Kurve

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 21. maj 2022; verifikation kræver 1 redigering .

En kurve eller linje er et geometrisk begreb, der er defineret forskelligt i forskellige dele af matematikken .

Elementær geometri

Inden for rammerne af elementær geometri får begrebet en kurve ikke en særskilt formulering. For eksempel blev det i Euklids "Elementer" defineret som "længde uden bredde", og nogle gange blev det også defineret som "grænsen til en figur."

I det væsentlige, i elementær geometri, er studiet af kurver reduceret til overvejelse af eksempler ( ret linje , segment , brudt linje , cirkel osv.). I mangel af generelle metoder trængte elementær geometri ret dybt ind i studiet af egenskaberne af betonkurver ( keglesnit , nogle algebraiske kurver af højere orden og nogle transcendentale kurver ), idet der blev anvendt specielle teknikker i hvert enkelt tilfælde.

Definition i topologi

Linjesegmentvisning

Mest almindeligt er en kurve defineret som en kontinuerlig kortlægning fra et linjestykke til et topologisk rum :

\gamma \colon [a,b]\to X

I dette tilfælde kan kurverne være forskellige, selvom deres billeder er de samme. Sådanne kurver kaldes parametriserede kurver eller, hvis , stier . $[a,b]=[0,1]$

Ækvivalensrelation

Nogle gange defineres en kurve op til en reparametrisering , det vil sige op til et minimumsækvivalensforhold , således at de parametriske kurver

\gamma _{1}\colon [a_{1},b_{1}]\to X

\gamma _{2}\colon [a_{2},b_{2}]\to X

er ækvivalente, hvis der eksisterer en kontinuerlig monoton funktion (nogle gange ikke-aftagende) fra segmentet til segmentet , således at $h$ $[a_{1},b_{1}]$ $[a_{2},b_{2}]$

\gamma _{1}\equiv \gamma _{2}\circ h.

Ækvivalensklasserne defineret af denne relation kaldes ikke-parametriserede kurver eller blot kurver .

Kommentar

Ovenstående definition giver os i høj grad mulighed for at formidle vores intuitive idé om en kurve som noget "tegnet uden at løfte blyanten", forudsat at det er muligt at tegne uendeligt lange snit. Det skal bemærkes, at mange figurer, der er svære at betragte som kurver, også kan "tegnes uden at løfte blyanten".

For eksempel er det muligt at konstruere en sådan kontinuerlig afbildning af et segment til et plan, at dets billede fylder en firkant (se Peano-kurve ). Desuden ifølge Mazurkiewicz's sætning er ethvert kompakt forbundet og lokalt forbundet topologisk rum et kontinuerligt billede af et segment. Således er ikke kun en firkant , men også en terning af et vilkårligt antal dimensioner og endda en Hilbert-klods kontinuerlige billeder af et linjestykke.

Da ét billede (figur) kan opnås ved forskellige kortlægninger af et segment (kurver), kan en kurve i det generelle tilfælde ikke defineres som et kontinuerligt billede af et segment, medmindre der pålægges yderligere begrænsninger for kortlægningen.

Curve Jordan

En Jordan -kurve eller en simpel kurve er billedet af en kontinuerlig injektiv kortlægning ( indlejring ) af en cirkel eller et segment i rummet. I tilfælde af en cirkel kaldes kurven en lukket Jordan-kurve , og i tilfælde af et segment kaldes den en Jordan-bue .

Den velkendte Jordan-sætning siger, at enhver lukket Jordan-kurve på et plan opdeler den i en "indre" og en "ydre" del.

Jordan-kurven er et ret komplekst objekt. For eksempel er det muligt at konstruere en plan Jordan-kurve med et Lebesgue -mål, der ikke er nul , hvilket blev udført af Osgood [1] i analogi med Peano-kurven .

Definition i analyse

I matematisk analyse bruges ofte definitionen af en glat kurve . Lad os først definere en plan kurve (det vil sige en kurve i ). Lad og være funktioner på intervallet , som er kontinuerligt differentiable på dette interval og sådan, at for ingen t er lig med nul. Så definerer kortlægningen en kurve, der er glat; en ikke-parametriseret kurve siges at være glat, hvis den tillader en sådan parametrisering. Længden af en glat kurve kan beregnes ved hjælp af formlen $\mathbb R^2$ $x(t)$ $y(t)$ $[a,b]$ $(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}$ $\gamma :[a,b]\til {\mathbb R}^{2},t\mapsto (x(t),y(t))$

{\text{L}}(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} }\,dt.

Denne definition kan generaliseres til afbildninger til andre rum, såvel som til afbildninger af en anden klasse af glathed, se nedenfor.

Definition i differentialgeometri

Hvis er en glat manifold , kan man definere en glat kurve på som et glat kort , hvis differentiale ingen steder forsvinder. Hvis glathedsklassen af manifolden er , så introduceres -kurven som en kurve, for hvilken er en gange kontinuerligt differentierbar mapping. Hvis er en analytisk manifold (for eksempel euklidisk rum ) og er et analytisk kort , kaldes kurven analytisk. $x$ $x$ $\gamma \colon [a,b]\to X$ $x$ $k$ $C_{k}$ $\gamma$ $k$ $x$ $\gamma$

Glatte kurver og kaldes ækvivalente, hvis der eksisterer en diffeomorfisme (parameterændring), sådan at . Ækvivalensklasser med hensyn til denne relation kaldes ikke-parametriserede glatte kurver. $\gamma _{1}\colon I\to X$ $\gamma _{2}\colon J\to X$ $p\colon I\to J$ $\gamma_1=\gamma_2\cirk s$

Algebraiske kurver

Algebraiske kurver studeres i algebraisk geometri . En plan algebraisk kurve er et sæt punkter med koordinater x , y , et givet sæt løsninger til ligningen f ( x , y ) = 0, hvor f er et polynomium i to variable med koefficienter i feltet F . I algebraisk geometri tager man normalt ikke kun hensyn til punkter, hvis koordinater hører til F , men også punkter med koordinater i den algebraiske lukning af F . Hvis C er en plan algebraisk kurve, således at koefficienterne for polynomiet, der definerer den, ligger i feltet F , kaldes det en kurve defineret over F. Punkter i en kurve defineret over F , hvis koordinater alle tilhører G , kaldes rationelle over G (eller blot G -punkter). Eksempel: kurven x 2 + y 2 + 1 = 0, defineret over reelle tal, har punkter, men ingen af dem er et reelt punkt.

