Logaritmisk spiral

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 11. maj 2019; checks kræver 3 redigeringer .

En logaritmisk spiral eller isogonal spiral er en speciel form for spiral , som ofte findes i naturen.

Historie

Den logaritmiske spiral blev først beskrevet af Descartes og senere grundigt udforsket af Bernoulli , som kaldte den Spira mirabilis , "den vidunderlige spiral". Descartes ledte efter en kurve , der har en egenskab, der ligner en cirkel , således at tangenten i hvert punkt danner den samme vinkel med radiusvektoren i hvert punkt. Han viste, at denne betingelse svarer til, at de polære vinkler for kurvens punkter er proportionale med radiusvektorernes logaritmer .

Ligninger

I polære koordinater kan kurven skrives som

r=ae^{{b\theta }}

eller hhv

\theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),

hvor er afvigelsesvinklen for punktet fra nul, r er punktets radiusvektor, a er koefficienten, der er ansvarlig for vindingernes radius, b er koefficienten, der er ansvarlig for afstanden mellem vindingerne, e er Euler-tallet . $\theta$

I parametrisk form kan det skrives som

x(t)=r\cos t=ae^{{bt}}\cos t\,,

y(t)=r\sin t=ae^{{bt}}\sin t\,,

hvor a , b er reelle tal , t er en analog i udtrykket i polære koordinater $\theta$

Egenskaber

Vinklen dannet af tangenten ved et vilkårligt punkt i den logaritmiske spiral med radiusvektoren for tangentpunktet , er konstant og afhænger kun af parameteren b . Med hensyn til differentialgeometri kan dette skrives som

{\frac {\langle {\mathbf {r}}(\theta ),{\mathbf {r}}'(\theta )\rangle }{\|{\mathbf {r}}(\theta )\|\ |{\mathbf {r}}'(\theta )\|}}={\frac b{{\sqrt {1+b^{2}}}}}=\cos \varphi ;\quad b={\ mathrm {ctg}}\,\varphi .

Funktionens afledte er proportional med parameteren b . Det bestemmer med andre ord, hvor tæt og i hvilken retning spiralen snoes. I det begrænsende tilfælde, når b = 0 , degenererer spiralen til en cirkel med radius a . Omvendt, når b går til det uendelige , tenderer spiralen til en lige linje. Vinklen, der summeres til 90°, kaldes helixens hældning . ${\mathbf {r}}'(\vartheta )$ $(\varphi=\pi /2)$ $(\varphi\rightarrow 0),$ $\varphi$
Størrelsen af vindingerne i en logaritmisk spiral øges gradvist, men deres form forbliver uændret.
Stigningen i radius pr. længdeenhed af en cirkel er konstant. Måske som et resultat af denne egenskab optræder den logaritmiske spiral i visse voksende former, som muslingeskaller , solsikkehætter , cykloner og galaksespiraler .
Hvis vinklen stiger eller falder i en aritmetisk progression , så stiger r (falder) i en geometrisk progression . $\theta$
Ved at dreje polaraksen rundt om polen kan man helt eliminere parameteren a og bringe ligningen til formen , hvor m er en ny parameter. $r=e^{{m\theta }}$
Krumningsradius ved hvert punkt af spiralen er proportional med længden af spiralens bue fra dens begyndelse til det punkt.

Interessante fakta

Jacob Bernoulli ville have en logaritmisk spiral indgraveret på hans grav, men en arkimedeisk spiral blev ved en fejl i stedet placeret på hans gravsten . Den latinske indskrift, indgraveret ifølge testamentet omkring spiralen, "EADEM MUTATA RESURGO" ("forandret, jeg rejser mig igen"), indikerer, at det er den logaritmiske spiral, der menes, som har den bemærkelsesværdige egenskab at genoprette sin form. efter forskellige transformationer.
I Tools repertoire er kompositionen Lateralus dedikeret til spiraler.

a=0,01, b=0,15
a=1, b=0,15
a=1000, b=0,15
Skallen på et bløddyr er tæt i form af en logaritmisk spiral
Lavtryksområde over Island
Spiral Galaxy Whirlpool

Generalisering

En logaritmisk spiral er en sinusformet spiral ved ; $n\to 1$

Se også

gylden spiral

Links

Wikimedia Commons har medier relateret til logaritmisk spiral

Kurver

Definitioner

Forvandlet

Ikke-plan

Flad
algebraisk

Keglesnit

3. orden ( kubisk )

Elliptisk	Elliptisk kurve Jacobi elliptiske funktioner Elliptisk integral Elliptiske funktioner
Andet	Verziera Agnesi Kartesisk ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Semikubisk parabel Trident Cissoid af Diocles

4. orden

Lemniscates

Tilnærmelse

Spline
- B-spline
- Kubik
- monospline
- Udglatning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cycloidal

Andet

Krogede Gård

Flad
transcendental

Spiraler	Archimedov Gård Galilæa hyperbolsk "Tryllestav" Gylden clothoid logaritmisk sinusformet
Cycloidal	trochoid Cycloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Rose" quadrifolium Hurtig nedstigning (brachistochrone, cycloid bue)
Andet	Quadratrix cochleoid Jage traktor trochoid kæde linje omvendt buet konstant bredde sinusformet Ribokura Super formel Superellipse Reuleaux trekant polygon Lissajous figurer

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper dragekurve Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologisk	Sierpinski serviet Sierpinski tæppe Svamp Menger cirkulær fraktal Apollonius tæppe

Geometriske mønstre i naturen
mønstre	Sprække Klit Skum Slynge Phylotaxis Sæbeboble Symmetri i krystaller Kvasikrystaller i blomster i biologi flisebelægning hvirvelgade Bølge Widmanstetten struktur
Processer	Mønsterdannelse Biologi Naturlig selektion Mimik seksuel selektion Matematik Kaosteori fraktal logaritmisk spiral Fysik krystaller Hydroaerodynamik Plateauets love selvorganisering
Forskere	Platon Pythagoras Empedokles fibonacci abacus bog Adolf Zeising Ernst Haeckel Joseph Plateau Wilson Bentley Darcy Thompson Om vækst og form Alan Turing Kemiske baser for morfogenese Aristide Lindenmeier Benoit Mandelbrot Hvor lang er Storbritanniens kyst?
Relaterede artikler	Mønster genkendelse Matematik og billedkunst