Reelle tal

Et reelt tal ( et reelt tal [1] ) er et matematisk objekt , der er opstået fra behovet for at måle de geometriske og fysiske mængder af verden omkring os, samt at udføre sådanne beregningsoperationer som at udtrække en rod , beregne logaritmer , løse algebraiske ligninger , der studerer funktioners adfærd [2] .

Hvis naturlige tal opstod i processen med at tælle, rationelle tal - fra behovet for at operere med dele af en helhed, så er reelle tal beregnet til at måle kontinuerlige mængder. Udvidelsen af mængden af tal, der er under overvejelse, har således ført til mængden af reelle tal, som ud over rationelle tal omfatter elementer kaldet irrationelle tal .

Visuelt kan begrebet et reelt tal repræsenteres ved hjælp af en tallinje . Hvis du vælger en retning på en ret linje, et startpunkt og en længdeenhed til at måle segmenter, så kan hvert reelt tal associeres med et bestemt punkt på denne rette linje, og omvendt kan hvert punkt på den rette linje associeres med et eller andet reelt tal, og kun ét. På grund af denne korrespondance bruges udtrykket " tallinje " normalt som et synonym for mængden af reelle tal.

Begrebet et reelt tal er nået langt at blive. Selv i det antikke Grækenland , i Pythagoras- skolen , som satte hele tal og deres forhold som grundlag for alting, blev eksistensen af inkommensurable størrelser (inkommensurabiliteten af siden og diagonalen af et kvadrat) opdaget, det vil sige i moderne terminologi , tal, der ikke er rationelle. Efter dette gjorde Eudoxus af Cnidus et forsøg på at konstruere en generel talteori, der inkluderede uforlignelige mængder. Efter det, i mere end to tusinde år, følte ingen behov for en præcis definition af begrebet et reelt tal, på trods af den gradvise udvidelse af dette begreb [3] . Først i anden halvdel af det 19. århundrede, da udviklingen af matematisk analyse krævede en strengen,strenghed af niveauhøjere,etaf omstrukturering

Fra moderne matematiks synspunkt er mængden af reelle tal et kontinuerligt ordnet felt . Denne definition, eller det ækvivalente aksiomsystem , definerer nøjagtigt begrebet et reelt tal i den forstand, at der kun er ét, op til isomorfi , kontinuerligt ordnet felt .

Sættet af reelle tal har en standardnotation - R ("fed R") eller , Unicode U+211D : ℝ) ( tavle fed "R") fra lat. realis - ægte. $\mathbb {R}$ $\mathbf {R}$

Historien om dannelsen af begrebet et reelt tal

Naiv teori om reelle tal

Det første udviklede numeriske system, bygget i det antikke Grækenland , omfattede kun naturlige tal og deres forhold ( proportioner , i moderne betydning - rationelle tal ). Det blev dog hurtigt klart, at dette ikke var nok i forbindelse med geometri og astronomi: For eksempel kan forholdet mellem længden af diagonalen af et kvadrat og længden af dets side ikke repræsenteres af hverken et naturligt eller et rationelt tal [4] .

For at komme ud af situationen introducerede Eudoxus af Cnidus , ud over tal, et bredere begreb om en geometrisk størrelse , det vil sige længden af et segment, et område eller et volumen. Teorien om Eudoxus er kommet ned til os i udlægningen af Euklid (" Begyndelser ", bog V). I det væsentlige er teorien om Eudoxus en geometrisk model af reelle tal. Fra et moderne synspunkt er tallet med denne tilgang forholdet mellem to homogene størrelser - for eksempel den undersøgte og den enkelte standard. Det skal dog understreges, at Eudoxus forblev tro mod den gamle tradition - han betragtede ikke et sådant forhold som et tal; på grund af dette, i Elementerne, bliver mange sætninger om egenskaber af tal derefter genbevist for størrelser. Den klassiske teori om Dedekind for konstruktion af reelle tal er ekstremt ens i sine principper til udlægningen af Eudoxus. Eudoxus' model er dog ufuldstændig i nogle henseender, såsom ikke at inkludere negative tal.

Situationen begyndte at ændre sig i de første århundreder e.Kr. e. Allerede Diophantus af Alexandria , i modsætning til tidligere traditioner, betragter brøker på samme måde som naturlige tal, og i IV-bogen i hans "Aritmetik" skriver han endda om ét resultat: "Tallet viser sig ikke at være rationelt" [5] . Efter oldtidens videnskabs død kom matematikerne i Indien og islams lande i forgrunden , for hvilke ethvert resultat af måling eller beregning blev betragtet som et tal. Disse synspunkter fik efterhånden overhånd i middelalderens Europa [6] , hvor man i begyndelsen adskilte rationelle og irrationelle (bogstaveligt: "urimelige") tal (de blev også kaldt imaginære, absurde, døve osv.). En komplet ligning i rettighederne til irrationelle tal er forbundet med skrifterne af Simon Stevin (slutningen af det 16. århundrede), som proklamerede [5] :

Vi kommer til den konklusion, at der ikke er nogen absurde, irrationelle, forkerte, uforklarlige eller døve tal, men at der blandt tallene er en sådan perfektion og enighed, at vi er nødt til at meditere dag og nat over deres fantastiske fuldstændighed.

