Kvantefeltteori

Kvantefeltteori (QFT) - en gren af fysikken , der studerer kvantesystemers adfærd med et uendeligt stort antal frihedsgrader - kvantefelter ; er det teoretiske grundlag for beskrivelsen af mikropartikler, deres interaktioner og transformationer. Højenergifysik , elementærpartikelfysik er baseret på QFT-sproget , dets matematiske apparat bruges i kondenseret stoffysik . Kvantefeltteori i form af standardmodellen (med tilføjelse af neutrinomasser ) er i øjeblikket den eneste eksperimentelt bekræftede teori, der er i stand til at beskrive og forudsige resultaterne af eksperimenter ved høje energier opnåelige i moderne acceleratorer .

Det matematiske apparat i QFT er baseret på det direkte produkt af Hilbert -tilstandsrummene (Fock space ) af kvantefeltet og de operatører, der virker i det . I modsætning til kvantemekanikken , hvor egenskaberne af bølgefunktionen af " mikropartikler " studeres som en slags uforgængelige objekter; i QFT er hovedobjekterne for undersøgelsen kvantefelter og deres elementære excitationer, og hovedrollen spilles af det sekundære kvantiseringsapparat med partikelskabelse og udslettelsesoperatører, der virker i Fock-tilstandsrummet . En analog til den kvantemekaniske bølgefunktion i QFT er en feltoperator, der er i stand til at virke på vakuumvektoren i Fock-rummet (se vakuum ) og generere enkeltpartikel-excitationer af kvantefeltet. Fysiske observerbare her svarer også til operatorer sammensat af feltoperatorer .

Kvantefeltteori opstod fra arbejdet fra flere generationer af teoretiske fysikere gennem det meste af det 20. århundrede. Dens udvikling begyndte i 1920'erne med beskrivelsen af vekselvirkningerne mellem lys og elektroner , hvilket førte til fremkomsten af den første kvantefeltteori - kvanteelektrodynamik . Snart blev den første alvorlige teoretiske hindring for konstruktionen af en mere stringent teori opdaget, forbundet med udseendet og bevarelsen af forskellige uendeligheder i beregningen af forstyrrelsesserier. Dette problem fandt først en løsning i 1950'erne efter opfindelsen af renormaliseringsproceduren . Den anden store hindring var QFT's tilsyneladende manglende evne til at beskrive de svage og stærke interaktioner , i en sådan grad, at nogle teoretikere opfordrede til at opgive den feltteoretiske tilgang [1] [2] . Udviklingen af gauge-teori i 1970'erne førte til genoplivningen af kvantefeltteorien i form af standardmodellen for elementarpartikler .

Historie

Kvantemekanikkens grundlæggende ligning - Schrödinger-ligningen - er relativistisk ikke-invariant, hvilket fremgår af den asymmetriske indtastning af tid og rumkoordinater i ligningen [3] . Den ikke-relativistiske Schrödinger-ligning svarer til det klassiske forhold mellem en partikels kinetiske energi og momentum . Det relativistiske forhold mellem energi og momentum har formen [4] . Hvis man antager, at momentumoperatoren i det relativistiske tilfælde er den samme som i det ikke-relativistiske område, og ved at bruge denne formel til at konstruere den relativistiske Hamiltonian ved analogi [5] , blev der i 1926 foreslået en relativistisk invariant ligning for en fri (spinfri eller med nul spin ) partikel ( Klein-Gordon-Fock ligning ). Problemet med denne ligning er imidlertid, at det er svært at tolke bølgefunktionen her som en sandsynlighedsamplitude, fordi sandsynlighedstætheden ikke vil være en positiv bestemt værdi i hele rummet, som er forbundet med den anden afledede med hensyn til tid [6 ] [7] . $E=p^2/2m$ $E^2=p^2c^2+m^2c^4$

En lidt anderledes tilgang blev implementeret i 1928 af Dirac , som forsøgte at opnå en førsteordens differentialligning, hvor ligheden mellem tidskoordinat og rumlige koordinater blev sikret [6] . Da momentumoperatoren er proportional med den første afledede med hensyn til koordinaterne, skal Dirac Hamiltonian være lineær i momentumoperatoren [8] . Under hensyntagen til det samme relativistiske forhold mellem energi og momentum, pålægges der restriktioner på kvadratet af denne operator. Følgelig skal de lineære "koefficienter" også opfylde en vis begrænsning, nemlig deres kvadrater skal være lig med én, og de skal være gensidigt antikommutative . Det kan således bestemt ikke være numeriske koefficienter. De kan dog være matricer med mindst 4 dimensioner, og "bølgefunktionen" kan være et fire-komponent objekt, kaldet en bispinor . Som et resultat blev Dirac-ligningen opnået , hvor 4-Dirac-matricer og en fire-komponent "bølgefunktion" deltager. Formelt er Dirac-ligningen skrevet i en form, der ligner Schrödinger-ligningen med Dirac Hamiltonian [8] . Denne ligning har dog ligesom Klein-Gordon-ligningen løsninger med negative energier [9] . Denne omstændighed var årsagen til at forudsige eksistensen af antipartikler , hvilket senere blev bekræftet eksperimentelt (opdagelse af positronen ) [10] . Tilstedeværelsen af antipartikler er en konsekvens af det relativistiske forhold mellem energi og momentum [9] .

Overgangen til relativistisk invariante ligninger fører således til ikke-standardiserede bølgefunktioner og mange-partikelfortolkninger. Samtidig blev der mod slutningen af 1920'erne udviklet en formalisme til kvantebeskrivelsen af mange-partikelsystemer (inklusive systemer med et variabelt antal partikler) baseret på operatørerne af skabelse og udslettelse af partikler. Kvantefeltteori viser sig også at være baseret på disse operatorer (udtrykt i form af dem).

De relativistiske Klein-Gordon og Dirac ligninger betragtes i kvantefeltteorien som ligninger for operatorfeltfunktioner. I overensstemmelse hermed introduceres et "nyt" Hilbert-rum af tilstande af et system af kvantefelter, som påvirkes af ovennævnte feltoperatorer. Derfor kaldes proceduren for feltkvantisering nogle gange "anden kvantisering" [11] [12] .

Teoretisk grundlag

Kvantefeltteori er baseret på klassisk feltteori , kvantemekanik og speciel relativitetsteori [13] [14] . Det følgende er en kort oversigt over disse forløberteorier.

Den tidligste vellykkede klassiske feltteori var baseret på Newtons lov om universel gravitation , på trods af det fuldstændige fravær af begrebet felter i hans afhandling fra 1687, Philosophi Naturalis Principia Mathematica [15] . Tyngdekraften, som beskrevet af Newton, er " handling på afstand ", og dens virkning på fjerne objekter er øjeblikkelig, uanset afstand. Men i korrespondance med Richard Bentley udtalte Newton, at "det er utænkeligt, at livløst groft stof, uden formidling af noget andet, der ikke er materielt, ville handle på andet stof og påvirke det uden gensidig kontakt" [16] . Det var først i det 18. århundrede, at teoretiske fysikere opdagede en praktisk feltbaseret beskrivelse af tyngdekraften - en numerisk værdi ( vektor ) tildelt hvert punkt i rummet, hvilket indikerer virkningen af tyngdekraften på enhver testpartikel på det tidspunkt. Dette blev dog betragtet som blot et matematisk trick [15] .

Begrebet felter fik en mere formel beskrivelse med udviklingen af elektromagnetisme i det 19. århundrede. Michael Faraday opfandt det engelske udtryk "field" i 1845. Han præsenterede felter som egenskaber ved rummet (selvom det er blottet for stof), der har fysiske virkninger. Faraday var imod "handling på afstand" og antog, at interaktioner mellem objekter opstår gennem rumfyldende "kraftlinjer". Denne beskrivelse af markerne har overlevet den dag i dag [16] [17] [18] .

Teorien om klassisk elektromagnetisme tog sin endelige form i 1864 i form af Maxwells ligninger , som beskrev forholdet mellem elektrisk felt , magnetfelt , elektrisk strøm og elektrisk ladning . Maxwells ligninger antydede eksistensen af elektromagnetiske bølger , et fænomen, hvor elektriske og magnetiske felter forplanter sig fra et punkt i rummet til et andet med en endelig hastighed, hvilket viste sig at være lysets hastighed . Således blev handling på afstand endeligt tilbagevist [19] [20] .

På trods af den enorme succes med klassisk elektromagnetisme var den ude af stand til at forklare hverken diskrete linjer i atomspektre eller fordelingen af sort kropsstråling ved forskellige bølgelængder [21] . Max Plancks undersøgelse af sortlegemestråling markerede begyndelsen på kvantemekanikken. Han betragtede atomer, som absorberer og udsender elektromagnetisk stråling , som små oscillatorer, hvis energi kun kan antage en række diskrete, ikke kontinuerlige, værdier. I dag er de kendt som kvanteharmoniske oscillatorer . Denne proces med at begrænse energi til diskrete værdier kaldes kvantisering [22] . Baseret på denne idé foreslog Albert Einstein en forklaring på den fotoelektriske effekt i 1905 , hvor lys er opbygget af individuelle energipakker kaldet fotoner (lyskvanter). Det betød, at elektromagnetisk stråling, beskrevet som bølger i et klassisk elektromagnetisk felt, også eksisterer i form af partikler [23] [24] .

Samme år som papiret om den fotoelektriske effekt blev offentliggjort, udgav Einstein sin specielle relativitetsteori, som overlapper Maxwells teori om elektromagnetisme. De nye regler, kaldet Lorentz-transformationen , beskrev ændringen i de tidsmæssige og rumlige koordinater af begivenheder, efterhånden som observatørens hastighed ændrede sig, og sondringen mellem tid og rum blev sløret. Han foreslog, at alle fysiske love skulle være ens for observatører, der bevæger sig med forskellige hastigheder, det vil sige, at fysiske love er invariante under Lorentz-transformationer [20] .

I 1913 præsenterede Niels Bohr en model for atomstruktur, hvor elektroner inde i atomer kun kan påtage sig en række diskrete snarere end kontinuerlige energier [24] . Dette er endnu et eksempel på kvantisering. Bohr-modellen forklarede med succes den diskrete natur af atomernes spektrallinjer. I 1924 fremsatte Louis de Broglie bølge-partikel-dualitetshypotesen , ifølge hvilken mikroskopiske partikler udviser både bølgelignende og partikellignende egenskaber under forskellige omstændigheder [23] . Ved at kombinere disse forskellige ideer blev der mellem 1925 og 1926 formuleret en ny videnskabelig teori, kvantemekanik , som Max Planck , Louis de Broglie , Werner Heisenberg , Max Born , Erwin Schrödinger , Paul Dirac og Wolfgang Pauli ydede væsentlige bidrag til [25] .

Der er to vanskeligheder tilbage. Fra et eksperimentelt synspunkt kunne Schrödinger-ligningen , som er grundlaget for kvantemekanikken, forklare den stimulerede emission af atomer, når en elektron udsender en ny foton under påvirkning af et eksternt elektromagnetisk felt, men den kunne ikke forklare spontan emission , hvor elektronens energi spontant aftager, og en foton udsendes selv uden påvirkning af et eksternt elektromagnetisk felt. Teoretisk set kunne Schrödinger-ligningen ikke beskrive fotoner og er uforenelig med principperne for speciel relativitet - den betragter tid som et almindeligt tal, mens den samtidig repræsenterer rumlige koordinater med lineære operatorer [26] [27] .

Kvanteelektrodynamik

Kvantefeltteori begyndte med studiet af elektromagnetiske interaktioner, da det elektromagnetiske felt var det eneste kendte klassiske felt i 1920'erne [28] .

Takket være arbejdet fra Born, Heisenberg og Pascual Jordan blev der udviklet en kvanteteori i 1925-1926, der beskriver det frie elektromagnetiske felt (som ikke interagerer med stof), ved hjælp af kanonisk kvantisering og betragter det elektromagnetiske felt som et sæt af kvanteharmoniske oscillatorer . Hvis interaktioner ikke tages i betragtning, er en sådan teori endnu ikke i stand til at lave kvantitative forudsigelser om den virkelige verden [29] .

I sit banebrydende papir fra 1927, Kvanteteorien om emission og absorption af stråling , opfandt Dirac udtrykket kvanteelektrodynamik (QED), en teori, der til de betingelser, der beskriver et frit elektromagnetisk felt, tilføjer et yderligere udtryk for interaktion mellem elektrisk strømtæthed og elektromagnetisk vektorpotentiale [30] . Ved hjælp af førsteordens forstyrrelsesteori forklarede han med succes fænomenet spontan emission . Ifølge usikkerhedsprincippet kan kvanteharmoniske oscillatorer ikke forblive stationære, men de har et minimum af energi, der ikke er nul og skal altid oscillere, selv i den laveste energitilstand ( grundtilstanden ). Derfor forbliver der, selv i et perfekt vakuum , et oscillerende elektromagnetisk felt med nul energi . Det er disse kvanteudsving af elektromagnetiske felter i vakuum, der "stimulerer" den spontane emission af elektroner i atomer. Diracs teori [31] viste sig at være ekstremt vellykket til at forklare både emission og absorption af stråling fra atomer. Ved at anvende anden-ordens forstyrrelsesteori var han i stand til at redegøre for fotonspredning og forklarede andre kvanteeffekter såsom resonant fluorescens , ikke-relativistisk Compton spredning . Imidlertid er anvendelsen af højere ordens forstyrrelsesteori løbet ind i beregningsmæssige uendeligheder [30] .

I 1927 afslørede Friedrich Hund (ved beregning af grundtilstanden for et dobbeltbrøndspotentiale) [32] og uafhængigt af ham Leonid Mandelstam og Mikhail Leontovich [33] først " tunneleffekten ". I 1928 opnåede Georgy Gamov (som kendte til Mandelstams og Leontovichs opdagelser [34] ) og de amerikanske videnskabsmænd Ronald Gurney og Edward Condon , mens de udviklede teorien om alfa-henfald , de første formler for tunneleffekten [35] [36] . Ved at anvende ideen om kvantemekanisk gennemtrængning af en alfapartikels bølgefunktion gennem Coulomb-barrieren ( tunneleffekt ), lykkedes det Gamow at vise, at selv partikler med ikke særlig høj energi kan flyve ud af kernen med en vis sandsynlighed [35 ] .

I 1928 skrev Dirac en bølgeligning, der beskriver relativistiske elektroner - Dirac-ligningen . Det havde vigtige konsekvenser: en elektrons spin er 1/2; g -faktoren for elektronen er 2. Dette førte til den korrekte Sommerfeld-formel for brintatomets fine struktur ; og Dirac-ligningen kan bruges til at udlede Klein-Nisina-formlen , der beskriver relativistisk Compton-spredning. Selvom resultaterne var i overensstemmelse med teorien, antog teorien også eksistensen af negative energitilstande, der kunne gøre atomerne ustabile, da de i dette tilfælde altid kunne henfalde til lavere energitilstande med stråling [37] .

Dengang var den fremherskende opfattelse, at verden bestod af to vidt forskellige ingredienser: materialepartikler (såsom elektroner) og kvantefelter (såsom fotoner). Materiale partikler blev anset for at være evige, og deres fysiske tilstand blev beskrevet af sandsynligheden for at finde hver partikel i et givet område af rummet eller hastighedsområdet. På den anden side mente man, at fotoner simpelthen var exciterede tilstande af det underliggende kvantiserede elektromagnetiske felt og frit kunne skabes eller ødelægges. Mellem 1928 og 1930 opdagede Jordan, Eugene Wigner , Heisenberg, Pauli og Enrico Fermi , at materielle partikler også kan ses som exciterede tilstande af kvantefelter. Ligesom fotoner er exciterede tilstande af et kvantiseret elektromagnetisk felt, har hver type partikel sit eget kvantefelt: et elektronfelt, et protonfelt og så videre. Med nok energi ville det nu være muligt at skabe materialepartikler. Baseret på denne idé foreslog Fermi en forklaring på beta-henfald i 1932 , kendt som Fermi-interaktionen . Atomkernerne indeholder ikke elektroner i sig selv , men i henfaldsprocessen skabes en elektron fra det omgivende elektroniske felt, på samme måde som en foton født fra det omgivende elektromagnetiske felt under det strålingsmæssige henfald af et exciteret atom [38] .

I 1930 fremsatte D. D. Ivanenko og V. A. Ambartsumyan hypotesen om fødslen af massive og elementære partikler i processen med deres vekselvirkning (herunder fødslen af en elektron under β-henfald ), hvilket udelukkede teorien om deres spontane produktion, der havde sejret før, og dannede grundlag for kvantefeltteori og elementarpartikelteori [39] [40] . Samtidig indså Dirac og andre, at de negative energitilstande, der opstår fra løsninger af Dirac-ligningen, kunne tolkes som partikler med samme masse som elektroner, men med modsat elektrisk ladning. Dette sikrede ikke kun atomernes stabilitet, men blev også den første forudsigelse om eksistensen af antistof . Faktisk blev positroner opdaget i 1932 af Carl David Anderson i kosmiske stråler [38] . Givet nok energi, for eksempel ved at absorbere en foton, kan der skabes et elektron-positron-par, en proces kaldet parproduktion ; den omvendte proces, annihilation, kan også forekomme med udsendelse af en foton. Dette viste, at antallet af partikler ikke nødvendigvis forbliver fast under interaktionen. Historisk set blev positroner dog først betragtet som "huller" i et uendeligt elektronhav, og ikke som partikler af en ny type, og denne teori blev kaldt Diracs hulteori [41] . QFT inkluderer naturligt antipartikler i sin formalisme [42] .

Uendeligheder og renormalisering

Robert Oppenheimer viste i 1934, at perturbative beregninger i højere orden af QED altid fører til uendelige værdier, for eksempel for selvenergidelen elektronen og nul vakuumenergi for elektron- og fotonfelterne [43] . Dette betød, at eksisterende beregningsmetoder ikke korrekt kunne håndtere interaktioner, der involverede fotoner med ekstremt høj momenta [44] . Problemet fandt en løsning 20 år senere, da der blev udviklet en systematisk tilgang til at eliminere sådanne uendeligheder.

Mellem 1934 og 1938 udgav Ernst Stückelberg en række artikler, der præsenterede en relativistisk invariant formulering af QFT. I 1947 udviklede Stückelberg også selvstændigt en komplet renormaliseringsprocedure for at eliminere divergenser. Disse resultater blev ikke forstået og anerkendt af det teoretiske samfund [45] .

Stillet over for disse uendeligheder foreslog John Archibald Wheeler og Heisenberg i henholdsvis 1937 og 1943 at erstatte den problematiske QFT med den såkaldte S-matrix-teori . Fordi de specifikke detaljer om de mikroskopiske interaktioner ikke er tilgængelige for observation, bør en teori kun forsøge at beskrive forholdet mellem et lille antal observerbare ( f.eks . energien af et atom) i en interaktion, snarere end at beskæftige sig med de mikroskopiske detaljer af interaktionen. I 1945 foreslog Richard Feynman og Wheeler dristigt, at QFT helt skulle opgives og foreslog handling på afstand som en mekanisme for partikelinteraktion [46] [47] .

I 1947 målte Willis Lamb og Robert Rutherford den lille forskel i energiniveauerne for de 2 S 1/2 og 2 P 1/2 hydrogenatomer, også kaldet Lamb shift . Ved at negligere bidraget fra fotoner, hvis energi overstiger elektronmassen, estimerede Hans Bethe med succes den numeriske værdi af denne forskel [45] [48] . Efterfølgende brugte Norman Kroll , Lamb, James French og Victor Weiskopf en anden metode til afledning, hvor uendelighederne ophæver hinanden og en endelig værdi opnås. Den anvendte metode var dog besværlig og upålidelig og kunne ikke generaliseres til andre beregninger [49] [50] .

Gennembruddet kom til sidst omkring 1950, da Julian Schwinger , Richard Feynman , Freeman Dyson og Shinichiro Tomonaga udviklede en mere acceptabel metode til at eliminere uendeligheder. Dens hovedidé er at erstatte de beregnede værdier af elektronens masse og ladning, hvor uendelige de end måtte være, med deres endelige eksperimentelle værdier. Denne systematiske beregningsprocedure er kendt som renormalisering og kan anvendes til en vilkårlig rækkefølge i perturbationsteorien [51] . Som Tomonaga sagde i sit Nobelforedrag [52] :

Da disse dele af den modificerede masse og ladning [bliver uendelige] på grund af feltbidrag, kan de ikke beregnes ved teori. Massen og ladningen observeret i eksperimenterne er imidlertid ikke den oprindelige masse og ladning, men massen og ladningen modificeret af feltbidragene, og de er endelige. På den anden side er massen og ladningen, der vises i teorien ... værdier modificeret af feltbidrag. Da dette er tilfældet, og især da teorien ikke kan beregne den modificerede masse og ladning, kan vi vedtage proceduren for fænomenologisk substitution af deres eksperimentelle værdier ... Denne procedure kaldes masse- og ladningsrenormalisering ... Efter lange og omhyggelige beregninger, mindre dygtige end Schwingers, fik vi et resultat ... som stemmer overens med amerikanerne.

