Power serie

En potensrække med én variabel er et formelt algebraisk udtryk for formen:

F(X)=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}a_{n}X^{n},

hvor koefficienterne er taget fra en eller anden ring . ${a_{n}}$ ${R}$

Power series space

Rummet af potensrækker med én variabel og koefficienter fra er angivet med . Rummet har strukturen som en differentiel algebra over en ring ( kommutativ , integral, med enhed, hvis det er ringen ). Det bruges ofte i matematik på grund af det faktum, at formelle differential-algebraiske og endda funktionelle relationer let kan repræsenteres og løses i det (se metoden til at generere funktioner ). Når du bruger det, bliver disse relationer til algebraiske ligninger for rækkens koefficienter. Hvis de løses, taler man om at opnå en formel løsning på det oprindelige problem i form af en formel potensrække. ${R}$ $R[[X]]$ $R[[X]]$ ${R}$ ${R}$

Operationerne addition, multiplikation, formel differentiering og formel superposition er defineret . Lade $R[[X]]$

F(X)=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}a_{n}X^{n},G(X)=\sum \limits _{{n=0} }^{{\infty }}b_{n}X^{n},H(X)=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}c_{n}X^{n }.

Derefter:

H=F+G\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=a_{n}+b_{n}

H=F\,\cdot \,G\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{{k+l=n}}a_{k}b_{l}

H=F\circ G\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{{s=1}}^{n}a_{s}\sum \limits _{{k_{1}+ \dots +k_{s}=n}}b_{{k_{1}}}b_{{k_{2}}}\dots b_{{k_{s}}}

(mens det er nødvendigt at overholde )

b_{0}=0

H=F'\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=(n+1)a_{{n+1}}

Konvergens af potensrækker

Fra en formel potensrække med reelle eller komplekse koefficienter kan du ved at tildele en formel variabel en eller anden værdi inden for reelle eller komplekse tal få en talserie . En talserie betragtes som konvergent ( summable ), hvis en sekvens af delsummer sammensat af dens medlemmer konvergerer, og kaldes absolut konvergent , hvis en sekvens af delsummer sammensat af dens termer taget modulo (i norm) konvergerer. ${X}$

Tegn på konvergens

For potensrækker er der flere sætninger, der beskriver betingelserne og arten af deres konvergens.

Abels første sætning : Lad rækkenkonvergere i et punkt. Så konvergerer denne serie absolut i cirklenog ensartet ienhver kompakt delmængde af denne cirkel. $\Sigma \,a_{n}x^{n}$ ${x_{0}}$ ${|x|<|x_{0}|}$ ${x}$

Inverterer denne sætning, får vi, at hvis en potensrække divergerer for , divergerer den for alle sådan, at . Det følger også af Abels første sætning, at der er en sådan radius af cirklen (muligvis nul eller uendelig), at serien konvergerer absolut (og ensartet ind på kompakte delmængder af cirklen ), og for , den divergerer. Denne værdi kaldes seriens konvergensradius, og cirklen kaldes konvergenscirklen. ${x=x_{0}}$ ${x}$ ${|x|>|x_{0}|}$ ${R}$ ${|x|<R}$ $x$ ${|x|<R}$ ${|x|>R}$ $R$ ${|x|<R}$

Cauchy-Hadamard formel : Værdien af konvergensradius for en potensrække (hvis en øvre grænse findes og er positiv, Hadamards potensrækkesætning ) kan beregnes ud fra formlen:

{1 \over R}={\varlimsup \limits _{{n\rightarrow +\infty }}}\,|a_{n}|^{{1/n}}

(For definitionen af den øvre grænse, se artiklen " Delvis sekvensgrænse ".) $\varlimsup \limits _{{n\højrepil +\infty }}$

Lad og være to potensrækker med konvergensradier og . Derefter $F(x)$ $G(x)$ ${R_{F}}$ ${R_{G}}$

R_{{F+G}}\geq \min\{R_{F},\,R_{G}\}

R_{{F\cdot G}}\geq \min\{R_{F},R_{G}\}

R_{{F'}}\,=\,R_{F}

Hvis skæringspunktet for serien er nul, så $G(x)$

R_{{F\circ G}}\geq {R_{F} \over {R_{F}+1}}R_{G}

Spørgsmålet om seriens konvergens ved punkterne for grænsen af konvergenscirklen er ret kompliceret, og der er ikke noget generelt svar her. Her er nogle af sætningerne om konvergensen af en serie ved grænsepunkterne for konvergenscirklen: ${|x|=R}$

D'Alemberts tegn : Hvis uligheden holder for og $n>N$ $\alfa >1$

\left|{a_{n} \over a_{{n+1}}}\right|\geq R\left(1+{\alpha \over n}\right)

så konvergerer potensrækken på alle punkter af cirklen absolut og ensartet i .

\Sigma \,a_{n}x^{n}

{|x|=R}

x

Dirichlets tegn : Hvis alle koefficienterne for en potensrække erpositive, og rækkefølgenkonvergerer monotont til nul, så konvergerer denne række på alle punkter i cirklen, undtagen måske punktet. $\Sigma \,a_{n}x^{n}$ $a_n$ ${|x|=1}$ ${x=1}$

Summen af en potensrække som funktion af en kompleks parameter er et emne for undersøgelse i teorien om analytiske funktioner . $x$

Se også

Variationer og generaliseringer

En potensrække i n variable er et formelt algebraisk udtryk for formen:

F(X_{1},X_{2},\dots,X_{n})=\sum \limits _{{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}=0}}^ {{+\infty }}a_{{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}}X_{1}^{{k_{1}}}X_{2}^{{k_ {2}}}\dots X_{n}^{{k_{n}}}

eller, i multi-indeks notation,

F(X)=\sum \limits _{{\alpha }}a_{{\alpha }}X^({\alpha }}),

hvor er en vektor , er et multiindeks , er et monomial . Rummet af potensrækker i variable og koefficienter fra er betegnet med . Den definerer operationerne addition, multiplikation, differentiering med hensyn til hver variabel og -lokal superposition. Lade $x$ $X=(X_{1},X_{2},\dots,X_{n})$ $\alfa$ $\alpha =(k_{1},k_{2},\dots ,k_{n})$ $X^{{\alpha ))$ $X^{{\alpha }}=X_{1}^{{k_{1}}}X_{2}^{{k_{2}}}\dots X_{n}^{{k_{n}}}$ $n$ $R$ $R[[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]]$ $n$

F(X)=\sum \limits _{{\alpha }}a_({\alpha }}X^{{\alpha }}),G(X)=\sum \limits _{{\alpha }}b_ { {\alpha }}X^{{\alpha }},H(X)=\sum \limits _{{\alpha }}c_({\alpha }}X^{{\alpha }}.

Derefter:

H=F+G\Leftrightarrow \forall {\alpha }\,c_({\alpha }}=a_{{\alpha }}+b_{{\alpha }}

H=F\,\cdot \,G\Leftrightarrow \forall {\alpha }\,c_({\alpha }}=\sum \limits _({\beta +\gamma =\alpha }}a_{{\beta }}b_{{\gamma }}

H={\partial F \over \partial X_{i}}\Leftrightarrow \forall (k_{1},k_{2},\dots,k_{n})\,c_{{k_{1},k_{ 2},\dots ,k_{n}}}=(k_{i}+1)a_{{(k_{1},k_{2},\dots ,k_{i}+1,\dots ,k_{ n})}}