Han legaliserede, med nogle forbehold, negative tal og udviklede også teorien og symbolikken for decimalbrøker , som fra det øjeblik begynder at erstatte den ubelejlige sexagesimal .

Et århundrede senere giver Newton i sin " Universal Arithmetic " ( 1707 ) den klassiske definition af et (reelt) tal som forholdet mellem måleresultatet og en enkelt standard [7] :

Ved tal forstår vi ikke så meget et sæt af enheder som et abstrakt forhold af en eller anden mængde til en anden mængde af samme art, taget som en enhed.

I lang tid blev denne anvendte definition anset for tilstrækkelig, således at praktisk vigtige egenskaber ved reelle tal og funktioner ikke blev bevist, men blev betragtet som intuitivt indlysende (ud fra geometriske eller kinematiske betragtninger). For eksempel blev det anset for at være indlysende, at en kontinuerlig kurve, hvis punkter er placeret på modsatte sider af en bestemt linje, skærer denne linje. Der var heller ingen streng definition af begrebet kontinuitet [8] . Som en konsekvens heraf indeholdt mange teoremer fejl, vage eller alt for brede formuleringer.

Selv efter at Cauchy udviklede et ret stringent grundlag for analyse , ændrede situationen sig ikke, da teorien om reelle tal, som analysen skulle stole på, ikke eksisterede. På grund af dette begik Cauchy mange fejl, idet han stolede på intuition, hvor det førte til forkerte konklusioner: for eksempel troede han, at summen af en række kontinuerlige funktioner altid er kontinuerlig.

Oprettelse af en streng teori

Det første forsøg på at udfylde et hul i matematikkens grundlag blev lavet af Bernard Bolzano i sin artikel "Rent analytisk bevis på sætningen om, at mellem to værdier, der giver resultater af det modsatte fortegn, er der mindst én reelle rod af ligningen " ( 1817 ). Dette banebrydende arbejde har endnu ikke et integreret system af reelle tal, men en moderne definition af kontinuitet er allerede givet, og det er vist, at på dette grundlag kan sætningen nævnt i titlen strengt bevises [9] . I et senere værk [10] giver Bolzano en oversigt over den generelle teori om reelle tal, som i ideer er tæt på Cantors mængdeteori [ 11] , men dette værk forblev upubliceret i forfatterens levetid og blev kun udgivet i 1851. Bolzanos synspunkter var langt forud for deres tid og tiltrak sig ikke det matematiske samfunds opmærksomhed.

Den moderne teori om reelle tal blev bygget i anden halvdel af det 19. århundrede, primært af Weierstrass , Dedekind og Cantors arbejde . De foreslog forskellige, men ækvivalente tilgange til teorien om denne vigtigste matematiske struktur og adskilte endelig dette koncept fra geometri og mekanik [12] .

Konstruktive måder at definere et reelt tal på

Med en konstruktiv definition af begrebet et reelt tal på baggrund af kendte matematiske objekter (f.eks. mængden af rationelle tal ), der tages som givne, bygges nye objekter, som i en vis forstand afspejler vores intuitive forståelse af begrebet et reelt tal. Den væsentlige forskel mellem de reelle tal og disse konstruerede objekter er, at førstnævnte, i modsætning til sidstnævnte, kun forstås af os intuitivt og endnu ikke er et strengt defineret matematisk begreb. $\mathbb {Q}$

Disse objekter erklæres for at være reelle tal. For dem introduceres de grundlæggende aritmetiske operationer, ordensrelationen bestemmes, og deres egenskaber bevises.

Historisk set var de første strenge definitioner af et reelt tal netop de konstruktive definitioner. I 1872 blev tre værker udgivet samtidigt: teorien om grundlæggende sekvenser af Cantor , teorien om Weierstrass (i den moderne version - teorien om uendelige decimalbrøker) og teorien om sektioner i regionen Dedekinds rationelle tal [3] [ 13] .

Cantors teori om fundamentale sekvenser

I denne tilgang betragtes et reelt tal som grænsen for en række rationelle tal. For at en sekvens af rationelle tal skal konvergere, pålægges Cauchy-betingelsen den :

\forall \varepsilon >0\;\eksisterer N(\varepsilon ):\;\forall n>N(\varepsilon )\;\forall m>0\;|a_{n+m}-a_{n}|< \varepsilon

Betydningen af denne betingelse er, at medlemmerne af sekvensen, startende fra et vist antal, vil ligge vilkårligt tæt på hinanden. Sekvenser, der opfylder Cauchy-betingelsen, kaldes fundamentale .

Vi betegner det reelle tal defineret af den fundamentale sekvens af rationelle tal . $\{a_{n}\}$ $[a_{n}]$

To reelle tal

$\alpha =[a_{n}]$ og , $\beta =[b_{n}]$

defineret henholdsvis af grundlæggende sekvenser og , kaldes lige hvis $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

\lim _{n\to \infty }\left(a_{n}-b_{n}\right)=0

Hvis to reelle tal og er givet , så er deres sum og produkt de tal, der er defineret henholdsvis af summen og produktet af sekvenserne og : $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

\alpha +\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}+b_{n}]\qquad \alpha \cdot \beta {\overset {\text{def}}{= }}[a_{n}\cdot b_{n}]

Ordreforholdet på mængden af reelle tal etableres ved hjælp af en aftale, hvorefter tallet per definition er større end tallet , dvs. $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\alfa >\beta$

\eksisterer \varepsilon >0\;\eksisterer N:\;\forall n>N\;a_{n}\geqslant b_{n}+\varepsilon

Metoden til at konstruere mængden af reelle tal ved hjælp af fundamentale sekvenser af rationelle tal er et specialtilfælde af færdiggørelseskonstruktionen af et vilkårligt metrisk rum . Som i det generelle tilfælde er sættet af reelle tal opnået som et resultat af færdiggørelsen i sig selv allerede komplet , det vil sige, at det indeholder grænserne for alle grundlæggende sekvenser af dets elementer.