Originaltekst (engelsk)[ Visskjule] Da de dele af den modificerede masse og ladning på grund af feltreaktioner [bliver uendelige], er det umuligt at beregne dem ud fra teorien. Imidlertid er massen og ladningen observeret i eksperimenter ikke den oprindelige masse og ladning, men massen og ladningen som modificeret af feltreaktioner, og de er endelige. På den anden side er massen og ladningen, der optræder i teorien, værdierne ændret af feltreaktioner. Da dette er tilfældet, og især da teorien ikke er i stand til at beregne den modificerede masse og ladning, kan vi anvende proceduren med at erstatte eksperimentelle værdier for dem fænomenologisk... Denne procedure kaldes renormalisering af masse og ladning... Efter lang tid , møjsommelige beregninger, mindre dygtige end Schwingers, opnåede vi et resultat... som var i overensstemmelse med [amerikanerne].

Ved hjælp af renormaliseringsprocedurer blev der endelig foretaget beregninger for at forklare elektronens unormale magnetiske moment (afvigelse af elektronens g - faktor fra 2) og vakuumpolarisering . Disse resultater faldt stort set sammen med eksperimentelle målinger, som markerede afslutningen på "krigen mod uendeligheden" [49] .

Samtidig introducerede Feynman formuleringen af kvanteteori i form af stiintegraler og Feynman-diagrammer [53] . Sidstnævnte bruges til visuelle beregninger i perturbationsteori. Hvert diagram kan fortolkes som partiklernes veje og deres vekselvirkninger, og hvert toppunkt og hver linje er tildelt et matematisk udtryk , og produktet af disse udtryk giver spredningsamplituden af processen repræsenteret af diagrammet [54] .

Det var med opfindelsen af renormaliseringsproceduren og Feynman-diagramteknikken, at QFT modtog et komplet teoretisk grundlag [53] .

Ikke-renormaliserbarhed

I betragtning af QED's enorme succes troede mange teoretikere i flere år efter 1949, at QFT snart ville være i stand til at give indsigt i alle mikroskopiske fænomener, ikke kun interaktionerne mellem fotoner, elektroner og positroner. I modsætning til denne optimisme gik QFT ind i en anden periode med depression, der varede næsten to årtier [55] .

Den første hindring var den begrænsede anvendelighed af renormaliseringsproceduren. I perturbative beregninger i QED kan alle uendelige mængder elimineres ved at omdefinere et lille (endeligt) antal fysiske størrelser (nemlig elektronens masse og ladning). Dyson beviste i 1949, at dette kun var muligt for en lille klasse af teorier kaldet "renormaliserbare teorier", som QED er et eksempel på. Men de fleste teorier, inklusive Fermis teori om den svage interaktion , er "ikke-renormaliserbare". Enhver forstyrrende beregning i disse teorier ud over den første orden ville føre til uendeligheder, der ikke kunne undgås ved at omdefinere det endelige antal fysiske parametre i teorien [55] .

Det andet alvorlige problem opstår fra den begrænsede anvendelighed af Feynman-diagrammetoden, som er baseret på serieudvidelse i perturbationsteori. For at rækken kan konvergere og for at gode approksimationer kun eksisterer i lavordens tilnærmelse, skal koblingskonstanten , hvori udvidelsen finder sted, være et tilstrækkeligt lille tal. Koblingskonstanten i QED er finstrukturkonstanten α ≈ 1/137 , som er lille nok til kun at tage højde for de simpleste Feynman-diagrammer af lav orden i realistiske beregninger. I modsætning hertil er den stærke interaktionskoblingskonstant omtrent lig med enhed, hvilket gør komplekse Feynman-diagrammer af højere orden lige så vigtige som simple. Det var således ikke muligt at opnå pålidelige kvantitative forudsigelser i problemer med stærk interaktion ved hjælp af perturbative QFT-metoder [56] .

Da disse vanskeligheder opstod, begyndte mange teoretikere at vende sig væk fra QFT. Nogle fokuserede på symmetriprincipper og bevarelseslove , andre tog den gamle Wheeler og Heisenberg S-matrix teori. QFT er blevet brugt heuristisk som et vejledende princip, men ikke som grundlag for kvantitative beregninger [56] .

Schwinger gik dog den anden vej. I mere end et årti var han og hans elever næsten de eneste videnskabsmænd, der konsekvent fremmede feltteorien, men i 1966 fandt han en vej rundt om uendelighedsproblemet med en ny metode, han kaldte kildeteori , som var en fænomenologisk teori og ikke brugte felt. operatører [57] [58] . Udviklingen af pionfysik, hvor det nye synspunkt blev anvendt mest vellykket, overbeviste ham om de enorme fordele ved matematisk enkelhed og begrebsmæssig klarhed, som brugen af det giver [59] . Der er ingen uoverensstemmelser og renormaliseringer i kildeteorien. Det kan betragtes som et beregningsværktøj inden for feltteori, men det er mere generelt [60] . Ved hjælp af kildeteorien var Schwinger i stand til at beregne elektronens unormale magnetiske moment i 1947, men denne gang uden "distraktioner" om uendelige mængder [61] . Schwinger anvendte også kildeteorien på sin QFT-teori om tyngdekraft og var i stand til at gengive alle fire af Einsteins klassiske resultater: gravitationel rødforskydning [62] , afbøjning og opbremsning af lys ved tyngdekraften [63] og præcessionen af Merkurs perihelium [64] ] . Forsømmelsen af kildeteori af fysiksamfundet var en stor skuffelse for Schwinger [59] :

Andres misforståelse af disse fakta var deprimerende, men forståelig.

Originaltekst (engelsk)[ Visskjule] Mangelen på påskønnelse af disse kendsgerninger af andre var deprimerende, men forståeligt.

Standardmodel

I 1954 generaliserede Yang Zhenning og Robert Mills den lokale symmetri af QED, hvilket førte til ikke- abelske gauge-teorier (også kendt som Yang-Mills-teorier) baseret på mere komplekse lokale symmetrigrupper [65] . I QED interagerer (elektrisk) ladede partikler gennem udveksling af fotoner, mens i ikke-Abelsk gauge teori interagerer partikler, der bærer en ny type " ladning ", gennem udveksling af masseløse gauge bosoner . I modsætning til fotoner bærer disse gauge bosoner selv en ladning [66] [67] .

Sheldon Glashow udviklede en ikke-abelsk gauge-teori, der forenede de elektromagnetiske og svage kræfter i 1960. I 1964 nåede Abdus Salam og John Clive Ward frem til den samme teori på en anden måde. Ikke desto mindre var denne teori ikke renormaliserbar [68] .

Peter Higgs , Robert Braut , François Englert , Gerald Guralnik , Carl Hagen og Tom Kibble i deres berømte Physical Review Letters foreslog, at målesymmetri i Yang-Mills teorier brydes af en mekanisme kaldet spontan symmetribrud , på grund af hvilken gauge bosoner kan erhverve masse [69] .

Ved at kombinere den tidligere teori om Glashow, Salam og Ward med ideen om spontant symmetribrud, skabte Steven Weinberg en teori i 1967, der beskriver de elektrosvage interaktioner mellem alle leptoner og virkningerne af Higgs-bosonen . Hans teori blev oprindeligt ignoreret [68] [65] indtil interessen for den blev genoplivet i 1971 af Gerard t'Hooft , som beviste renormaliserbarheden af ikke-abiske gauge teorier. Weinberg og Salams elektrosvage teori blev generaliseret til at inkludere kvarker i 1970 af Glashow, John Iliopoulos og Luciano Maiani , hvilket markerede dens afslutning [68] .

Harald Fritsch , Murray Gell-Mann og Heinrich Leutweiler fandt i 1971 ud af, at nogle fænomener forbundet med den stærke kraft også kunne forklares ud fra en ikke-abelsk gauge-teori. Sådan opstod kvantekromodynamik (QCD). I 1973 viste David Gross , Frank Wilczek og Hugh David Politzer , at ikke-abelske gauge-teorier er " asymptotisk frie ", når den stærke koblingskonstant aftager med stigende interaktionsenergi under renormalisering. Lignende opdagelser er blevet gjort flere gange tidligere, men de er gået ubemærket hen [70] . I det mindste ved høje energier bliver koblingskonstanten i QCD således lille nok til at garantere en forstyrrelsesserieudvidelse, hvilket fører til muligheden for at opnå kvantitative estimater for den stærke interaktion [66] .

Disse teoretiske opdagelser førte til en renæssance af QFT. Den komplette teori, inklusive teorien om den elektrosvage vekselvirkning og kromodynamik, kaldes i dag Standardmodellen for elementarpartikler [71] . Standardmodellen beskriver med succes alle fundamentale interaktioner undtagen tyngdekraften , og dens talrige forudsigelser modtog bemærkelsesværdig eksperimentel bekræftelse i de følgende årtier [72] . Eksistensen af Higgs-bosonen , som er central for mekanismen for spontan symmetribrud, blev endelig bekræftet i 2012 ved eksperimenter på CERN , der opsummerer den fulde verifikation af alle komponenter i standardmodellen [73] .

Andre udviklinger

I 1970'erne dukkede ikke-perturbative metoder op i ikke-abelske gauge-teorier. 't Hooft-Polyakov-monopolen blev teoretisk opdaget af 't Hooft og Polyakov , flowrør Holger Beck Nielsen og Paul Olesen , og instantons af Polyakov et al. Studiet af disse objekter er ikke tilgængeligt ved hjælp af perturbationsteori [74] .

Supersymmetri dukkede også op på samme tid. Den første supersymmetriske QFT i fire dimensioner blev bygget af Yuri Golfand og Evgeny Likhtman i 1970, men deres resultat vakte ikke stor interesse på grund af jerntæppet . Supersymmetri blev udbredt i det teoretiske samfund først efter arbejdet af Julius Wess og Bruno Zumino i 1973 [75] .

Blandt de fire grundlæggende interaktioner er tyngdekraften den eneste, der mangler en konsistent beskrivelse inden for rammerne af QFT. Forskellige forsøg på at skabe en teori om kvantetyngdekraft førte til udviklingen af strengteori [76] , som i sig selv tilhører typen af todimensionel QFT med konform symmetri [77] . Joel Sherk og John Schwartz foreslog først i 1974, at strengteori kunne være en kvanteteori om tyngdekraften [78] .

Condensed Matter Physics

Selvom kvantefeltteori opstod som et resultat af studiet af interaktioner mellem elementarpartikler, det vil sige, at den bruges til afstande, der er meget mindre end atomare, er den med succes blevet anvendt på andre fysiske systemer, især på mange-partikelsystemer i kondenseret stof fysik . Historisk set var mekanismen til spontan brydning af Higgs-symmetrien resultatet af Yoichiro Nambu 's anvendelse af teorien om superledere på elementarpartikler, mens begrebet renormalisering opstod fra studier af andenordens faseovergange i stof [79] .

Kort efter introduktionen af fotoner udførte Einstein proceduren til at kvantisere vibrationer i en krystal, hvilket førte til fremkomsten af den første kvasipartikel i et fast stof, fononen . Lev Landau argumenterede for, at lavenergi-excitationer i mange systemer af kondenseret stof kan beskrives i form af interaktioner mellem et sæt kvasipartikler. Feynmans diagrammatiske metode til QFT var naturligvis velegnet til analyse af forskellige fænomener i systemer af kondenseret stof [80] . Gauge-teori bruges til at beskrive magnetisk fluxkvantisering i superledere, resistivitet i kvante-Hall-effekten og forholdet mellem frekvens og spænding i den ikke-stationære Josephson-effekt for vekselstrøm [80] .

Felteoriens klassiske formalisme

Lagrangiansk formalisme

Det klassiske felt er en funktion af rumlige og tidsmæssige koordinater [81] . Eksempler omfatter gravitationsfeltet g ( x , t ) i Newtonsk tyngdekraft , det elektriske felt E ( x , t ) og magnetfeltet B ( x , t ) i klassisk elektrodynamik . Det klassiske felt kan opfattes som en numerisk værdi tildelt hvert punkt i rummet, der ændrer sig over tid. Derfor har den uendeligt mange frihedsgrader [K 1] [81] .

I Lagrangiansk mekanik er Lagrangefunktionen L en funktion af tiden og systemets dynamiske variabler og er skrevet som en sum over alle materielle punkter i systemet [82] . I tilfælde af et kontinuerligt system, såsom feltet, teoriens centrale begreb [83] , erstattes summen af et rumligt integral af tætheden af Lagrange-funktionen, den Lagrangiske tæthed $\mathcal{L}$

L(t)=L(x^{0})=\int {\mathcal {L}}(x^{0},\mathbf {x} )d^{3}\mathbf {x} \ ,,

hvor de rumlige komponenter af 4-koordinatvektoren er med fed skrift, og nulkomponenten er tiden. Derfor kaldes lagrangien i feltteorien normalt for den lagrangske tæthed [84] [85] . Handling er per definition tidsintegralet af Lagrangian [82] $S$

S=\int dtL(t)=\int dx^{0}d^{3}\mathbf {x} {\mathcal {L}}(x^{0},\mathbf {x} )= \int d^{4}x{\mathcal {L}}(x)\,,

det vil sige, at handlingen i feltteori er et firedimensionalt integral af den lagrangiske tæthed over firedimensional rumtid [82] .

Feltet er beskrevet af en feltfunktion (fungerer som en dynamisk variabel), som kan være en reel eller kompleks skalar (pseudoskalar), vektor, spinor eller anden funktion. I feltteorien antages det, at Lagrangian kun afhænger af dynamiske variable - af feltfunktionen og dens afledte, det vil sige, at der ikke er nogen eksplicit afhængighed af koordinater (en eksplicit afhængighed af koordinater overtræder relativistisk invarians). Teoriens lokalitet kræver, at Lagrangian indeholder et endeligt antal afledte og ikke indeholder for eksempel integrale afhængigheder . For at opnå differentialligninger af højst anden orden (for at overholde klassisk mekanik) antages det desuden, at Lagrangian kun afhænger af feltfunktionen og dens første afledede [86] $\psi(x)$

{\mathcal {L}}(x)={\mathcal {L}}(\psi (x),\partial _{\nu}{\psi }(x))\,.

Princippet om mindste handling (Hamiltons princip) betyder, at den reelle ændring i systemets tilstand sker på en sådan måde, at handlingen er stationær (handlingens variation er nul). Dette princip gør det muligt at opnå feltligningerne for bevægelse - Euler-Lagrange-ligningerne [K 2] [84] [86] :

{\frac {\partial }{\partial x^{\nu ))}\venstre({\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial (\partial _{\nu}\ psi )))\right)={\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial \psi ))\,.

Da systemets fysiske egenskaber er bestemt af den handling, hvori Lagrangian er en integrand, svarer en given Lagrangian til en enkelt handling, men ikke omvendt. Nemlig, lagrangianere, der adskiller sig fra hinanden ved total 4-divergens af nogle 4-vektorer , er fysisk ækvivalente [86] . ${\mathcal {L}}'(x)={\mathcal {L}}(x)+\partial _{{\nu }}f^{{\nu }}(x)$

Field System Lagrangian

Lagrangian af et system af ikke-interagerende (frie) felter er simpelthen summen af Lagrangianerne af de individuelle felter. Bevægelsesligningerne for et system af frie felter er et sæt af bevægelsesligninger for individuelle felter. Samspillet mellem felter tages i betragtning i Lagrangian ved at tilføje yderligere ikke-lineære udtryk. Således er den samlede Lagrangian af systemet af interagerende felter summen af den frie Lagrangian og interaktionen Lagrangian [87] : ${\mathcal {L}}_{0}$ ${\mathcal {L_{I))}$

{\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{0}+{\mathcal {L_{I}}}\,.

Indførelsen af interaktionen Lagrangian fører til inhomogenitet og ikke-linearitet af bevægelsesligningerne. Interaktionen Lagrangianer er normalt polynomielle funktioner af de deltagende felter (af mindst tre grader) ganget med en eller anden numerisk konstant - den såkaldte koblingskonstant . Interaktionen Lagrangian kan være proportional med den tredje eller fjerde potens af selve feltfunktionen, produktet af forskellige feltfunktioner [88] .

Hamiltonsk formalisme

Fra den lagrangske formalisme kan man gå over til den hamiltonske i analogi med lagrangiansk og hamiltonsk mekanik. Feltfunktionen fungerer her som en generaliseret (kanonisk) koordinat . Følgelig er det også nødvendigt at bestemme det generaliserede (kanoniske) momentumdensitetskonjugat til denne koordinat i henhold til standardformlen [89] [90] [85] : $\psi (t,\mathbf {x} )$

\pi (t,\mathbf {x} )={\frac ({\partial }{\mathcal {L))(\psi ,\partial _{\nu }{\psi })}{{\ delvis }{\dot {\psi }}(t,\mathbf {x} )}}\,.

Så er tætheden af feltet Hamiltonian per definition [89]

{\mathcal {H}}=\pi {\dot {\psi }}-{\mathcal {L}}\,.

Bevægelsesligningerne i Hamiltons tilgang har formen [91] :

{\dot {\psi }}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \pi }},{\dot {\pi }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \psi }}\,.

Dynamikken af enhver størrelse inden for rammerne af den Hamiltonske formalisme adlyder følgende ligning: $F(\psi ,\pi )$

{\dot {F}}=\{F,{\mathcal {H}}\}\,,

hvor de krøllede parenteser betegner Poisson-beslaget [91] . I dette tilfælde gælder følgende for funktionerne og sig selv [90] [92] : $\psi$ $\pi$

\{\psi (\mathbf {x} ,t),\pi (\mathbf {y} ,t)\}=1,\{\psi (\mathbf {x} ,t),\psi ( \mathbf {y} ,t)\}=\{\pi (\mathbf {x} ,t),\pi (\mathbf {y} ,t)\}=0\,.

Relationer, der involverer Poisson-parenteser, er normalt grundlaget for feltkvantisering, når feltfunktioner erstattes af de tilsvarende operatorer, og Poisson-parenteser erstattes af en kommutator af operatorer [93] .

Symmetrier i kvantefeltteori

Definition og typer af symmetrier

Symmetrier i kvantefeltteori er transformationer af koordinater og (eller) feltfunktioner, med hensyn til hvilke bevægelsesligningerne er invariante, og derfor er handlingen invariant. Selve transformationerne danner en gruppe [94] . Symmetrier kaldes globale , hvis de tilsvarende transformationer ikke afhænger af 4-koordinater [95] . Ellers taler man om lokale symmetrier [96] [97] . Symmetrier kan være diskrete eller kontinuerlige [98] . I sidstnævnte tilfælde er gruppen af transformationer kontinuert ( topologisk ), det vil sige topologien er givet i gruppen, med hensyn til hvilken gruppeoperationerne er kontinuerte [99] . I kvantefeltteorien bruges der dog normalt en snævrere klasse af grupper - Lie grupper , hvori ikke kun topologien introduceres, men også strukturen af en differentierbar manifold. Elementerne i sådanne grupper kan repræsenteres som differentierbare (holomorfe eller analytiske) funktioner af et begrænset antal parametre. Transformationsgrupper betragtes normalt i en bestemt repræsentation - gruppernes elementer svarer til parametrenes operator (matrix) funktioner [100] .

Diskrete symmetrier. CPT-sætning

De vigtigste er følgende typer transformation [101] :

C - ladningskonjugation - udskiftning af feltfunktioner med konjugerede.
P - paritet - ændring af tegn på rumlige komponenter til det modsatte.
T - tidsvending - ændring af fortegn for tidskomponenten.

