Diffeomorfisme

En diffeomorfisme er en kortlægning af en bestemt type mellem glatte manifolds.

Definition

En diffeomorfisme er en en-til-en og jævn kortlægning af en glat manifold til en glat manifold , hvis omvendte også er glat. $f\colon M\to N$ $M$ $N$

Normalt forstås glathed som -glathed, dog kan diffeomorfismer med en anden type glathed, især klassen for enhver naturlig , defineres på samme måde . $C^\infty$ $C^k$ $k$

Eksempler

De enkleste eksempler på diffeomorfismer er ikke-degenererede lineære (affine) transformationer af vektor- (henholdsvis affine) rum af samme dimension.

Relaterede definitioner

Hvis der eksisterer en diffeomorfisme for og , så siger vi det og er diffeomorfe . $M$ $N$ $f\colon M\to N$ $M$ $N$
- Dette forhold betegnes normalt som . $M\cong N$
- Bemærk, at kun manifolder af samme dimension kan være diffeomorfe.

Sættet af diffeomorphisms af en manifold i sig selv danner en gruppe kaldet diffeomorphism-gruppen og betegnet med . $M$ $M$ $\operatørnavn {Forskel} \,M$

En kortlægning kaldes en lokal diffeomorfisme på et punkt, hvis dens begrænsning til et eller andet område af punktet er en diffeomorfi til et eller andet område af punktet . $f\colon M\to N$ $x\i M$ $x$ $y=f(x)\in N$

Egenskaber

Enhver diffeomorfisme er en homeomorfisme.
- Det omvendte er ikke sandt. Desuden er der homøomorfe, men ikke diffeomorfe glatte manifolder (såsom den eksotiske sfære ).
En en-til-en-kortlægning er en diffeomorfi, hvis og kun hvis er en jævn kortlægning, og dens jakobiske er intetsteds nul. $f\colon M\to N$ $f$

Se også

Homeomorfisme

Litteratur

Zorich V. A. Matematisk analyse. — M .: Fizmatlit , 1984. — 544 s.
Milnor J., Wallace A. Differentiel topologi (indledende kursus), - Enhver udgave.
Hirsch M. Differentiel topologi, - Enhver udgave.
Spivak M. Matematisk analyse af manifolder. — M.: Mir, 1968.