Billede (matematik)

Billedet af en funktion er mængden af alle værdier, som funktionen giver.

Mere generelt giver beregning af værdien af en given funktion for hvert element i en given delmængde af funktionens domæne et sæt kaldet " billedet for funktionen ". På samme måde er det omvendte billede (eller preimage ) af en given delmængde af en funktions codomæne mængden af alle elementer i domænet, der er knyttet til elementer i sættet . $f$ $EN$ $EN$ $f$ $B$ $f$ $B$

Billede og omvendt billede kan også defineres for generelle binære relationer , ikke kun funktioner.

Definition

Ordet "billede" bruges på tre relaterede måder. I disse definitioner er en sæt - til-sæt- funktion . $f\kolon X\til Y$ $x$ $Y$

Elementbillede

Hvis er et element i mængden , så er billedet af elementet for funktionen , angivet med [1] , værdien af funktionen for argumentet . $x$ $x$ $x$ $f$ $f(x)$ $f$ $x$

Undersæt billede

Billedet af en delmængde for funktionen , betegnet med , er en delmængde af mængden , som kan defineres ved hjælp af følgende notation [2] : $A\subseteq X$ $f$ $f[A]$ $Y$

{\displaystyle f[A]=\{f(x)\midt x\in A\))

Hvis der ikke er risiko for forveksling, skrives det blot som . Denne konvention er generelt accepteret. Den tilsigtede betydning skal bestemmes ud fra konteksten. Dette gør f [.] til en funktion, hvis domæne er graden af X (sættet af alle delmængder af X ), og hvis codomæne er graden af Y. Se afsnit § Notation . $f[A]$ $f(A)$

Funktionsbillede

Billedet af en funktion er billedet af hele definitionsdomænet , også kendt som funktionens domæne [ 3] .

Generalisering til binære relationer

Hvis er en vilkårlig binær relation på XY , så kaldes mængden billedet af relationen . Sættet kaldes relationens domæne . $R$ $\ gange$ ${\displaystyle \{y\in Y\|xRy,x\in X\))$ $R$ $\{x\in X|xRy,y\in Y\}$ $R$

Omvendt billede

Lad være en funktion fra til . Forbilledet eller det omvendte billede af et sæt for en funktion , betegnet med , er en delmængde defineret som: $f$ $x$ $Y$ $B\subseteq Y$ $f$ $f^{-1}[B]$ $x$

f^{-1}[B]=\{x\i X\,|\,f(x)\i B\}.

Andre betegnelser er også mulige, såsom: [4] og . [5] $f^{-1}(B)$ $f^{-}(B)$

Det gensidige af en singleton , betegnet med eller , kaldes også et lag for eller elementniveausæt . Sættet af alle lag for elementer er en familie af delmængder indekseret af elementer . $f^{-1}[\{y\}]$ $f^{-1}[y]$ $y$ $y$ $Y$ $Y$

For eksempel vil det modsatte for en funktion være . Igen, hvis der ikke er nogen risiko for forveksling, kan det betegnes som , og kan betragtes som en funktion fra sættet af alle delmængder (boolean) af sættet til sættets boolske værdi . Notationen skal ikke forveksles med den omvendte af , selvom den stemmer overens med den sædvanlige inverse for bijektioner, idet tilbagetrækningen for er billedet for . $f(x) = x^2$ ${\displaystyle \{4\))$ ${\displaystyle \{-2,2\))$ $f^{-1}[B]$ $f^{-1}(B)$ $f^{-1}$ $Y$ $x$ $f^{-1}$ $B$ $f$ $B$ $f^{-1}$

Notation for billede og omvendt billede

Den traditionelle notation brugt i de foregående afsnit kan være svær at forstå. Et alternativ [6] er at angive eksplicitte navne for billedet og preimage af funktioner mellem booleaner:

Pilnotation

$f^{\to }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)$ til ${\displaystyle f^{\to}(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\))$
$f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)$ til ${\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\))$

Asterisk notation

$f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)$ i stedet for ${\displaystyle f^{\to ))$
$f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)$ i stedet for ${\displaystyle f^{\leftarrow ))$

