U(1)

$U(1)$ ( enhedsgruppe af orden 1) i matematik - den multiplikative abelske gruppe af alle komplekse tal lig med modulus en :. Det er også en endimensionel Lie-gruppe og er en cirkel . Det er isomorf for gruppen af rotationer af todimensionelt virkeligt rum. $\{z\in {\mathbb C}:|z|=1\}$ $SO(2)$

Navne og betegnelser

Gruppen kaldes unitær , da et komplekst tal, modulo en, kan forstås som en enhedsmatrix af størrelse . Denne gruppe er naturligt isomorf i forhold til rotationsgruppen i det virkelige plan (da det komplekse plan kan ses som et ægte todimensionelt rum ). Det er undertiden betegnet som eller på grund af det faktum, at kvadratet af denne gruppe er en torus ; i nogle områder af matematik , produkter af flere grupper , ikke nødvendigvis to, kaldes tori ; se f.eks. Maksimal torus . $1 gange 1$ $SO(2)$ $T$ ${\mathbb T}$ ${\mathbb T}\ gange {\mathbb T}$ ${\mathbb T}$

$U(1)$ også omtalt som en kompleks (enheds)cirkel (i kompleks analyse : ) eller blot en "cirkel" ( eller ). $\delvis D$ $S$ $S^{1}$

Nogle egenskaber

Gruppen er kompakt og er den eneste mulige (rigtige) endimensionelle kompakte og forbundne Lie -gruppe. I enhver kompakt Lie-gruppe af positiv dimension kan man finde en undergruppe isomorf til . $U(1)$ $U(1)$

Gruppen er ikke bare forbundet . $U(1)$

Elementær fortolkning

Gruppens elementer bestemmer faktisk værdien af vinklen : gruppens komplekse tal kan skrives som (desuden vil det allerede være reelt ), og multiplikationen af komplekse tal bliver til addition af vinkler. En gruppe kan således forstås som en gruppe af rotationer af en cirkel, eller en gruppe af rotationer af hele planet omkring origo. $U(1)$ $z$ $z=e^{{i\phi }}$ $\phi$ $U(1)$ $SO(2)$

Vinkler, der adskiller sig med et helt antal omdrejninger ( , hvis vinklen måles i radianer ) vil matche. For eksempel vil summen af to rotationer på og være lig med nul. Således er gruppen isomorf til faktorgruppen i gruppen af reelle tal modulo . Hvis du måler vinklen i omdrejninger ( ), så - en gruppe af brøkdele af reelle tal. $2\pi n$ $120^{\cirkel }=2\pi /3$ $240^{\cirkel }=4\pi /3$ $U(1)$ ${{\mathbb R}}/2\pi {{\mathbb Z}}$ $2\pi$ $2\pi =360^{\cirkel }$ $U(1)\ca. {{\mathbb R}}/{{\mathbb Z}}$

Ansøgning

Gruppen er det vigtigste objekt i Pontryagins dualitetsteori ; gennem den bestemmes Fourier-transformationen . Ofte brugt i enhver kontekst, der involverer komplekse tal , ofte uden eksplicit at nævne det som en gruppe (" gange med et tal modulo en" osv.). $U(1)$

I fysik er gauge - teorien elektrodynamik (med Maxwells ligninger som klassiske bevægelsesligninger ). I kvantemekanikken , "fysisk ikke-adskillelige" transformationer af systemets tilstandsvektor , som ikke ændrer noget observerbart (det vil sige ikke ændrer noget, der i princippet er tilgængeligt for observation). Se også måleinvarians . $U(1)$ $U(1)$

Metoden med trigonometriske summer er baseret på egenskaber . $U(1)$