Tunnel effekt

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 16. august 2022; checks kræver 2 redigeringer .

Tunneling effekt , tunneling - overvinde en potentiel barriere med en mikropartikel i det tilfælde, hvor dens samlede energi (forbliver uændret under tunneling) er mindre end højden af barrieren. Tunneleffekten er et fænomen af udelukkende kvantenatur , umuligt i klassisk mekanik og endda fuldstændig i modstrid med den. En analog af tunneleffekten i bølgeoptik kan være indtrængning af en lysbølge ind i et reflekterende medium (ved afstande af størrelsesordenen af en lysbølges bølgelængde) under forhold, hvor der fra et geometrisk optiks synspunkt er total intern refleksion opstår . Fænomenet tunneling ligger til grund for mange vigtige processer i atom- og molekylærfysik , i atomkernens fysik , fast tilstand osv.

Kvantemekanisk beskrivelse af essensen af effekten

Ifølge klassisk mekanik kan en partikel kun være placeret på de punkter i rummet, hvor dens potentielle energi er mindre end dens samlede energi . Dette følger af, at partiklens kinetiske energi $U$

E_{kin}={\frac {p^{2}}{2m}}=EU

kan (i klassisk fysik) ikke være negativ, da momentum i dette tilfælde vil være en imaginær størrelse . Det vil sige, hvis to områder af rummet er adskilt af en potentiel barriere, sådan at penetration af en partikel gennem den inden for rammerne af den klassiske teori viser sig at være umulig. ${U}>{E}$

I kvantemekanikken er kendsgerningen om den imaginære værdi af en partikels momentum ikke noget nonsens. Lad os sige Schrödinger-ligningen med konstant potentiale = const, skrevet i det endimensionelle tilfælde som $U(x)$

{\frac {{{\rm {d}}^{2}}{\psi }}{({\rm {d}}{x}}^{2}}}+{\frac {2m }{{\hbar }^{2))}{\left({E}-{U}\right)}{\psi }=0,

hvor er den ønskede bølgefunktion , er koordinaten , er den reducerede Planck-konstant , er massen af partiklen, har løsningen $\psi$ $x$ ${\displaystyle {\hbar ))$ $m$

{\psi }=A\exp {\left(i\,{\frac {p}{\hbar }}\,x\right)+B\exp \left(-i\,{\frac { p}{\hbar }}\,x\right)},\quad p={\sqrt {2m\left(EU\right)))

Denne løsning gælder både for situationen og . I det andet tilfælde, umuligt i klassisk mekanik, vil der under eksponenterne være en reel værdi på grund af et imaginært momentum - fysisk beskriver en sådan løsning dæmpningen eller forstærkningen af en bølge med en koordinat. Konkretiseringen er bestemt af randbetingelserne. $E>U$ $E<U$

Ikke-nul-værdier på at indikerer, at der er en vis sandsynlighed for, at partiklen falder ind i et klassisk utilgængeligt område, som i denne sammenhæng kaldes en barriere. Hvis området er uendeligt tykt (halvrum), falder bølgefunktionen med en karakteristisk dybde. Hvis barrieren har en endelig tykkelse, der kan sammenlignes med denne dybde, så stopper dæmpningen uden for barrieren, og bølgefunktionen af den transmitterede bølge svarer til yderligere udbredelse, dog med en lavere amplitude (vist på figuren). ${\displaystyle |\psi (x)|^{2))$ $E<U$

I processen med tunneling bevares partiklens samlede energi og dens momentumkomponent i planet vinkelret på tunnelretningen: $E$ $\,{\vec {p}}_{\bot }$ $yz$

E={\rm {{const},\quad {\vec {p}}_{\bot }={\rm {const}}}}

Ovenfor blev det, når man betragtede det endimensionelle tilfælde, antaget, at ; hvis , så i udtrykket for ville det være nødvendigt at erstatte med . Manglende overholdelse af bevaringsreglerne er kun mulig under påvirkning af dissipative kræfter, der krænker "renheden" af tunnelingsprocessen. $p_{\bot }=0$ $p_{\bot }\neq 0$ $\psi$ $s$ ${\displaystyle p_{x}=[2m\left(EU\right)-p_{\bot }^{2}]^{1/2))$

Barrieregennemtrængningskoefficient

Lad der være en bevægelig partikel , på den måde, hvorpå der er en potentiel barriere , og før og efter den . Lad yderligere, begyndelsen af barrieren falde sammen med oprindelsen af koordinater, og "bredden" af barrieren er . $U(x)$ $U=0$ $-en$

