Arkimedisk krop
Arkimedisk fast stof (eller arkimedisk polyhedron ) er et konveks polyeder med to eller flere typer regulære polygoner som flader, der støder op til identiske hjørner . Her betyder "identiske knudepunkter", at der for to vilkårlige spidser er en isometri af hele kroppen, der fører et knudepunkt til et andet.
De arkimedeiske faste stoffer adskiller sig fra de platoniske faste stoffer ( regulære polyedre ), som kun består af én type polygon ved de samme hjørner, og fra Johnson polyedre, hvis regulære polygonale flader tilhører forskellige typer af hjørner.
Nogle gange er det kun påkrævet, at de flader, der støder op til det ene toppunkt, er isometriske i forhold til ansigterne ved det andet vertex. Denne forskel i definitioner bestemmer, om en aflang firkantet gyrobicupol (pseudo-rhombicuboctahedron) betragtes som et arkimedisk fast stof eller et Johnson polyhedron - det er det eneste konvekse polyeder, hvor polygonale flader støder op til et toppunkt på samme måde ved hvert toppunkt, men polyhedronen gør det. ikke have en global symmetri, der ville tage ethvert toppunkt til ethvert andet. Baseret på eksistensen af pseudorhombicuboctahedron, foreslog Grünbaum [1] en terminologisk skelnen, hvor et arkimedesk legeme defineres som at have den samme toppunktsfigur ved hvert toppunkt (inklusive den aflange firkantede gyrobicupole), mens en ensartet polyeder defineres som havende et hvilket som helst toppunkt. er symmetrisk med enhver anden (hvilket udelukker gyrobicupolis ).
Prismer og antiprismer , hvis symmetrigrupper er dihedrale grupper , anses generelt ikke for at være arkimedeiske faste stoffer, på trods af at de falder inden for definitionen givet ovenfor. Med denne begrænsning er der kun et begrænset antal arkimedeiske faste stoffer. Alle legemer, bortset fra den aflange firkantede gyrokuppel, kan opnås ved Wythoffs konstruktioner fra platoniske faste stoffer ved hjælp af tetraedriske , oktaedriske og icosaedriske symmetrier.
Navn kilde
De arkimedeiske kroppe er opkaldt efter Archimedes , som diskuterede dem i et nu tabt værk. Papp henviser til dette værk og oplyser, at Arkimedes opførte 13 polyedre [1] . Under renæssancen værdsatte kunstnere og matematikere rene former og genopdagede dem alle. Disse undersøgelser blev næsten fuldstændigt afsluttet omkring 1620 af Johannes Kepler [2] , som definerede begreberne prismer , antiprismer og ikke-konvekse kroppe, kendt som Kepler-Poinsot kroppe .
Kepler kan også have fundet en aflang firkantet gyrobicupole (pseudorhombicuboctahedron ) - i det mindste hævdede han, at der var 14 arkimedeiske faste stoffer. Imidlertid omfatter hans offentliggjorte opregninger kun 13 ensartede polyedre, og den første klare erklæring om eksistensen af et pseudorhombicosahedron blev fremsat i 1905 af Duncan Somerville [1] .
Klassifikation
Der er 13 arkimedeiske faste stoffer ( den aflange firkantede gyrobicupol medregnes ikke ; 15 hvis spejlbillederne af de to enantiomorfer tages i betragtning , som er anført separat nedenfor).
Her refererer toppunktskonfiguration til de typer regulære polygoner, der støder op til et toppunkt. For eksempel betyder toppunktskonfigurationen (4,6,8) at kvadratet , sekskantet og ottekantet mødes i toppunktet (opregningsrækkefølgen tages med uret fra toppunktet).