Det er blevet bevist, at -symmetri finder sted i lokal kvantefeltteori , det vil sige invarians med hensyn til den samtidige anvendelse af disse tre transformationer [102] . $CPT$

Kontinuerlige symmetrier. Noethers sætning

Ifølge Noethers teorem fører invariansen af den funktionelle handling med hensyn til den -parametriske gruppe af transformationer til dynamiske feltinvarianter, det vil sige til bevarelseslove. Lad nemlig koordinattransformationen udføres ved hjælp af funktionerne , og feltfunktionen - ved hjælp af funktionen , hvor er sættet af parametre. Lad os betegne værdien af den afledede af funktionen med hensyn til den th parameter ved nulværdien af parametrene, og gennem værdierne af de afledte af funktionerne med hensyn til den th parameter ved parametrenes nulværdi . Disse mængder er i det væsentlige generatorer af de tilsvarende grupper af transformationer [103] . $s$ $s$ $F^{{\mu }}(x,\omega)$ $U(x,\omega)$ ${\omega }$ $s$ $u_{k}$ $U$ $k$ $f_{k}^{{\mu }}$ $F^{{\mu }}(x,\omega)$ $k$

Så er Noether-strømmene defineret som [104]

J_{k}^{{\mu }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{{\mu }}\psi )))(\partial _{{ \nu }}\psi f_{k}^{{\nu }}-u_{k})-f_{k}^{{\mu }}{\mathcal {L}}

har ejendommen . De mængder, der er bevaret i tid ("Noetheriske ladninger") er rumintegraler over strømmenes nulkomponent [105] $\partial _{{\mu }}J_{k}^{{\mu }}=0$

C_{k}=\int J_{k}^{0}d^{3}x\,.

Den grundlæggende symmetri, der er iboende i alle kvantefeltteorier, er relativistisk invarians - invarians med hensyn til den inhomogene Lorentz-gruppe ( Poincaré-gruppen ), det vil sige med hensyn til rum-tid-translationer og Lorentz-rotationer [106] . En anden global symmetri for komplekse felter er den globale gauge symmetri - symmetri med hensyn til en én-parameter gruppe - gruppen af multiplikationer med . Det hænger sammen med kravet om, at de lagrangiske og observerbare fysiske størrelser skal være reelle, hvilket kun fører til afhængighed af komplekse felter gennem kvadratiske former, som er produkter af indbyrdes komplekse konjugerede funktioner og deres derivater. Derfor fører multiplikation med en enhedsfasefaktor ikke til nogen ændringer [107] . $U(1)$ $e^{{i\alpha}}$ $e^{{i\alpha}}$

Tabellen nedenfor viser generelle udtryk for Noetherske strømme og ladninger for de vigtigste globale symmetrier og de tilsvarende bevarelseslove.

Symmetri	Ingen æterstrømme	Ingen afgifter og bevaringslove
Spatio-temporal oversættelser [108] [109]	Energi-momentum tensor: . Især feltets Hamiltonian (densitet). $T_{\nu }^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial (\partial _{\mu }\psi )))\partial _{\nu }\psi -{\delta }_{\nu}^{\mu }{\mathcal {L}}$ ${\mathcal {H}}=T_{0}^{0}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{0}\psi )))\ delvis _{0}\psi -{\mathcal {L}}$	4-momentum bevarelseslov: især energi (Hamiltonian) $P^{\nu}=\int T^{0\nu}d^{3}x$ $H=P^{{0}}$
Lorentz rotationer [110] [111]	Den (totale) momentumtensor , hvor er den orbitale momentumtensor , er spinmomentumtensoren (spin-)tensoren, hvor er transformationsparametrene for feltfunktionerne under Lorentz-rotationer. Til skalære felter $M^{{\tau (\rho \sigma )}}=M_{0}^{{\tau (\rho \sigma )))+S^{{\tau (\rho \sigma )))$ $M_{0}^{{\tau (\rho \sigma )}}=x^{{\sigma }}T^({\rho \tau }}-x^{{\rho }}T^{{\ sigma\tau}}$ $S^{{\tau (\rho \sigma )}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{{\tau }}\psi _{i}) }}A_{i}^{{j(\rho \sigma )}}\psi _{j}$ $A_{i}^{{j(\rho \sigma )}}$ $S^{{\tau (\rho \sigma )}}=0$	Loven om bevarelse af det samlede moment - det rumlige integral af $M^{{\rho \sigma }}=M_{0}^{{\rho \sigma }}+S^{{\rho \sigma }}$ $M^{{0(\rho \sigma )}}$
Global gaugesymmetri [112] $U(1)$	4-vektor af ladet strøm :. For rigtige felter er de lig nul. $J^{\mu }=i\left({\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial (\partial _{\mu }\psi ^{)))))\ psi ^{}-{\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial (\partial _{\mu }\psi )))\psi \right)$	Ladningsbevaringslov ( elektrisk ladning , baryonladning , mærkværdighed , charme osv.): [113] . For rigtige felter er det lig nul. $Q=\int J^{0}d^{3}\mathbf {x}$

Hovedkarakteristika for basisfelter

Tabellen nedenfor viser beskrivelsen og hovedkarakteristika for de enkleste felter, der er grundlæggende i konstruktionen af reelle kvantefeltteorier - skalar-, vektor- og spinorfelter.

Egenskab	Skalar felt[114]	vektor felt[115]	spinor felt[116]
Feltfunktion	$\phi (x)=\phi _{1}(x)+i\phi _{2}(x)$ er generelt en kompleks funktion. er en kompleks konjugeret funktion. Hvis (dvs. ), så har vi et rigtigt skalarfelt (omdøber det blot til ) $\phi ^{}(x)$ $\phi ^{}(x)=\phi (x)$ $\phi _{2}(x)=0$ $\phi _{1}(x)$ $\phi(x)$	$A^{{\mu }}(x)$ er en vektorfunktion (4-vektor), i det generelle tilfælde med komplekse komponenter (ladet vektorfelt). Det reelle (neutrale) vektorfelt opnås fra lighedsbetingelsen (det komplekse felt sidestilles derefter med det reelle divideret med ) $A_{{\mu }}^{*}=A_{{\mu }}$ ${\sqrt {2}}$	$\psi(x)$ — fire-komponent funktion (bispinor)-kolonne, — Dirac konjugeret fire-komponent funktion-række, — Dirac matricer ${\bar {\psi ))=\psi ^{*}\gamma ^{0}$ $\gamma ^{{\mu ))$
Arten af de beskrevne partikler	En partikel med spin 0. For et reelt felt er den neutral, for en kompleks er den ladet.	Partikler med spin 1 (fremspring ), ladede eller neutrale $0,\pm1$	Ladede partikler med spin 1/2 ( ) $\pm 1/2$
Lagrangian $({\mathcal {L}})$	$\partial _{{\mu }}\phi ^{}\partial ^{{\mu }}\phi -m^{2}\phi ^{}\phi ={\mathcal {L}}(\ phi _{1})+{\mathcal {L}}(\phi _{2})$ , hvor er Lagrangian for det rigtige felt ${\displaystyle {\mathcal {L))(\phi )=\partial _{\mu}\phi \partial ^{\mu}\phi -m^{2}\phi ^{2))$ $\phi$	$-{\frac {1}{2}}F_{{\mu \nu }}^{}F^({\mu \nu }}+m^{2}A_{{\mu }}^{ }A^{{\mu ))$ , hvor $F_{{\mu \nu }}=\partial _{{\mu }}A_{{\nu }}-\partial _{{\nu }}A_{{\mu }}$ For et rigtigt felt $-{\frac {1}{4}}F_({\mu \nu }}F^{{\mu \nu }}+{\frac {1}{2}}m^{2}A_{{\ mu }}A^{{\mu }}$	${\bar {\psi }}(i\gamma ^{{\mu }}\partial _({\mu }}-m)\psi$
Euler-Lagrange bevægelsesligninger	$(\partial _{\mu}\partial ^{\mu}-m^{2})\phi =0$ ( Klein-Gordon-ligningen gælder også for den konjugerede funktion)	$-(\partial _{{\nu }}\partial ^{{\nu}}+m^{2})A^{{\mu }}+\partial ^{{\mu }}\partial _{{ \nu }}A^{{\nu }}=0$ ( Procas ligning ) Differentiering med respekt fører (hvis ) til $x^{{\mu))$ $m\neq 0$ $\partial _{\nu}A^{\nu}=0\,.$ Med denne tilstand (Lorentz) $(\partial _{{\nu }}\partial ^{{\nu }}+m^{2})A^{{\mu }}=0$	$(i\gamma ^{{\mu }}\partial _{{\mu }}-m)\psi =0$ er Dirac-ligningen
Energi-momentum tensor Hamiltonian 4-momentum $(T^{\mu \nu })\,,$ $({\mathcal {H}}=T^{00})\,,$ $(P^{{\nu)))$	$\partial ^{\mu }\phi ^{}\partial ^{\nu}\phi +\partial ^{\nu}\phi ^{}\partial ^{\mu}\phi -g ^{\mu \nu }{\mathcal {L}}$ , hvor for et rigtigt felt - ${\mathcal {H}}=\pi ^{}\pi +\nabla \phi ^{}\nabla \phi +m^{2}\phi ^{*}\phi \,,$ $\pi ={\dot {\phi }}\,,$ ${\mathcal {H}}=\pi ^{2}+(\nabla \phi )^{2}+m^{2}\phi ^{2}$	$F_{}^{{\mu \sigma }}\partial ^{{\nu }}A_{{\sigma }}+\partial ^{{\nu }}A_{{\sigma }}^{} F^{{\mu \sigma }}-g^{{\mu \nu }}{\mathcal {L}}$	${\frac {1}{2}}({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial ^{\nu}\psi -\partial ^{\nu }{\bar { \psi }}\gamma ^{\mu }\psi )\,,$ ${\mathcal {H}}={\frac {i}{2}}(\psi ^{}{\dot {\psi }}-{\dot {\psi }}^{}\psi)$
4-strøm vektor og ladning $(J^{{\mu)))$ $(Q)$	$J^{\mu }=i(\phi ^{}\partial ^{\mu}\phi -(\partial ^{\mu}\phi ^{})\phi )$ , for et reelt felt er lig nul [117] $Q=\int d^{3}{\mathbf {x}}(\phi ^{}{\dot {\phi }}-\phi {\dot {\phi }}^{})$	$i(A_{{\nu }}^{}F^{{\mu \nu }}-F_{}^{{\mu \nu }}A_{{\nu}})$	$J^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu}\psi \,,$ $Q=\int d^{3}{\mathbf {x}}(\psi ^{*}\psi)$
Spin tensor $(S^{{\tau (\mu \nu))))$	0	$A_{}^{{\mu }}F^{{\nu \tau }}-F_{}^{{\mu \tau }}A^{{\nu }}+F_{}^{ {\nu \tau }}A^{{\mu }}-A_{}^{{\nu }}F^{{\mu \tau }}$	${\frac {1}{4}}{\bar {\psi }}(\gamma ^{\tau }\sigma ^{\mu \nu}+\sigma ^{\mu \nu}\gamma ^{\tau })\psi \,,$ hvor $\sigma ^{{\mu \nu }}={\frac {1}{2i}}[\gamma ^{{\mu }},\gamma ^{{\nu }}]$

Lokale symmetrier og målefelter

Lokale transformationer kan defineres som multiplikationen af en feltfunktion med en eller anden funktion afhængig af 4-koordinater. For eksempel er lokale transformationer af en gruppe en fasetransformation, der afhænger af et specifikt rum-tidspunkt, det vil sige multiplikation med . Som nævnt ovenfor er alle komplekse felter symmetriske med hensyn til analoge globale transformationer [118] . De er dog ofte ikke invariante under lokale transformationer. Især skalar- og spinorfelterne beskrevet ovenfor er ikke invariante under lokale gauge-transformationer. Årsagen til dette er ikke-invariansen under en sådan transformation af den almindelige afledte. Hvis vi indfører et ekstra felt og erstatter den afledte i Lagrangian med den såkaldte gauge-kovariant afledt $U(1)$ $e^{{i\alpha(x)}}$ $A_{{\mu ))$

D_{\mu }=\partial _{\mu}-ieA_{\mu },

så vil den resulterende Lagrangian være invariant under lokale gauge-transformationer [119] . Imidlertid vil Lagrangian opnået på denne måde i det væsentlige indeholde vekselvirkningen mellem to felter - originalen og måleren . Som en generel regel er det i dette tilfælde også nødvendigt at indføre et udtryk, der er ansvarligt for Lagrangian i det frie sporviddefelt, i den generelle lagrange. Denne Lagrangian skal også være gauge invariant og er valgt som Lagrangian af et frit masseløst vektorfelt . Som et resultat opnår vi for eksempel for spinorfeltet Lagrangian for kvanteelektrodynamikken (QED) [120] : $A_{{\mu ))$ $-{\frac {1}{4}}F_{{\mu \nu }}F^{{\mu \nu }}$

{\mathcal {L}}_{QED}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu}-m)\psi -{\frac {1}{ 4}}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu}\partial _{\mu}-m)\psi +e {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu},

det vil sige, at denne Lagrangian inkluderer Lagrangian af det frie Dirac spinorfelt, gauge (elektromagnetisk) felt og Lagrangian for interaktionen af disse felter. Hvis følgende felttransformation udføres ved hvert rum-tidspunkt x (lokal transformation), så forbliver QED Lagrangian uændret eller invariant:

\psi (x)\to e^{i\alpha (x)}\psi (x),\quad A_{\mu}(x)\to A_{\mu}(x)+ie^{ -1}e^{-i\alpha (x)}\partial _{\mu }e^{i\alpha (x)},

hvor α ( x ) er en hvilken som helst funktion af rum-tid koordinater. Hvis Lagrangian af en teori (eller mere præcist, handlingen ) er invariant under en lokal transformation, så kaldes denne transformation teoriens målesymmetri [ 121] . Målesymmetrier danner en gruppe på hvert punkt i rum-tid. I tilfælde af QED er den successive anvendelse af to forskellige lokale symmetritransformationer og en anden symmetritransformation . For enhver α ( x ) , er et element i gruppen U(1) , så QED siges at have gauge symmetri U(1) [122] . Fotonfelter A μ kan omtales som U(1) - gauge boson . $e^{{i\alpha(x)}}$ ${\displaystyle e^{i\alpha '(x)))$ $e^{i[\alpha (x)+\alpha '(x)]}$ $e^{{i\alpha(x)}}$

På samme måde kan man skrive den gauge-invariante Lagrangian af et komplekst skalarfelt, Lagrangian af en skalar QED [123]

{\mathcal {L}}_{SQED}=(D_{\mu }\phi )^{*}D^{\mu}\phi -{\frac {1}{4}}F_{\ mu \nu }F^{\mu \nu }\,.

Kravet om lokal gauge-invarians af Lagrangian med hensyn til fasetransformationen (gruppe ) fører således til fremkomsten af et målefelt, i dette tilfælde et elektromagnetisk felt, som "hoved"-feltet interagerer med. $U(1)$

U(1) er en abelsk gruppe . QFT kan konstrueres for ikke-abelske grupper , som kaldes ikke- abiske gauge-teorier [124] . Kvantekromodynamik er en ikke-abelsk gauge-teori med SU(3) symmetrigruppe. Den beskriver Dirac-felter ψ i , i = 1,2,3 , som repræsenterer kvarkfelter og vektorfelter A a,μ , a = 1,...,8 , gluonfelter , som er SU(3) gauge-bosoner [125 ] . QCD Lagrangian har formen [126] [127] :

{\mathcal {L}}=i{\bar {\psi }}^{i}\gamma ^{\mu }(D_{\mu })^{ij}\psi ^{j}-{ \frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F^{a,\mu \nu}-m{\bar {\psi }}^{i}\psi ^{i} ,

hvor D μ er den kovariante afledte gauge :

D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }^{a}t^{a},

hvor g er koblingskonstanten, t a er de otte generatorer af SU(3) -gruppen i den fundamentale repræsentation ( 3×3 - matricer ),

F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf ^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c},

f abc er SU(3) strukturkonstanter . Over gentagne indeks i , j finder en implicit summering sted ifølge Einsteins notation. Denne Lagrangian er invariant under transformationen:

\psi ^{i}(x)\to U^{ij}(x)\psi ^{j}(x),\quad A_{\mu}^{a}(x)t^{a }\til U(x)\venstre[A_{\mu }^{a}(x)t^{a}+ig^{-1}\partial _{\mu}\right]U^{\dolk } (x)\,,

hvor U ( x ) er et element af SU(3) ved hvert rum-tidspunkt x :

U(x)=e^{i\alpha (x)^{a}t^{a}}\,.

Denne tilgang kan generaliseres til tilfældet med andre lokale symmetrigrupper [120] . I det generelle tilfælde fører dette til fremkomsten af de såkaldte Yang-Mills-målefelter . Den kovariante afledte i dette tilfælde har formen [127] :

D_{\mu }=I\partial _{\mu}-igT^{a}A_{\mu }^{a},

hvor er transformationsgeneratorerne for den tilsvarende gruppe (i tilfælde af U(1) var der én generator lig med én). $T^a$

Den tidligere diskussion af symmetrier finder sted på det lagrangiske sprog. Det er med andre ord "klassiske" symmetrier. Når først de er kvantificeret, vil nogle teorier ikke længere udvise deres klassiske symmetri, et fænomen kaldet en anomali For eksempel, i formuleringen af sti-integralet, på trods af invariansen af tætheden af Lagrangian , under en vis lokal transformation af felterne, kan målet for sti-integralet ændre sig [128] . For at en teori, der beskriver naturen, skal være konsistent, må den ikke indeholde nogen anomalier i målersymmetri. Standardmodellen for elementarpartikler er en gauge-teori baseret på SU(3) × SU(2) × U(1) -gruppen , hvor alle anomalier ophæver nøjagtigt [129] . ${\mathcal {L}}[\phi ,\partial _{\mu }\phi ]$ $\int {\mathcal {D}}\phi$

Det teoretiske grundlag for generel relativitet , ækvivalensprincippet , kan også forstås som en form for målesymmetri, der transformerer generel relativitet til en måleteori baseret på Lorentz-gruppen [130] .

Noethers teorem siger, at enhver kontinuert symmetri, det vil sige en parameter i en symmetritransformation, der er kontinuert i stedet for diskret, fører til en tilsvarende bevarelseslov [131] [132] }. For eksempel betyder U(1) QED-symmetri ladningsbevarelse [133] .

Måletransformationer forbinder ikke individuelle kvantetilstande. Snarere forbinder de to ækvivalente matematiske beskrivelser af den samme kvantetilstand. For eksempel har feltet af en foton A μ , der er fire-vektor , fire tilsyneladende frihedsgrader, men den faktiske tilstand af en foton er beskrevet ved dens to frihedsgrader, svarende til polarisationen . De resterende to frihedsgrader kaldes "redundante", og forskellige måder at skrive A μ på kan relateres til hinanden ved en måletransformation, og faktisk beskriver de den samme tilstand af fotonfeltet. I denne forstand er gauge-invarians ikke en "rigtig" symmetri, men en afspejling af "redundansen" af den valgte matematiske beskrivelse [134] .

For at tage højde for målerens redundans i formuleringen af stiintegralet er det nødvendigt at udføre den såkaldte procedure for fastsættelse af Faddeev-Popov- måleren . I ikke-abelske gauge-teorier fører en sådan procedure til fremkomsten af nye felter kaldet "spøgelser". Partikler svarende til spiritusfelter kaldes spirituspartikler, som ikke kan påvises udefra [135] . En mere stringent generalisering af Faddeev-Popov-proceduren er givet ved BRST-kvantiseringsproceduren [136] .

Spontan symmetribrud

Spontan symmetribrud er en mekanisme, hvor symmetrien af Lagrangian i det system, den beskriver, er brudt [137] .

For at illustrere mekanismen, overvej en lineær sigma-model indeholdende N reelle skalarfelter (indekset i svarer til feltnummeret ) beskrevet af den lagrangske tæthed af formen [138] :

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\phi ^{i}\right)\left(\partial ^{\mu} \phi ^{i}\right)+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{i}\phi ^{i}-{\frac {\lambda }{4}} \left(\phi ^{i}\phi ^{i}\right)^{2}\,,

hvor μ og λ er reelle parametre. Teorien indrømmer en global symmetri O( N ) [138] :

\phi ^{i}\to R^{ij}\phi ^{j},\quad R\in \mathrm {O} (N)\,.

Tilstanden med den laveste energi (grundtilstand eller vakuumtilstand) i den klassiske teori er repræsenteret af et hvilket som helst homogent felt ϕ 0 , der opfylder betingelsen

\phi _{0}^{i}\phi _{0}^{i}={\frac {\mu ^{2)){\lambda )).

Uden tab af generalitet, lad grundtilstanden være i N'te retning [138] :

\phi _{0}^{i}=\left(0,\cdots ,0,{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\right).