Teori om uendelige decimaler

Et reelt tal er defineret som en uendelig decimalbrøk , det vil sige et udtryk for formen

\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

hvor der er et af symbolerne eller , kaldet tegnet for tallet, er et ikke-negativt heltal, er en sekvens af decimaler, det vil sige elementer i det numeriske sæt . $\om eftermiddagen$ $+$ $-$ $a_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots a_{n},\ldots$ $\{0,1,\ldots 9\}$

En uendelig decimalbrøk fortolkes som et tal, der ligger på tallinjen mellem rationelle punkter i formen

$\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}$ og for alle $\pm \left(a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}+10^{-n}\right)$ $n=0,1,2,\ldots$

Sammenligning af reelle tal i form af uendelige decimalbrøker udføres bit for bit. For eksempel givet to ikke-negative tal

{\begin{matrix}\alpha &=+a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots \\\beta &=+b_{0},b_{1}b_{ 2}\ldots b_{n}\ldots \end{matrix}}

Hvis , så ; hvis da . I tilfælde af ligestilling fortsætter de med at sammenligne det næste ciffer. Og så videre. Hvis , så efter et begrænset antal trin vil det første ciffer blive stødt på, således at . Hvis , så ; hvis da . $a_{0}<b_{0}$ $\alfa <\beta$ $a_{0}>b_{0}$ $\alfa >\beta$ $a_{0}=b_{0}$ $\alpha \neq \beta$ $n$ $a_{n}\neq b_{n}$ $a_{n}<b_{n}$ $\alfa <\beta$ $a_{n}>b_{n}$ $\alfa >\beta$

Det skal dog tages i betragtning, at antallet Derfor, hvis posten for et af de sammenlignede tal, startende fra et bestemt ciffer, er en periodisk decimalbrøk, som har 9 i perioden, så skal den erstattes med en tilsvarende post, med nul i perioden. $a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}(9)=a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}+10^{-n}$

Aritmetiske operationer på uendelige decimalbrøker er defineret som en kontinuerlig forlængelse [14] af de tilsvarende operationer på rationelle tal. For eksempel kaldes summen af reelle tal og et reelt tal , der opfylder følgende betingelse: $\alfa$ $\beta$ $\alfa +\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \ leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')

Definerer på samme måde operationen med at multiplicere uendelige decimalbrøker.

Sektionsteori i området for rationelle tal

I Dedekinds tilgang defineres reelle tal ved hjælp af sektioner i sættet af rationelle tal.

En sektion i sættet af rationelle tal er enhver opdeling af sættet af alle rationelle tal i to ikke-tomme klasser - nedre og øvre , således at hvert tal fra den lavere klasse er strengt taget mindre end ethvert tal fra den øverste: $\mathbb {Q}$ $EN$ $EN'$

$\mathbb {Q} =A\kop A'\quad \land \quad A,A'\neq \varnothing \quad \land \quad \forall a\in A,\forall a'\in A'\ ;(a<a')$

Hvis der findes et tal , der er maksimalt i underklassen eller minimalt i overklassen, så adskiller dette tal mængderne og : tallene for de lavere og øvre klasser ligger på hver sin side af . Det siges også, at et rationelt tal producerer en given del af sættet af rationelle tal. $\alfa$ $EN$ $EN'$ $\alfa$ $\alfa$

Hvis der ikke er noget maksimumselement i den nederste sektionsklasse og intet minimalt element i den øvre sektionsklasse, så er der ikke noget rationelt tal, der adskiller mængderne og . I dette tilfælde antages det per definition, at den givne sektion bestemmer et eller andet irrationelt tal , som er mellem de lavere og øvre klasser, og derved producerer den givne sektion. Med andre ord, for ethvert snit, der ikke er produceret af noget rationelt tal, introduceres et nyt objekt - et irrationelt tal, som per definition er større end ethvert tal fra den lavere klasse og mindre end ethvert tal fra den øvre klasse: $EN$ $EN'$ $\alfa$

$\forall a\in A,\forall a'\in A'\;a<\alpha <a'$

Foreningen af alle rationelle og alle irrationelle tal kaldes mængden af reelle tal , og dens elementer er reelle tal .