Så for den første (før barrieren) og den tredje (efter) region giver Schrödinger-ligningen en løsning i form af en sum af to eksponentialer med reelle eksponenter:

{{\psi }_{I}}={A_{1}}\exp {\left(ikx\right)}+{B_{1}}\exp {\left(-ikx\right)}

{{\psi }_{III}}={A_{3}}\exp {\left(ik(xa)\right)}+{B_{3}}\exp {\left(-ik( xa)\right)}

mens løsningen for det andet område (barriere) kan være kompleks og bestemmes af profiltypen . Her $\psi _{II}(x)$ $U(x)$

k={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2))))

Da udtrykket beskriver den reflekterede bølge, der kommer fra plus uendelighed, som er fraværende i region III, skal vi sætte . ${\displaystyle {B_{3}}\exp {\left(-ik(xa)\right)))$ ${B_{3}}=0$

Barrierens gennemsigtighedskoefficient (transmissionskoefficient) er lig med modulet af forholdet mellem fluxtætheden af passerede partikler og fluxtætheden af faldne partikler:

T={\frac {j_{III}}{j_{I}}}

Følgende formel bruges til at bestemme partikelfluxen:

{\displaystyle {j}={\frac {i{\hbar }}{2m}}{\left({\frac {{\partial }{{\psi }^{*}}}{{\partial }x }}{\psi }-{\frac {{\partial }{\psi }}({\partial }x}}({\psi }^{*}}\right))))

hvor * tegnet angiver kompleks konjugation . Ved at erstatte de ovenfor angivne bølgefunktioner i denne formel får vi:

{T}={\frac {|{A_{3}}|^{2}}{|{A_{1}}|^{2}}}

For at bestemme transmissionskoefficienten er det derfor nødvendigt at kende og . $T$ $A_{1}$ $A_{3}$

Rektangulær potentialbarriere

I tilfælde af den enkleste rektangulære barriere ved , har bølgefunktionen i barrieren formen: $U(x)=U_{0}$ $0<x<a$

{{\psi }_{II}}={A_{2}}\exp {\left(-{\kappa}x\right)}+{B_{2}}\exp {\left({ \kappa }x\right)},

hvor er bølgetallet .

{\displaystyle \kappa ={\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2))}{\left({U_{0}-E}\right)))))

I den analytiske beregning af de præ-eksponentielle faktorer i udtrykkene for anvendes "betingelserne for at sammenkæde funktioner": kravene til kontinuitet og deres afledte i begge kryds. $\psi _{I},$ $\psi _{II},$ $\psi _{III}$ $\psi$ $d\psi /dx$

Efter at have lavet regnestykket får vi :

T={\frac {1}{1+{\frac {U_{0}^{2}}{4E\left(U_{0}-E\right))\sinh ^{2}( \kappa a)}}.

Skrivningen af denne formel er mere naturlig for sagen. Men formlen er også gyldig for overbarrierepassagen, mens den hyperbolske sinus kan erstattes af den sædvanlige gennem formlen . $E<U_{0}.$ $E>U_{0},$ $\sinh(is)=i\sin s$

Det fremgår tydeligt af analysen af formlen for , at i modsætning til det klassiske tilfælde for det første er passagen også mulig ved , og for det andet er passagen ved ikke garanteret (se figuren). $T$ ${\displaystyle E<U_{0))$ $E>U_{0}$

Generelt, for lavere energier , for at gennemsigtighedskoefficienten skal have mærkbare værdier, skal barrieren være tynd og lav. $U_{0},$

I det tilfælde , hvor transmissionskoefficienten er lille, konverteres formlen til: $E\ll U_{0},$

T={\frac {16(U_{0}-E)E}{U_{0}^{2}}}\cdot \exp \left(-{\frac {2a{\sqrt {2m( U_{0}-E))))}{\hbar }}\right),

hvor den præeksponentielle faktor ofte kan betragtes som tæt på enhed og kan udelades.

Fri form potentiel barriere

En potentiel barriere af en vilkårlig form kan mentalt opdeles i et system af små rektangulære barrierer med potentiel energi stående lige ved siden af hinanden . $U(x)$ $\Delta x$ $U_{i}.$

T=\prod T_{i}=\prod \exp \left(-{\frac {2{\sqrt {2m(U_{i}-E)))}{\hbar }}\Delta x\ højre)=\exp \left(-\sum {\frac {2{\sqrt {2m(U_{i}-E)))}{\hbar }}\Delta x\right).