| Titel (alternativ titel) |
Schläfli Coxeter |
Gennemsigtig | Uigennemsigtig | Scan | Vertex figur |
ansigter | ribben | Toppe | Volumen (med en enkelt kant) |
Punktgruppe _ | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| afkortet tetraeder | {3,3}  
|
( rotation ) |
3.6.6 |
otte | 4 trekanter 4 sekskanter |
atten | 12 | 2,710576 | T d | ||
| Cuboctahedron (rhombotetrahedron) |
r{4,3} eller rr{3,3} eller
|
( rotation ) |
3.4.3.4 |
fjorten | 8 trekanter 6 firkanter |
24 | 12 | 2,357023 | Åh h | ||
| afkortet terning | t{4,3}
|
( rotation ) |
3.8.8 |
fjorten | 8 trekanter 6 ottekanter |
36 | 24 | 13.599663 | Åh h | ||
| Trunkeret oktaeder (trunkeret tetrateraeder) |
t{3,4} eller tr{3,3}eller
|
( rotation ) |
4.6.6 |
fjorten | 6 firkanter 8 sekskanter |
36 | 24 | 11.313709 | Åh h | ||
| Rhombicuboctahedron (lille rhombicuboctahedron) |
rr{4,3}
|
( rotation ) |
3.4.4.4 |
26 | 8 trekanter 18 firkanter |
48 | 24 | 8,714045 | Åh h | ||
| Trunkeret cuboctahedron (stort rhombicuboctahedron) |
tr{4,3}
|
( rotation ) |
4.6.8 |
26 | 12 kvadrater 8 sekskanter 6 ottekanter |
72 | 48 | 41,798990 | Åh h | ||
| Snub terning (snub cuboctahedron) |
sr{4,3}
|
( rotation ) |
3.3.3.3.4 |
38 | 32 trekanter 6 firkanter |
60 | 24 | 7,889295 | O | ||
| icosidodecahedron | r{5,3}
|
( rotation ) |
3.5.3.5 |
32 | 20 trekanter 12 femkanter |
60 | tredive | 13.835526 | jeg h | ||
| afkortet dodekaeder | t{5,3}
|
( rotation ) |
3.10.10 |
32 | 20 trekanter 12 dekagoner |
90 | 60 | 85.039665 | jeg h | ||
| Afkortet icosahedron | t{3,5}
|
( rotation ) |
5.6.6 |
32 | 12 femkanter 20 sekskanter |
90 | 60 | 55.287731 | jeg h | ||
| Rhombicosidodecahedron (lille rhombicosidodecahedron) |
rr{5,3}
|
( rotation ) |
3.4.5.4 |
62 | 20 trekanter 30 firkanter 12 femkanter |
120 | 60 | 41.615324 | jeg h | ||
| Rhombotrunkeret icosidodecahedron | tr{5,3}
|
( rotation ) |
4.6.10 |
62 | 30 kvadrater 20 sekskanter 12 dekagoner |
180 | 120 | 206,803399 | jeg h | ||
| Snub dodecahedron (snub icosidodecahedron) |
sr{5,3}
|
( rotation ) |
3.3.3.3.5 |
92 | 80 trekanter 12 femkanter |
150 | 60 | 37,616650 | jeg | ||
Nogle definitioner af semi-regulære polyedre omfatter et andet fast stof, den aflange firkantede gyrobicupole eller "pseudo-rhombicuboctahedron" [3] .
Egenskaber
Antallet af toppunkter er lig med forholdet 720° til hjørnedefekten ved toppunktet.
Cuboctahedron og icosidodecahedron er kanthomogene [ og kaldes kvasiregulære .
De dobbelte polyedre af de arkimedeiske faste stoffer kaldes catalanske faste stoffer . Sammen med bipyramider og trapezhedroner er de ensartede kroppe i ansigter med regelmæssige hjørner.
Chiralitet
Snub-terningen og snub-dodekaederet er chirale , fordi de optræder i venstrehåndede og højrehåndede varianter. Hvis noget har flere slags, der er tredimensionelle spejlbilleder af hinanden, kaldes disse former for enantiomorfer (dette navn bruges også om nogle former for kemiske forbindelser ).
Konstruktion af arkimedeiske faste stoffer
De forskellige arkimediske og platoniske faste stoffer kan afledes fra hinanden med en håndfuld operationer. Begyndende med platoniske faste stoffer, kan du bruge hjørneafkortningsoperationen . For at bevare symmetrien er trunkeringen lavet af et plan vinkelret på den lige linje, der forbinder hjørnet med polygonens centrum. Afhængigt af hvor dybt trunkeringen udføres (se tabellen nedenfor), får vi forskellige platoniske og arkimediske (og andre) faste stoffer. Udstrækning eller affasning udføres ved at flytte fladerne (i en retning) væk fra midten (samme afstand for at bevare symmetrien) og derefter skabe et konvekst skrog. Udvidelse med rotation udføres også ved at dreje fladerne, dette bryder de rektangler, der vises på kanternes steder, i trekanter. Den sidste konstruktion, vi præsenterer her, er trunkeringen af både hjørner og kanter. Hvis skalering ignoreres, kan ekspansion også opfattes som hjørne- og kantafskæring, men med et specifikt forhold mellem hjørne- og kantafskæring.
