Injektion (matematik)

Injection ( injective mapping ) i matematik er en mapping af et sæt til et sæt ( ), hvor forskellige elementer i mængden oversættes til forskellige elementer i mængden , det vil sige, at hvis to billeder falder sammen under kortlægningen, så falder forbillederne sammen : . $f$ $x$ $Y$ $f\kolon X\til Y$ $x$ $Y$ $f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$

En injektion kaldes også en indlejring eller en en-til-en kortlægning (i modsætning til en bijektion , som er en-til-en ). I modsætning til surjection , som siges at kortlægge et sæt til et andet, er en lignende sætning om injektion formuleret som en kortlægning til . $f\kolon X\til Y$ $x$ $Y$

En injektion kan også defineres som en mapping, for hvilken der findes en venstre invers , det vil sige injektivt, hvis der eksisterer sådan, at sammensætningen . $f\kolon X\til Y$ $g\kolon Y\til X$ $g\circ f=\operatørnavn{id}_X$

Begrebet injektion (sammen med surjektion og bijektion ) blev introduceret i Bourbakis værker og blev udbredt i næsten alle grene af matematikken.

Eksempler

$f\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=\ln x$ ( naturlig logaritme ) - injektiv og surjektiv (her - mængden af positive tal ). $\mathbb {R} _{>0}$
${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2))$ — injektivt (her — mængden af ikke-negative tal ). $\R_+$
${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;f(x)=x^{2))$ — er ikke injektiv, da . $f(-2)=f(2)=4$

Ansøgning

Et af de anvendte eksempler på anvendelsen af begrebet injektion er organiseringen af en en-til-en-relation mellem enheder i en relationel datamodel .
Den ideelle hash-funktion er injektiv.

Generaliseringer

En generalisering af begrebet injektion i kategoriteori er begrebet monomorfi . I mange kategorier, men ikke i alle, er disse begreber ækvivalente.

Litteratur

N.K. Vereshchagin, A. Shen. Begyndelse af mængdelære // Forelæsninger om matematisk logik og teori om algoritmer . (utilgængeligt link)
Ershov Yu. L., Palyutin E. A. Matematisk logik: Lærebog. - 3. stereotype. udg. - Sankt Petersborg. : Lan, 2004. - 336 s.