Aritmetiske operationer på reelle tal er defineret som en kontinuerlig udvidelse af de tilsvarende operationer på rationelle tal. For eksempel kaldes summen af reelle tal og et reelt tal , der opfylder følgende betingelse: $\alfa$ $\beta$ $\alfa +\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \ leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')

Aksiomatisk tilgang

Der er mange måder at konstruere et sæt reelle tal på. I Cantors teori er de reelle tal klasser af ækvivalente fundamentale sekvenser af rationelle tal, i Weierstrass teori er de uendelige decimalbrøker, i Dedekinds teori er de sektioner i området for rationelle tal. I alle disse tilgange får vi som et resultat et bestemt sæt af objekter (reelle tal), der har bestemte egenskaber: de kan lægges sammen, ganges, sammenlignes med hinanden. Desuden, når egenskaberne for disse objekter er etableret, kan vi ikke længere henvise til de specifikke konstruktioner, som de blev bygget af.

I matematik er det ikke objekternes specifikke karakter, der er vigtig, men kun de matematiske relationer, der eksisterer mellem dem.

For en person, der studerer det matematiske koncept for antallet af elementer , er det ligegyldigt, hvad man skal tale om - om tre æbler eller tre sten, og deres spiselighed eller uspislighed er ligegyldig. I processen med abstraktion fra ikke-essentielle tegn, det vil sige abstraktion ( lat. abstractio - distraktion), kommer han til det fælles, som tre æbler og tre sten har - antallet af elementer. Sådan opstår det abstrakte begreb om et naturligt tal . Fra dette synspunkt er tre æbler og tre sten to konkrete implementeringer af modellen for det abstrakte begreb "tallet tre".

På samme måde er klasserne af fundamentale sekvenser af rationelle tal, uendelige decimalbrøker, sektioner i regionen af rationelle tal kun konkrete realisationer, modeller af et reelt tal. Og selve begrebet et reelt tal er bestemt af de eksisterende matematiske relationer for det. Så snart de er etableret, er begrebet et reelt tal også defineret.

Her er det passende at citere det berømte udsagn af D. Hilbert , grundlæggeren af den systemaksiomatiske metode i matematik, som med henvisning til geometriens aksiomatisering engang bemærkede:

Det bør sikres, at man kan tale med lige stor succes i stedet for punkter, linjer og fly om borde, stole og ølkrus.David Gilbert [15]

Aksiomatik af reelle tal

Et sæt kaldes et sæt af reelle tal, og dets elementer kaldes reelle tal, hvis følgende sæt betingelser, kaldet aksiomatikken af reelle tal, er opfyldt: $\mathbb {R}$

Feltaksiomer

En mapping er defineret på et sæt ( additionsoperation ) $\mathbb {R}$

$+:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

som tildeler hvert ordnet par af elementer fra et element fra det samme sæt , kaldet summen og ( ækvivalent notation af et element i et sæt ). $a,b$ $\mathbb {R}$ $c$ $\mathbb {R}$ $-en$ $b$ $a+b$ $c$ $\mathbb {R}$

Der er også defineret en mapping på sættet ( multiplikationsoperation ) $\mathbb {R}$

$\cdot :\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

som tildeler hvert ordnet par af elementer fra et eller andet element , kaldet produktet af og . $a,b$ $\mathbb {R}$ $a\cdot b$ $-en$ $b$

I dette tilfælde finder følgende egenskaber sted.

{\text{I}}_{1}.

Kommutativitet af tilføjelse. For evt

a,b\in \mathbb {R}

a+b=b+a

{\text{I}}_{2}.

Associativitet af addition. For evt

a,b,c\in \mathbb {R}

a+(b+c)=(a+b)+c

{\text{I}}_{3}.

Eksistensen af nul. Der er et element kaldet nul sådan, at for evt

0\i \mathbb {R}

a\in \mathbb {R}

a+0=a

{\text{I}}_{4}.

Eksistensen af et modsat element. For enhver er der et element kaldet modsat sådan, at

a\in \mathbb {R}

-a\in \mathbb {R}

-en

a+(-a)=0

{\text{I}}_{5}.

Kommutativitet af multiplikation. For evt

a,b\in \mathbb {R}

a\cdot b=b\cdot a

{\text{I}}_{6}.

Associativitet af multiplikation. For evt

a,b,c\in \mathbb {R}

a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c

{\text{I}}_{7}.

Eksistensen af en enhed. Der er et element kaldet enhed , sådan at for evt

1\in \mathbb {R}

a\in \mathbb {R}

a\cdot 1=a

{\text{I}}_{8}.

Eksistensen af et omvendt element. For enhver eksisterer der et element , også betegnet og kaldet det omvendte af , sådan at

a\in \mathbb {R} ,a\neq 0

a^{-1}\in \mathbb {R}

1/a

-en

a\cdot a^{-1}=1

{\text{I}}_{9}.

Den distributive lov om multiplikation med hensyn til addition. For evt

a,b,c\in \mathbb {R}

a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c

{\text{I}}_{10}.

Felt ikke-trivialitet. Et og nul er forskellige elementer :

\mathbb {R}

$1\neq 0$

Ordensaksiomer

En relation er defineret mellem elementerne , det vil sige, for ethvert ordnet par af elementer fra , fastslås det, om relationen er opfyldt eller ej. I dette tilfælde finder følgende egenskaber sted. $\mathbb {R}$ $\leqslant$ $a,b$ $\mathbb {R}$ $a\leqslant b$

{\text{II}}_{1}.

Refleksivitet. For enhver

a\in \mathbb {R}

$a\leqslant a$

{\text{II}}_{2}.

Antisymmetri. For evt

a,b\in \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\land (b\leqslant a)\Rightarrow (a=b)$

{\text{II}}_{3}.

