Operation "Snub"

To snævre arkimedeanske faste stoffer

snub cube eller snub cuboctahedron	Snub dodecahedron eller snub icosidodecahedron

Snub - operationen eller vertex-klipning er en operation, der anvendes på polyedre. Udtrykket kom fra de navne, som Kepler gav til to arkimedeiske faste stoffer - snub terning (cubus simus) og snub dodecahedron (dodecaedron simum) [1] . Generelt har snub-former to slags chiral symmetri, med uret og mod uret. Ifølge Keplers navne kan toppunktbeskæring ses som en strækning af et regulært polyeder, når de oprindelige flader flyttes væk fra midten og roteres omkring centrene, tilføjes polygoner centreret ved disse hjørner i stedet for de oprindelige hjørner, og par af trekanter udfylder mellemrummet mellem de originale kanter.

Terminologien blev generaliseret af Coxeter med en lidt anderledes definition for et bredere sæt af ensartede polyedre .

Operation "snub" Conway

John Conway udforskede generaliserede operationer på polyedre og definerede det, der nu kaldes Conways notation for polyedre , som kan anvendes på polyedre og fliser. Conway kaldte Coxeters operation semi-snub (semi-snub) [2] .

I denne notation er snub defineret som sammensætningen af dual- og gyrooperatorerne, , og svarer til sekvensen af alternerende , trunkerings- og ambo- operatorer . Conways notation undgår den vekslende operation, da den kun gælder for polyedre med flader, der har et lige antal sider. $s=dg$

Snub almindelige figurer

	Polyeder			Euklidiske fliser		Hyperbolske fliser
Conway notation	ST	sC = sO	sI = sD	sQ	sH = sΔ	sΔ7 _
snub polyhedron	Tetraeder	Terning eller oktaeder	Icosahedron eller Dodecahedron	firkantet mosaik	Sekskantet mosaik eller trekantet mosaik	Heptagonal flisebelægning eller trekantet flisebelægning af størrelsesorden 7
snub polyhedron
Billede

I 4-dimensionelle rum mener Conway, at en snub 24-celle skal kaldes en semi -snub 24-celle, fordi den ikke repræsenterer en alternerende trunkeret 24-celle som sin pendant i 3-dimensionelle rum. I stedet er det en alternerende trunkeret 24-celle [3] .

Coxeters "snub"-operationer, regelmæssige og quasi-regulære

Snub terning afledt af en terning eller cuboctahedron

original krop	Fuldt afkortet polyeder r	Afkortet polyeder t	Alterneret polyeder h
terning	Cuboctahedron fuld afkortet terning	Trunkeret Cuboctahedron Trunkeret terning	Snub cuboctahedron Snub afkortet terning
C	CO rC	tCO trC eller trO	htCO = sCO htrC = srC
{4,3}	${\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix))$ eller r{4,3}	$t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ eller tr{4,3}	$ht{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ htr{4,3} = sr{4,3}
	eller	eller	eller

Coxeters terminologi "snub" (vertex klipning) er noget anderledes og betyder alternerende trunkering , ifølge hvilken snub cube opnås ved snub (vertex clipping) operationen fra cuboctahedron og snub dodecahedron fra icosidodecahedron . Denne definition bruges i navnene på to Johnson solids - snub biclinoid og snub square antiprism , såvel som i navnene på højere-dimensionelle polyedre, såsom 4-dimensional snub 24-cell .eller s{3,4,3}.

Regelmæssig polyeder (eller flisebelægning) med Schläfli-symbol og Coxeter-diagram $\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}$ har trunkering defineret som med diagram $t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix))$ , og en snub-form defineret som en alternerende trunkering med et Coxeter-diagram $ht{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$ . Denne konstruktion kræver, at q er jævn.

Kvasiregulær polyeder eller r { p , q }, med Coxeter-diagram $\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$ ellerhar en kvasi-regulær trunkering defineret som eller tr { p , q } (med et Coxeter-diagram $t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix))$ eller) og en kvasiregulær snub, defineret som en alternerende trunkering af en fuld trunkering eller htr { p , q } = sr { p , q } (med et Coxeter-diagram $ht{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$ eller).

For eksempel er Kepler- snub-terningen opnået fra en kvasi-regulær cuboctahedron med et lodret Schläfli-symbol (og et Coxeter-diagram ${\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix))$ ) og mere præcist kaldet snub cuboctahedron , som udtrykkes ved Schläfli-symbolet (med Coxeter-diagrammet $s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix))$ ). Den snub cuboctahedron er en vekselvirkning af den trunkerede cuboctahedron ( $t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ ).

Regulære polyedre med jævn toppunktsrækkefølge kan også reduceres til en snub form som en vekslende trunkering, svarende til snub octahedron ( $s{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix))$ ) (og snub tetrathetahedron , $s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}$ ) repræsenterer et pseudoicosahedron , et regulært icosahedron med pyrithedral symmetri . Det snubte oktaeder er en vekslende form af det trunkerede oktaeder , ( $t{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix))$ ), eller i form af tetraedrisk symmetri: og $t{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}$ .