De originale N felter kan omskrives som:

\phi ^{i}(x)=\venstre(\pi ^{1}(x),\cdots ,\pi ^{N-1}(x),{\frac {\mu }{\ sqrt {\lambda ))}+\sigma (x)\right)\,

og den oprindelige tæthed af Lagrangian skrives som

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\pi ^{k})(\partial ^{\mu }\pi ^{k} )+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\sigma )(\partial ^{\mu}\sigma )-{\frac {1}{2}}(2\mu ^ {2})\sigma ^{2}-{\sqrt {\lambda }}\mu \sigma ^{3}-{\sqrt {\lambda }}\mu \pi ^{k}\pi ^{k} \sigma -{\frac {\lambda }{2}}\pi ^{k}\pi ^{k}\sigma ^{2}-{\frac {\lambda }{4}}(\pi ^{k }\pi ^{k})^{2},

hvor k = 1,..., N- 1k = 1 ,..., N - 1k = 1,..., N -1 . Den oprindelige O( N ) vises ikke længere, og kun undergruppen O( N -1) er tilbage . Stor symmetri før spontan symmetribrud kaldes "skjult" eller spontant brudt [139] .

Goldstone-sætningen siger, at ved spontan symmetribrud resulterer hver brudt kontinuerlig global symmetri i et masseløst felt kaldet Goldstone-bosonen. I eksemplet ovenfor har O ( N ) N ( N -1)/2 kontinuerlige symmetrier (lig med dimensionen af dens Lie-algebra ), og O( N -1) har ( N -1)( N -2)/ 2 . Antallet af brudte symmetrier er forskellen N -1 af disse værdier , som også svarer til N -1 masseløse felter π k [139] .

På den anden side, når gauge-symmetrien (i modsætning til den globale) spontant brydes, "spises" den resulterende Goldstone-boson af den tilsvarende gauge-boson, hvilket bliver en yderligere frihedsgrad for gauge-bosonen [140] . Goldstone boson-ækvivalenssætningen siger, at ved høj energi bliver emissions- eller absorptionsamplituden af et longitudinelt polariseret massivt gauge-boson lig med emissionen eller absorptionsamplituden af Goldstone-bosonet, der blev spist af gauge-bosonet [141] .

I ferromagnetismens QFT kan spontan symmetribrud forklare justeringen af magnetiske dipoler ved lave temperaturer [142] [143] . I standardmodellen for elementarpartikler vinder W- og Z-bosoner , som ellers ville være masseløse som følge af gaugesymmetri, masse ved spontant symmetribrud på grund af Higgs-bosonen . Denne proces kaldes Higgs-mekanismen [144] .

Momentum repræsentation

For at løse bevægelsesligningerne kan man gå over til den såkaldte momentumrepræsentation ved hjælp af Fourier-transformationen [145] :

\psi (x)={\frac {1}{(2\pi )^{2))}\int d^{4}pf(p)e^{ipx}\,,

under hensyntagen til Fourier-billedets egenskaber , er Fourier-billedet af afledte især lig med . $f(p)$ $\partial _{{\mu }}\psi (x)$ $ip_{{\mu }}f(p)$

At finde en løsning på bevægelsesligningerne kan vises ved eksemplet med Klein-Gordon-ligningen [145] .

Løsning af lignings- og momentumrepræsentationen af Klein-Gordon-feltet

Ved at gå til momentumrepræsentationen vil Klein-Gordon-ligningen for Fourier-transformationen af feltfunktionen have formen [145] :

(p^{2}-m^{2})f(p)=0\,.

Derfor (en multiplikator for nemheds skyld), hvor er en vilkårlig funktion defineret på masseoverfladen eller, fremhæver tidskomponenten (den rumlige del af 4-momentum vektoren er fremhævet med fed, det vil sige det sædvanlige momentum). Så har momentumrepræsentationen formen [146] : $f(p)={\sqrt {2\pi }}\delta (p^{2}-m^{2}){\tilde {f}}(p)$ ${\sqrt {2\pi ))$ ${\tilde {f}}(p)$ $s$ $p^{2}-m^{2}=0$ $p_{0}=\pm {\sqrt {{\mathbf {p}}^{2}+m^{2}}}$

\phi (x)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2))}\int d^{4}p\delta (p^{2}-m^{2 })e^{ipx}{\tilde {f}}(p)\,.

Tilstedeværelsen af deltafunktionen under integraltegnet betyder, at integrationen i det væsentlige ikke udføres over hele det 4-dimensionelle momentumrum, men kun over to felter af den tredimensionelle hyperboloid defineret af masseskalsligningen. De to tegn foran kvadratroden bestemmer to uafhængige løsninger, ved hjælp af hvilke feltfunktionen opdeles i to komponenter (hver for sig er relativistisk invariant) [146]

\phi (x)=\phi ^{+}(x)+\phi ^{-}(x)\,.

Så har momentumrepræsentationen af to uafhængige løsninger formen [146]

\phi ^{\pm }(x)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2))}\int d^{4}p\delta (p^{2} -m^{2}){\tilde {f}}^{\pm }(p)e^{\pm ipx}\,.

Ved at integrere over tidskomponenten opnår vi [147] $p_{0}$

\phi ^{\pm }(x)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{\sqrt {2p_{0}}}}e^{\pm ipx}a^{\pm }(\mathbf {p} )\,,

, hvor

a^{\pm }={\tilde {f}}^{\pm }/{\sqrt {2p_{0}}}\,.

Ved hjælp af momentumrepræsentationen af feltfunktionerne kan man også få feltets resterende karakteristika i momentumrepræsentationen. Lad os vise dette ved eksemplet med et 4-momentum for det samme virkelige Klein-Gordon skalarfelt [147] .

Afledning af momentumrepræsentationen for 4-momentum Klein-Gordon feltet

For at opnå en impulsrepræsentation af feltkarakteristikkerne skal man udtrykke disse feltkarakteristika i form af funktioner og derefter bruge impulsrepræsentationerne af sidstnævnte funktioner. For eksempel er feltet Hamiltonian [147] $\phi ^{\pm }(x)\,,$

H=\int d^{3}\mathbf {x} {\mathcal {H}}=1/2\int d^{3}\mathbf {x} [(\partial _{\nu}\ phi (x))^{2}+m^{2}\phi ^{2}(x)]\,.

Hvis vi her substituerer nedbrydningen af feltfunktionen i to led, får vi i firkantede parenteser forskellige parvise produkter af positivt og negativt frekvensfeltfunktioner og deres afledte. Det kan dog påvises, at produkter med samme fortegn faktisk bidrager med nul. For at gøre dette skal du bruge momentumrepræsentationen og det faktum, at produktet af to integraler er et dobbeltintegral over alle mulige kombinationer af argumenter [148] :

\int d^{3}\mathbf {x} [(\partial _{\nu}\phi ^{\pm }(x))^{2}+m^{2}(\phi ^{ \pm }(x))^{2}]={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\iint {\frac {d^{3}\mathbf {p} d^{ 3}\mathbf {p'} }{2{\sqrt {p_{0}p'_{0))))}a^{\pm }(\mathbf {p} )a^{\pm }(\ mathbf {p'} )e^{\pm i(p_{0}+p'_{0})x_{0}}(m^{2}-p_{\nu }p'_{\nu}) \int d^{3}\mathbf {x} e^{\mp i(\mathbf {p} +\mathbf {p'} )}\,.

Det sidste integral i dette udtryk vides at være lig med deltafunktionen , derfor kan hele udtrykket kun være ikke-nul, hvis denne deltafunktion ikke er lig med nul, hvilket kun er muligt under betingelsen (hvorfra også følger ). Men i dette tilfælde er udtrykket i parentes , hvilket er nul. Derfor er hele det oprindelige udtryk også lig nul. Således skal det oprindelige integral for Hamiltonian kun udtrykkes i form af produkter af funktioner med forskellige fortegn. Ved at anvende en lignende tilgang får vi, at [148] $\delta ({\mathbf {p}}+{\mathbf {p'}})$ ${\mathbf {p'}}=-{\mathbf {p}}$ $p_{0}=p'_{0}$ $m^{2}-p_{{\nu }}p'_{{\nu }}=m^{2}-(p_{0}^{2}+{\mathbf {p}}_{n} {\mathbf {p'}}_{n})=m^{2}-p_{0}^{2}+{\mathbf {p}}^{2}$

\int d^{3}\mathbf {x} [\partial _{\nu}\phi ^{+}(x)\partial _{\nu}\phi ^{-}(x)+m ^{2}\phi ^{+}(x)\phi ^{-}(x)]={\frac {1}{(2\pi )^{3))}\iint {\frac {d^ {3}\mathbf {p} d^{3}\mathbf {p'} }{2{\sqrt {p_{0}p'_{0))))}a^{+}(\mathbf {p } )a^{-}(\mathbf {p'} )e^{i(p_{0}-p'_{0})x_{0}}(m^{2}+p_{\nu}p '_{\nu })\int d^{3}\mathbf {x} e^{-i(\mathbf {p} -\mathbf {p'} )}\,.

I et sådant tilfælde giver det sidste integral en deltafunktion , derfor skal der være en lighed for at give et bidrag, der ikke er nul, til integralet. Så . Herfra kommer vi endelig $\delta ({\mathbf {p}}-{\mathbf {p'}})$ ${\mathbf {p}}={\mathbf {p'}}$ $m^{2}+p_{{\nu }}p'_{{\nu}}=m^{2}+p_{0}^{2}+{\mathbf {p}}^{2}= 2p_{0}^{2}$

\int d^{3}\mathbf {x} [\partial _{\nu}\phi ^{+}(x)\partial _{\nu}\phi ^{-}(x)+m ^{2}\phi ^{+}(x)\phi ^{-}(x)]={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int d^{3}\ mathbf {p} p_{0}a^{+}(\mathbf {p} )a^{-}(\mathbf {p} )\,.

På samme måde som Hamiltonianeren kan man opnå et lignende udtryk for andre komponenter i 4-moment-vektoren. Som et resultat får vi det generelle udtryk for 4-momentum:

P^{\mu }={\frac {1}{2}}\int d^{3}\mathbf {p} p^{\mu}(a^{+}(\mathbf {p} )a^{-}(\mathbf {p} )+a^{-}(\mathbf {p} )a^{+}(\mathbf {p} ))=\int d^{3}\mathbf { p} p^{\mu }a^{+}(\mathbf {p} )a(\mathbf {p} )\,.

Det første udtryk viser sig at være nødvendigt i kvantisering, når multiplikationsrækkefølgen spiller en rolle på grund af operatorernes ikke-kommutativitet i det generelle tilfælde.

Egenskab	Skalar felt[149]	vektor felt[150]	spinor felt[151]
Momentumrepræsentation af en feltfunktion: i udtryk $f({\mathbf {p}})$ ${\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{\sqrt {2p_{0}}} }f(\mathbf {p} )\,.$ $-en$ ansvarlig for partiklen, for antipartiklen. $b$	$e^{-ipx}a(\mathbf {p} )+e^{ipx}b^{+}(\mathbf {p} )\,,$ for et rigtigt felt $b=a\,.$	$\sum _{{n=1}}^{3}e_{{\mu }}^{n}({\mathbf {p}})(e^{{-ipx}}a_{n}({\ mathbf {p)))+e^{{ipx}}b_{n}^{+}({\mathbf {p))))$	${\begin{aligned}\sum _{r=1}^{2}(e^{-ipx}a_{r}(\mathbf {p} )u_{r}(\mathbf {p}) +\\e^{ipx}b_{r}^{+}(\mathbf {p} )v_{r}(\mathbf {p} ))\end{aligned}}$
Densitet af partikler med momentum Samlet antal partikler 4-momentum felt $n({\mathbf {p}})$ $\mathbf {p} \,.$ $N=\int d^{3}\mathbf {p} n(\mathbf {p} )\,.$ $P^{{\nu }}=\int d^{3}{\mathbf {p}}p^{{\nu }}n({\mathbf {p}})$	$(a^{+}({\mathbf {p}})a({\mathbf {p}})+b^{+}({\mathbf {p}})b({\mathbf {p}}) )$	$\sum _{{n=1}}^{3}(a_{n}^{+}({\mathbf {p}})a_{n}({\mathbf {p}})+b_{n} ^{+}({\mathbf {p)))b_{n}({\mathbf {p))))$	${\begin{aligned}\sum _{r=1}^{2}(a_{r}^{+}(\mathbf {p} )a_{r}(\mathbf {p} )-\ \b_{r}^{+}(\mathbf {p} )b_{r}(\mathbf {p} ))\end{aligned}}$
Oplade $(Q)$	$(a^{+}(\mathbf {p} )a(\mathbf {p} )-b^{+}(\mathbf {p} )b(\mathbf {p} ))\,,$ for et reelt felt er lig nul	$\sum _{n=1}^{3}(a_{n}^{+}(\mathbf {p} )a_{n}(\mathbf {p} )-b_{n}^{+ }(\mathbf {p} )b_{n}(\mathbf {p} ))$	${\begin{aligned}\sum _{r=1}^{2}(a_{r}^{+}(\mathbf {p} )a_{r}(\mathbf {p} )-\ \b_{r}^{+}(\mathbf {p} )b_{r}(\mathbf {p} ))\end{aligned}}$
Spin projektion på momentum retning	0	$b_{1}^{+}a_{1}-b_{1}a_{1}^{+}+b_{2}a_{2}^{+}-b_{2}^{+} a_{2}\,,$ indeks 1 og 2 svarer til partikler med spin projektioner, og det tredje indeks svarer til partikler med nul spin projektion $\pm 1\,,$

Feltkvantisering

Kvantisering betyder overgangen fra felter (feltfunktioner) til de tilsvarende operatorer (operator-værdi-funktioner), der virker på tilstandsvektoren (amplituden) Φ . I analogi med almindelig kvantemekanik karakteriserer tilstandsvektoren fuldstændigt den fysiske tilstand af et system af kvantiserede bølgefelter [152] [153] . Tilstandsvektoren er en vektor i et eller andet lineært rum, som kaldes Fock-rummet [154] .

Hovedpostulatet for bølgefeltkvantisering er, at operatorerne af dynamiske variable udtrykkes i termer af feltoperatorer på samme måde som det klassiske udtryk for disse størrelser i form af feltfunktioner (under hensyntagen til rækkefølgen af multiplikation, da multiplikationen af operatorer er generelt ikke-kommutative, i modsætning til produktet af almindelige funktioner). Poisson-parentesen (se Hamiltonsk formalisme) erstattes af kommutatoren for de tilsvarende operatorer [155] . Især den klassiske Hamiltonske formalisme omdannes til kvanteformalismen som følger:

[\psi ({\mathbf {x}},t),\psi ({\mathbf {x'}},t)]=[\pi ({\mathbf {x}},t),\pi ({ \mathbf {x'}},t)]=0

[\pi (\mathbf {x} ,t),\psi (\mathbf {x'} ,t)]=-i\delta ^{(3)}(\mathbf {xx'} ).

Disse er de såkaldte Bose-Einstein-kommutationsrelationer baseret på den sædvanlige kommutator - forskellen mellem operatørernes "direkte" og "inverse" produkter [156]

[A,B]=AB-BA.

Fermi-Dirac-kommutationsrelationerne er baseret på antikommutatoren - summen af operatørernes "direkte" og "inverse" produkter [156] :

[A,B]_{+}=AB+BA.

Kvantaet af de første felter adlyder Bose-Einstein-statistikken og kaldes bosoner , og kvantaet af de andet felter adlyder Fermi-Dirac-statistikken og kaldes fermioner . Bose-Einstein kvantiseringen af felter viser sig at være konsistent for partikler med heltals spin, mens for partikler med halvt heltals spin viser sig Fermi-Dirac kvantiseringen at være konsistent. Fermioner er således partikler med halvt heltals spin, mens bosoner er partikler med heltal [156] .

Fra kommuteringsrelationerne for feltfunktionen (generaliseret koordinat) og det tilsvarende generaliserede momentum kan man få kommuteringsrelationerne for fotonskabelses- og annihilationsoperatorerne [157]

[a_{\mathbf {p} },a_{\mathbf {p'} }^{+}]=\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'} ),[a_{\mathbf {p} },a_{\mathbf {p'} }]=[a_{\mathbf {p} }^{+},a_{\mathbf {p'} }^{+}]=0\,.

Felt som et sæt af harmoniske oscillatorer

Feltet kan repræsenteres som et uendeligt sæt af harmoniske feltoscillatorer. Dette kan vises ved eksemplet med Klein-Gordon-feltet. Den tredimensionelle (i tre rumlige koordinater) Fourier-transformation af feltfunktionen opfylder følgende ligning (Fourier-transformation af Klein-Gordon-ligningen)

\partial _{t}^{2}\phi (\mathbf {p} ,t)+(\mathbf {p} ^{2}+m^{2})\phi (\mathbf {p} ,t)=0,

som er differentialligningen for en harmonisk oscillator med frekvensen af hver fast tilstand af Fourier-udvidelsen. For hver sådan kvanteharmonisk oscillator , som det kendes fra kvantemekanikken, kan stationære tilstande relateres til hinanden ved at øge og formindske operatorer som følger [158] $\omega ={\sqrt {{\mathbf {p}}^{2}+m^{2}}}$ ${\mathbf {p}}$ $\phi _{n}$

{{\hat {a}}}^{+}{\phi }_{n}={{\sqrt {n+1}}}{\phi }_{{n+1}}

{\hat {a}}{\phi }_{n}={\sqrt {n}}{\phi }_{n-1},

og Hamiltonianeren er , hvor . Derfor kvantiseres oscillatorens energi , hvor er operatørens kvantetal-egenværdier [159] . $H={\hbar\omega}{(\hat{n}+1/2)}$ ${\hat {n}}={a}^{+}a$ $E_n={\hbar}{\omega}(n+1/2)$ $n$ ${\hat {n}}={a}^{+}a$

Brugen af en stigende eller faldende operator ændrer således kvantetallet med én og fører til den samme ændring i oscillatorens energi ( spektrumækvidistance ), hvilket kan tolkes som fødslen af en ny eller ødelæggelse af et feltkvante med energi . Det er denne fortolkning, der gør det muligt at bruge ovenstående operatorer som fødsels- og udslettelsesoperatorer . Enhver tilstand med et indeks kan repræsenteres som handlingen af fødselsoperatører på "nul"-tilstanden [159] : $n$ ${\hbar} {\omega}$ $n$ $n$

{\phi }_{n}={\frac {({\hat {a}}^{+})^{n}}{\sqrt {n!)}}}\phi _{0} .

I tilfælde af oscillatorer er systemets Hamiltonian lig med summen af Hamiltonianerne for de enkelte oscillatorer. For hver sådan oscillator kan man definere sine egne oprettelsesoperatorer . Derfor kan en vilkårlig kvantetilstand af et sådant system beskrives ved hjælp af besættelsesnumre, dvs. antallet af operatører af en given art k, der virker på vakuumet: $N$ $\hat{a}^+_k, k=1,...,N$ $n_{k}$

\phi (n_{1},...,n_{N})=\prod _{(k)}{\frac {({\hat {a_{k))}^{+})^ {n_{k))}{\sqrt {n_{k}!}}}\phi _{0}.

En sådan repræsentation kaldes fyldtalsrepræsentation . Essensen af denne repræsentation er, at i stedet for at specificere tilstandsvektoren som en funktion af koordinater (koordinatrepræsentation) eller som en funktion af impulser (impulsrepræsentation), er systemets tilstand karakteriseret ved nummeret på den exciterede tilstand - besættelsen nummer [160] .

Fock plads og repræsentation

I kvantefeltteorien er Hamiltonian, oprindeligt udtrykt som en funktion af og , i sidste ende også udtrykt i form af de tilsvarende skabelses- og udslettelsesoperatører af feltkvanter. Hovedprincippet er bevaret - eventuelle operatorer (inklusive Hamiltonianeren) udtrykkes gennem disse oprettelses- og udslettelsesoperatorer samt de tilsvarende funktioner før kvantisering. Den eneste forskel er, at den rækkefølge, som operatorer skrives i, har betydning, da operatorer, i modsætning til almindelige funktioner, generelt er ikke-kommutative. $\psi$ $\pi$

Alle operatører af skabelse og udslettelse og deres kombinationer, operatører af selve felterne og deres derivater - de opererer alle i det uendeligt -dimensionelle Fock-rum . I Fock-rummet bestemmes først og fremmest vakuumet (vakuumtilstanden) eller analogt med nultilstanden for en kvanteoscillator. Vakuum er defineret som [161] $\Phi _{0}$ $|0\interval$

a(\mathbf {p} )|0\rangle =\langle 0|a^{+}(\mathbf {p} )=0,\langle 0|0\rangle =1\,.

Vilkårlige tilstande er givet som vakuumexcitationer af følgende form [154] :

|f\rangle =\int d^{3}\mathbf {p_{1}} d^{3}\mathbf {p_{2}} ...d^{3}\mathbf {p_{k }} f(\mathbf {p_{1}} ,\mathbf {p_{2}} ,...,\mathbf {p_{k}} )a^{+}(\mathbf {p_{1}} ) a^{+}(\mathbf {p_{2}} )...a^{+}(\mathbf {p_{k}} )|0\rangle .

