Algebraisk funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 18. marts 2022; checks kræver 2 redigeringer .

En algebraisk funktion er en elementær funktion , der i nærheden af hvert punkt i definitionsdomænet implicit kan specificeres ved hjælp af en algebraisk ligning .

Formel definition:

En funktion kaldes algebraisk på et punkt, hvis der findes et kvarter til det punkt, hvor identiteten $F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ $A=(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})$ $EN$

P(F(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}),x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})=0.

hvor er et polynomium i en variabel. $P$ $n+1$

En funktion kaldes algebraisk, hvis den er algebraisk på hvert punkt af sit domæne.

For eksempel er en funktion af en reel variabel algebraisk på et interval i feltet af reelle tal , da den opfylder ligningen $F(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ $(-1,1)$

F^{2}+x^{2}=1.

Der er en analytisk fortsættelse af funktionen til det komplekse plan , med et udskåret segment eller med to udskårne stråler og . I dette domæne er den resulterende funktion af en kompleks variabel både algebraisk og analytisk . $F(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ $[-1,1]$ $(-\infty ,-1]$ $[1,\infty )$

Det er kendt, at hvis en funktion er algebraisk i et punkt, så er den også analytisk i et givet punkt. Det omvendte er ikke sandt. Funktioner, der er analytiske, men ikke algebraiske, kaldes transcendentale .

Særlige tilfælde

Særlige tilfælde af algebraiske funktioner er:

power funktion ;
rationel funktion ;

Algebraiske og transcendentale tal

Reelle tal, der er roden til en eller anden algebraisk ligning med rationelle koefficienter, kaldes algebraiske . Reelle tal, der ikke er roden til nogen algebraisk ligning med rationelle koefficienter, kaldes transcendentale .

Alle rationelle tal er algebraiske. Blandt irrationelle tal er der både algebraiske og transcendentale. For eksempel er et algebraisk irrationelt tal og er et transcendentalt irrationelt tal. ${\sqrt {2}}$ $\pi$

Se også

Litteratur

Golubev VV Forelæsninger om analytisk teori om differentialligninger. - M. - L .: GOSTEKHTEORIZDAT, 1941. - 400 s.