Transitivitet. For evt

a,b,c\in \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\land (b\leqslant c)\Rightarrow (a\leqslant c)$

{\text{II}}_{4}.

Lineær rækkefølge. For evt

a,b\in \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\lor (b\leqslant a)$

{\text{II}}_{5}.

Sammenhæng mellem tilføjelse og rækkefølge. For evt

a,b,c\in \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\Højrepil (a+c\leqslant b+c)$

{\text{II}}_{6}.

Sammenhæng mellem multiplikation og rækkefølge. For evt

a,b\in \mathbb {R}

$(0\leqslant a)\land (0\leqslant b)\Rightarrow (0\leqslant a\cdot b)$

Kontinuitetsaksiomer

{\text{III}}_{1}.

Uanset de ikke-tomme mængder og , sådan at for alle to elementer og uligheden gælder , eksisterer der et tal sådan at for alle og relationen gælder

A\delsæt \mathbb {R}

B\undersæt \mathbb {R}

a\i A

b\i B

a\leqslant b

\xi \in \mathbb {R}

a\i A

b\i B

a\leqslant \xi \leqslant b

Disse aksiomer er tilstrækkelige til nøje at udlede alle kendte egenskaber ved reelle tal [16] .

I den moderne algebras sprog betyder den første gruppes aksiomer, at et sæt er et felt . Aksiomer for den anden gruppe - at mængden er en lineært ordnet mængde ( - ), og ordensrelationen er i overensstemmelse med feltets struktur - . Sæt, der opfylder aksiomerne for den første og anden gruppe, kaldes ordnede felter . Endelig siger den sidste gruppe, der består af et aksiom, at sættet af reelle tal har egenskaben kontinuitet , som også kaldes fuldstændighed . Sammenfattende kan vi give en ækvivalent definition af mængden af reelle tal. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ ${\text{II}}_{1}$ ${\text{II}}_{4}$ ${\text{II}}_{5}$ ${\text{II}}_{6}$

Definition. Sættet af reelle tal er et kontinuerligt ordnet felt.

Andre aksiomsystemer for reelle tal

Der er andre måder at aksiomatisere reelle tal på. For eksempel kan du i stedet for kontinuitetsaksiomet bruge enhver anden ækvivalent betingelse eller gruppe af betingelser. For eksempel, i systemet af aksiomer foreslået af Hilbert, er gruppernes aksiomer og i det væsentlige de samme som dem, der er givet ovenfor, og de følgende to betingelser bruges i stedet for aksiomet: ${\text{III}}_{1}.$ ${\text{I}}$ ${\tekst{II}}$ ${\text{III}}_{1}$

{\text{III}}_{1}'.

Arkimedes aksiom . Lad [17] og. Derefter kan elementetgentages som et led så mange gange, at den resulterende sum overstiger:

a>0

b>0

-en

b

$a+a+\ldots +a>b$

{\text{III}}_{2}'.

Aksiom for fuldstændighed (i betydningen Hilbert). Systemet kan ikke udvides til noget system på en sådan måde , at alle aksiomer - , .

\mathbb {R}

\mathbb {R} ^{*}

\mathbb {R}

\mathbb {R} ^{*}

{\text{I}}

{\tekst{II}}

{\text{III}}_{1}'.

Således kan følgende tilsvarende definition gives:

Definition. Sættet af reelle tal er det maksimale arkimediske ordnede felt

Som et andet eksempel på aksiomatisering af reelle tal kan Tarskis aksiomatik gives , der kun består af 8 uafhængige aksiomer.

Egenskaber

Forbindelse med rationelle tal

Det er klart, at rationelle tal er blandet med reelle tal på tallinjen , og mængden af reelle tal er i en vis forstand "tæt" end mængden af rationelle. Et naturligt spørgsmål opstår, hvor ofte rationelle og reelle tal falder på tallinjen, og om nogle tal kan tilnærmes af andre. Svaret på dette spørgsmål er givet af tre lemmaer , hovedsagelig baseret på Arkimedes' aksiom . [atten]

Lemma 1. For ethvert reelt tal og enhver positiv rationel afstand taget på forhånd, er der et par rationelle tal adskilt fra hinanden med mindre end denne afstand, således at det reelle tal ligger på segmentet mellem disse rationelle tal.

\forall a\in \mathbb {R} ~\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} _{+}~\eksisterer q_{1},q_{2}\i \mathbb {Q} :~(q_{ 1}\leq a\leq q_{2})\land (q_{2}-q_{1}<\varepsilon )

Dette lemma siger, at ethvert reelt tal kan tilnærmes fra to sider med en given nøjagtighed ved rationelle tal.

Lemma 2. Mellem to forskellige reelle tal er der et rationelt tal.

\forall a,b\in \mathbb {R} ,a<b~\eksisterer q\in \mathbb {Q} :a<q<b

En indlysende konsekvens af dette lemma er det faktum, at der mellem to ikke-sammenfaldende reelle tal er et uendeligt antal rationelle tal. Derudover er det endnu mere indlysende, at der mellem to forskellige rationelle tal er et reelt tal.

Lemma 3. Den rationelle tilnærmelse af et reelt tal beskrevet i Lemma 1 identificerer entydigt et reelt tal.

