Relativistisk mekanik

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 23. oktober 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Relativistisk mekanik er en gren af fysikken , der betragter mekanikkens love (lovene for bevægelse af legemer og partikler) ved hastigheder, der kan sammenlignes med lysets hastighed . Ved hastigheder meget lavere end lysets hastighed går den over i klassisk (Newtonsk) mekanik .

Generelle principper

I klassisk mekanik er rumlige koordinater og tid uafhængige (i fravær af tidsafhængige homonome forbindelser), tiden er absolut, det vil sige, den flyder ens i alle referencerammer, og galilæiske transformationer gælder . I relativistisk mekanik finder begivenheder sted i et firedimensionelt rum, der forener det fysiske tredimensionelle rum og tid ( Minkowski-rum ) og Lorentz-transformationer gælder . I modsætning til klassisk mekanik afhænger begivenhedernes samtidighed således af valget af referenceramme.

De grundlæggende love for relativistisk mekanik - den relativistiske generalisering af Newtons anden lov og den relativistiske lov om bevarelse af energimomentum - er en konsekvens af en sådan "blanding" af rumlige og tidsmæssige koordinater under Lorentz-transformationer .

Newtons anden lov i relativistisk mekanik

Styrke er defineret som

{\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}.

Udtrykket for det relativistiske momentum er også kendt:

{\vec p}={\frac {m{\vec {v}}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}.

Tager vi den tidsafledede af det sidste udtryk for at bestemme kraften, får vi:

{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=m\gamma {\vec a}+m\gamma ^{3}{\vec {\beta }}({\vec {\beta } }{\vec {a))),

hvor betegnelserne er indført: og . ${\vec {\beta }}\equiv {\frac {{\vec {v}}}{c}}$ $\gamma \equiv {\frac {1}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))}$

Som et resultat antager udtrykket for kraften formen:

{\vec F}=m\gamma {\vec a}+m\gamma ^{3}{\vec {\beta }}({\vec {\beta }}{\vec {a}}).

Dette viser, at i relativistisk mekanik, i modsætning til det ikke-relativistiske tilfælde, er acceleration ikke nødvendigvis rettet langs kraften; i det generelle tilfælde har acceleration også en komponent rettet langs hastigheden.

Lagrange-funktionen af en fri partikel i relativistisk mekanik

Vi skriver handlingsintegralet ud fra princippet om mindste handling

S=-\int \limits _{a}^{b}\alpha ds,

hvor er et positivt tal. Som det kendes fra den særlige relativitetsteori ( SRT ) $\alfa$

ds=c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}dt.

Substituering i bevægelsens integral finder vi

S=-\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\alpha c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}dt.

Men på den anden side kan integralet af bevægelse udtrykkes i form af Lagrange-funktionen

S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}dt.

Sammenligner man de to sidste udtryk, er det let at forstå, at integranderne skal være ens, dvs.

{\mathcal {L}}=-\alpha c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.

Dernæst udvider vi det sidste udtryk i potenser af , vi får ${\frac {v}{c}}$

{\mathcal {L}}\simeq \alpha c+{\frac {\alpha v^{2}}{2c}}.

Det første led i udvidelsen afhænger ikke af hastigheden og indfører derfor ingen ændringer i bevægelsesligningerne. Sammenligner man så med det klassiske udtryk for Lagrange-funktionen: , er det let at bestemme konstanten ${\frac {mv^{2}}{2}}$ $\alfa$

\alpha =mc.

Således får vi endelig formen af Lagrange-funktionen af en fri partikel

{\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.

Den ovenfor anførte begrundelse kan ikke kun overvejes for en partikel, men også for en vilkårlig krop, hvis kun dens dele bevæger sig som en helhed.

Relativistisk partikel som et ikke-holonomisk system

Da kvadratet af 4-moment-vektoren er en konstant: $P_{{\alpha }}$

P_{{\alpha }}P^{{\alpha }}-m^{2}c^{2}=0,

så kan en relativistisk partikel betragtes som et mekanisk system med en ikke- holonomisk begrænsning i et 4-dimensionelt pseudo-euklidisk rum [1] [2] [3] .

Noter

↑ O. Krupková og J. Musilová, "Den relativistiske partikel som et mekanisk system med ikke-holonomiske begrænsninger", J. Phys. A: Matematik. Gen. 34 (2001) 3859-3876.
↑ O. Krupkova, J. Musilova, "Den relativistiske mekanik i en ikke-holonomisk setting: En samlet tilgang til partikler med ikke-nul masse og masseløse partikler" arXiv:0904.2933.
↑ VE Tarasov "Relativistisk ikke-Hamiltonsk mekanik" Annals of Physics. bind 325. nr.10.(2010) s.2103-2119.

Se også

Litteratur

Pauli W. Relativitetsteori. M.: Nauka , 1991. 328 s.
Relativitetsprincippet. Samling af værker om den særlige relativitetsteori. Moskva: Atomizdat , 1973.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Felteori. — 3. Oplag, revideret. — M .: Fizmatgiz , 1960. — 512 s. - (" Teoretisk fysik ", bind II).
Whittaker E. Historien om teorien om æter og elektricitet. Moderne teorier 1900-1926. Per fra engelsk. Moskva, Izhevsk: IKI, 2004. 464 s. ISBN 5-93972-304-7 (kapitel 2)

Afsnit af mekanik
klassisk mekanik Særlig relativitetsteori Teoretisk mekanik Generel relativitetsteori Relativistisk mekanik Kvantemekanik
Kontinuum mekanik	Hydrostatik Hydrodynamik Aeromekanik Aerostatik gasdynamik Teori om elasticitet Teori om plasticitet Brudmekanik af faste stoffer Rheologi
teorier	Oscillationsteori Teori om bæredygtighed
anvendt mekanik	Materialernes styrke Teori om mekanismer og maskiner Maskindele Strukturel mekanik Hydraulik Mekatronik Himmelsk mekanik Optomekatronik