Dette er Fock-repræsentationen for k-partikeltilstanden. Funktionerne f er de sædvanlige kvantemekaniske bølgefunktioner. De antages normalt at være kvadratiske integrerbare, således at normerne for tilstandsvektorerne er endelige. Tilstande med uendelig norm giver dog også mening. For eksempel har tilstanden en uendelig norm , men denne tilstand svarer til en enkeltpartikeltilstand med et vist momentum, og hvis vi betragter den rumlige tæthed af sådanne partikler, så viser den sig at være endelig [154] . $a^{+}(\mathbf {p} )|0\rangle$ $(\delta(0))$

Normalt og kronologisk arbejde. Wicks sætning

Det følger af definitionen af vakuum, at vakuumgennemsnittet af produktet af et vilkårligt antal fødsels- og udslettelsesoperatører, hvor alle fødselsoperatører er til venstre for alle udslettelsesoperatører, er lig nul . Den tilsvarende rækkefølge, hvori oprettelses- og destruktionsoperatorerne er skrevet, kaldes normal form eller normal rækkefølge [162] . For at understrege, at operatørerne normalt er bestilt, er de tilsvarende produkter f.eks. indesluttet i parentes af kolon, eller du kan angive under tegnet af en betinget operatør [163] . $\colon \phi (x)\phi (y)\colon$ ${\mathcal {N}}\{\phi (x)\phi (y)\}$

Normalformen er relateret til normalformen gennem kommutatoren af operatorer, nemlig den "almindelige" form er lig med normalformen plus (anti)kommutatoren for de tilsvarende operatorer ("forkert" ordnet). For eksempel,

\phi (x)\phi (y)=\phi ^{+}(x)\phi ^{+}(y)+\phi ^{+}(x)\phi ^{-}(y )+\phi ^{-}(x)\phi ^{+}(y)+\phi ^{-}(x)\phi ^{-}(y).

I denne notation er kun ét led ikke skrevet i normal form; derfor kan vi skrive

\phi (x)\phi (y)=(\phi ^{+}(x)\phi ^{+}(y)+\phi ^{+}(x)\phi ^{-}( y)+\phi ^{+}(y)\phi ^{-}(x)+\phi ^{-}(x)\phi ^{-}(y))+(\phi ^{-}( x)\phi ^{+}(y)-\phi ^{+}(y)\phi ^{-}(x))={\mathcal {N))\{\phi (x)\phi (y )\}+[\phi ^{-}(x),\phi ^{+}(y)].

Således vil vakuumforventningen af operatørernes originale produkt i det væsentlige kun blive bestemt af den sidste kommutator [163] .

Et kronologisk arbejde er defineret som et arbejde ordnet efter tidsvariablen (nulkomponenten af 4-koordinaterne):

Tf_{1}(x_{1})f_{2}(x_{2})...f_{n}(x_{n})=(-1)^{{\sigma }}f_{{i_{ 1}}}(x_{{i_{1}}})f_{{i_{2}}}(x_{{i_{2}}})...f_{{i_{n}}}(x_{ {i}}})

, hvor

x_{i_{1}}^{0}>x_{i_{1}}^{0}>...>x_{i_{n}}^{0},

hvor er antallet af permutationer af fermioniske felter indbyrdes i løbet af T-orden (permutationen af bosoniske felter påvirker ikke tegnet) [164] . ${\sigma}$

Overvej det enkleste tilfælde af produktet af et par feltfunktioner ved forskellige rum-tidspunkter . Som nævnt ovenfor kan dette produkt af operatører udtrykkes i form af normal form plus en kommutator. Under tegnet for kronologisk orden skal du her lave en modifikation - i stedet for kommutatoren skal du bruge den såkaldte foldning svarende til kommutatoren hvis og kommutatoren hvis . Således er det kronologiske produkt af to feltfunktioner lig med deres produkt i normal form plus foldningen [163] : $\phi (x)\phi (y)$ $\overline {\phi (x)\phi (y)}$ $[\phi ^{-}(x),\phi ^{+}(y)]$ $x^{0}>y^{0}$ $[\phi ^{-}(y),\phi ^{+}(x)]$ $y^{0}>x^{0}$

{\mathcal {T}}\{\phi (x)\phi (y)\}={\mathcal {N}}\{\phi (x)\phi (y)\}+{\overline {\phi (x)\phi (y))).

Wicks teorem generaliserer denne repræsentation til tilfældet med et vilkårligt antal faktorer:

{\mathcal {T}}\{f_{1}f_{2}...f_{n})\}=\sum (-1)^{\sigma }{\overline {f_{i_{ 1}}f_{i_{2}}}}...{\overline {f_{i_{k-1}}f_{i_{k}}}}{\mathcal {N}}\{f_{i_{ k+1}}...f_{i_{n}}\},

hvor summen overtages alle mulige parvise foldninger af funktioner ( er lige tal fra 0 til ) [165] . $k$ $n$

Grundlæggende kommuteringsrelationer

Lad os definere et eksplicit udtryk for vakuumforventningen af produktet fra feltoperatorer i Klein-Gordon skalarfelt under hensyntagen til ovenstående [166]

\langle 0|\phi (x)\phi (y)|0\rangle =\langle 0|[\phi ^{-}(x)\phi ^{+}(y)]|0\rangle =[\phi ^{-}(x)\phi ^{+}(y)]={\frac {1}{(2\pi )^{3))}\iint {\frac {d^{3 }\mathbf {p} d^{3}\mathbf {p'} }{2{\sqrt {p_{0}p'_{0))))}e^{-ip(xy)}[a( \mathbf {p} )a^{+}(\mathbf {p} )]=

={\frac {1}{(2\pi )^{3))}\iint {\frac {d^{3}\mathbf {p} d^{3}\mathbf {p'} } {2{\sqrt {p_{0}p'_{0}}}}}e^{-ip(xy)}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'} )={\frac { 1}{(2\pi )^{3}}}\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{2p_{0}}}e^{-ip(xy)}.

Lad os betegne denne funktion som . Dette er amplituden af partikeludbredelse fra punkt til punkt . Det kan påvises, at denne funktion er Lorentz-invariant. Feltfunktionskommutatoren udtrykkes i form af denne funktion som følger: $D^{-}(xy)$ $y$ $x$

[\phi (x)\phi (y)]=D^{-}(xy)-D^{-}(yx)=D(xy)={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{2p_{0}}}(e^{-ip(xy)}-e^{-ip(yx) }).

For ethvert rumlignende interval kan man vælge en referenceramme, så den skifter fortegn, og på grund af Lorentz-invarians betyder det, at den tilsvarende kommutator er lig nul. Det betyder, at målinger er mulige på punkter adskilt af et rumlignende interval, og de påvirker ikke hinanden. Det vil sige, at ingen dimension kan påvirke en anden dimension uden for lyskeglen. Dette betyder overholdelse af kausalitetsprincippet i kvantefeltteori. For komplekse felter kræver kausalitetsprincippet tilstedeværelsen af et partikel-antipartikel-par med identiske masser og modsatte "ladninger" [167] . $(xy)^{2}<0$ $xy$

Feltoperatørkommutatorer med fødsels- og dødsoperatører er nemmere at udlede. Vi præsenterer disse kommuteringsrelationer uden afledning.

For et skalært felt $[a^{{\pm }}({\mathbf {p}}),\phi (x)]=\pm {\frac {e^{{\pm ipx}}}{(2\pi )^{ {3/2}}{\sqrt {2p_{0}}}}}$

Til spinorfeltet $[a_{r}({\mathbf {p}}),{\bar {\psi }}(x)]={\frac {e^{{ipx}}{\bar {u}}_{r} ({\mathbf {p}})}{(2\pi )^{{3/2}}{\sqrt {2p_{0}}}}}$

Til elektromagnetisk felt $[a_{{\lambda }}({\mathbf {p}}),A_{{\mu }}(x)]=-{\frac {e^{{ipx}}e_{{\mu }}^ {{\lambda }}({\mathbf {p}})}{(2\pi )^{{3/2}}{\sqrt {2p_{0}}}}}$

Propagatorer

Overvej vakuumgennemsnittet af det kronologiske produkt af to feltoperatører af et skalarfelt [168] :

D^{c}(xy)=i\langle 0|T\phi (x)\phi (y)|0\rangle =i(\theta (x_{0}-y_{0})D^ {-}(xy)+\theta (y_{0}-x_{0})D^{-}(yx))=

={\frac {i}{(2\pi )^{3}}}\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{2p_{0}}}(\theta ( x_{0}-y_{0})e^{-ip(xy)}+\theta (y_{0}-x_{0})e^{-ip(yx)})\,.

Funktionen er jævn. Det kan direkte verificeres, at denne funktion er Greens funktion for Klein-Gordon-operatøren, det vil sige [168] $D^{c}(x)$

(\partial ^{2}+m^{2})D^{c}(x)=\delta (x).

Derfor skal den 4-dimensionelle Fourier-transformation af denne funktion være proportional med . Men på grund af usikkerheden på punkter på masseskallen, er momentumrepræsentationen af denne funktion skrevet som følger [168] : $(m^{2}-p^{2})^{{-1}}$ $m^{2}-p^{2}=0$

D^{c}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {\frac {d^{4}pe^{-ipx}}{m ^{2}-p^{2}-i\epsilon }}\,,

hvor er en infinitesimal værdi, der definerer polernes bypass ved integration over . $\epsilon$ $p_{0}=\pm {\sqrt {{\mathbf {p}}^{2}+m^{2}}}$ $p_{0}$

Basisfeltpropagatorer (kun foldninger af identiske felter med modsatte ladninger er ikke-nul) [169] :

Mark	Værdi	Formel
Reelt eller komplekst skalarfelt [170]	$\langle 0\|T\phi (x)\phi ^{*}(y)\|0\rangle$	$-iD^{c}(xy)={\frac {i}{(2\pi )^{4}}}\int {\frac {d^{4}pe^{{-ip(xy))) }{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}$
Spinor felt [171]	$\langle 0\|T\psi (x){\bar {\psi }}(y)\|0\rangle$	$({\hat {\partial ))_{x}-im)D^{c}(xy)={\frac {i}{(2\pi )^{4))}\int {\frac {d ^{4}pe^{{-ip(xy)}}({\hat {p}}+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}$
Massivt vektorfelt	$\langle 0\|TU_{\mu }(x)U_{\nu }^{*}(y)\|0\rangle$	${\frac {-i}{(2\pi )^{4}}}\int {\frac {d^{4}pe^{{-ip(xy)))(g_{{\mu \nu } }-p_{{\mu }}p_{{\nu }}/m^{2})}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}$
Ægte masseløst vektorfelt (elektromagnetisk) [171]	$\langle 0\|TA_{\mu }(x)A_{\nu }(y)\|0\rangle$	${\frac {-i}{(2\pi )^{4}}}\int {\frac {d^{4}pe^{{-ip(xy)))g_{{\mu \nu }} }{p^{2}+i\epsilon}}$

S-matrix

Lad begyndelsestilstanden for felterne i den "fjerne" fortid og den endelige tilstand i den "fjerne" fremtid være angivet . Det antages, at der ikke er nogen interaktion i den "fjerne" fortid og fremtid, men den "tænder" i et eller andet begrænset rum-tidsområde. Operatøren , der tager starttilstanden til den sidste, kaldes spredningsoperatoren [172] [173] : $|in\rangle$ $|out\rangle$ $S$

|out\rangle =S|in\rangle .

Følgelig er amplituden af overgangen fra den oprindelige tilstand til den endelige tilstand [174] : ${\mathcal {M}}$

{\mathcal {M}}=\langle out|S|in\rangle .

Spredningsoperatoren kan på et eller andet grundlag udtrykkes i form af matrixelementer. Den tilsvarende uendelig-dimensionelle matrix kaldes spredningsmatrix eller -matrix. Kvadraterne af modulerne af matrixelementerne bestemmer sandsynligheden for overgange mellem basisvektorerne for start- og sluttilstanden [173] . $S$

Baseret på de generelle krav om relativistisk kovarians, kausalitet, enhed, samt korrespondanceprincippet, kan det påvises, at -matricen (operator) er udtrykt i forhold til interaktionen Lagrangian som følger (denne formel opnås nogle gange også ved brug af forstyrrelse teori) [175] : $S$

S=Te^{i\int d^{4}x{\mathcal {L}}_{I}(\phi (x))}=\sum _{n}{\frac {i^{ n}}{n!}}T(\int d^{4}x{\mathcal {L}}_{I}(x))^{n}=\sum _{n}{\frac {i^ {n}}{n!}}\int T\prod _{j=1}^{n}d^{4}x_{j}{\mathcal {L}}_{I}(x_{j}) ,

$Te$ - kronologisk eksponent, -eksponent, forstået som en nedbrydning i ovenstående uendelige rækker i -værker (kronologiske værker) . $T$ $T$ $T\prod _{{j=1}}^{n}$

Lad den oprindelige tilstand have formen og den endelige tilstand . Så vil bidraget fra -. orden af perturbationsteorien være lig med vakuumforventningsværdien af følgende form (koblingskonstanten er afledt af interaktionen Lagrangian) [175] : $|in\rangle =a^{+}(\mathbf {p_{1}} )...a^{+}(\mathbf {p_{s}})|0\rangle$ $|out\rangle =a^{+}(\mathbf {p'_{1}} )...a^{+}(\mathbf {p'_{r}} )|0\rangle$ $n$ $g$

{\frac {i^{n}g^{n}}{n!)}}\langle 0|a(\mathbf {p'_{1}} )...a(\mathbf {p ' _{r}} )\int T\prod _{j=1}^{n}d^{4}x_{j}{\mathcal {L}}_{I}(x_{j})a^ { +}(\mathbf {p_{1}} )...a^{+}(\mathbf {p_{s}} )|0\rangle .

Under hensyntagen til Wick-sætningen vil vakuumforventningsværdier af denne art blive dekomponeret i termer, hvor alle foldninger i disse termer vil blive taget som vakuumforventningstegn, og de resterende feltoperatorer i normal form vil kun deltage i (anti ) kommutatorer med start- og sluttilstandsoperatører, der genererer standardbidrag fra sådanne switches. Et bidrag, der ikke er nul, kan kun ydes af de udtryk, hvor antallet og typen af felter under tegnet for det normale produkt vil svare til typen og det samlede antal partikler i start- og sluttilstanden. Disse bidrag, der ikke er nul, er også taget ud af tegnet på vakuumforventningsværdien (fordi de heller ikke er operatører), og disse termer indeholder faktorer med vakuumplader uden operatører , hvilket er lig med enhed pr. definition. I finite udtryk er der derfor ingen operatorer og vakuumplader tilbage, kun foldninger og udtryk for kommutatorer af feltoperatorer med operatorer af begyndelses- og sluttilstande tilbage. Konvolutioner erstattes af deres momentumrepræsentationer - propagatorer, og integration over rum-tid-koordinater eliminerer alle eksponentialer og erstatter dem med deltafunktioner af summen af 4-momenta. Momentum-integraler ødelægger også de fleste af disse delta-funktioner. Hvilke endelige udtryk der opnås kan formaliseres ved hjælp af reglerne og de tilsvarende Feynman-diagrammer. $\langle 0|0\rangle$

Eksempel

Feynman regler og diagrammer

Stiintegraler

Formuleringen af QFT i form af sti-integraler er forbundet med den direkte beregning af spredningsamplituden af en bestemt interaktionsproces og ikke med definitionen af operatorer og tilstandsrum. For at beregne sandsynlighedsamplituden for udviklingen af et system fra en begyndelsestilstand på tidspunktet t = 0 til en endelig tilstand ved t = T , opdeles den samlede tid T i N små intervaller. Den totale amplitude er produktet af udviklingsamplituden i hvert tidsinterval, integreret over alle mellemtilstande. Lad H være Hamiltonianeren (det vil sige generatoren af evolution i tiden), så [176] $|\phi _{I}\rangle$ $|\phi _{F}\rangle$

\langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int d\phi _{1}\int d\phi _{2}\cdots \int d\phi _{N-1}\,\langle \phi _{F}|e^{-iHT/N}|\phi _{N-1}\rangle \cdots \langle \phi _{2}| e^{-iHT/N}|\phi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|e^{-iHT/N}|\phi _{I}\rangle .

Ved at gå til grænsen N → ∞ , bliver det angivne produkt af integraler et funktionelt integral [177] :

\langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int {\mathcal {D))\phi (t)\,\exp \left\{ i\int _{0}^{T}dt\,L\right\},

hvor L er en Lagrangian indeholdende ϕ og dens derivater med hensyn til de rumlige og tidsmæssige koordinater opnået fra Hamiltonian H ved hjælp af Legendre transformationen . De indledende og endelige betingelser for stiintegralet er henholdsvis [178]

\phi (0)=\phi _{I},\quad \phi (T)=\phi _{F}\,.

Med andre ord er den totale amplitude summen over amplituden af alle mulige baner mellem start- og sluttilstanden, hvor amplituden af stien er givet af eksponenten i integranden [178] .

To-punkts korrelationsfunktion

I beregninger kan udtryk som f.eks

\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle \quad {\text{eller))\quad \langle \Omega |T\{\phi (x) \phi (y)\}|\Omega \rangle

i henholdsvis en fri teori eller en teori med interaktion. Her, og er koordinat 4-vektorer, er den tidsordnede operatør , som omarrangerer operatørerne på en sådan måde, at tiden for komponenterne og øges fra højre til venstre komponenter, og er grundtilstanden ( vakuumtilstand ) for den interagerende teori , forskellig fra den frie grundtilstand . Dette udtryk er sandsynlighedsamplituden af feltudbredelsen fra y til x og har adskillige navne, såsom topunktspropagator , topunktskorrelationsfunktion , topunkts Greens funktion eller topunktsfunktion for kort [179] . $x$ $y$ $T$ $x^0$ $y^{0}$ $|\omega \rangle$ $|0\rangle$

Den frie topunktsfunktion, også kendt som Feynman-propagatoren , findes for et reelt skalarfelt enten ved kanonisk kvantisering eller ved vejintegraler [180] [181] :

\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle \equiv D_{F}(xy)=\lim _{\epsilon \to 0}\int {\ frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{p_{\mu }p^{\mu}-m^{2}+i\epsilon } }e^{-ip_{\mu}(x^{\mu}-y^{\mu})}\,.

I en teori med interaktion, hvor Lagrangian eller Hamiltonian indeholder termer eller beskriver interaktioner, er det sværere at definere en topunktsfunktion. Ved at bruge den kanoniske kvantiseringsformulering eller stiintegralformuleringen kan den dog udtrykkes i form af en uendelig række af forstyrrelser af en "fri" topunktsfunktion. $L_{I}(t)$ $H_{I}(t)$

Med hensyn til kanonisk kvantisering er topunktskorrelationsfunktionen skrevet som [182] :

\langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac { \left\langle 0\left|T\left\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt \,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }{\left\langle 0\left|T\left\{\exp \left[-i\int _{ -T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }}\,,

hvor ε er infinitesimal og ϕ I er en feltoperator inden for rammerne af en fri teori. Her skal eksponenten forstås som dens potensrækker . For eksempel, i ϕ 4 -teorien er Hamiltonianerens interagerende led [183] , og udvidelsen af topunktskorrelatoren i bliver [184] ${\textstyle H_{I}(t)=\int d^{3}x\,{\frac {\lambda }{4!}}\phi _{I}(x)^{4}}$ $\lambda$

\langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle ={\frac {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\ frac {(-i\lambda )^{n}}{(4!)^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n} \langle 0|T\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\phi _{I}(z_{1})^{4}\cdots \phi _{I}( z_{n})^{4}\}|0\rangle }{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\lambda )^{n}}{(4 !)^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n}\langle 0|T\{\phi _{I}(z_{ 1})^{4}\cdots \phi _{I}(z_{n})^{4}\}|0\rangle }}\,.

Denne forstyrrelsesudvidelse udtrykker den interagerende topunktsfunktion i form af mængder , som estimeres i en "fri" teori. $\langle 0|\cdots |0\rangle$

I formuleringen af stiintegralet skrives topunktskorrelationsfunktionen som [185]

\langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac { \int {\mathcal {D}}\phi \,\phi (x)\phi (y)\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\ mathcal {L}}\right]}{\int {\mathcal {D}}\phi \,\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\ mathcal {L}}\right]}}\,,

hvor er den lagrangiske tæthed. Som i det foregående afsnit kan eksponentialet udvides til en serie i λ , hvilket reducerer den interagerende topunktsfunktion til mængder i den frie teori. $\mathcal{L}$

Wicks sætning reducerer desuden enhver n - punktskorrelationsfunktion i en fri teori til summen af produkter af topunktskorrelationsfunktioner. For eksempel,

{\begin{aligned}\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\phi (x_{3})\phi (x_{4})\} |0\rangle &=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{3}) \phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{3})\}|0\rangle \langle 0 |T\{\phi (x_{2})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{ 4})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{3})\}|0\rangle .\end{aligned}}\,.