\forall a,b\in \mathbb {R} ~(\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} _{+}~\eksisterer q_{1},q_{2}\i \mathbb {Q} :~ (q_{1}\leq a\leq q_{2})\land (q_{1}\leq b\leq q_{2})\land (q_{2}-q_{1}<\varepsilon ))\ Højrepil a=b

Disse lemmaer siger først og fremmest, at mængden af reelle tal ikke er så "tæt" sammenlignet med mængden af rationelle tal, som det kan se ud. Dette illustrerer særligt tydeligt Lemma 2. Alle tre lemmaer bruges aktivt til at bevise forskellige sætninger relateret til operationerne med addition og multiplikation af reelle tal.

Mængde-teoretiske egenskaber

Oprindeligt var reelle tal en naturlig generalisering af rationelle , men for første gang opdagede de egenskaben ved utellelighed, som siger, at mængden af reelle tal ikke kan nummereres, det vil sige, at der ikke er nogen bijektion mellem mængderne af reelle og naturlige . tal . For at vise utælligheden af hele sættet af reelle tal er det nok at vise intervallets utællelighed . [atten] $\venstre(0,1\højre)$

Lad alle numrene i det angivne interval allerede være opregnet på en eller anden måde. Så kan de skrives i følgende form:

x_{1}=0,a_{11}a_{12}\cdots a_{1m}\cdots

x_{2}=0,a_{21}a_{22}\cdots a_{2m}\cdots

\cdots

x_{k}=0,a_{k1}a_{k2}\cdots a_{km}\cdots

\cdots

Her er det -th ciffer i det -th tal. Det er indlysende, at alle tal af den angivne type virkelig hører til det pågældende interval, medmindre alle cifrene i hvert tal umiddelbart er nuller eller ni . $a_{{ij}}$ $j$ $jeg$

Overvej derefter følgende tal:

x=0,d_{1}d_{2}\cdots d_{m}\cdots

Lad hvert ciffer i dette tal opfylde følgende tre egenskaber: $d_{i}$

$d_{i}\neq 0$
$d_{i}\neq 9$
$d_{i}\neq a_{ii}$

Et sådant tal eksisterer virkelig på det angivne interval, da det er reelt, ikke falder sammen med hverken nul eller et, og decimaltal er nok til at den tredje egenskab holder. Derudover er det interessant ved, at det ikke falder sammen med nogen af tallene skrevet ovenfor, for ellers ville det -te ciffer i tallet falde sammen med -th cifferet i tallet . Vi kom frem til en modsigelse, som består i, at uanset hvordan tallene i det betragtede interval er nummereret, vil der stadig være et tal fra samme interval, som ikke er tildelt et nummer. [atten] $x$ $x_{j}$ $j$ $x$ $j$ $x_{j}$

Dette indikerer, at mængden af reelle tal ikke kan tælles . Dens kraft kaldes kontinuummets kraft .

Udvidet sæt af reelle tal

I en række anvendelser af matematisk analyse er det praktisk at bruge det udvidede sæt af reelle tal , som opnås ved at komplementere mængden af reelle tal med et punkt i uendelig på en af følgende måder [19] . ${\overline {R))$ $R$

To signerede uendeligheder: , $\overline R = R \kop \{ +\infty\} \cup \{ -\infty\}$
Én usigneret uendelighed :. ${\overline {R}}=R\kop \{\infty \}$

Tegnede uendeligheder og , der optræder i den første definition, repræsenterer grænsen for en sekvens af henholdsvis positive eller negative tal, der stiger uendeligt i modulo. Den anden definition bruger uendelig uden fortegn , nogle gange også omtalt som , som er grænsen for en række tal (med vilkårlige fortegn), der stiger uendeligt i absolut værdi. Bemærk, at symbolet kan betegne både uendelig uden fortegn og positiv uendelighed . Det fremgår som regel tydeligt af sammenhængen, hvilken uendelighed der menes, eller også er det ligegyldigt. $+\infty$ $-\infty$ $\infty$ $\pm\infty$ $\infty$ $+\infty$

Generalisering af reelle tal

Feltet med reelle tal har konstant tjent i matematikken som en kilde til generaliseringer og i forskellige praktisk vigtige retninger. Følgende varianter af generaliserede numeriske systemer støder direkte op til feltet . $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Komplekse tal . Især frugtbare i algebra og analyse , de er med succes brugt i fysik , elektroteknik , kartografi , hydrodynamik osv.
Interval tal . De bruges hovedsageligt i teorien om omtrentlige beregninger og i sandsynlighedsteori .
Ikke-standardanalyse , som tilføjer uendeligt små og uendeligt store tal (af forskellig rækkefølge) til reelle tal.

Ansøgninger

Den matematiske model af reelle tal er meget udbredt i videnskab og teknologi til at måle kontinuerligt skiftende mængder. Dette er dog ikke dens hovedanvendelse, fordi faktisk målte mængder altid har et endeligt antal decimaler, det vil sige, at de er rationelle tal. Hovedformålet med denne model er at tjene som grundlag for analytiske forskningsmetoder. Den enorme succes med disse metoder i løbet af de sidste tre århundreder har vist, at modellen af reelle tal i de fleste tilfælde afspejler strukturen af kontinuerlige fysiske størrelser tilstrækkeligt [20] [21] .

