Ortogonal gruppe

En ortogonal gruppe er gruppen af alle lineære transformationer af et dimensionelt vektorrum over et felt , der bevarer en fast ikke-degenereret kvadratisk form på (det vil sige lineære transformationer sådan, at for enhver ). $n$ $V$ $k$ $Q$ $V$ $\varphi$ $Q(\varphi(v))=Q(v)$ $v\in V$

Notation og relaterede definitioner

Elementer i en ortogonal gruppe kaldes ortogonale (med hensyn til ) transformationer , såvel som form automorfismer (mere præcist, rum automorfismer med hensyn til form ). $Q$ $V$ $Q$ $V$ $Q$
Det er angivet med , , osv. Når den kvadratiske form ikke er specificeret eksplicit, så er formen givet af summen af kvadraterne af koordinater, det vil sige udtrykt af identitetsmatrixen , underforstået . $På}$ $O_n(k)$ $O_n(Q)$
Over feltet af reelle tal er en ortogonal gruppe af ubestemt form med signatur ( plusser, minusser) hvor , er betegnet med , se f.eks. O(1,3) . $l$ $m$ $n = l + m$ $O(l,m)$

Egenskaber

Hvis karakteristikken for hovedfeltet ikke er lig med to , er en ikke- degenereret symmetrisk bilineær form på forbundet med , defineret af formlen $Q$ $F$ $V$ $F(u,\;v)={\frac {Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{2)).$

Så består den ortogonale gruppe præcis af de lineære transformationer af rummet , der bevarer , og er betegnet med eller (når det er klart, hvilket felt og hvilken form vi taler om) blot ved .

V

F

O_n(k,\;F)

k

F

På}

Hvis er formmatricen i en eller anden basis af rummet , så kan den ortogonale gruppe identificeres med gruppen af alle sådanne matricer med koefficienter i , sådan at $B$ $F$ $V$ $EN$ $k$ $A^TBA=B.$ Især hvis grundlaget er sådan, at det er summen af kvadraterne af koordinaterne (det vil sige, at matrixen er identitet), så kaldes sådanne matricer ortogonale . $Q$ $B$ $EN$
Over feltet af reelle tal er en gruppe kompakt , hvis og kun hvis formen er ubestemt . $O_n({\mathbb R},\;V)$ $Q$
- I dette tilfælde er ethvert element fra , for en passende basis repræsenteret som en blok-diagonal matrix $O_{n}({\mathbb {R} })$ ${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddotter &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}}$

hvor R1 , ..., Rk er 2x2 rotationsmatricer; Eulers rotationssætning er et specialtilfælde af dette udsagn.

Andre grupper

En ortogonal gruppe er en undergruppe af den generelle lineære gruppe GL( ). Elementerne i en ortogonal gruppe, hvis determinant er lig med 1 (denne egenskab afhænger ikke af grundlaget ) danner en undergruppe - en speciel ortogonal gruppe , angivet på samme måde som den ortogonale gruppe, men med tilføjelsen af bogstavet "S ". , efter konstruktion, er også en undergruppe af den særlige lineære gruppe . $n$ $SO(n,Q)$ $SO(n,Q)$ $SL(n)$

Se også

SO(8)

Links

Ortogonal gruppe

Isaev A.P., Rubakov V.A. Teori om grupper og symmetrier. slutgrupper. Løgngrupper og algebraer. Forlaget URSS. 2018. 491 s

Gruppeteori
Basale koncepter	Undergruppe Normal undergruppe Faktor gruppe Arbejde direkte semi-direkte ledig
Algebraiske egenskaber	kommutativ gruppe Cyklisk gruppe bestilt gruppe Forvandle gruppe Opløselig gruppe Schreiers Lemma Lagranges sætning Sylows sætninger Klassificering af simple endelige grupper
begrænsede grupper	Endelig cyklisk gruppe C n Symmetrisk gruppe S n Dihedral gruppe D n Skiftende gruppe A n Klein Quadruple Group Mathieu grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fiskergrupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiske grupper	Løgngrupper Ortogonal gruppe O(n) Særlig ortogonal gruppe SO(n) Enhedsgruppe U(n) Særlig enhedsgruppe SU(n) Symplektisk gruppe Sp(n) Enestående enkel Lorentz gruppe Poincaré gruppe
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier transformation