	Afkortet t	Skiftede h
Octahedron O	Afskåret oktaeder til O	Snub oktaeder htO eller sO
{3,4}	t{3,4}	ht{3,4} = s{3,4}

Coxeters vertex (næse) beskæring gør det også muligt at definere en n - antiprisme som enten baseret på n-prismer eller , og er et regulært osohedron , et degenereret polyeder, der er en gyldig flisebelægning på en kugle med diangulære eller månelignende flader. $s{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix))$ $s{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}$ $t{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix))$ $t{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}$ ${\begin{Bmatrix}2,n\end{Bmatrix))$

Snub osohedra , {2,2p}

Billede
Coxeter diagrammer							... ...
Schläfli symbol	s{2,4}	s{2,6}	s{2,8}	s{2,10}	s{2,12}	s{2,14	s{2,16} ...	s{2,∞}
Schläfli symbol	sr{2,2} $s{\begin{Bmatrix}2\\2\end{Bmatrix}}$	sr{2,3} $s{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}$	sr{2,4} $s{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}$	sr{2,5} $s{\begin{Bmatrix}2\\5\end{Bmatrix}}$	sr{2,6} $s{\begin{Bmatrix}2\\6\end{Bmatrix}}$	sr{2,7} $s{\begin{Bmatrix}2\\7\end{Bmatrix}}$	sr{2,8}... ... $s{\begin{Bmatrix}2\\8\end{Bmatrix}}$	sr{2,∞} $s{\begin{Bmatrix}2\\\infty \end{Bmatrix}}$
Conway notation	A2=T	A3=O	A4	A5	A6	A7	A8...	A∞

Den samme proces gælder for flisebelægninger:

Trekantet flisebelægning Δ	Afkortet trekantet flisebelægning tΔ	Snub trekantet flisebelægning htΔ = sΔ
{3,6}	t{3,6}	ht{3,6} = s{3,6}

Eksempler

Snubbefigurer på {s,4}

Plads	sfærisk		Euklidisk	hyperbolsk
Billede
Coxeter diagram								...
Schläfli symbol	s{2,4}	s{3,4}	s{4,4}	s{5,4	s{6,4	s{7,4	s{8,4	... s{∞,4}

Kvasiregulære snub-tal baseret på r{p,3}

Plads	sfærisk				Euklidisk	hyperbolsk
Billede
Coxetere diagram								...
Schläfli symbol	sr{2,3}	sr{3,3}	sr{4,3}	sr{5,3}	sr{6,3}	sr{7,3	sr{8,3	... sr{∞,3}
Schläfli symbol	$s{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix))$	$s{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}6\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}7\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}8\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}\infty \\3\end{Bmatrix))$
Conway notation	A3	ST	sC eller sO	SD eller SI	sΗ eller sΔ

Kvasi-regulære snub-former baseret på r{p,4}

Plads	sfærisk		Euklidisk	hyperbolsk
Billede
Coxeter diagram								...
Schläfli symbol	sr{2,4}	sr{3,4}	sr{4,4}	sr{5,4	sr{6,4	sr{7,4	sr{8,4	... sr{∞,4}
Schläfli symbol	$s{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmatrix))$	$s{\begin{Bmatrix}4\\4\end{Bmatrix))$	$s{\begin{Bmatrix}5\\4\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}6\\4\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}7\\4\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}8\\4\end{Bmatrix))$	$s{\begin{Bmatrix}\infty \\4\end{Bmatrix))$
Conway notation	A4	sC eller sO	sQ

Inhomogene snob polyedre

Inhomogene polyedre, for hvilke et lige antal kanter konvergerer ved toppunkter, kan have toppunktsklipning, herunder nogle uendelige sæt, for eksempel:

Snub bipyramids sdt{2,p}

Snub firkantet bipyramide


Snub sekskantet bipyramide

Snub trunkerede bipyramider srdt{2,p}

Snub antiprismer {2,2p}

Billede				...
Schläfli symbol	ss{2,4}	ss{2,6}	ss{2,8}	ss{2,10}...
Schläfli symbol	ssr{2,2} $ss{\begin{Bmatrix}2\\2\end{Bmatrix))$	ssr{2,3} $ss{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix))$	ssr{2,4} $ss{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}$	ssr{2,5}... $ss{\begin{Bmatrix}2\\5\end{Bmatrix))$

Homogene stjerneformede Coxeter polyeder

Snub stjerneformede polyedre er konstrueret ved hjælp af Schwartz trekanten (pqr) med rationelle spejle, hvor alle spejle er aktive og alternerende.