Den præ-eksponentielle faktor blev sat til én. Hvis vi har en tendens til nul i det sidste udtryk og går fra summering til integration, får vi [1] : $\Delta x$

T=\exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m(U(x) -E)))\,{\rm {{d}x}}\right),

hvor og er fra tilstanden: $x_{1}$ $x_{2}$ ${U(x_{1})}={U(x_{2})}=E.$

Mere berettiget kan denne formel udledes ved hjælp af den såkaldte semiklassiske tilnærmelse (det er også Wentzel-Kramers-Brillouin-tilnærmelsen).

Forenklet forklaring

Tunneleffekten kan forklares med usikkerhedsrelationen skrevet som:

\Delta x\Delta p\geqslant {\frac {\hbar }{2))

det viser, at når en kvantepartikel er begrænset i rummet, det vil sige, at dens sikkerhed i x øges , bliver dens momentum p mindre sikker. Tilfældigt kan momentumusikkerheden tilføje energi til partiklen for at overvinde barrieren. En kvantepartikel kan således med en vis sandsynlighed trænge ind i barrieren. Denne sandsynlighed er jo større, jo mindre massen af partiklen er, jo smallere er den potentielle barriere og jo mindre energi partiklen mangler for at nå højden af barrieren, vil den gennemtrængende partikels gennemsnitlige energi forblive uændret [2] . $\Delta s$

Systemets samlede energi er summen af kinetik og potentiale, og derfor skal den kinetiske energi være negativ, mens den samlede energi bevares, for en partikel under en potentiel barriere. Denne tilsyneladende modsigelse er løst ved at bruge følgende betragtning. Det er umuligt at opdele den samlede energi i to kinetiske og potentielle, da det følger heraf, at momentum og koordinat er kendt for partiklen, hvilket er umuligt ud fra usikkerhedsprincippet. Begrænsning af partiklens position til området under barrieren, skal man også tage højde for usikkerheden af momentum. Det følger af formlen for passagekoefficienten gennem barrieren, at partikler kun passerer gennem den potentielle barriere på en mærkbar måde, når dens tykkelse bestemmes af den omtrentlige lighed $l$

{\frac {2}{\hbar }}{\sqrt {2m{\left(U_{m}-E\right)))}l\ca. 1

Her er den maksimale højde af barrieren. For at detektere en partikel inde i en potentiel barriere skal vi måle dens koordinater med en nøjagtighed, der ikke overstiger dens indtrængningsdybde . Det følger af usikkerhedsprincippet, at i dette tilfælde får partiklens momentum en dispersion ${\displaystyle U_{m))$ $\Delta x<l$

{\overline {\Delta p^{2))}>{\frac {\hbar ^{2)){4{\overline {\Delta x^{2))))}={\frac { \hbar ^{2}}{4l^{2}}}

Værdien kan findes fra formlen , som et resultat får vi $l$ ${\frac {2}{\hbar }}{\sqrt {2m{\left(U_{m}-E\right)))}l\ca. 1$

{\frac {\overline {\Delta p^{2}}}{2m}}>U_{m}-E

Således stiger den kinetiske energi af en partikel, når den passerer gennem barrieren, med den mængde, der kræves for at passere barrieren som et resultat af fremkomsten af usikkerheden af dens momentum, bestemt af usikkerhedsprincippet som et resultat af usikkerheden ved måling af dens koordinater [3] . Dette udtryk kan også fås ud fra usikkerhedsrelationen for energi-tid [4] . $\Delta E\Delta t\geqslant \hbar /2$

Eksempler på manifestationen af tunneleffekten

Om mangfoldigheden af manifestationssfærer

Tunneleffekten, på trods af universaliteten af dens teori, manifesterer sig i en lang række fysiske systemer. Specifikke typer systemer adskiller sig i måden at skabe en potentiel energiprofil på (i ikke-endimensionelle tilfælde ) og i typen af tunnelpartikler. For eksempel, i Josephson-effekten , parrer den såkaldte Cooper tunnel gennem en dielektrisk film mellem superledere . I tilfælde af alfa-henfald er tunnelpartiklerne heliumatomers kerner (alfapartikler), og koordinatafhængigheden af den potentielle energi "med en barriere" dannes på grund af stærke kernekræfter. $U(x)$ $U({\vec {r)))$