Det, der er blevet sagt, betyder naturligvis ikke, at den reelle tallinje er et nøjagtigt billede af en reel kontinuert størrelse. For eksempel ved moderne videnskab endnu ikke, om rum og tid er diskrete eller uendeligt delbare; selv i det andet tilfælde bør modellen af reelle tal for disse størrelser dog betragtes som tilnærmet, da begreberne et punkt i rummet og et øjeblik i tiden er idealiseringer , der ikke har nogen reel analog. Dette grundlæggende spørgsmål er blevet diskuteret bredt i videnskaben, startende med Zenos aporier .

Se også

Noter

↑
Navnene " reelt tal " og " reelt tal " er ækvivalente. Historisk set blev udtrykket " reelt tal " brugt i Moskva School of Mathematics og " reelt tal " i Leningrad School . To klassiske værker kan nævnes som et eksempel:
- Luzin, N. N. Teori om funktioner af en reel variabel. (Moskva skole)
- Natanson, I. P. Teori om funktioner af en reel variabel. (Leningrad skole)
Moderne universitetslærebøger bruger begge udtryk:
- Zorich V. A. Matematisk analyse. ( MGU, mekhmat ) - reelt tal
- Ilyin V. A., Poznyak V. G. Fundamentals of Mathematical Analysis. ( Moskva State University, Det Fysiske Fakultet ) - reelt tal
- Kudryavtsev, L. D. Kursus i matematisk analyse. ( MIPT ) er et reelt tal
- Fikhtengol'ts, G. M. Forløb af differential- og integralregning. ( St. Petersburg State University ) - reelt tal
↑ Se L. D. Kudryavtsev, Course of Mathematical Analysis. - T. 1. - S. 35-36. , samt Bourbaki N. Essays om matematikkens historie. - S. 146.
↑ 1 2 3 Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Veje og labyrinter. Essays om matematikkens historie. - S. 287-289.
↑ Bourbaki N. . Matematikkens arkitektur. Essays om matematikkens historie. - S. 147.
↑ 1 2 Bourbaki N. . Matematikkens arkitektur. Essays om matematikkens historie. - S. 150-151.
↑ Matematikkens historie. - T. I. - S. 190-191, 304-305.
↑ Matematikkens historie. - T. II. - S. 35.
↑ Bourbaki N. . Matematikkens arkitektur. Essays om matematikkens historie. - S. 154.
↑ Læser om matematikkens historie. Matematisk analyse. Sandsynlighedsteori / Udg. A. P. Yushkevich . - M . : Uddannelse, 1977. - S. 171-178. — 224 s.
↑ Bernard Bolzano. Paradokser i det uendelige. Arkiveret 13. april 2014 på Wayback Machine
↑ Rykhlik Karel. Teori om reelle tal i Bolzanos håndskrevne arv // IMI, 1958. Nr. 11. S. 515-532.
↑ Kolmogorov A. N. , Abramov A. M. , Dudnitsyn Yu. P. Algebra og begyndelsen af analysen. Lærebog for 10-11 klassetrin i gymnasiet. - M., Uddannelse, 1994. - ISBN 5-09-006088-6 . - C. 162-165
↑ Rybnikov K. A. Matematikkens historie. - T. 2. - S. 196.
↑ Da den lineære ordensrelation allerede er blevet introduceret på mængden af reelle tal, kan vi definere topologien af den reelle linje: som åbne mængder tager vi alle mulige foreninger af intervaller af formen $\{x:\alpha <x<\beta \}$
↑ Reid C. Gilbert. - S. 79.
↑ Se L. D. Kudryavtsev, Course of Mathematical Analysis. - T. 1.
↑ $(a>0)\;{\overset {\text{def}}{\Leftrightarrow }}\;(a\geqslant 0)\land (a\neq 0)$
↑ 1 2 3 V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Kapitel 2. Reelle tal // Matematisk analyse / Red. A.N. Tikhonova . - 3. udg. , revideret og yderligere - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 44-45, 63 - 64. - 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .
↑ Kudryavtsev L. D., 2005 , s. 19.
↑ Matematik, dens indhold, metoder og betydning (i tre bind). - Videnskabsakademiet i USSR, 1956. - T. 1. - S. 29-31. — 296 s.
↑ Stewart, Ian . Professor Stewarts utrolige tal = Professor Stewarts utrolige tal. - M . : Alpina faglitteratur, 2016. - S. 209-210. — 422 s. - ISBN 978-5-91671-530-9 .

Litteratur

Referencer

Arnold IV Teoretisk aritmetik. — M .: UCHPEDGIZ, 1938.

Bourbaki N. Essays om matematikkens historie / overs. fra fransk I. G. Bashmakova, red. K. A. Rybnikova. - M . : Forlag for udenlandsk litteratur, 1963.

Hilbert D. Foundations of Geometry = Grundlagen der Geometrie / pr. fra 7. tyske udgave af I. S. Gradshtein, red. P.K. Rashevsky. - M. - L .: Statens forlag for teknisk og teoretisk litteratur, 1948.

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Veje og labyrinter. Essays om matematikkens historie. — Trans. fra fransk - M. : MIR, 1986. - 432 s.

Dedekind R. Kontinuitet og irrationelle tal = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4. reviderede udgave. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 s.

