Kvasiregulær polyeder

Et kvasi-regulært polyeder (fra latin quas (i) "som", "noget lignende") er et semi-regulært polyeder , der har præcis to typer regelmæssige flader , der skiftevis følger rundt om hvert toppunkt. Disse polytoper er kanttransitive [ , og derfor et skridt tættere på almindelige polytoper end semi-regulære, som kun er vertex-transitive .

Kvasi-regulære figurer

(3.3) 2	(3.4) 2	(3.5) 2	(3.6) 2	(3.7) 2	(3.8) 2	(3.∞) 2
$\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 3 \\ 4 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 3 \\ 5 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 3 \\ 6 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 3 \\ 7 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 3 \\ 8 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 3 \\ \infin \end{Bmatrix}$
r{3,3}	r{3,4}	r{3,5}	r{3,6}	r{3,7	r{3,8	r{3,∞}


Kvasi-regulære polyedre eller flisebelægninger har præcis to typer regelmæssige flader, som er arrangeret skiftevis omkring hvert vertex. Deres toppunkter er rektangler .

Der er kun to konvekse kvasiregulære polyedre, cuboctahedron og icosidodecahedron . Navnene på disse polyedre, givet af Kepler , kommer fra den forståelse, at deres ansigter indeholder alle siderne af det dobbelte par af terninger og oktaeder i det første tilfælde, og det dobbelte par af icosaeder og dodekaeder i det andet.

Disse former, repræsenteret af et par (en regulær polytop og dens dual), kan gives ved det lodrette Schläfli-symbol eller r{p, q} for at repræsentere flader af både regulære {p, q} og dual {q, p} polyedre. Et kvasi-regulært polyeder med dette symbol har en toppunktskonfiguration pqpq (eller (pq) 2 ). $\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$

Mere generelt kan kvasi-regulære figurer have en toppunktskonfiguration (pq) r , der repræsenterer r (2 eller flere) forskellige slags flader omkring toppunktet.

Mosaikker i planet kan også være quasi-regulære, især en trihexagonal flisebelægning med vertex-konfiguration (3.6) 2 . Andre kvasiregulære fliser findes i det hyperbolske plan, såsom den trisemigonale flisebelægning (3.7) 2 . Dette inkluderer (pq) 2 flisebelægninger med 1/p+1/q<1/2.

Nogle almindelige polyedre og flisebelægninger (som har et lige antal flader ved hvert toppunkt) kan også behandles som quasi-regulære ved at dele ansigterne i to sæt (som om vi havde malet dem i forskellige farver). En regulær figur med Schläfli-symbolet {p, q} kan være kvasi-regulær og vil have en toppunktskonfiguration (pp) q/2 , hvis q er lige.

Regelmæssige og næsten regulære figurer

Retvinklede trekanter (s. 2) [1]
{3,4} r{3,3}	{4,4} r{4,4}	{5,4} r{5,5}	{6,4} r{6,6}	{7,4} r{7,7}	{8,4} r{8,8}	{∞,4} r{∞,∞}
$\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 4 \\ 4 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 5 \\ 5 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 6 \\ 6 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 7 \\ 7 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 8 \\ 8 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} \infin \\ \infin \end{Bmatrix}$
(3.3) 2	(4.4) 2	(5.5 2	(6.6 2	(7.7 2	(8.8 2	(∞.∞) 2

	Firkantet parket	4. orden 5-vinkel flisebelægning	4. ordens sekskantede fliser	7-gonal flisebelægning af 4. orden	4. ordens ottekantede fliser	4. ordens ∞-vinkel flisebelægning
Generelle trekanter (s. 3) [2]
{3,6}	{4,6	{5,6	{6,6	{7,6	{8,6	{∞,6}
(3.3) 3	(4.4) 3	(5.5) 3	(6.6) 3	(7.7) 3	(8.8) 3	(∞.∞) 3


Generelle trekanter (s. 4)
{3,8	{4,8	{5,8	{6,8	{7,8	{8,8	{∞,8
(3.3) 4	(4.4) 4	(5.5) 4	(6.6) 4	(7.7) 4	(8.8) 4	(∞.∞) 4


Et regulært polyeder eller flisebelægning kan betragtes som quasi-regulært, hvis det har et lige antal flader ved hvert toppunkt (og derfor kan farves to farver, så naboflader har forskellige farver).

Oktaederet kan betragtes som kvasiregulært som et tetratetraeder , (3 a .3 b ) 2 , med skiftevis farvede trekantede flader. Tilsvarende kan den firkantede flisebelægning (4 a .4 b ) 2 betragtes som quasi-regelmæssig, når den er farvet i stil med et skakternet . Desuden kan overfladerne af en trekantet flisebelægning males i to alternative farver, (3 a .3 b ) 3 .