Eksempler i solid state elektronik

Et vigtigt tilfælde af tunneling er overførsel af elektroner i strukturer, der indeholder halvleder- eller dielektriske lag. Som det er kendt fra båndteorien om et fast legeme , har en elektron i sådanne materialer muligvis ikke nogen energi, men kun under en vis værdi eller over en anden . Området kaldes forbudt og udgør normalt flere eV . I et homogent materiale uden påføring af elektrisk spænding er profilerne vandrette linjer (i figuren - a). Men hvis der er flere lag, sker der også spring ved krydsene, det vil sige, at der skabes en barriere (i figuren - b, d). Barrierer kan også skabes eller ændres ved tilstedeværelse af et elektrisk felt, der forårsager bøjning/vipning (i figuren - c). For at tunnelstrømmen kan flyde, skal der være en forskel i Fermi-energierne til venstre og højre for barrieren. $E_{v}$ $E_{c}.$ $E_{v}\ldots E_{c}$ $(E_{g})$ $E_{v}(x),$ $E_{c}(x)$ $E_{v}$ $E_{c}$ $E_{v}(x),$ $E_{c}(x)$ $E_F$

Der er mange strukturer og solid-state enheder af praktisk betydning med lignende energiprofiler af kanterne af den tilladte zone (b, d i figuren). Blandt strukturerne i den diskuterede klasse:

de fleste typer felteffekttransistorer med en isoleret gate, halvlederstrukturer (ofte polykrystallinsk silicium polySi) - dielektrisk (ofte SiO 2 ) - halvleder (ofte Si );
tunneldiode (to halvlederområder under forhold, hvor en af dem er højere end den anden, i figuren - c); $E_{v}$ $E_{c}$
systemer med tynde oxidfilm, der dækker en række metaller (især aluminium ), tunneleringen af ladningsbærere gennem sådanne film (midterste fig. d) sikrer ledningsevnen af ledernes mekaniske forbindelsespunkter (trådsnoninger, klemmer, jumpere );
systemer, hvor autoelektronisk emission realiseres - tunnelering af elektroner gennem en potentiel barriere fra et fast legeme ind i vakuum ved et højt elektrisk felt nær dets overflade (højre i figuren - d);
forskellige tunneling enheder baseret på heterostrukturer , herunder resonans tunneling dioder.

Nedenfor præsenteres den "almindelige" tunneldiode og den resonante mere detaljeret.

Tunneldiode

En tunneldiode er en slags halvlederdiode ( pn-junction ), hvis egenskab er en stærk, til det punkt af degeneration , doping af p- og n-delene. Med en sådan doping foregår energioverlapningen af p-delens valensbånd og n-delens ledningsbånd ikke kun ved omvendt (“-” på p) spænding, men også ved små værdier af direkte ("+" på p). Derudover viser udtømningsområdet dannet nær overgangsgrænsen sig at være meget smallere end ved let doping og er som et resultat tunnelgennemtrængeligt. Når spændingen af enhver polaritet stiger fra nul, stiger strømmen hurtigt på grund af effekten af elektrontunnel mellem ledningsbåndet af n-delen og valensbåndet af p-delen. Forlæns forspændingstilstanden er mest signifikant: tunneling ved denne polaritet fortsætter indtil den spænding, hvor kanten af valensbåndet af p-delen (uden for udtømningsområdet) og kanten af ledningsbåndet af n-delen (også udenfor ) udtømningsregionen) er ens i energi. Ved højere fremadgående spændinger fungerer dioden normalt [5] .

På grund af tunnelprocessen er tunneldiodens jævnstrøm-spændingskarakteristik N-formet og har en sektion med negativ differensmodstand - hvor strømmen aftager med stigende spænding. Desuden er tunnelering en hurtig proces. Disse tunneldiodeegenskaber bruges i nogle applikationer, såsom højfrekvente enheder, hvor den karakteristiske tunneleringssandsynlighed varierer med samme frekvens som forspændingen [5] .