Da interagerende korrelationsfunktioner kan udtrykkes i form af frie korrelationsfunktioner, for at beregne alle fysiske størrelser i en (perturbativ) interagerende teori er det nødvendigt kun at evaluere sidstnævnte [186] [187] . Dette gør Feynman-propagatoren til en af de vigtigste størrelser i kvantefeltteorien.

Feynman diagram

Korrelationsfunktioner i teorien om interaktioner kan skrives som en række forstyrrelser. Hvert udtryk i denne serie er produktet af Feynman-propagatorerne for frie partikler og kan visuelt repræsenteres af et Feynman-diagram . ϕ 4 -teori er den enkleste interaktionsteori og overvejes ofte i pædagogiske formål. En sådan ikke-linearitet kan forekomme i statistisk fysik og i standard elektrosvag teori. Lagrangian af denne teori er skrevet som [188]

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{ 2}\phi ^{2}-{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4}\,,

hvor λ er en dimensionsløs koblingskonstant , som er en lille parameter, som perturbationsteorirækken er opbygget på [179] . For eksempel λ 1 i topunktskorrelationsfunktionen ( Greens funktion ) i teorien ϕ 4

{\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\phi (z)\ phi (z)\phi (z)\phi (z)\}|0\rangle \,.

Efter at have anvendt Wick-sætningen vises termer i formen [189] :

12\cdot {\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,D_{F}(xz)D_{F}(yz)D_{F}(zz )\,,

hvor er Feynman-propagatoren. I stedet er det samme udtryk hentet fra Feynman-diagrammet $D_{F}(xy)$

Diagrammet består af [190]

ydre hjørner forbundet med en enkelt kant og repræsenteret af punkter (her betegnet med og ). $x$ $y$
indre hjørner forbundet med fire kanter og repræsenteret af punkter (her betegnet med ). $z$
kanter , der forbinder hjørner og er repræsenteret ved linjer.

Hvert toppunkt svarer til én feltfaktor ved det tilsvarende rum-tid-punkt, og kanterne svarer til udbredelse mellem rum-tid-punkter. Udtrykket i perturbationsrækken svarende til diagrammet fås ved at skrive et udtryk, der følger af Feynmans regler [190] : $\phi$

For hvert indre toppunkt skrives koefficienten ; $z_{i}$ ${\textstyle -i\lambda \int d^{4}z_{i}}$
For hver kant, der forbinder to hjørner og , skrives koefficienten ; $z_{i}$ ${\displaystyle z_{j))$ $D_{F}(z_{i}-z_{j})$
Divider med diagrammets symmetrifaktor.

Med en symmetrifaktor på giver det at følge disse regler præcis ovenstående udtryk. Ved Fourier-transformation af propagatoren kan Feynmans regler omformuleres fra koordinatrum til momentumrum [190] . $2$

For at beregne en n - punktskorrelationsfunktion op til den k . orden, opregn alle gyldige Feynman-diagrammer med n -ydre punkter og k eller færre hjørner, og brug derefter Feynmans regler til at udlede et udtryk for hvert led. Mere præcist [191] ,

\langle \Omega |T\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|\Omega \rangle

er lig med summen (af de tilsvarende udtryk) af alle forbundne diagrammer med n eksterne punkter. (Forbundne diagrammer er dem, hvor hvert toppunkt er forbundet med et ydre punkt ved hjælp af linjer. Komponenter, der er fuldstændig adskilt fra de ydre linjer, kaldes nogle gange "vakuumbobler".) I ϕ 4 skal hvert toppunkt have fire ben [192] .

I virkelige applikationer kan spredningsamplituden af en bestemt interaktion eller partikelnedbrydningshastighed beregnes ud fra S-matrixen , som findes ved hjælp af Feynman-diagrammetoden [193] .

Feynman-diagrammer uden "sløjfer" kaldes trædiagrammer , som beskriver interaktionsprocesser af lavere orden; diagrammer, der indeholder n sløjfer, kaldes n -loop diagrammer, som beskriver højere ordens bidrag eller strålingskorrektioner til interaktionen [194] . Linjer, hvis endepunkter er toppunkter, kan betragtes som udbredelse af virtuelle partikler [189] .

Renormalisering

Feynmans regler kan bruges til direkte at evaluere trædiagrammer. Imidlertid vil naiv beregning af sløjfediagrammer som det, der er vist ovenfor, føre til divergerende momentumintegraler, dvs. næsten alle led i den perturbative ekspansion er uendelige. Renormaliseringsproceduren er en systematisk proces til at fjerne sådanne uendeligheder [195] .

Parametrene [K 3] inkluderet i Lagrangian, såsom massen m og koblingskonstanten λ , har ingen fysisk betydning - m , λ og feltstyrken ϕ er ikke eksperimentelt målte størrelser og omtales her som bar masse, bare koblingskonstant og bart felt . Den fysiske masse og koblingskonstanten måles i en eller anden interaktionsproces og adskiller sig sædvanligvis fra blottede mængder [196] . Ved beregning af fysiske størrelser i denne proces begrænser interaktionerne integrationsområdet for divergerende integraler over momenta til en værdi under en eller anden tærskelværdi for momentumet Λ for at opnå udtryk for fysiske størrelser, og går derefter til grænsen Λ → ∞ . Dette er et eksempel på regularisering , en klasse af metoder til at eliminere singulariteter i QFT, hvor Λ er regulariseringsparameteren [197] .

Fremgangsmåden illustreret ovenfor kaldes bare perturbationsteori, fordi kun nøgne mængder såsom masse og koblingskonstant bruges i beregningerne. En anden tilgang, kaldet renormaliseret perturbationsteori, er at bruge fysisk signifikante mængder fra starten. I tilfælde af ϕ 4 -teorien omdefineres feltstyrken først [197] :

\phi =Z^{1/2}\phi _{r}\,,

hvor ϕ er et blottet felt, ϕ r er et renormaliseret felt, og Z er en konstant, der skal bestemmes. Densiteten af Lagrangian har formen [198] :

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r} )-{\frac {1}{2}}m_{r}^{2}\phi _{r}^{2}-{\frac {\lambda _{r}}{4!)}}\phi _ {r}^{4}+{\frac {1}{2}}\delta _{Z}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu}\phi _ {r})-{\frac {1}{2}}\delta _{m}\phi _{r}^{2}-{\frac {\delta _{\lambda }}{4!)} }\ phi _{r}^{4},

hvor m r og λ r er henholdsvis den eksperimentelt målte renormaliserede masse og koblingskonstant, og

\delta _{Z}=Z-1,\quad \delta _{m}=m^{2}Z-m_{r}^{2},\quad \delta _{\lambda }=\ lambda Z^{2}-\lambda _{r}

er konstanter, der skal bestemmes. De første tre led er ϕ 4 skrevet i form af renormaliserede mængder, mens de sidste tre led kaldes "modled". Da Lagrangian nu indeholder flere udtryk, skal Feynman-diagrammer indeholde yderligere elementer, hver med sine egne Feynman-regler. Fremgangsmåden er beskrevet som følger. Først vælges en regulariseringsmetode (for eksempel afgrænsningsregularisering eller dimensionel regularisering introduceret ovenfor). Feynman-diagrammer beregnes, hvor de divergerende vilkår vil afhænge af regulariseringsparameteren Λ . Derefter bestemmes δ Z , δ m og δ λ , således at Feynman - diagrammerne for modleddene nøjagtigt ophæver de divergerende led i normale Feynman - diagrammer , når grænsen Λ → ∞ tages . På denne måde opnås endelige værdier [199] .

At eliminere alle uendeligheder for at opnå det endelige resultat er kun muligt i renormaliserbare teorier, mens i ikke-renormaliserbare teorier kan uendeligheder ikke fjernes ved at omdefinere et lille antal parametre. Standardmodellen for elementarpartikler er renormaliserbar QFT [200] , mens kvantetyngdekraften ikke kan renormaliseres [201] .

I kvanteelektrodynamik, ved beregning af korrektioner til Coulomb-interaktionen, under hensyntagen til træet (løkkeløse) og én-sløjfediagrammer [202] , et modificeret Coulomb-potentiale af formen

{\frac {e_{0}^{2}}{4\pi r}}\left(1-{\frac {e_{0}^{2}}{6\pi ^{2}} }\ln {\frac {\Lambda }{m}}\right)+{\text{terminaler}}\,,

hvor er den blottede ladning, er afstanden til ladningen, er elektronens masse, er parameteren ansvarlig for den ultraviolette afskæring, som begrænser partikelmomentet ved beregning af spredningsamplituden. På trods af at dette udtryk matematisk divergerer, men for at denne korrektion skal være lig med hovedleddet, er der behov for en masse på ~ 10 250 g, som overstiger universets masse i størrelsesorden [203] . En blottet ladning er ikke observerbar af sig selv, da den er omgivet af ladede virtuelle partikler, og de screener denne ladning [204] . I virkeligheden, på store afstande, observeres en anden fysisk ladning , som kan beregnes mere nøjagtigt under hensyntagen til multiloop-diagrammer [205] $e_{0}$ $r$ $m$ $\lambda$ $\lambda$ $e_{\text{fysisk))$

e_{\text{fysisk}}^{2}\ca. {\frac {e_{0}^{2}}{1+{\frac {e_{0}^{2}}{6\pi ^{2))}\ln {\frac {\Lambda }{m))))\,.

Dette udtryk viser sig at være begrænset for enhver værdi, hvis det omskrives som $\Lambda \,.$

e_{0}^{2}\ca. {\frac {e_{\text{fysisk}}^{2}}{1-{\frac {e_{\text{fysisk}}^{2}} {6\pi ^{2}}}\ln {\frac {\Lambda }{m))))\,,

så kan det ses, at ved en vis værdi ( Landau pol ) bliver den blotte ladning uendelig [203] . $\lambda$

Renormaliseringsgruppe

Renormaliseringsgruppen, udviklet af Kenneth Wilson , er et matematisk værktøj, der bruges til at studere ændringer i fysiske parametre (koefficienter i Lagrangian), når et system betragtes i forskellige skalaer [206] . Måden, hvorpå hver parameter varierer med skalaen, er beskrevet af dens β-funktion [207] . Korrelationsfunktionerne, der ligger til grund for kvantitative forudsigelser, varierer med skala i henhold til renormaliseringsgruppeligningen [208] .

For eksempel har koblingskonstanten i QED, nemlig den elementære ladning e , følgende β-funktion :

\beta (e)\equiv {\frac {1}{\Lambda }}{\frac {de}{d\Lambda }}={\frac {e^{3}}{12\pi ^{ 2}}}+O(e^{5}),

hvor Λ er den energiskala, hvor e måles . Denne differentialligning betyder, at den observerede elementære ladning stiger med skalaen [209] . Den renormaliserede koblingskonstant, som varierer med energiskalaen, kaldes også den løbende koblingskonstant [210] .

Koblingskonstanten g i kvantekromodynamik , en ikke-abelsk gauge-teori baseret på SU(3) symmetrigruppen , har følgende β-funktion :

\beta (g)\equiv {\frac {1}{\Lambda }}{\frac {dg}{d\Lambda }}={\frac {g^{3}}{16\pi ^{ 2}}}\left(-11+{\frac {2}{3}}N_{f}\right)+O(g^{5}),

hvor Nf er antallet af kvarksmag . I det tilfælde, hvor Nf ≤ 16 (for standardmodellen Nf = 6 ), falder koblingskonstanten g med stigende energiskala. Derfor, mens den stærke kraft er stærk ved lave energier, bliver den meget svag ved høje energier, et fænomen kendt som asymptotisk frihed [211] .

Konforme feltteorier (CFT'er) er specielle QFT'er, der tillader konform symmetri . De er ufølsomme over for skalaændringer, da alle deres koblingskonstanter har en forsvindende lille β -funktion. Det modsatte er dog ikke sandt - forsvinden af alle β-funktioner indebærer ikke konform symmetri af teorien [212] . Eksempler inkluderer strengteori [77] og N =4 supersymmetrisk Yang-Mills teori [213] .

Ifølge Wilsons opfattelse er hver QFT fundamentalt begrænset i energi Λ , det vil sige, at teorien ikke længere er gyldig ved energier højere end Λ , og alle frihedsgrader over Λ- skalaen skal ikke tages i betragtning. For eksempel kan grænsen være den gensidige atomafstand i et kondenseret medium, og i partikelfysik kan den være forbundet med rum-tidens fundamentale "kornighed" forårsaget af kvanteudsving i tyngdekraften. Skalaen af grænsen i partikelinteraktionsteorier ligger langt ud over nuværende eksperimenter. Selvom teorien ville være meget kompleks på denne skala, så længe dens koblinger er tilstrækkeligt svage, skal den beskrives ved lave energier af en renormaliserbar effektiv feltteori [214] . Forskellen mellem renormaliserbare og ikke-renormaliserbare teorier er, at førstnævnte er ufølsomme over for detaljerne i interaktioner ved høje energier, mens sidstnævnte er uafhængige af dem [53] . Ifølge dette synspunkt bør ikke-renormaliserbare teorier betragtes som lavenergieffektive teorier for en mere fundamental teori. Manglen på at undgå begrænsningen af Λ fra beregninger i en sådan teori indikerer blot, at nye fysiske fænomener dukker op på skalaer større end Λ , hvor en ny teori er nødvendig [215] .

Aksiomatisk kvantefeltteori

På grund af problemer med divergenser opstod behovet for at skabe en matematisk streng QFT [216] . Denne tilgang kaldes aksiomatisk kvantefeltteori, når den er baseret på et sæt aksiomer, der generaliserer et sæt eksperimentelle fakta, og hele den efterfølgende teori er bygget på en streng matematisk måde. Blandt aksiomerne bør være aksiomet for relativistisk invarians, aksiomet for lokalitet eller kausalitet, aksiomet for spektralitet (på den positive energi af alle partikler). Forskellige aksiomatiske tilgange adskiller sig i valget af indledende fysiske størrelser. Den tilgang , der blev foreslået i 1955 af N. N. Bogolyubov , brugte spredningsmatrixen som det vigtigste fysiske objekt. I AS Whitemans (1956) tilgang betragtede han et interagerende kvantiseret felt som et sådant objekt. Den mest generelle algebraiske tilgang (R. Haag, X. Araki, D. Kastler) bruger sættet af alle mulige observerbare [217] .

Ikke-lokal kvantefeltteori

Den betragtede kvantefeltteori er lokal, det vil sige, at feltets værdier og partiklernes koordinater kan specificeres nøjagtigt, og deres interaktion på dette tidspunkt kan beskrives. Dette fører til divergenser på små afstande, som efterfølgende elimineres inden for rammerne af renormaliseringsteorien. Hvis vi antager eksistensen af en eller anden fundamental længde, der begrænser vores viden om koordinaterne, så kan vi konstruere en ikke-lokal kvantefeltteori. Interaktionerne mellem kvantefelterne under overvejelse forekommer ikke på et punkt, men i et område af rummet. Denne antagelse gør det muligt at undgå ultraviolette divergenser [218] .

Kvantefeltteori i buet rumtid

Kvantefeltteori i buet rumtid er en udvidelse af kvantefeltteori fra Minkowski rumtid til en generel buet rumtid. Denne teori betragter rumtid som en fast klassisk baggrund, mens den giver en kvantemekanisk beskrivelse af stof og energi, der forplanter sig gennem denne rumtid [219] . Den generelle forudsigelse af denne teori er, at partikler kan skabes af tidsafhængige gravitationsfelter (multi-graviton-parproduktion) [220] eller af tidsuafhængige gravitationsfelter, der indeholder horisonter. Det mest berømte eksempel på sidstnævnte er fænomenet Hawking-stråling, som udsendes af sorte huller [221] . Sidstnævnte kan forstås som en manifestation af Unruh-effekten, når en accelererende observatør observerer strålingen fra en absolut sort krop [222] . Andre forudsigelser af kvantefelter i buede rum inkluderer for eksempel den stråling, der udsendes af en partikel, der bevæger sig langs en geodætisk [223] [224] . Dette gør det muligt at tage højde for nogle væsentlige gravitationseffekter, selvom det ikke er en konsekvent teori om kvantetyngdekraften. Kvantefeltteori i buet rum-tid er gyldig i det område, hvor krumningen af rum-tid er lille sammenlignet med Planck-skalaer [K 4] [225] .

Topologisk kvantefeltteori

Korrelationsfunktioner og fysiske forudsigelser af QFT afhænger af rum-tids-metrikken g μν . For en særlig klasse af QFT'er kaldet topologiske kvantefeltteorier (TCFT'er), er alle korrelationsfunktioner uafhængige af kontinuerlige ændringer i rum-tid-metrikken [226] . QFT'er i buet rum-tid ændrer sig normalt i henhold til rum-tidens geometri (lokal struktur), mens QFT'er er invariante under rumtidsdiffeomorfismer , men følsomme over for topologien (global struktur) af rum-tid. Dette betyder, at alle resultater af TCFT-beregninger er topologiske invarianter af den vigtigste rum-tid. Chern-Simons teorien er et eksempel på TCFT og er blevet brugt til at bygge modeller af kvantetyngdekraften [227] . Anvendelser af TCFT inkluderer den fraktionelle kvante Hall-effekt og topologiske kvantecomputere [228] . Verdenslinjebanen for partikler med en fraktioneret ladning (kendt som anioner ) kan danne en forbundet konfiguration i rumtid [229] , der forbinder brading-statistikken for anyoner i fysik med begrænsningsinvarianterne i matematik. Topologiske kvantefeltteorier (QFT), der er anvendelige til banebrydende forskning i topologiske kvantespørgsmål, omfatter Chern-Simons-Witten gauge-teorier i 2 + 1 rum-tidsdimensioner, andre nye eksotiske QFT'er i 3 + 1 rum-tidsdimensioner og videre [230 ] .

Andre teorier

Kvantiserings- og renormaliseringsprocedurerne beskrevet i de foregående afsnit udføres for frifeltteori og ϕ 4 - teori (firedobbelt interaktion) af et reelt skalarfelt. En lignende proces kan udføres for andre typer felter, herunder det komplekse skalarfelt, vektorfelt og Dirac-felt , og for andre typer interagerende termer, herunder de elektromagnetiske og Yukawa-interaktioner .

For eksempel indeholder kvanteelektrodynamik Dirac-feltet ψ , der repræsenterer elektronfeltet , og vektorfeltet A μ , der repræsenterer det elektromagnetiske felt ( fotonfeltet ). På trods af dets navn svarer det kvanteelektromagnetiske "felt" faktisk til det klassiske elektromagnetiske fire -potentiale og ikke til de klassiske elektriske og magnetiske felter. Den samlede tæthed af QED Lagrangian er:

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu}-m)\psi -{\frac {1}{4} }F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu}\psi A_{\mu },

hvor γ μ er Dirac-matricerne , er styrken af det elektromagnetiske felt . Parametrene i denne teori er massen af den (bare) elektron m og den (bare) elementære ladning e . Det første og andet led i den lagrangske tæthed svarer til henholdsvis det frie Dirac-felt og det frie vektorfelt. Det sidste led beskriver interaktionen mellem elektron- og fotonfelterne, hvilket betragtes som en forstyrrelse i teorien uden interaktion [231] . ${\bar {\psi }}=\psi ^{\dolk }\gamma ^{0}$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu}-\partial _{\nu}A_{\mu ))$

Supersymmetri

Alle eksperimentelt kendte symmetrier i naturen relaterer bosoner til bosoner og fermioner til fermioner. Teoretikere har antaget, at der er en type symmetri kaldet supersymmetri , der forbinder bosoner og fermioner [232] [233] .

Standardmodellen adlyder Poincaré-symmetrien , hvis generatorer er rum-tid- oversættelser P μ og Lorentz-transformationer J μν [234] . Ud over disse generatorer inkluderer supersymmetri i (3 + 1)-dimensionelt rum yderligere generatorer Q α , kaldet superladninger , som selv transformerer som Weyl-fermioner [232] [235] . Symmetrigruppen genereret af alle disse generatorer er kendt som Poincaré-supergruppen . Generelt kan der være mere end ét sæt supersymmetrigeneratorer, Q α I , I = 1, ..., N Q α I , I = 1, ..., N Q α I , I = 1, .. ., N , som genererer den tilsvarende supersymmetri N = 1 N = 2 og så videre [232] [236] . Supersymmetri kan også konstrueres i andre dimensioner [237] , primært i (1 + 1)-rum til dens anvendelse i superstrengteori [238] .