Wythoffs konstruktion

Regulære ( p \| 2 q ) og kvasi-regulære polytoper ( 2 \| pq ) opnås ved Wythoff-konstruktionen med et generatorpunkt i et af de 3 hjørner af det fundamentale domæne. Dette definerer en enkelt kant inde i det fundamentale område.

Coxeter definerer en kvasi-regulær polytop som en polytop med et Wythoff-symbol af formen p | qr , og det vil være korrekt, hvis q=2 eller q=r [3] .

Coxeter-Dynkin-diagrammer er en anden form for symbolsk repræsentation, der giver dig mulighed for at vise forholdet mellem to dobbelt-regulære former:

Schläfli symbol		Wythoff symbol
$\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}$	{p, q}	q \| 2 p
$\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}$	{q, p}	p \| 2 q
$\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$	r{p, q}	2 \| pq

Konvekse kvasi-regulære polyedre

Der er to konvekse kvasi-regulære polyedre:

Cuboctahedron , toppunktskonfiguration (3.4) 2 , Coxeter-Dynkin diagram $\begin{Bmatrix} 3 \\ 4 \end{Bmatrix}$
Icosidodecahedron , toppunktskonfiguration (3.5) 2 , Coxeter-Dynkin diagram $\begin{Bmatrix} 3 \\ 5 \end{Bmatrix}$

Derudover kan oktaederet , som også er regulært , , med toppunktskonfiguration (3.3) 2 , også betragtes som quasi-regulært, hvis de tilstødende flader får forskellige farver. I denne form kaldes det nogle gange et tetratetraeder. De resterende konvekse regulære polytoper har et ulige antal flader ved hvert toppunkt og kan ikke farves på en sådan måde, at det sikres, at kanterne er transitive. Tetratetraederet har et Coxeter-Dynkin-diagram $\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}$ .

Hver af dem danner den fælles kerne af det dobbelte par af regulære polyedre . Navnene på (to af) disse kerner minder om beslægtede dobbeltpar, henholdsvis terning + oktaeder og icosaeder + dodekaeder . Oktaederet er kernen i det dobbelte par af tetraedre , og når det er fremstillet på denne måde, kaldes det normalt et tetratetraeder .

Ret	Dobbelt korrekt	Næsten korrekt	Vertex figur
Tetraeder {3,3} 3 \| 2 3	Tetraeder {3,3} 3 \| 2 3	Tetratetrahedron r{3,3} 2 \| 3 3	3.3.3.3
Terning {4,3} 3 \| 24	Oktaeder {3,4} 4 \| 2 3	Cuboctahedron r{3,4} 2 \| 3 4	3.4.3.4
Dodekaeder {5,3} 3 \| 25	Icosahedron {3,5} 5 \| 2 3	Icosidodecahedron r{3,4} 2 \| 3 5	3.5.3.5

Hver af disse kvasi-regulære polyedre kan konstrueres ved at afkorte begge forældre fuldstændigt, afkorte kanterne fuldstændigt, indtil de bliver til punkter.

Kvasi-regulære flisebelægninger

Denne sekvens fortsættes af den tresekskantede flisebelægning med toppunkt figur 3.6.3.6 , en kvasi-regulær flisebelægning baseret på den trekantede flisebelægning og den sekskantede flisebelægning .

regulær polygon	Dobbelt korrekt	Næsten korrekt	Vertex figur
sekskantet flisebelægning {6,3} 6 \| 2 3	trekantet flisebelægning {3,6} 3 \| 26	trihexagonal flisebelægning r{5,3} 2 \| 3 6	3.6.3.6

Skakternetmønsteret er en næsten-regelmæssig farvning af den firkantede flisebelægning med topstykke 4.4.4.4 :

regulær polygon	Dobbelt korrekt	Næsten korrekt	Vertex figur
{4,4} 4 \| 24	{4,4} 4 \| 24	r{4,4} 2 \| 4 4	4.4.4.4

En trekantet flisebelægning kan også betragtes som quasi-regelmæssig, med tre sæt af alternerende trekanter ved hvert toppunkt, (3.3) 3 :

h{6,3} 3 \| 3 3 =

På det hyperbolske plan ( Lobachevsky-planet ) fortsætter denne sekvens yderligere, for eksempel er den trisemigonale flisebelægning med toppunktsfigur 3.7.3.7 en kvasi-regulær flisebelægning baseret på den 7. ordens trekantede flisebelægning og den heptagonale flisebelægning .

regulær polygon	Dobbelt korrekt	Næsten korrekt	Vertex figur
Heptagonal flisebelægning {7,3} 7 \| 2 3	Trekantet parket {3,7} 3 \| 27	Trisemigonal flisebelægning [ r{3,7} 2 \| 3 7	3.7.3.7

Ikke-konvekse eksempler

Coxeter et al. (1954) klassificerede også nogle stjerneformede polyedre med kvasi-regulære karakteristika:

De to polyedre er baseret på to par af regulære Kepler-Poinsot faste stoffer .