Resonant tunneling diode

Resonant tunneling diode (RTD) udviser også en N-formet karakteristik, men kvante tunneling mekanismen er anderledes. En sådan diode har en resonansspænding, som svarer til en stor strøm, som opnås i en struktur med to tynde barrierer placeret meget tæt på hinanden (profilen af kanten af ledningsbåndet har form af en barrierebrønd- barriere). Der er et sæt diskrete energiniveauer i den potentielle brønd for nuværende transportører . Når det laveste kvasi-stationære niveau af brønden ligger højere i energi end den typiske energi for elektronerne i den emitterende kontakt, er tunnelering ekstremt svag, og der er næsten ingen strøm gennem dioden. Så snart disse energier udlignes ved at øge den påførte spænding, vil elektronerne strømme som gennem en leder. Efterhånden som spændingen stiger yderligere, sker der afstemning fra resonanstilstanden, og tunneling bliver meget mindre sandsynlig. Strømmen gennem RTD'en falder og forbliver lille, indtil betingelsen om resonanspassage gennem det andet energiniveau er opfyldt [6] .

Historie og opdagelsesrejsende

Forud for opdagelsen af tunneleffekten fandt A. Becquerel i 1896 radioaktivt henfald , hvis undersøgelse blev videreført af ægtefællerne Marie og Pierre Curie , som modtog Nobelprisen for deres forskning i 1903 [7] . Baseret på deres forskning i det næste årti blev teorien om radioaktiv halveringstid formuleret , som snart blev bekræftet eksperimentelt.

På samme tid, i 1901, modtog en ung videnskabsmand, Robert Francis Earhart, som undersøgte opførselen af gasser mellem elektroder i forskellige tilstande med et interferometer , pludselig uforklarlige data. Efter at have gjort sig bekendt med resultaterne af eksperimenterne foreslog den berømte videnskabsmand D. Thomson , at en endnu ikke beskrevet lov fungerer her, og opfordrede videnskabsmænd til yderligere forskning. I 1911 og i 1914 gentog en af hans kandidatstuderende , Franz Rother, Earharts eksperiment ved at bruge et mere følsomt galvanometer til målinger i stedet for et interferometer, og fik bestemt et uforklarligt stationært elektronemissionsfelt , der opstod mellem elektroderne . I 1926 brugte den samme Roser i eksperimentet det seneste galvanometer med en følsomhed på 26 pA og registrerede et stationært felt af elektronemission, der opstod mellem tætsiddende elektroder selv i højvakuum [8] .

I 1927 blev den tyske fysiker Friedrich Hund den første til matematisk at afsløre "tunneleffekten" ved beregning af resten af dobbeltbrøndspotentialet [7] . Samme år udgav Leonid Mandelstam og Mikhail Leontovich , der analyserede konsekvenserne af den dengang "nye" Schrödinger-bølgeligning , selvstændigt et papir, hvor de præsenterede en mere generel betragtning af dette fænomen [9] . I 1928, uafhængigt af hinanden, blev tunneleffektformlerne anvendt i deres arbejde af den russiske videnskabsmand Georgy Gamow (som kendte til opdagelserne af Mandelstam og Leontovich [10] ) og de amerikanske videnskabsmænd Ronald Gurney og Edward Condon i udvikling af teorien om alfa-henfald [11] [12] [13] [14] [15] . Begge undersøgelser løste samtidigt Schrödinger-ligningen for den nukleare potentialemodel og underbyggede matematisk forholdet mellem partiklernes radioaktive halveringstid og deres radioaktive emission, sandsynligheden for tunneling.

Efter at have deltaget i Gamows seminar udviklede den tyske videnskabsmand Max Born sin teori med succes, hvilket antydede, at "tunnelingseffekten" ikke er begrænset til kernefysikkens område, men har en meget bredere effekt, da den opstår i henhold til kvantemekanikkens love og love. , er således anvendelig til at beskrive fænomener i mange andre systemer [16] . Med autonom emission fra et metal til et vakuum, for eksempel ifølge "Fowler-Nordheim-loven" , formuleret i samme 1928.

I 1957 førte studiet af halvledere , udviklingen af transistor- og diodeteknologier til opdagelsen af elektrontunneling i mekaniske partikler. I 1973 modtog amerikaneren David Josephson Nobelprisen i fysik "For den teoretiske forudsigelse af egenskaberne af den superledningsstrøm, der passerer gennem en tunnelbarriere", sammen med japaneren Leo Esaki og nordmanden Ivar Giever "For de eksperimentelle opdagelser af tunneling ". fænomener i henholdsvis halvledere og superledere" [16] . I 2016 blev " kvantetunnelering af vand " [17] også opdaget .

