Projektivt plan

Det projektive plan er et todimensionelt projektivt rum . Et vigtigt specialtilfælde er det rigtige projektive plan .

Det projektive plan er kendetegnet ved den vigtige rolle, som det såkaldte Desargues-aksiom spiller, som er en sætning i projektive rum af højere dimensioner.

Definitioner

Projektivt plan over en krop

Det projektive plan over kroppen er sættet af endimensionelle underrum (linjer, der går gennem nul) af det tredimensionelle lineære rum . Disse linjer kaldes punkter i det projektive plan. Det projektive plan over kroppen betegnes normalt , for eksempel , , , og så videre. $K$ $K^{3}$ $K$ $K{\mathrm {P}}^{2}$ $\mathbb{R} {\mathrm {P}}^{2}$ ${\mathbb {C}}{\mathrm {P}}^{2}$ ${\mathbb {H}}{\mathrm {P}}^{2}$

Aksiomatisk definition

Det klassiske projektive plan П er defineret af følgende aksiomer. De første fire af dem er obligatoriske.

P1. Gennem to forskellige punkter P og Q i planet P er der en lige linje, og kun én.
P2. Enhver to linjer har et fælles punkt.
P3. Der er tre punkter, der ikke ligger på samme linje.
P4. Hver linje indeholder mindst tre punkter.

Yderligere aksiomer er følgende:

P5. Desargues aksiom. Hvis trekanter ABC og A'B'C' er sådan, at linjerne AA' , BB' og CC' skærer hinanden i punktet O , så skæringspunkterne for parrene af tilsvarende sider AB og A'B' (P) , BC og B'C' (R) , AC og A'C'(Q) ligger på den samme lige linje.
P6. Aksiom Pappus. Hvis l og l' er to forskellige linjer, er A,B,C tre forskellige punkter på linjen l , og A',B',C' er tre forskellige punkter af l', og alle disse punkter er forskellige fra O - skæringspunkterne for linjerne l og l' , derefter skæringspunkterne for parrene af tilsvarende sider AB' og A'B (P) , BC' og B'C (R) , AC' og A'C (Q ) ligge på samme lige linje.
P7. Fanos aksiom. Lad A, B, C, D være punkter, hvoraf ikke tre ligger på samme linje. Lad os tegne alle seks linjer, der forbinder disse punkter (AB, AC, AD, BC, BD, CD) . Lad os betegne skæringspunktet mellem AB og CD med P, AC og BD med Q , og AD og BC med R (diagonalpunkter). Disse diagonale punkter ligger ikke på en lige linje.

Eksempler

Rigtigt projektivt plan .
Fano fly
Molton-planet er et eksempel på et ikke-desarguesisk projektivt plan.

Egenskaber

For ethvert projektivt plan over et legeme gælder aksiomer P1-P4 og Desargues' aksiom P5. Omvendt, hvis Desargues' aksiom P5 holder i planet П , så er det et projektivt plan over et eller andet legeme . $K$

Hvis Pappus' aksiom P6 og aksiomer P1-P4 holder, så gælder Desargues' aksiom P5 også. I dette tilfælde er P et projektivt plan over feltet (det vil sige, at kroppen K er kommutativ). Omvendt gælder Pappus' aksiom i ethvert projektivt plan over et felt.

Hvis aksiomer P1–P4 og Desargues' aksiom P5 holder, så gælder Fanos aksiom P7, hvis og kun hvis P er et projektivt plan over en divisionsring med karakteristik ≠2. $K$

Topologi af det virkelige projektive plan

Lad os repræsentere det reelle projektive plan P²( R ) som et sæt linjer i R³ . Dens punkter danner et bundt af alle linjer, der går gennem oprindelsen. Lad os konstruere en enkelt kugle. Så skærer hver af vores linjer (punkt P²( R )) kuglen i to modsatte punkter: x og -x . Herfra opnås let en anden model. Vi kasserer den øvre halvkugle z > 0 . Hvert punkt på den kasserede halvkugle svarer til et punkt på den nedre halvkugle, og diametralt modsatte punkter på den nedre halvkugles ækvatorialcirkel identificeres. Ved at "rette" halvkuglen får vi en cirkel, hvori grænsecirklens diametralt modsatte punkter identificeres. En cirkel er homøomorf til en firkant, hvis modsatte sider er identificeret (i pilenes retning). Som vist i den følgende figur er denne firkant homøomorf i forhold til cirklen D² med Möbius-strimlen μ vedhæftet. Derfor er det projektive plan ikke-orienterbart .

Cyklus (halvcirkel) fra til (lad os betegne det som ) er ikke en grænse, dog begrænser den fulde cirkel fra til og fra til (lad os betegne det som ) allerede hele den "indre" del af det projektive plan, derfor 2 ≈ 0 og ≠0 (lighedstegnet betyder, om cyklussen er homolog med nul eller ej), det vil sige, at enhver cyklus, der ikke er homolog med nul, er homolog med cyklussen . Derfor består den endimensionelle homologigruppe af to elementer H 1 (P²)={0,1} , hvor gruppens nulelement svarer til endimensionelle cyklusser, der er homologe med nul, og for enheden er alle cyklusser homologe . $-x$ $x$ $-en$ $-x$ $x$ $x$ $-x$ $2a$ $-en$ $-en$ $-en$ $-en$

Homologigrupperne i det projektive plan er lette at beregne: H 0 (P²) = Z , H 1 (P²)={0,1} og H 2 (P²)= 0 , Betti-tallene (rækker af homologigrupperne) er henholdsvis b 0 =1, b 1 =1, b 2 =0 og Euler-karakteristikken er lig med den alternerende sum χ(P²)=b 0 -b 1 +b 2 =1 . Du kan også beregne Euler-karakteristikken direkte fra trianguleringen χ(P²) (se nederste figur) - antallet af hjørner er 6, kanter 15 og flader 10, hvilket betyder χ(P²)=6-15+10=1 .

Ifølge den velkendte sætning om klassificering af overflader blandt alle kompakte , forbundne , lukkede glatte manifolds , er det projektive plan entydigt bestemt af det faktum, at det er ikke-orienterbart, og dets Euler-karakteristik er lig med 1 .

Fundamental gruppe π 1 (P²)= Z 2 , højere homotopigrupper svarer til dem for kuglen π n (P²)=π n (S²) for n≥2 .

Se også

Mobius-striben
Lille flaske
Boi-overfladen er et eksempel på en nedsænkning af et rigtigt projektivt plan i tredimensionelt euklidisk rum.

Litteratur

Artin E. Geometrisk algebra. — M.: Nauka, 1969
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderne geometri: Metoder og anvendelser. — M.: Nauka, 1979
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderne geometri: Metoder til homologiteori. — M.: Nauka, 1984
Kokster G. S. M. Det egentlige projektive plan. -M: Fizmatgiz, 1959
Kokster G. S. M. Introduktion til geometri. — M.: Nauka, 1966
Fomenko A. T. Visuel geometri og topologi. - M .: MGU, 1998
Hartshorne R. Fundamentals of projective geometry. — M.: Mir, 1970