Lagrangian af en supersymmetrisk teori skal være invariant under påvirkning af Poincaré-supergruppen [239] . Eksempler på sådanne teorier omfatter: Minimal Supersymmetric Standard Model (MSSM), N = 4 Supersymmetrisk Yang-Mills teori [240] og superstrengteori. I den supersymmetriske teori har hver fermion en bosonisk superpartner og omvendt [241] .

Hvis supersymmetri bliver til lokal symmetri, så er den resulterende gauge-teori en udvidelse af den generelle relativitet kaldet supergravitation [242] .

Supersymmetri er en potentiel løsning på mange moderne problemer inden for fysik. For eksempel kan problemet med standardmodellens hierarki - hvorfor Higgs-bosonets masse ikke korrigeres radiativt (når den er renormaliseret) til en meget høj skala, såsom den store foreningsskala eller Planck-skalaen , løses ved at relatere Higgs-feltet og dets superpartner, higgsino . De strålingskorrektioner som følge af Higgs boson-løkkerne i Feynman-diagrammerne kompenseres af de tilsvarende Higgsino-løkker. Supersymmetri tilbyder også svar på den store forening af alle gauge-koblingskonstanter i standardmodellen, såvel som på karakteren af mørkt stof [243] [244] .

Fra 2021 [245] er der dog ikke fundet eksperimentelle beviser for eksistensen af supersymmetriske partikler. Hvis supersymmetri var en sand symmetri af naturen, så skal den brydes, og energien for symmetribrud skal være større end den energi, der kan opnås i moderne eksperimenter [246] [247] .

Andet rum-tid

Teorien om ϕ 4 , QED, QCD samt hele Standardmodellen antager (3 + 1)-dimensionelt Minkowski-rum (3 rumlige og 1 tidsdimensioner) som baggrund, mod hvilken alle kvantefelter er defineret. QFT pålægger dog a priori ingen begrænsninger på hverken antallet af dimensioner eller rum-tidsgeometrien.

I det kondenserede stofs fysik bruges QFT til at beskrive (2 + 1)-dimensionelle elektrongasser [248] . I højenergifysik er strengteori en type (1 + 1)-dimensionel QFT, [249] [77] , mens Kaluza-Klein-teorien bruger gravitationskraften i ekstra dimensioner til at opnå en gauge-teori med en lavere dimension [ 250] .

I Minkowski-rummet bruges den flade metriske η μν til at hæve og sænke rum- tidsindeksene i Lagrangian givet af følgende regel

A_{\mu }A^{\mu }=\eta _{\mu \nu}A^{\mu}A^{\nu},\quad \partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi =\eta ^{\mu \nu}\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu}\phi ,

hvor η μν er det omvendte af η μν, der opfylder relationen η μρ η ρν = δ μ ν . På den anden side, for QFT i buet rumtid, bruges en almindelig metrik (såsom Schwarzschild-metrikken , som beskriver sort hul-metrikken ):

A_{\mu }A^{\mu }=g_{\mu \nu}A^{\mu}A^{\nu},\quad \partial _{\mu}\phi \partial ^{ \mu }\phi =g^{\mu \nu}\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi ,

hvor g μν er det reciproke af g μν . For et rigtigt skalarfelt er tætheden af Lagrangian mod den generelle rum-tid baggrund

{\mathcal {L}}={\sqrt {|g|}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu}\nabla _{\mu }\phi \nabla _{\nu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right),

hvor g = det( g μν ) , og symbolet ∇ μ angiver den kovariante afledte [251] . QFT Lagrangian, og dermed resultaterne af dens beregninger og fysiske forudsigelser, afhænger af rum-tidsgeometrien.

Perturbative og ikke-perturbative metoder

Ved at bruge perturbationsteori kan den samlede effekt af det lille interaktionsudtryk tilnærmes ved en serieudvidelse i form af antallet af virtuelle partikler involveret i interaktionen. Hvert udtryk i udvidelsen kan forstås som en af de mulige måder (fysiske) partikler interagerer med hinanden på gennem virtuelle partikler, visuelt udtrykt ved hjælp af et Feynman-diagram . Den elektromagnetiske kraft mellem to elektroner i QED er repræsenteret (i den første rækkefølge af perturbationsteori) ved udbredelsen af en virtuel foton. På samme måde bærer W- og Z-bosonerne den svage kraft, mens gluonerne bærer den stærke kraft. Fortolkning af interaktion som en sum af mellemtilstande, herunder udveksling af forskellige virtuelle partikler, giver kun mening inden for rammerne af perturbationsteori. Tværtimod behandler ikke-perturbative metoder i QFT den interagerende Lagrangian som en helhed uden nogen serieudvidelse. I stedet for interaktionsbærende partikler har disse metoder givet anledning til begreber som 't Hooft - Polyakov- monopolen domænevæggen , flowrøret og instantonet Eksempler på QFT, der kan afgøres fuldstændigt og ikke-perturbativt, inkluderer de minimale modeller af konform feltteori [253] og Thirring-modellen [254] .

Matematisk begrundelse

På trods af den overvældende succes inden for partikelfysik og kondenseret stoffysik, mangler QFT selv et formelt matematisk grundlag. For eksempel er der ifølge Haags sætning ingen veldefineret interaktionsrepræsentation for QFT, hvilket betyder, at perturbationsteorien for QFT, som ligger til grund for hele Feynman-diagrammetoden , er fundamentalt udefineret [255] .

Imidlertid kan perturbativ kvantefeltteori, som kun kræver beregning af mængder som formelle potensrækker uden konvergenskrav, underkastes en streng matematisk behandling. Især Kevin Costellos monografi Renormalization and Effective Field Theory [256] giver en stringent formulering af perturbativ renormalisering, der kombinerer tilgangene fra Kadanoff , Wilson og Polchinskys effektive feltteori , såvel som Batalin-Vilkoviskys tilgang til kvantisering af gauge teorier. Desuden kan perturbative sti-integrale metoder, normalt forstået som formelle beregningsmetoder inspireret af finitdimensional integrationsteori [257] , gives en robust matematisk fortolkning baseret på deres finit-dimensionelle modstykker [258] .

Siden 1950'erne [259] har teoretiske fysikere og matematikere forsøgt at formulere QFT som et sæt af aksiomer for matematisk strengt at fastslå eksistensen af specifikke modeller for relativistisk QFT og studere deres egenskaber. Denne forskningslinje kaldes konstruktiv kvantefeltteori , et underafsnit af matematisk fysik [260] , som har ført til resultater som CPT-sætningen, spinstatistiksætningen og Goldstone -sætningen [259] , samt matematisk strenge konstruktioner af mange QFT'er med interaktion i to og tre dimensioner af rum-tid, for eksempel todimensionelle skalarfeltteorier med vilkårlige polynomielle interaktioner [261] , tredimensionelle skalarfeltteorier med interaktion af fjerde grad, og så på [262] .

Sammenlignet med konventionel QFT er topologisk kvantefeltteori og konform feltteori korrekt begrundet matematisk - begge kan klassificeres i form af kobordisme - repræsentationer [263] .

Algebraisk kvantefeltteori er en anden tilgang til aksiomatisering af QFT, hvor de grundlæggende objekter er lokale operatorer og algebraiske relationer mellem dem. Aksiomatiske systemer, der følger denne tilgang, omfatter Wightman-aksiomer og Haag-Kastler- aksiomer [260] . En måde at konstruere teorier, der opfylder Wightmans aksiomer, er at bruge Osterwalder-Schröders aksiomer , som giver nødvendige og tilstrækkelige betingelser for, at en realtidsteori kan udledes fra en imaginær- tidsteori ved hjælp af analytisk fortsættelse ( Wicks rotation ) [ 260] .

Eksistensen af Yang-Mills-teorien og kløften i massespektret - et af problemerne forbundet med Millennium-prisen , vedrører den veldefinerede eksistens af Yang-Mills-teorierne , angivet af ovenstående aksiomer [264] .

Se også

Noter

Kommentarer

↑ Faktisk er antallet af dets frihedsgrader utalligt, eftersom dimensionen af vektorrummet for kontinuerlige (differentierbare, realanalytiske) funktioner er utallige selv på et finitdimensionalt euklidisk rum. På den anden side underrum (af disse funktionsrum), som almindeligvis betragtes, såsom Hilbert-rum (f.eks. rummet af kvadrat-integrerbare funktioner med reelle værdier) eller adskillelige Banach-rum (f.eks. rummet af kontinuerte funktioner med reelle værdier på et kompakt interval med ensartet konvergent norm) har tællelig dimension i kategorien Banach-rum (selvom dimensionen af deres euklidiske vektorrum er utællelig), så under disse begrænsninger er antallet af frihedsgrader (nu fortolket som dimensionen af vektorrummet af et tæt underrum, og ikke dimensionen af vektorrummet for funktionsrummet af interesse selv) kan tælles.
↑ I det følgende bruges tensor (generel kovariant) registrering af alle ligninger, der er vedtaget i kvantefeltteorien ved hjælp af Einsteins regel . Rum-tidssignaturen (1, -1 ,-1,-1) bruges henholdsvis, intervallet er defineret som ved koordinater og tid). Den afledte operator (almindelig) med hensyn til koordinater er angivet enten eller . D'Alembert-operatoren i en sådan notation vil se sådan ud: . Den tidsafledede er enten angivet med en prik øverst i funktionen eller som $s^{2}=t^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=x_{{\mu }}x^{{ \mu }}=g_{{\mu \nu }}x^{{\mu }}x^{{\nu }}$ $\mu$ $\partial_{\mu}$ $\partial/\partial x^{\mu}$ $-\partial _{{\mu }}\partial ^{{\mu }}=-g^({\mu \nu }}\partial _{{\mu }}\partial _{{\nu }}$ ${\partial }_{0}$
↑ Teorien ϕ 4 betragtes .
↑ Kvantefeltteori i buet rumtid, som kunne ses som et mellemtrin i retning af teorien om kvantetyngdekraft, har ikke længere en klar fortolkning, der involverer partikler.