Snub ensartet stjerneformet polyedre

s{3/2,3/2}	s{(3,3,5/2)	sr{5,5/2	s{(3,5,5/3)	sr{5/2,3
sr{5/3,5	s{(5/2.5/3.3)	sr{5/3,3	s{(3/2,3/2,5/2)	s{3/2,5/3}

Snub polytoper og Coxeter honeycombs i højdimensionelle rum

Generelt almindelige 4-dimensionelle polytoper med Schläfli - symbolet og Coxeter-diagrammet ${\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix))$ har en snub form med et udvidet Schläfli symbol og diagram $s{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix))$ .

Fuldt afkortet polytop = r{p,q,r} , og ${\begin{Bmatrix}p\\q,r\end{Bmatrix))$ har snub-symbol = sr{p,q,r} , og $s{\begin{Bmatrix}p\\q,r\end{Bmatrix))$ .

Eksempler

Der er kun ét ensartet snæver polyeder i det 4-dimensionelle rum, 24-cellet snæver . En almindelig 24-celle har et Schläfli-symbol og et Coxeter-diagram ${\begin{Bmatrix}3,4,3\end{Bmatrix}}$ , og snub 24-cellen er repræsenteret af symbolet og Coxeter diagrammet $s{\begin{Bmatrix}3,4,3\end{Bmatrix))$ . Den har også en lavere symmetrikonstruktion med indeks 6 som eller s{3 1,1,1 } og $s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\end{array}}\right\}$ , og symmetri med indeks 3 som eller sr{3,3,4}, $s{\begin{Bmatrix}3\\3,4\end{Bmatrix}}$ eller.

Relaterede Snub 24-celle honeycombs kan opfattes som eller s{3,4,3,3}, $s{\begin{Bmatrix}3,4,3,3\end{Bmatrix))$ , en krop med lavere symmetri som eller sr{3,3,4,3} ( $s{\begin{Bmatrix}3\\3,4,3\end{Bmatrix))$ eller), og med mindst symmetri som eller s{3 1,1,1,1 } ( $s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\\3\end{array}}\right\}$ ).

Euklidiske honeycombs er alternerende sekskantede plade-bikager , s{2,6,3} () eller sr{2,3,6} () eller sr{2,3 [3] } ().

Andre euklidiske (ligesidede) honeycombs er de alternerende firkantede plade-bikager s{2,4,4} (og) eller sr{2,4 1,1 } ():

De eneste ensartede, hyperbolske bikager er hexagonale bikager , s{3,6,3} og, som også kan konstrueres som Alterneret hexagonal flisebelagt honeycomb , h{6,3,3},. Den er også konstrueret som s{3 [3,3] } og.

Andre hyperbolske (ligekantede) honeycombs er snub- oktaedriske honeycombs af orden 4 , s{3,4,4} og.

Se også

snub polyeder

Operationer på polyedre

Fonden	trunkering	fuld afkortning	Dyb trunkering	Dualitet _	udstrækning	Trunkering	Alternation


t 0 {p, q} {p, q}	t 01 {p,q} t{p, q}	t 1 {p, q} r{p, q}	t 12 {p,q} 2t{p, q}	t 2 {p, q} 2r{p, q}	t 02 {p,q} rr{p, q}	t 012 {p,q} tr{p, q}	ht 0 {p,q} h{q, p}	ht 12 {p,q} s{q, p}	ht 012 {p,q} sr{p, q}

Noter

↑ Kepler , Harmonices Mundi , 1619
↑ Conway, 2008 , s. 287.
↑ Conway, 2008 , s. 401.

Litteratur

HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins, JCP Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Serie A. Matematiske og fysiske videnskaber. - Det Kongelige Selskab, 1954. - T. 246 , Nr. 916 . — S. 401–450 . — ISSN 0080-4614 . doi : 10.1098/ rsta.1954.0003 . — .
Coxeter, HSM 8.6 Delvis trunkering eller alternering // Regelmæssige polytoper . — 3. - 1973. - S. 154-156 . — ISBN 0-486-61480-8 .
Coxeter . Tabel I og II: Almindelige polytoper og honningkager //Almindelige polytoper . — 3. ed.. - Dover Publications, 1973. - s . 154-156 . — ISBN 0-486-61480-8 .
HSM Coxeter . Kalejdoskoper: Udvalgte skrifter af HSM Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
- (Paper 17) Coxeter , The Evolution of Coxeter-Dynkin diagrams , [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
- (Paper 22) HSM Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2.10]
- (Paper 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Paper 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
HSM Coxeter . Kapitel 3: Wythoffs konstruktion for ensartede polytoper // Geometriens skønhed: tolv essays . - Dover Publications, 1999. - ISBN 0-486-40919-8 .
NW Johnson . Uniforme polytoper. - 1991. - (Manuskript).
- NW Johnson . Teorien om ensartede polytoper og honningkager. - University of Toronto, 1966. - (Ph.D.-afhandling).
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Tingenes symmetrier. - 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
Weisstein, Eric W. Snubification (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Richard Klitzing. Snubs, alternerede facetter og Stott-Coxeter-Dynkin-diagrammer // Symmetri: Culture and Science. - 2010. - T. 21 , no. 4 . — S. 329–344 .