Anden terminologi

Alternativ notation brugt i matematisk logik og mængdeteori er [7] [8] . $f[A]$ $f^{\prime \prime}A$
Nogle bøger omtaler et billede som et værdidomæne , men dette bør undgås, da udtrykket "værdidomæne" også er meget brugt til at henvise til en funktions codomæne . $f$ $f$ $f$

Eksempler

${\displaystyle f\colon \{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\)))$ defineret som $f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&{\mbox{ if }}x=1\\a,&{\mbox{ if }}x=2\\c, &{\mbox{ if }}x=3.\end{matrix}}\right.$ Billedet af sættet {2, 3} for funktionen er . Funktionsbilledet er . _ Prototypen er . Prototypen af sættet er også . Prototypen på et sæt er det tomme sæt . $f$ $f(\{2,3\})=\{a,c\}$ $f$ ${\displaystyle \{a,c\))$ $-en$ ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})=\{1,2\))$ $\{a,b\}$ $\{1,2\}$ ${\displaystyle \{b,d\))$ $\{\}$
$f\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R}$ defineret som . $f(x) = x^2$ Billedet for funktionen er , og billedet af funktionen er . Prototypen til er . Det omvendte billede af mængden for er den tomme mængde, da negative tal ikke har kvadratrødder i mængden af reelle tal. $\{-2,3\}$ $f$ $f(\{-2,3\})=\{4,9\}$ $f$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{+))$ $\{4,9\}$ $f$ ${\displaystyle f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\))$ ${\displaystyle N=\{n\in \mathbf {R} \|n<0\))$ $f$
$f\colon \mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R}$ defineret som . ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2))$ Lag er koncentriske cirkler omkring oprindelsen , det eneste punkt i oprindelsen, eller det tomme sæt, alt efter hvad dererhhv. $f^{-1}(\{a\})$ $a>0$ $a=0$ $a<0$
Hvis er en manifold og er en kanonisk projektion fra tangentbundtet til , så er kortets fibre tangentrummene for . Dette er også et eksempel på et fiberrum . $M$ $\pi :TM\to M$ $TM$ $M$ $\pi$ $T_{x}(M)$ $x \i M$
En faktorgruppe er et homomorfisk billede.

Egenskaber

Modeksempler

Modeksempler baseret på at vise, at denne lighed normalt fejler for nogle love: ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2))$

Generel sag

For enhver funktion og alle undersæt af og gælder følgende egenskaber: $f\kolon X\til Y$ $A\subseteq X$ $B\subseteq Y$

Billede	prototype
$f(X)\subseteq Y$	$f^{-1}(Y)=X$
$f(f^{-1}(Y))=f(X)$	$f^{-1}(f(X))=X$
$f(f^{-1}(B))\subseteq B$ (lige hvis , dvs. surjektiv) [9] [10] $B\subseteq f(X)$ $f$	$f^{-1}(f(A))\supseteq A$ (lige hvis injektiv) [9] [10] $f$
$f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$	$(f\vert _{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)$
$f(f^{-1}(f(A)))=f(A)$	$f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)$
$f(A)=\varnothing \Leftrightarrow A=\varnothing$	$f^{-1}(B)=\varnothing \Leftrightarrow B\subseteq Y\setminus f(X)$
$f(A)\supseteq B\Leftrightarrow \exists C\subseteq A:f(C)=B$	$f^{-1}(B)\supseteq A\Leftrightarrow f(A)\subseteq B$
$f(A)\supseteq f(X\setminus A)\Leftrightarrow f(A)=f(X)$	$f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\Leftrightarrow f^{-1}(B)=X$
$f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)$	$f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)$ [9]
$f(A\kop f^{-1}(B))\subseteq f(A)\kop B$ [elleve]	$f^{-1}(f(A)\kop B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)$ [elleve]
$f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B$ [elleve]	$f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)$ [elleve]

Også:

$f(A)\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\cap f^{-1}(B)=\varnothing$

For flere funktioner

For funktioner og med undersæt og gælder følgende egenskaber: $f\kolon X\til Y$ $g\colon Y\to Z$ $A\subseteq X$ $C\subseteq Z$

$(g\circ f)(A)=g(f(A))$
$(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))$