Zorich V. A. Matematisk analyse. Del I. - 4. udg., Rev. - M. : MTSNMO, 2002. - XVI + 664 s. — ISBN 5-94057-056-9 .

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentals of matematisk analyse: Om 2 timer Del I. - 7. udg. - M. : FIZMATLIT, 2005. - 648 s. - ISBN 5-9221-0536-1 .

Matematikkens historie fra oldtiden til begyndelsen af det 19. århundrede. I tre bind / udg. Jusjkevitj. - M. : NAUKA, 1970. - T. 1.

Kantor G. Arbejder med mængdelære / red. A. N. Kolmogorov, F. A. Medvedev, A. P. Yushkevich,. - M . : SCIENCE, 1985. - (videnskabens klassikere).

A. N. Kolmogorov. Om begrundelsen for teorien om reelle tal // Uspekhi Mat . - 1946. - T. 1 , udg. 1(11) . - S. 217-219 .
Kudryavtsev L. D. Kursus i matematisk analyse. - 5. udg. - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .

Kudryavtsev L. D. Kort kursus i matematisk analyse. - 3. udg. revideret .. - M . : FIZMATLIT, 2005. - T. 1. - 400 s. — ISBN 5-9221-0184-6 .

Reed K. Gilbert / trans. fra engelsk. I.V. Dolgachev, red. R. V. Gamkrelidze. — M .: NAUKA, 1977.

Rybnikov K. A. Historie om matematik. - M . : Forlag ved Moskva Universitet, 1963. - T. 2.

Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. Et kursus i matematisk analyse. — 3. udg., rettet. - M. : FIZMATLIT, 2001. - 672 s. — ISBN 5-9221-0008-4 .

Fikhtengol's G.M. Fundamentals of Mathematical Analysis. - 7. udg. - M. : FIZMATLIT, 2002. - T. 1. - 416 s. — ISBN 5-9221-0196-X .

Anbefalet læsning

fra historien om dannelsen af begrebet et reelt tal:

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Veje og labyrinter. Essays om matematikkens historie.
Matematikkens historie, redigeret af A. P. Yushkevich i tre bind, M .: Nauka.

Bind 1 Fra oldtiden til begyndelsen af moderne tid. (1970)
Bind 2 Matematik i det 17. århundrede. (1970)
Bind 3 Matematik i det 18. århundrede. (1972) Arkiveret 24. marts 2017 på Wayback Machine

En detaljeret præsentation af teorien om at konstruere reelle tal ved hjælp af fundamentale sekvenser , samt teorien om at konstruere reelle tal ved hjælp af sektioner i området for rationelle tal, kan findes i følgende:

Arnold IV Teoretisk aritmetik . Arkiveret 25. februar 2010 på Wayback Machine

De, der ønsker at stifte bekendtskab med R. Dedekinds originale tankegang, kan anbefale en brochure, hvori Dedekind i 1872 skitserede sin teori om det reelle tal. Denne bog er fortsat en af de bedste og mest tilgængelige udstillinger af emnet til dato. Der er en russisk oversættelse:

Dedekind, R. Kontinuitet og irrationelle tal = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4. reviderede udgave. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 s.

også er der en fremragende udlægning af Dedekinds teori i den klassiske lærebog:

Fikhtengol'ts, G. M. Fundamentals of Mathematical Analysis. - 7. udg. - M. : FIZMATLIT, 2002. - T. 1. - 416 s. — ISBN 5-9221-0196-X .

Konstruktionen af teorien om det reelle tal ved hjælp af uendelige decimaler kan findes i bøgerne:

Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. Et kursus i matematisk analyse.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentals of matematisk analyse: Om 2 timer. Del I.

en aksiomatisk præsentation af teorien om det reelle tal kan findes i bøgerne:

Kudryavtsev, L. D. Kursus i matematisk analyse. - 5. udg. - M . : Drofa, 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .
Zorich, V. A. Matematisk analyse. Del I. - Red. 4., rev. - M. : "MTsNMO", 2002. - 657 s. — ISBN 5-94057-056-9 .

Essensen af den aksiomatiske metode og dens sammenligning med den konstruktive tilgang præsenteres af D. Hilbert på flere sider i “Bilag VI. Om begrebet antal" i følgende udgave af det klassiske værk:

Hilbert D. Foundations of Geometry = Grundlagen der Geometrie. - pr. fra 7. tyske udgave af I. S. Gradshtein, red. P.K. Rashevsky. - M. - L .: Statens forlag for teknisk og teoretisk litteratur, 1948.

Ordbøger og encyklopædier

I bibliografiske kataloger
BNF : 11977586x GND : 4202628-3 J9U : 987007538747105171 LCCN : sh85093221 NDL : 00574870 NKC : ph125164

Numeriske systemer
Tællelige sæt	Naturlige tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationel ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beregnbar Aritmetik
Reelle tal og deres forlængelser	Ægte ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Kompleks ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonioner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Skifter Dobbelt Hyperkompleks Superrealistisk Hypermateriale surrealistisk
Numeriske udvidelsesværktøjer	Cayley-Dixon procedure Frobenius sætning Hurwitz-sætning
Andre nummersystemer	kardinalnumre Ordinaltal (transfinite, ordinaler) p-adic Overnaturlige tal intervaltal
se også	dobbelte tal Irrationelle tal transcendentale tal nummerstråle Biquaternion