Great icosidodecahedron og dodecodecahedron : $\begin{Bmatrix} 3 \\ 5/2 \end{Bmatrix}$ $\begin{Bmatrix} 5 \\ 5/2 \end{Bmatrix}$

Ret	Dobbelt korrekt	Næsten korrekt	Vertex figur
Stort stjernedodekaeder { 5 / 2,3 } 3 \| 2 5/2	Store ikosaeder { 3 , 5/2 } 5/2 \| 2 3	Great icosidodecahedron r{ 3 , 5/2 } 2 \| 3 5/2	3.5 / 2.3 . _ 5/2 _ _
Lille stjernedodekaeder { 5 / 2,5 } 5 \| 2 5/2	Store dodekaeder { 5 , 5/2 } 5/2 \| 25	Dodecodecahedron r{ 5 , 5/2 } 2 \| 5 5/2	5,5 / 2,5 . _ 5/2 _ _

Endelig er der tre bitrigonale typer, hvis topfigurer indeholder tre skiftende ansigtstyper:

Billede	Polyedernavn Wythoff symbol Coxeter diagram	Vertex figur
	Bitriangulær dodecodedecahedron [ 3 \| 5/3 5 eller	(5,5/3) 3
	Lille bitriangulær icosidodecahedron [ 3 \| 5/2 3 eller	(3,5/2) 3
	Store bitriangulære icosidodecahedron [ 3/2 \| 35 eller	((3,5) 3 )/2

Kvasiregulære dualer

Nogle forfattere udtrykker den opfattelse, at da de dobbelte polyedre til quasi-regulære polyedre har de samme symmetrier, bør disse dobbeltlegemer også betragtes som quasi-regulære, men ikke alle matematikere er af denne opfattelse. Disse dobbelte polyedre er transitive med hensyn til deres kanter og flader (men ikke deres hjørner). De er kanttransitive catalanske faste stoffer . Konvekse former, i henhold til rækkefølgen af polyederet (som ovenfor):

Rhombisk dodekaeder med to typer vekslende hjørner, 8 hjørner med 3 rombeflader og 6 hjørner med 4 rombeflader.
Et rhombotriacontahedron med to typer vekslende spidser, 20 spidser med tre rhombiske flader og 12 spidser med fem rhombiske flader.

Da terningen også er dobbelt med oktaederet, kan den , som er regulær , gøres kvasi-regulær ved at farve sine spidser med to farver, så spidserne på samme kant har forskellige farver.

Deres ansigtskonfiguration har formen V3.n.3.n og Coxeter-Dynkin-diagrammet


Terning V(3.3) 2	Rhombicodecahedron V(3.4) 2	Rhombotri -acontahedron V(3.5) 2	Rhombisk flisebelægning V(3.6) 2	V(3,7) 2	V(3,8) 2

Disse tre kvasi-regulære dobbelte polyedre er kendetegnet ved tilstedeværelsen af rombeansigter .

Denne rombiske ansigtsstruktur fortsætter V(3.6) 2 , en rombisk flisebelægning .

Kvasi-regulære polytoper i 4-dimensionelt rum og kvasi-regulære honeycombs

I det euklidiske 4-dimensionelle rum kan en regulær hex -celle betragtes som kvasi-regulær som en alternerende tesserakt , h{4,3,3}, Coxeter-Dynkin-diagrammer :=, bestående af alternerende tetraedriske og tetraedriske celler . Dens toppunktsfigur er et kvasiregulært tetratetraeder (et oktaeder med tetraedrisk symmetri),.

De eneste kvasi-regulære bikager i det euklidiske 3-rum er de alternerende kubiske bikager , h{4,3,4}, Coxeter-Dynkin-diagram:=, bestående af alternerende tetraedriske og oktaedriske celler . Deres toppunktsfigurer er quasi-regulære cuboctaedrons , [4] .

I et hyperbolsk 3-dimensionelt rum er kvasi-regulære honeycombs de alternerende kubiske honeycombs af 5. orden , h{4,3,5}, Coxeter-Dynkin-diagrammer:=, sammensat af skiftende tetraedriske og icosaedriske celler . Topfiguren er et kvasi-regulært icosidodecahedron ,. De tilhørende parakompakte 6. ordens alternerende kubiske honeycombs , h{ 4,3,6 } har skiftende tetraedriske og sekskantede fliseceller med en toppunktsfigur, der er en trihexagonal flisebelægning ..