| Symmetri | tetraedrisk |
Octahedral |
icosahedral | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Indledende kropsoperation |
Tegn {p, q}  
|
Tetraeder {3,3} |
Terning {4,3} |
Oktaeder {3,4} |
Dodekaeder {5,3} |
Icosahedron {3,5} |
| Afkortning (t) | t{p, q}
|
afkortet tetraeder |
afkortet terning |
afkortet oktaeder |
afkortet dodekaeder |
Afkortet icosahedron |
| Fuldstændig trunkering (r) Prædikestol (a) |
r{p, q}
|
tetratetraeder |
Cuboctahedron |
icosidodecahedron | ||
| Dyb trunkering (2t) (dk) |
2t{p, q}
|
afkortet tetraeder |
afkortet oktaeder |
afkortet terning |
afkortet icosahedron |
afkortet dodekaeder |
| Dobbelt fuld trunkering (2r) Dobbelt (d) |
2r{p, q}
|
tetraeder |
oktaeder |
terning |
icosahedron |
dodekaeder |
| Affasning (rr) Udstrækning (e) |
rr{p, q}
|
Cuboctahedron |
Rhombicuboctahedron |
rhombicosidodecahedron | ||
| Snub opretning (sr) Opretning (s) |
sr{p, q}
|
snub tetratetraeder |
snub terning |
snub icosidodecahedron | ||
| bevel-truncation (tr) Bevel (b) |
tr{p, q}
|
afkortet oktaeder |
Stumpet cuboctahedron |
Rhombotrunkeret icosidodecahedron | ||
Bemærk dualiteten mellem terningen og oktaederet og mellem dodekaederet og icosaederet. Til dels på grund af tetraederets selvdualitet har kun ét arkimedisk fast stof kun én tetraedrisk symmetri.
Se også
- Aperiodisk flisebelægning
- Archimedes greve
- Liste over ensartede polyedre
- Toroidformet polyeder
- Kvasikrystal
- Halvregulær polyeder
- almindelig polyeder
- Ensartet polyeder
- Icosohedral tvilling
Noter
- ↑ 1 2 3 Grünbaum, 2009 .
- ↑ Field, 1997 , s. 241-289.
- ↑ Malkevitch, 1988 , s. 85.
Litteratur
- Field J. Genopdagelse af det arkimedeiske polyeder: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro og Johannes Kepler // Arkiv for nøjagtige videnskabers historie. - Springer, 1997. - Vol. 50, nej. 3-4. — ISSN 0003-9519 .
- Grunbaum, Branko. En vedvarende fejl // Elemente der Mathematik. - 2009. - Bd. 64, nr. 3. - S. 89-101. - doi : 10.4171/EM/120 . . Genoptrykt i The Best Writing on Mathematics 2010 / Mircea Pitici. — Princeton University Press, 2011. — S. 18–31 .
- Malkevitch, Joseph. . Shaping Space: A Polyhedral Approach / M. Senechal, G. Fleck. - Boston: Birkhäuser, 1988. - S. 80–92.
- Pugh, Anthony. . Polyeder: En visuel tilgang. - Californien: University of California Press Berkeley, 1976. - ISBN 0-520-03056-7 . kapitel 2
- Udaya, Jayatilake. Beregninger på ansigt og toppunkt regelmæssig polyedral // Matematisk Gazette. - 2005. - Bd. 89, nr. 514.—S. 76–81.
- Williams, Robert. . Det geometriske grundlag for naturlig struktur: En kildebog til design . - Dover Publications, Inc., 1979. - ISBN 0-486-23729-X . (Afsnit 3-9)
Links
- Weisstein, Eric W. Archimedean solid (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
- Archimedean Solids Arkiveret 20. februar 2016 ved Wayback Machine af Eric W. Weisstein , Wolfram Demonstrations Project .
- Papirmodeller af Archimedean Solids og Catalan Solids Arkiveret 20. februar 2016 på Wayback Machine
- Gratis papirmodeller(net) af arkimediske faste stoffer Arkiveret 6. februar 2016 på Wayback Machine
- The Uniform Polyhedra Arkiveret 11. februar 2008 ved Wayback Machine af Dr. R. Mader
- Virtual Reality Polyhedra Arkiveret 23. februar 2008 på Wayback Machine , The Encyclopedia of Polyhedra af George W. Hart
- Næstsidste Modular Origami Arkiveret 15. juli 2010 på Wayback Machine af James S. Plank
- Interaktive 3D polyeder i Java
- Solid Body Viewer (utilgængeligt link) En interaktiv 3D polyhedron viewer, der giver dig mulighed for at gemme modellen i svg-, stl- eller obj-format.
- Stella: Polyhedron Navigator Arkiveret 9. juli 2010 på Wayback Machine : Software til billedskabelse, hvoraf mange er vist på denne side.
- Papirmodeller af Archimedean (og andre) polyedre arkiveret 25. januar 2021 på Wayback Machine