Kilder

↑ Zee, 2009 , s. 169.
↑ Zee, 2009 , s. 370.
↑ Gribov, V. D.; Mushtakova, S.P. Kvantekemi. - M . : Gardariki, 1999. - S. 51. - 387 s. - ISBN 5-8297-0017-4 .
↑ Bogolyubov og Shirkov, 2005 , s. 13.
↑ Sadovsky, 2003 , s. tyve.
↑ 1 2 Weinberg, bind 1, 2015 , s. 22.
↑ Gribov, 2001 , s. 27-30.
↑ 1 2 Weinberg, bind 1, 2015 , s. 23.
↑ 1 2 Weinberg, bind 1, 2015 , s. 25.
↑ Weinberg, bind 1, 2015 , s. 27.
↑ Bjorken og Drell, bind 2, 1978 , s. 37.
↑ Kuhlmann, 2020 .
↑ Peskin og Schroeder, 1995 , s. xi.
↑ Peskin og Schroeder, 2001 , s. elleve.
↑ 1 2 Weinberg, 1977 , s. atten.
↑ 12 Hobson , 2013 , s. 212.
↑ Heilbron, 2003 , s. 301.
↑ Thomson, 1893 , s. 2.
↑ Hobson, 2013 , s. 213.
↑ 1 2 Weinberg, 1977 , s. 19.
↑ Weisskopf, 1981 , s. 70.
↑ Heisenberg, 2007 , Ch.2.
↑ 1 2 Weisskopf, 1981 , s. 69.
↑ 1 2 Weinberg, 1977 , s. tyve.
↑ Weinberg, 1977 , s. 21.
↑ Weisskopf, 1981 , s. 70-71.
↑ Weinberg, 1977 , s. 22.
↑ Shifman, 2012 , s. en.
↑ Weinberg, bind 1, 2015 , s. 30-34.
↑ 1 2 Weisskopf, 1981 , s. 71.
↑ Weinberg, bind 1, 2015 , s. 34.
↑ Nimtz; haibel. Nul tidsrum (ubestemt) . - Wiley-VCH , 2008. - S. 1.
↑ Mandelstam, L.; Leontowitsch, M. (1928). Zur Theorie der Schrödingerschen Gleichung . Zeitschrift fur Physik . 47 (1-2): 131-136. Bibcode : 1928ZPhy...47..131M . DOI : 10.1007/BF01391061 . S2CID 125101370 .
↑ Feinberg, E. L. (2002). "Forfaderen (om Leonid Isaakovich Mandelstam)". Fysik-Uspekhi . 45 (1): 81-100. Bibcode : 2002PhyU...45...81F . DOI : 10.1070/PU2002v045n01ABEH001126 .
↑ 1 2 G. Gamov . Essay om udviklingen af teorien om strukturen af atomkernen (I. Teori om radioaktivt henfald) // UFN 1930. V. 4.
↑ Gurney, RW; Condon, EU's kvantemekanik og radioaktiv nedbrydning // Nature . - 1928. - Bd. 122 , nr. 3073 . — S. 439 . - doi : 10.1038/122439a0 . — .
↑ Weisskopf, 1981 , s. 71-72.
↑ 1 2 Weinberg, 1977 , s. 23.
↑ G. A. Sardanashvili. Dmitry Ivanenko er den sovjetiske fysiks superstjerne. Uskrevne erindringer . — Librocom. - 2010. - S. 13. (Russisk)
↑ Ambarzumian V., Iwanenko D. Les électrons inobservables et les rayons (fransk) // Compt. Rend. Acad Sci. Paris. - 1930. - Bd. 190 . — S. 582 .
↑ Weisskopf, 1981 , s. 72.
↑ Weinberg, 1977 , s. 24.
↑ Weisskopf, 1981 , s. 76.
↑ Weinberg, 1977 , s. 25.
↑ 1 2 Weisskopf, 1981 , s. 78.
↑ Weinberg, 1977 , s. 26.
↑ Weinberg, bind 1, 2015 , s. halvtreds.
↑ Weinberg, 1977 , s. 28.
↑ 1 2 Weisskopf, 1981 , s. 79.
↑ Weinberg, bind 1, 2015 , s. 53.
↑ Weinberg, bind 1, 2015 , s. 54.
↑ Tomonaga. Udvikling af kvanteelektrodynamik . Nobelprize.org . Hentet 4. september 2021. Arkiveret fra originalen 21. april 2021. (ubestemt)
↑ 1 2 3 Shifman, 2012 , s. 2.
↑ Peskin og Schroeder, 2001 , s. 25.
↑ 1 2 Weinberg, 1977 , s. tredive.
↑ 1 2 Weinberg, 1977 , s. 31.
↑ Schwinger, 2018 , s. 37.
↑ Schwinger, Julian (1966). "Partikler og kilder". Phys. Rev. _ 152 : 1219. DOI : 10.1103/PhysRev.152.1219 .
↑ 12 Schwinger , 2018 , s. xi.
↑ Proc af 1967 Int. Konference om partikler og felter / CR Hagen; Guralnik, G.; Mathur, VA. - NY: Interscience, 1967. - S. 128.
↑ Mehra og Milton. At bestige bjerget: Den videnskabelige biografi om Julian Schwinger . - Oxford University Press, 2000. - S. 467 . — ISBN 0198527454 .
↑ Schwinger, 2018 , s. 82.
↑ Schwinger, 2018 , s. 83.
↑ Schwinger, 2018 , s. 83-84.
↑ 12't Hooft , 2015 , s. 5.
↑ 1 2 Weinberg, 1977 , s. 32.
↑ Yang, CN (1954-10-01). "Bevarelse af isotopisk spin og isotopisk måleinvarians". Fysisk gennemgang . 96 (1): 191-195. Bibcode : 1954PhRv...96..191Y . DOI : 10.1103/PhysRev.96.191 .
↑ 1 2 3 Coleman, Sidney (1979-12-14). "Nobelprisen i fysik i 1979". videnskab . 206 (4424): 1290-1292. Bibcode : 1979Sci...206.1290C . DOI : 10.1126/science.206.4424.1290 . PMID 17799637 .
↑ 't Hooft, 2015 , s. 5-6.
↑ 't Hooft, 2015 , s. elleve.
↑ Sutton, Christine Standardmodel . britannica.com . Encyclopædia Britannica . Hentet 14. august 2018. Arkiveret fra originalen 18. maj 2021. (ubestemt)
↑ Shifman, 2012 , s. 3.
↑ Kibble, Tom WB (2014-12-12), The Standard Model of Particle Physics, arΧiv : 1412.4094 [physics.hist-ph].
↑ Shifman, 2012 , s. fire.
↑ Shifman, 2012 , s. 7.
↑ Shifman, 2012 , s. 6.
↑ 1 2 3 Polchinski, Joseph. strengteori. - Cambridge University Press, 2005. - Vol. 1. - ISBN 978-0-521-67227-6 .
↑ Schwarz, John H. (2012-01-04), The Early History of String Theory and Supersymmetry, arΧiv : 1201.0981 [physics.hist-ph].
↑ Almindelige problemer i kondenseret stof og højenergifysik . science.energy.gov . Office of Science, US Department of Energy (2. februar 2015). Hentet 18. juli 2018. Arkiveret fra originalen 1. maj 2017. (ubestemt)
↑ 1 2 Wilczek, Frank (2016-04-19). "Partikelfysik og kondenseret stof: Sagaen fortsætter." Physica Scripta . 2016 (T168): 014003. arXiv : 1604.05669 . Bibcode : 2016PhST..168a4003W . DOI : 10.1088/0031-8949/T168/1/014003 .
↑ 12 Tong, 2015 , kapitel 1 .
↑ 1 2 3 Bogolyubov og Shirkov, 2005 , s. 23.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 2005 , s. 16.
↑ 1 2 Peskin og Schroeder, 2001 , s. 33.
↑ 1 2 Poboiko, 2017 , s. 5.
↑ 1 2 3 Bogolyubov og Shirkov, 2005 , s. 24.
↑ Kvantefeltteori / 2056341 // Big Encyclopedic Dictionary / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - 1. udg. - M .: Great Russian Encyclopedia , 1991. - ISBN 5-85270-160-2 .
↑ Peskin og Schroeder, 2001 , s. 95.
↑ 1 2 Peskin og Schroeder, 2001 , s. 34.
↑ 1 2 Bjorken og Drell, bind 2, 1978 , s. 24.
↑ 1 2 Bjorken og Drell, bind 2, 1978 , s. 13.
↑ Poboyko, 2017 , s. 6.
↑ Bjorken og Drell, bind 2, 1978 , s. 25.
↑ Sundermeyer, 2014 , s. 2.
↑ Rum-tidssymmetri // Great Russian Encyclopedia [Elektronisk ressource]. – 2004.
↑ Sundermeyer, 2014 , s. 12.
↑ Intern symmetri / M. V. Terentiev // Great Russian Encyclopedia [Elektronisk ressource]. – 2004.
↑ Sundermeyer, 2014 , s. elleve.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 2005 , s. 321.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 2005 , s. 325-326.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 2005 , s. 96.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 2005 , s. 97.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 1984 , s. 25.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 1984 , s. 26.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 1984 , s. 27.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 2005 , s. atten.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 2005 , s. tredive.
↑ Peskin og Schroeder, 2001 , s. 36.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 1984 , s. 28.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 1984 , s. 29-30.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 2005 , s. 29.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 1984 , s. 33.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 2005 , s. 31.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 1984 , s. 40-41.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 2005 , s. 36-37.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 2005 , s. 49-51.
↑ Sadovsky, 2003 , s. 27.
↑ Cheng og Li, 1987 , s. 265.
↑ Cheng og Li, 1987 , s. 266.
↑ 1 2 Cheng og Li, 1987 , s. 267.
↑ Peskin og Schroeder, 1995 , s. 482-483.
↑ Peskin og Schroeder, 1995 , s. 496.
↑ Sadovsky, 2003 , s. tredive.
↑ Peskin og Schroeder, 1995 , s. 489.
↑ Peskin og Schroeder, 1995 , s. 547.
↑ Peskin og Schroeder, 1995 , s. 490-491.
↑ 1 2 Cheng og Li, 1987 , s. 271.
↑ Zee, 2009 , s. 283.
↑ Peskin og Schroeder, 1995 , s. 705-707.
↑ Veltman, MJG (1976). Methods in Field Theory, Proceedings of the Les Houches Summer School, Les Houches, Frankrig, 1975 .
↑ Peskin og Schroeder, 1995 , s. 17-18.
↑ Zee, 2009 , s. 85-86.
↑ Brading, Katherine A. (marts 2002). "Hvilken symmetri? Noether, Weyl og bevarelse af elektrisk ladning”. Studier i historie og videnskabsfilosofi Del B: Studier i moderne fysiks historie og filosofi . 33 (1): 3-22. Bibcode : 2002SHPMP..33....3B . DOI : 10.1016/S1355-2198(01)00033-8 .
↑ Zee, 2010 , s. 168 .
↑ Peskin og Schroeder, 1995 , s. 512-515.
↑ Peskin og Schroeder, 1995 , s. 517.
↑ Peskin og Schroeder, 2001 , s. 337.
↑ 1 2 3 Peskin og Schroeder, 2001 , s. 339.
↑ 1 2 Peskin og Schroeder, 2001 , s. 340.
↑ Peskin og Schroeder, 2001 , s. 657.
↑ Peskin og Schroeder, 2001 , s. 698.
↑ Zee, 2009 , s. 232.
↑ Zee, 2009 , s. 312.
↑ Peskin og Schroeder, 2001 , s. 658.
↑ 1 2 3 Bogolyubov og Shirkov, 1984 , s. 36.
↑ 1 2 3 Bogolyubov og Shirkov, 1984 , s. 37.
↑ 1 2 3 Bogolyubov og Shirkov, 1984 , s. 38.
↑ 1 2 Bogolyubov og Shirkov, 1984 , s. 39.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 1984 , s. 41-42.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 1984 , s. 47-49.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 1984 , s. 77-79.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 2005 , s. 57.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 2005 , s. 65.
↑ 1 2 3 Bogolyubov og Shirkov, 2005 , s. 70.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 2005 , s. 62-63.
↑ 1 2 3 Bogolyubov og Shirkov, 2005 , s. 71.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 2005 , s. 74-75.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 2005 , s. 58.
↑ 1 2 Bogolyubov og Shirkov, 2005 , s. 59.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 2005 , s. 60.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 2005 , s. 69.
↑ L. O. Tjekhov. Normalt produkt // Fysisk encyklopædi : [i 5 bind] / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia (bd. 1-2); Great Russian Encyclopedia (bd. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ 1 2 3 Peskin og Schroeder, 2001 , s. 102.
↑ Yu. S. Vernoe. Kronologisk arbejde // Fysisk encyklopædi : [i 5 bind] / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia (bd. 1-2); Great Russian Encyclopedia (bd. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ D. V. Shirkov. Vikas sætning // Physical Encyclopedia : [i 5 bind] / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia (bd. 1-2); Great Russian Encyclopedia (bd. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ Peskin og Schroeder, 2001 , s. 44.
↑ Peskin og Schroeder, 2001 , s. 45-46.
↑ 1 2 3 Bogolyubov og Shirkov, 2005 , s. 167.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 2005 , s. 168.
↑ Bjorken og Drell, bind 2, 1978 , s. 193.
↑ 1 2 Bjorken og Drell, bind 2, 1978 , s. 194.
↑ Peskin og Schroeder, 2001 , s. 115.
↑ 1 2 Peskin og Schroeder, 2001 , s. 120.
↑ Peskin og Schroeder, 2001 , s. 116.
↑ 1 2 Peskin og Schroeder, 2001 , s. 121.
↑ Zee, 2010 , s. 61.
↑ Zee, 2009 , s. 12-15.
↑ 1 2 Zee, 2009 , s. 13.
↑ 1 2 Peskin og Schroeder, 2001 , s. 97.
↑ Peskin og Schroeder, 2001 , s. 47.
↑ Zee, 2009 , s. 28.
↑ Peskin og Schroeder, 2001 , s. 101.
↑ Peskin og Schroeder, 2001 , s. 98.
↑ Bjorken og Drell, bind 2, 1978 , s. 189.
↑ Peskin og Schroeder, 2001 , s. 281.
↑ Peskin og Schroeder, 2001 , s. 103.
↑ Peskin og Schroeder, 2001 , s. 284.
↑ Peskin og Schroeder, 2001 , s. 92.
↑ 1 2 Peskin og Schroeder, 2001 , s. 105.
↑ 1 2 3 Peskin og Schroeder, 2001 , s. 106.
↑ Peskin og Schroeder, 2001 , s. 111.
↑ Peskin og Schroeder, 2001 , s. 107.
↑ Peskin og Schroeder, 2001 , s. 112.
↑ Zee, 2009 , s. 53.
↑ Peskin og Schroeder, 2001 , s. 309.
↑ Peskin og Schroeder, 2001 , s. 316.
↑ 1 2 Peskin og Schroeder, 2001 , s. 317.
↑ Peskin og Schroeder, 2001 , s. 318.
↑ Peskin og Schroeder, 2001 , s. 319.
↑ Peskin og Schroeder, 1995 , s. 719-727.
↑ Zee, 2010 , s. 798.
↑ Smilga, 2019 , s. 84.
↑ 1 2 Smilga, 2019 , s. 87.
↑ Smilga, 2019 , s. 85.
↑ Smilga, 2019 , s. 86.
↑ Peskin og Schroeder, 1995 , s. 393.
↑ Peskin og Schroeder, 1995 , s. 417.
↑ Peskin og Schroeder, 1995 , s. 410-411.
↑ Fujita, Takehisa (2008-02-01), Physics of Renormalization Group Equation in QED, arΧiv : hep-th/0606101 .
↑ Peskin og Schroeder, 1995 , s. 420 .
↑ Peskin og Schroeder, 1995 , s. 531 .
↑ Aharony, Ofer (2015-05-19). "Den holografiske ordbog for betafunktioner af multi-trace koblingskonstanter." Journal of High Energy Physics . 2015 (5) : 31.arXiv : 1501.06664 . Bibcode : 2015JHEP...05..031A . DOI : 10.1007/JHEP05(2015)031 .
↑ Kovacs, Stefano (1999-08-26), N = 4 supersymmetrisk Yang-Mills-teori og AdS/SCFT-korrespondancen, arΧiv : hep-th/9908171 .
↑ Peskin og Schroeder, 1995 , s. 402-403.
↑ Zee, 2009 , s. 170.
↑ Streater, Raymond Frederick. Wightman kvantefeltteori // Scholarpedia. - 2009. - doi : 10.4249/scholarpedia.7123 .
↑ V. P. Pavlov, S. S. Khoruzhy. Aksiomatisk kvantefeltteori // Physical Encyclopedia : [i 5 bind] / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohm-effekt - Lange linjer. — 707 s. — 100.000 eksemplarer.
↑ D. A. Kirzhnits. Ikke-lokal kvantefeltteori // Physical Encyclopedia : [i 5 bind] / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1992. - T. 3: Magnetoplasmic - Poyntings teorem. — 672 s. - 48.000 eksemplarer. — ISBN 5-85270-019-3 .
↑ Stefan Hollands, Robert M. Wald . Kvantefelter i buet rumtid // Fysikrapporter . - 2015. - doi : 10.1016/j.physrep.2015.02.001 .
↑ Parker, L. (1968-08-19). "Partikelskabelse i ekspanderende universer" . Fysiske anmeldelsesbreve . 21 (8): 562-564. DOI : 10.1103/PhysRevLett.21.562 .
↑ Hawking, SW (1993-05-01), Particle Creation by Black Holes , World Scientific, s. 167–188, ISBN 978-981-02-0515-7 , doi : 10.1142/9789814539395_0011 , < https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/9578915 > 4_078915 Hentet 15. august 2021. Arkiveret 15. januar 2022 på Wayback Machine
↑ Crispino, Luis CB; Higuchi, Atsushi; Matsas, George E.A. (2008-07-01). "The unruh-effekten og dens anvendelser" . Anmeldelser af moderne fysik . 80 (3): 787-838. DOI : 10.1103/RevModPhys.80.787 . HDL : 11449/24446 .
↑ Birrell, N.D. Kvantefelter i buet rum . - Cambridge [Cambridgeshire] : Cambridge University Press, 1982. - ISBN 0-521-23385-2 .
↑ Brito, João PB; Bernard, Raphael P.; Crispino, Louis CB (2020-06-11). "Synkrotrongeodætisk stråling i Schwarzschild--de Sitter rumtid" . Fysisk gennemgang D. 101 (12): 124019. arXiv : 2006.08887 . DOI : 10.1103/PhysRevD.101.124019 .
↑ Brunetti, Romeo; Fredenhagen, Klaus ; Rejzner, Katarzyna (2016). "Kvantetyngdekraft fra synspunktet om lokalt kovariant kvantefeltteori." Kommunikation i Matematisk Fysik . 345 : 741-779. DOI : 10.1007/s00220-016-2676-x .
↑ Ivancevic, Vladimir G. & Ivancevic, Tijana T. (2008), Undergraduate Lecture Notes in Topological Quantum Field Theory, s. 36, arΧiv : 0810.0344v5 [math-th].
↑ Carlip, Steven. Quantum Gravity i 2+1 dimensioner . - Cambridge University Press, 1998. - S. 27-29. — ISBN 9780511564192 . - doi : 10.1017/CBO9780511564192 . Arkiveret 17. maj 2021 på Wayback Machine
↑ Carqueville, Runkel, 2018 , s. 1-5.
↑ Witten, Edward (1989). "Kvantefeltteori og Jones-polynomiet". Kommunikation i Matematisk Fysik . 121 (3): 351-399. Bibcode : 1989CMaPh.121..351W . DOI : 10.1007/BF01217730 .
↑ Putrov, Pavel; Wang, Juven; Yau, Shing-Tung (2017). "Fletningsstatistikker og linkinvarianter af bosonisk/fermionisk topologisk kvantestof i 2+1 og 3+1 dimensioner". Fysikkens annaler . 384 (C): 254-287. arXiv : 1612.09298 . Bibcode : 2017AnPhy.384..254P . DOI : 10.1016/j.aop.2017.06.019 .
↑ Peskin og Schroeder, 1995 , s. 78.
↑ 1 2 3 Peskin og Schroeder, 1995 , s. 795 .
↑ Zee, 2009 , s. 520.
↑ Weinberg, bind 1, 2015 , s. 76-77.
↑ Zee, 2010 , s. 444 .
↑ Zee, 2010 , s. 450 .
↑ de Wit, Bernard & Louis, Jan (1998-02-18), Supersymmetry and Dualities in different dimensions, arΧiv : hep-th/9801132 .
↑ Polchinski, Joseph. strengteori. - Cambridge University Press, 2005. - ISBN 978-0-521-67228-3 .
↑ Zee, 2010 , s. 448.
↑ Zee, 2010 , s. 450.
↑ Zee, 2010 , s. 444.
↑ Nath, P. (1975). "Generaliseret Super-Gauge Symmetri som en ny ramme for Unified Gauge Theories." Fysik bogstav B. 56 (2). Bibcode : 1975PhLB...56..177N . DOI : 10.1016/0370-2693(75)90297-x .
↑ Peskin og Schroeder, 1995 , s. 796-797.
↑ Munoz, Carlos (2017-01-18). "Modeller af supersymmetri for mørkt stof". EPJ Web of Conferences . 136 : 01002. arXiv : 1701.05259 . Bibcode : 2017EPJWC.13601002M . doi : 10.1051/ epjconf /201713601002 .
↑ Hershberger, Scott. Status for supersymmetri . https://www.symmetrymagazine.org . Symmetry Magazine (1. december 2021). Hentet 9. februar 2022. Arkiveret fra originalen 9. februar 2022.
↑ Peskin og Schroeder, 1995 , s. 797.
↑ Zee, 2010 , s. 443.
↑ Morandi, G. Field Theories for Low-Dimensional Condensed Matter Systems / G. Morandi, P. Sodano, A. Tagliacozzo ... [ og andre ] . - Springer, 2000. - ISBN 978-3-662-04273-1 . Arkiveret 17. maj 2021 på Wayback Machine
↑ Zee, 2010 , s. 452.
↑ Zee, 2010 , s. 428-429.
↑ Parker, Leonard E. Quantum Field Theory in Curved Spacetime / Leonard E. Parker, David J. Toms. - Cambridge University Press, 2009. - S. 43 . — ISBN 978-0-521-87787-9 .
↑ Shifman, 2012 , s. 3-4.
↑ Di Francesco, Philippe. Conformal Field Theory / Philippe Di Francesco, Pierre Mathieu, David Sénéchal. - Springer, 1997. - ISBN 978-1-4612-7475-9 . Arkiveret 17. maj 2021 på Wayback Machine
↑ Thirring, W. (1958). "En opløselig relativistisk feltteori?". Fysikkens annaler . 3 (1): 91-112. Bibcode : 1958AnPhy...3...91T . DOI : 10.1016/0003-4916(58)90015-0 .
↑ Haag, Rudolf (1955). "Om kvantefeltteorier" (PDF) . Dan Mat Fysi Medd . 29 (12). Arkiveret (PDF) fra originalen 2019-07-01 . Hentet 2021-09-04 . Forældet parameter brugt |deadlink=( hjælp )
↑ Kevin Costello, Renormalization and Effective Field Theory , Mathematical Surveys and Monographs bind 170, American Mathematical Society, 2011, ISBN 978-0-8218-5288-0
↑ Folland, GB Kvantefeltteori: en turistguide for matematikere. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2008. — ISBN 0821847058 .
↑ Nguyen, Timothy (2016). "Den perturbative tilgang til sti-integraler: En kortfattet matematisk behandling". J Math. Phys . 57 . arXiv : 1505.04809 . DOI : 10.1063/1.4962800 .
↑ 1 2 Buchholz, Detlev (2000). "Nuværende tendenser i aksiomatisk kvantefeltteori". Kvantefeltteori . 558 : 43-64. arXiv : hep-th/9811233 . Bibcode : 2000LNP...558...43B . DOI : 10.1007/3-540-44482-3_4 .
↑ 1 2 3 Summers, Stephen J. (2016), A Perspective on Constructive Quantum Field Theory, s. 2.10, arΧiv : 1203.3991v2 [math-ph].
↑ Simon, Barry. Den P(phi)_2 euklidiske (kvante) feltteori. - Princeton University Press, 1974. - ISBN 0-691-08144-1 .
↑ Glimm, James. Kvantefysik: et funktionelt integreret synspunkt. - Springer New York, 1987. - ISBN 978-1-4612-4728-9 .
↑ Sati, Hisham & Schreiber, Urs (2012-01-06), Oversigt over matematiske grundlag for QFT og forstyrrende strengteori, arΧiv : 1109.0955v2 [math-ph].
↑ Jaffe, Arthur; Witten, Edward Kvante Yang-Mills teori . Clay Mathematics Institute . Hentet 18. juli 2018. Arkiveret fra originalen 14. november 2020. (ubestemt)

Litteratur

På russisk

Weinberg S. Kvantefeltteori / Ed. V. Ch. Zhukovsky. Generel teori. - M. : Fizmatlit, 2015. - T. 1. - 648 s. - ISBN 978-5-9221-1620-6 .
Weinberg S. Kvantefeltteori / Ed. V. Ch. Zhukovsky. Moderne applikationer. - M. : Fizmatlit, 2003. - T. 2. - 528 s. — ISBN 5-9221-0404-7 .
Bogolyubov N. N., Logunov A. A., Oksak A. I., Todorov I. T. Generelle principper for kvantefeltteori. - M. : Nauka, 1987. - 616 s.
Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Kvantefelter. - 3. udgave - M . : Fizmatlit, 2005. - 384 s. — ISBN 5-9221-0580-9 .
Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Introduktion til teorien om kvantiserede felter. — M .: Nauka, 1984. — 600 s.
Björken JD , Drell S.D. Relativistisk kvanteteori. Relativistisk kvantemekanik. - M. : Nauka, 1978. - T. 1. - 296 s.
Bjorken JD, Drell SD Relativistisk kvanteteori. Relativistiske kvantefelter. - M. : Nauka, 1978. - T. 2. - 408 s.
Weinberg S. Kvantefeltteori. - M . : Fazis, 2002. - T. 3. - 458 s.
Wentzel G. Introduktion til kvanteteori for bølgefelter. - M. : GITTL, 1947. - 292 s.
Gribov, Vladimir Naumovich Kvanteelektrodynamik / Ed. I. B. Khriplovich . - Izhevsk: Forskningscenter "Regular and Chaotic Dynamics", 2001. - 288 s. — ISBN 5-93972-089-7 .
Zee E. Kvantefeltteori i en nøddeskal. - Izhevsk: RHD, 2009. - 632 s. — ISBN 978-5-93972-770-9 .
Isaev P. S. Almindelig, mærkelig, fortryllet, smuk. — M .: Energoatomizdat, 1995. — 320 s. (om historien om udviklingen af teoretiske ideer i elementær partikelfysik)
Itsikson K., Zuber J.-B. Kvantefeltteori. - M . : Mir, 1984. - T. 1. - 448 s.
Peskin M. , Schroeder D. Introduktion til kvantefeltteori / Ed. om. A. A. Belavin . - Izhevsk: RHD, 2001. - 784 s.
Poboyko, I. V. Seminarer om kurset "Introduktion til kvantefeltteori" . - 2017. - 68 s.
Ryder L. Kvantefeltteori. — M .: Mir , 1987. — 512 s.
Sadovsky, M. V. Forelæsninger om kvantefeltteori . - Izhevsk: Institut for Computerforskning, 2003. - 480 s. - ISBN 5-93972-241-5 .
Smilga, A. V. Kvantefeltteori til frokost. - M. : MCNMO Publishing House, 2019. - 432 s. — ISBN 978-5-4439-3365-8 .
Sokolov, A.; Ivanenko, D. D. Kvantefeltteori. - Skt. Petersborg (Leningrad): Statens forlag for teknisk og teoretisk litteratur, 1952. - 781 s.
Feynman R. QED er en mærkelig teori om lys og stof . — M .: Nauka , 1988. — 144 s.
Cheng, T.-P.; Lee, L.-F. Målteorier i elementær partikelfysik. — M .: Mir, 1987. — 624 s.

På engelsk

Carqueville, Nils; Runkel, Ingo (2018). "Introduktionsforelæsninger om topologisk kvantefeltteori". Banach Center Publikationer . 114 :9-47. arXiv : 1705.05734 . DOI : 10.4064/bc114-1 .
Heilbron, John L. Oxford Companion to the History of Modern Science . - Oxford University Press , 2003. - ISBN 978-0-19-974376-6 .
Heisenberg, Werner . Fysik og filosofi: Revolutionen i moderne videnskab. - 2007. - ISBN 978-0061209192 .
Hobson, Kunst (2013). "Der er ingen partikler, der er kun felter." American Journal of Physics . 81 (211): 211-223. arXiv : 1204.4616 . Bibcode : 2013AmJPh..81..211H . DOI : 10.1119/1.4789885 .
Kuhlmann, Meinard. Kvantefeltteori // The Stanford Encyclopedia of Philosophy. – 2020.
Peskin, M. An Introduction to Quantum Field Theory / M. Peskin, D. Schroeder. - Westview Press, 1995. - ISBN 978-0-201-50397-5 . Arkiveret18. maj 2021 påWayback Machine
Schwinger, Julian. Partikler, kilder og felter. - CRC Press, 2018. - Vol. I. - S. 444. - ISBN 9780738200538 .
Shifman , M. Avancerede emner i kvantefeltteori . - Cambridge University Press , 2012. - ISBN 978-0-521-19084-8 .
Sundermeier, Kurt. Symmetrier i grundlæggende fysik. - Cham: Springer, 2014. - ISBN 9789400776418 .
't Hooft, Gerard. Udviklingen af kvantefeltteori // Standardteorien for partikelfysik. - 2015. - Bd. 26.—S. 1–27. - ISBN 978-981-4733-50-2 . - doi : 10.1142/9789814733519_0001 .
Thomson, Joseph John . Noter om nylige undersøgelser i elektricitet og magnetisme: Beregnet som en efterfølger til professor Clerk-Maxwells 'Treatise on Electricity and Magnetism'.. - Dawsons, 1893.
Tong, David. Forelæsninger om kvantefeltteori . — 2015. Arkiveret27. januar 2022 påWayback Machine
Weinberg, Steven (1977). "The Search for Unity: Notes for a History of Quantum Field Theory" . Daedalus . 106 (4): 17-35.
Weisskopf, Victor (november 1981). "Udviklingen af feltteori i de sidste 50 år". Fysik i dag . 34 (11): 69-85. Bibcode : 1981PhT....34k..69W . DOI : 10.1063/1.2914365 .
Zee, A. Kvantefeltteori i en nøddeskal . - Princeton University Press, 2010. - ISBN 978-0-691-01019-9 .

Videoforedrag om QFT

Afsnit af kvantefysik
Kvantemekanik kvantefeltteori kvanteoptik kvanteelektrodynamik kvantekromodynamik kvantetyngdekraften

Ordbøger og encyklopædier

I bibliografiske kataloger
BNF : 11938428w GND : 4047984-5 J9U : 987007550894905171 LCCN : sh85109461 NDL : 00560512 NKC : ph135395