Algebraiske kurver kan også defineres i højere dimensionelle rum ; de er defineret som et sæt af løsninger til et system af polynomialligninger .

Enhver plankurve kan færdiggøres til en kurve i det projektive plan . Hvis en plan kurve er defineret af et polynomium f ( x , y ) af fuld grad d , så er polynomiet

z^{d}\cdot f(x/z,y/z)

efter parentes udvidelse simplificeres til et homogent polynomium f ( x , y , z ) af grad d . Værdier x , y , z således at f ( x , y , z ) = 0 er homogene koordinater for færdiggørelsen af den plane kurve, mens punkterne i den oprindelige kurve er de punkter, for hvilke z ikke er lig med nul. Eksempel: Fermat-kurven x n + y n = z n i affin form bliver x n + y n = 1. Processen med overgang fra en affin kurve til en projektiv kan generaliseres til højere dimensioner.

Almindelige eksempler på plane kurver er koniske (kurver af anden orden) og elliptiske kurver , som har vigtige anvendelser i kryptografi . Som eksempler på algebraiske kurver givet ved ligninger af højere grader, kan man angive følgende:

Kurver af fjerde orden: Bernoullis lemniscat og Cassinis oval .
Kurver af sjette orden: astroid og nefroideum .
Kurve defineret af en ligning af vilkårlig lige grad: (multifokal) lemniscate .

Transcendente kurver

Transcendentale kurver er kurver, der ikke er algebraiske. Mere præcist er transcendentale kurver kurver, der kan defineres som niveaulinjen for en analytisk , men ikke en algebraisk funktion (eller, i det flerdimensionale tilfælde, et system af funktioner). Eksempler på transcendentale kurver:

Kurvetyper

En lukket kurve er en kurve, hvis begyndelse falder sammen med enden.
En plankurve er en kurve, hvis punkter alle ligger i samme plan.
En simpel kurve er det samme som en Jordan-kurve.
En sti er en kontinuerlig kortlægning af et segment til et topologisk rum . $[0,1]$

Typer af punkter på en kurve

Generaliserede kurver

En mere generel definition af en kurve for flyet tilfælde blev givet af Cantor i 1870'erne:

En Cantor-kurve er en kompakt forbundet delmængde af planet, således at dens komplement er tæt overalt .

Et vigtigt eksempel på en Cantor-kurve er Sierpinski-tæppet . Uanset Cantor-kurven , kan den indlejres i et Sierpinski-tæppe, det vil sige, at Sierpinski-tæppet indeholder en undergruppe , der er homøomorf til . Sierpinski-tæppet er således en universel flad Cantor-kurve. $L$ $L'$ $L$

Denne definition blev efterfølgende generaliseret af Uryson :

En Urysohn-kurve er et forbundet kompakt topologisk rum af topologisk dimension 1. $C$

Sierpinski-tæppet opfylder denne definition, så enhver Cantor-kurve er også en Urysohn-kurve. Omvendt, hvis et fladt tilsluttet kompakt sæt er en Urysohn-kurve, så er det en Cantor-kurve.

Se også

Noter

↑ WF Osgood. En Jordan-kurve med positivt areal (engelsk) // Trans. Er. Matematik. Soc.. - 1903. - Bd. 4 . — S. 107–112 .

Litteratur

Boltjanskij V.G. , Efremovich V.A. Visuel topologi. — M .: Nauka, 1982. — 160 s.
Burago D. Yu., Burago Yu. D., Ivanov S. V. Et kursus i metrisk geometri. - Moskva, Izhevsk: Institut for computerforskning, 2004. - 496 s. — (Moderne matematik). — ISBN 5-93972-300-4 .
Matematisk encyklopædisk ordbog . M. " Sovjetisk encyklopædi " , 1988
Curves // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.

Links

Ætsende _
Overflader , kurver
specielle plankurver [1] (rus.)

Kurver

Definitioner

Forvandlet

Ikke-plan

Flad
algebraisk

Keglesnit

3. orden ( kubisk )

Elliptisk	Elliptisk kurve Jacobi elliptiske funktioner Elliptisk integral Elliptiske funktioner
Andet	Verziera Agnesi Kartesisk ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Semikubisk parabel Trident Cissoid af Diocles

4. orden

Lemniscates

Tilnærmelse

Spline
- B-spline
- Kubik
- monospline
- Udglatning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cycloidal

Andet

Krogede Gård

Flad
transcendental

Spiraler	Archimedov Gård Galilæa hyperbolsk "Tryllestav" Gylden clothoid logaritmisk sinusformet
Cycloidal	trochoid Cycloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Rose" quadrifolium Hurtig nedstigning (brachistochrone, cycloid bue)
Andet	Quadratrix cochleoid Jage traktor trochoid kæde linje omvendt buet konstant bredde sinusformet Ribokura Super formel Superellipse Reuleaux trekant polygon Lissajous figurer

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper dragekurve Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologisk	Sierpinski serviet Sierpinski tæppe Svamp Menger cirkulær fraktal Apollonius tæppe