Kvasi-regulære polytoper og honningkager: h{4,p,q}

Plads	endelig	affine	kompakt	Paracompact
Navn	h{4,3,3}	h{4,3,4}	h{4,3,5}	h{4,3,6}	h{4,4,3}	h{4,4,4}
Navn	$\left\{3,{3\top3}\right\}$	$\left\{3,{3\top4}\right\}$	$\left\{3,{3\top5}\right\}$	$\left\{3,{3\top6}\right\}$	$\left\{4,{3\top4}\right\}$	$\left\{4,{4\top4}\right\}$
Coxeter diagram


Billede
Toppunktsfigur r{p , 3}

Du kan reducere symmetrien af almindelige polyedriske honningkager af formen {p,3,4} ellerhvordanog få en næsten korrekt form, skaber alternativ farvning af {p,3} celler. Dette kan gøres for euklidiske kubiske honeycombs {4,3,4} med kubiske celler, for kompakte hyperbolske honeycombs {5,3,4} med dodekaedriske celler og for parakompakte honeycombs {6,3,4} med endelige sekskantede fliseceller . De har fire celler rundt om hver kant, skiftevis malet i 2 farver. Deres toppunktsfigurer er kvasiregulære tetraedre,=.

Regulære og kvasi-regulære celler: {p,3,4} og {p,3 1,1 }

Plads	Euklidisk 4-dimensionel	Euklidisk 3-dimensionel	Hyperbolsk 3-dimensionel
Navn	{3,3,4} {3,3 1,1 } = $\left\{3,{3\top3}\right\}$	{4,3,4} {4,3 1,1 } = $\left\{4,{3\top3}\right\}$	{5,3,4} {5,3 1,1 } = $\left\{5,{3\top3}\right\}$	{6,3,4} {6,3 1,1 } = $\left\{6,{3\top3}\right\}$
Coxeter diagram	=	=	=	=
Billede
Celler {s,3}

På samme måde kan man halvere symmetrien af regulære hyperbolske honningkager af formen {p,3,6} ellerhvordanog få en næsten korrekt form, indstiller den alternative farvning af {p,3} celler. De har seks celler rundt om hver kant, skiftevis malet i 2 farver. Deres toppunktsfigurer er kvasi-regulære trekantede tesseller ,.

Hyperbolske ensartede honningkager : {p,3,6} og {p,3 [3] }

Udsigt	Paracompact				Ikke-kompakt
Navn	{3,3,6} {3,3 [3] }	{4,3,6} {4,3 [3] }	{5,3,6} {5,3 [3] }	{6,3,6} {6,3 [3] }	{7,3,6} {7,3 [3] }	{8,3,6} {8,3 [3] }	... {∞,3,6} {∞,3 [3] }

Billede
celler	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Se også

Noter

↑ Grundflade i form af en retvinklet trekant
↑ Grundlæggende område i form af en generel trekant
↑ Coxeter, Longuet-Higgins, Miller, 1954 , s. 401-450.
↑ Coxeter, 1973 , s. 69, 88.

Litteratur

P. Cromwell. Polyeder. - Storbritannien: Cambridge University Press, 1997. - ISBN 0-521-55432-2 .
HSM Coxeter . Almindelige polytoper . — 3. udgave. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 . (s.17 Kapitel 2.3: Kvasi-regulære polyeder, s. 69 Kvasi-regulære honeycombs s. 69
HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins, JCP Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Serie A. Matematiske og fysiske videnskaber. - Det Kongelige Selskab, 1954. - T. 246 , Nr. 916 . — S. 401–450 . — ISSN 0080-4614 . doi : 10.1098/ rsta.1954.0003 . — . (Afsnit 7, De regulære og kvasi-regulære polyedre p | qr )

Ret	Dobbelt korrekt	Næsten korrekt	Vertex figur
Tetraeder {3,3} 3 \| 2 3	Tetraeder {3,3} 3 \| 2 3	Tetratetrahedron r{3,3} 2 \| 3 3	3.3.3.3
Terning {4,3} 3 \| 24	Oktaeder {3,4} 4 \| 2 3	Cuboctahedron r{3,4} 2 \| 3 4	3.4.3.4
Dodekaeder {5,3} 3 \| 25	Icosahedron {3,5} 5 \| 2 3	Icosidodecahedron r{3,4} 2 \| 3 5	3.5.3.5