Flere undersæt af et domæne eller codomæne

Følgende egenskaber gælder for funktionen og delmængderne og : $f\kolon X\til Y$ $A_{1},A_{2}\subseteq X$ $B_{1},B_{2}\subseteq Y$

Billede	prototype
$A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f(A_{1})\subseteq f(A_{2})$	$B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\kop A_{2})=f(A_{1})\kop f(A_{2})$ [11] [12]	$f^{-1}(B_{1}\kop B_{2})=f^{-1}(B_{1})\kop f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})$ [11] [12] (lig hvis injektiv [13] ) $f$	$f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\setminus A_{2})\supseteq f(A_{1})\setminus f(A_{2})$ [11] (lig hvis [13] er injektiv) $f$	$f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})$ [elleve]
$f(A_{1}\trekant A_{2})\supseteq f(A_{1})\trekant f(A_{2})$ (lige hvis injektiv) $f$	$f^{-1}(B_{1}\triangle B_{2})=f^{-1}(B_{1})\trekant f^{-1}(B_{2})$

Resultaterne for billeder og præbilleder af det ( booleske ) skæringspunkt og unionsalgebra fungerer for enhver samling af delmængder, ikke kun par af delmængder:

$f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})$
$f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})$
$f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(B_{s})$
$f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(B_{s})$

(Her kan der være et uendeligt sæt, endda utallige .) $S$

Med hensyn til delmængden af algebra beskrevet ovenfor, er den inverse kortlægningsfunktion en gitterhomomorfi , mens kortlægningsfunktionen kun er en semigitterhomomorfi (dvs. den bevarer ikke altid skæringspunkter).

Se også

Bijektion, injektion og injektion
Billede (kategoriteori)
Kernel (mængdeteori)

Noter

↑ Kompendium af matematiske symboler ? . Math Vault (1. marts 2020). Hentet 28. august 2020. Arkiveret fra originalen 6. december 2020. (ubestemt)
↑ 5.4: Over til funktioner og billeder/forbilleder af sæt . Matematik LibreTexts (5. november 2019). Hentet 28. august 2020. Arkiveret fra originalen 27. oktober 2020.
↑ Weisstein, Eric W. Billede . mathworld.wolfram.com . Hentet 28. august 2020. Arkiveret fra originalen 19. marts 2020.
↑ Omfattende liste over algebrasymboler ? . Math Vault (25. marts 2020). Hentet 28. august 2020. Arkiveret fra originalen 1. april 2020. (ubestemt)
↑ Dolecki, Mynard, 2016 , s. 4-5.
↑ Blyth, 2005 , s. 5.
↑ Rubin, 1967 .
↑ M. Randall Holmes: Inhomogeneity of the urelements in the usual models of NFU Arkiveret 7. februar 2018 på Wayback Machine , 29. december 2005, på: Semantic Scholar, s. 2
↑ 1 2 3 Halmos, 1960 , s. 39.
↑ 12 Munkres , 2000 , s. 19.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Lee, 2011 , s. 388.
↑ 12 Kelley , 1985 , s. [ [1] i " Google Bøger " 85]
↑ 12 Munkres , 2000 , s. 21.

Litteratur

John M. Lee Introduktion til topologiske manifolder. — 2. - New York, Dordrecht, Heidelberg, London: Springer, 2011. - V. 202. - (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-1-4419-7939-1 .
Jean E. Rubin. Sætteori for matematikeren . - Holden-dag, 1967. - S. xix.
Michael Artin . Algebra. - Prentice Hall, 1991. - ISBN 81-203-0871-9 .
TS Blyth. Gitter og ordnede algebraiske strukturer. - Springer, 2005. - ISBN 1-85233-905-5 .
Szymon Dolecki, Frederic Mynard. Konvergensfundamenter af topologi. - New Jersey: World Scientific Publishing Company, 2016. - ISBN 978-981-4571-53-4 .
Paul R. Halmos . Naiv mængdeteori . - van Nostrand Company, 1960. - (The University Series in Bachelor Mathematics).
John L. Kelly. generel topologi. - 2. - Birkhäuser, 1985. - Vol. 27. - ( Graduate Texts in Mathematics ). - ISBN 978-0-387-90125-1 .
James R. Munkres. topologi. - Anden udgave - Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc., 2000. - ISBN 978-0-13-181629-9 .