Noter

↑ Yavorsky B. M. , Detlaf A. A. , Lebedev A. K. Håndbog i fysik for ingeniører og universitetsstuderende. - M .: Oniks, 2007. - ISBN 978-5-488-01248-6 . – Oplag 5.100 eksemplarer. - S. 774.
↑ Artikel "Tunneleffekt" i TSB , 2. afsnit
↑ Blokhintsev D.I. Grundlæggende om kvantemekanik. Tutorial .. - 5-e. - M . : Nauka, 1976. - S. 421-423. — 664 s.
↑ Razavy, 2013 , s. ti.
↑ 1 2 Krane, Kenneth. Moderne fysik (ubestemt) . - New York: John Wiley and Sons , 1983. - s . 423 . - ISBN 978-0-471-07963-7 .
↑ Knight, RD Physics for Scientists and Engineers : With Modern Physics . — Pearson Education, 2004. - S. 1311. - ISBN 978-0-321-22369-2 .
↑ 12 Nimtz ; haibel. Nul tidsrum (ubestemt) . - Wiley-VCH , 2008. - S. 1.
↑ Thomas Cuff. STM (Scanning Tunneling Microscope) [Robert Francis Earharts glemte bidrag til opdagelsen af kvantetunneling. ] . ResearchGate . Hentet 1. juni 2016. Arkiveret fra originalen 26. januar 2017. (ubestemt)
↑ Mandelstam, L.; Leontowitsch, M. (1928). Zur Theorie der Schrödingerschen Gleichung. Zeitschrift fur Physik . 47 (1-2): 131-136. Bibcode : 1928ZPhy...47..131M . DOI : 10.1007/BF01391061 . S2CID 125101370 .
↑ Feinberg, E. L. (2002). "Forfaderen (om Leonid Isaakovich Mandelstam)". Fysik-Uspekhi . 45 (1): 81-100. Bibcode : 2002PhyU...45...81F . DOI : 10.1070/PU2002v045n01ABEH001126 .
↑ G. Gamov . Essay om udviklingen af teorien om strukturen af atomkernen (I. Teori om radioaktivt henfald) // UFN 1930. V. 4. Arkiveksemplar af 5. februar 2011 på Wayback Machine
↑ Gurney, RW; Condon, EU's kvantemekanik og radioaktiv nedbrydning // Nature . - 1928. - Bd. 122 , nr. 3073 . — S. 439 . - doi : 10.1038/122439a0 . — .
↑ Gurney, RW; Condon, EU Quantum Mechanics and Radioactive Disintegration (neopr.) // Phys. Rev. - 1929. - T. 33 , nr. 2 . - S. 127-140 . - doi : 10.1103/PhysRev.33.127 . - .
↑ Bethe, Hans (27. oktober 1966), Hans Bethe - Session I . Interview med Charles Weiner; Jagdish Mehra , Cornell University, Niels Bohr Library & Archives, American Institute of Physics, College Park, MD USA , < https://www.aip.org/history-programs/niels-bohr-library/oral-histories/4504- 1 > . Hentet 1. maj 2016. .
↑ Friedlander, Gerhart; Kennedy, Joseph E.; Miller, Julian Malcolm. Nuklear og radiokemi (neopr.) . — 2. - New York: John Wiley & Sons , 1964. - S. 225-227. - ISBN 978-0-471-86255-0 .
↑ 1 2 Razavy, Mohsen. Kvanteteori om tunneling (neopr.) . - World Scientific , 2003. - S. 4 , 462. - ISBN 9812564888 .
↑ Kolesnikov et al. Kvantetunnelering af vand i Beryl: En ny tilstand af vandmolekylet . Physical Review Letters (22. april 2016). doi : 10.1103/PhysRevLett.116.167802 . Hentet 23. april 2016. Arkiveret fra originalen 12. maj 2021. (ubestemt)

Litteratur

Gol'danskii VI, Trakhtenberg LI, Flerov VN Tunnelfænomener i kemisk fysik. M.: Nauka, 1986. - 296 s.
Blokhintsev D. I. Fundamentals of Quantum Mechanics, 4. udgave, M., 1963.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantemekanik (ikke-relativistisk teori). — 3. Oplag, revideret og forstørret. — M .: Nauka , 1974. — 752 s. - (" Teoretisk fysik ", bind III).
Razavy Mohsen. Quantum Theory of Tunneling = Quantum Theory of Tunneling. — 2. - Singapore: World Scientific Publishing Co., 2013. - 820 s. — ISBN 9814525006 .

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk norsk Fantastisk norsk Stor russer Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	GND : 4136216-0 J9U : 987007555903405171 LCCN : sh85138672 NDL : 00573280