse

Ifølge kvantemekaniske begreber skal man i forhold til bevægelsen af en mikropartikel (elektron eller andet) i et begrænset rum ikke tale om en bane , men om udviklingen af sandsynlighedstætheden for at detektere en partikel på et givet punkt . Denne sandsynlighedstæthed er karakteriseret [7] ved kvadratet af modulet af bølgefunktionen . Afhængigheden af dens argumenter bestemmes ved hjælp af Schrödinger-ligningen . Med en bølgefunktion kan du finde positionen af "tyngdepunktet", der ændrer sig over tid (integration - over hele volumen, der er tilgængelig for partiklen). I grænsen, når de Broglie-bølgelængden af partiklen er uforlignelig mindre end størrelsen af det rumlige bevægelsesområde, bliver denne tilgang ækvivalent med den sædvanlige beregning af banen. ${\vec {r}}(t)$ ${\vec {r))$ $|\psi ({\vec {r}},t)|^{2}$ $\psi$ $<{\vec {r}}(t)>=\int {\vec {r}}|\psi ({\vec {r}},t)|^{2}dV$

Se også

Sammensat bevægelse

Noter

↑ Begrebet en bane kan ganske tydeligt illustreres af en bobslædebane (hvis dens bredde kan forsømmes i henhold til problemets forhold). Og det er sporet og ikke selve bønnen .
↑ Physical Encyclopedic Dictionary, artikel Trajectory , s. 764 / kap. udg. A. M. Prokhorov - M .: Soviet Encyclopedia (1984).
↑ Så gaden, i begyndelsen af hvilken "mursten"-skiltet hænger, vil i princippet forblive bevægelsesbanen langs den. Og tog af forskellig masse, der bevæger sig under forskellige trækkræfter på lokomotivernes koblingskroge og derfor med forskellige hastigheder, vil bevæge sig langs den samme bane, bestemt af formen på skinnesporet, hvilket påtvinger specifikke forbindelser på bevægelsen af en ikke-fri krop (tog) , hvis intensitet vil være i hvert tilfælde af forskellig
↑ 1 2 S. E. Khaikin . Træghedskræfter og vægtløshed. M., 1967. Science Publishing House. Hovedudgaven af fysisk og matematisk litteratur.
↑ Physical Encyclopedic Dictionary / Kap. udg. A. M. Prokhorov. Red.col. D.M. Alekseev, A.M. Bonch-Bruevich, A.S. Borovik-Romanov et al . side 282.
↑ Så månen drejer kun rundt om Jorden i en referenceramme forbundet med deres fælles tyngdepunkt (placeret inde i kloden). I referencerammen, hvis begyndelse er Solen, drejer Månen om den i samme elliptiske bane som Jorden, men med periodiske afvigelser fra den med afstanden fra Månen til Jorden. Der er simpelthen ingen gensidig cirkulation af disse himmellegemer i dette tilfælde. Tilstedeværelsen af tyngdekraft for at forklare formen af Månens bane i koordinatsystemet forbundet med Solen er slet ikke nødvendig. Så hvis Jorden forsvandt, kunne Månen fortsætte med at bevæge sig, som et uafhængigt himmellegeme, langs den samme gamle bane, og dens periodiske forstyrrelser kunne så, som en hypotese, forklares ved en ændring i tyngdekraften, f.eks. på grund af en variation i Solens masse på grund af dens pulserende lysstyrke (som i øvrigt faktisk observeres inden for visse grænser). Og begge nævnte former for banen er sande, og begge forklaringer af deres form på baggrund af en korrekt gennemført analyse af de handlende kræfter er retfærdige. Men de udelukker hinanden, ligesom muligheden for samtidig overvejelse udelukkes ved valg af et eller andet koordinatsystem.
↑ D. V. Galtsov. bølge funktion . BDT (2004). Hentet: 10. august 2022. (ubestemt)

I fysik er der en anden formel til at måle banen (stien): s=4Atv, hvor A er amplituden, t er tiden, v er oscillationsfrekvensen

Litteratur

Newton I. Naturfilosofiens matematiske principper. Om. og ca. A. N. Krylova. Moskva: Nauka, 1989
Frish S. A. og Timoreva A. V. Kursus i generel fysik, lærebog for fysik, matematik og fysik og teknologiafdelinger ved statsuniversiteter, bind I. M .: GITTL, 1957

Links

Bane og forskydningsvektor, et afsnit af en fysik lærebog

mekanisk bevægelse
referencesystem	inerti referenceramme Ikke-inertiel referenceramme Sammensat bevægelse Relativitetsprincippet
Materiale punkt	Ensartet bevægelse Retlineær bevægelse Bevægelsesligning Bevægelsesligninger i en ikke-inertiel referenceramme Bane (sti) bevæger sig Hastighed Acceleration ( centripetal acceleration tangentiel acceleration ) bindestreg
Fysisk krop	translationel bevægelse Plan-parallel bevægelse ( parallel oversættelse ) Sfærisk bevægelse ( Roterende bevægelse Cirkulær bevægelse Præcession nutation )
kontinuum	laminær strømning turbulent flow
Beslægtede begreber	Hastighedsplan Tog trækkraft Seks frihedsgrader