Bordisme

Bordisme , også bordisme - et topologisk udtryk , brugt alene eller som en del af standardsætninger i flere beslægtede betydninger, i næsten alle af dem i stedet for bordisme før de talte om kobordisme , den gamle terminologi blev også bevaret.

Uorienterede grænser

Urettede bordismer er den enkleste variant af bordismer. To glatte , lukkede dimensionelle manifolder og er grænseoverskridende (begrænser eller internt homologe), hvis der eksisterer en glat kompakt- dimensionel manifold (kaldet en film ), hvis grænse består af to manifolds og , (eller mere præcist manifolds og diffeomorfe, henholdsvis, og gennem nogle diffeomorfismer og ). Sættet af manifolder, der grænser op til hinanden, kaldes bordismeklasser , og det tredobbelte kaldes bordisme (det ville være mere præcist at tale om fem ). $n$ $M$ $M'$ $(n+1)$ $W$ $M$ $M'$ $M_{0}$ $M_{1}$ $M$ $M'$ ${\displaystyle g_{0}\colon M\to M_{0))$ ${\displaystyle g_{1}\colon M'\to M_{1))$ $(W,\;M_{0},\;M_{1})$ $(W,\;M_{0},\;M_{1},\;g_{0},\;g_{1})$

Sættet af bordismeklasser af dimensionelle manifolder danner en abelsk gruppe af relativt adskilte foreninger , kaldet bordismegruppen . Nul i det er klassen af bordismer, der består af manifolder, der er grænsen for nogle manifold (andre navne: - bounding manifold , - internt homolog , eller grænse til nul). Elementet omvendt til en given klasse af bordismer er denne klasse selv (da foreningen af to kopier er diffeomorf i forhold til grænsen for det direkte produkt ). Den direkte sum af grupper er en kommutativ graderet ring, hvis multiplikation induceres af det direkte produkt af manifolderne, med enheden givet af punktets bordismeklasse. $n$ $\Omega _{n}^{O}$ $M$ $M$ $\Omega _{n}^{O}$ $M$ $M\ gange [0,\;1]$ $\Omega _{*}^{O}$ $\Omega _{n}^{O}$

Bordismer med yderligere struktur

Oriented bordisms

Orienterede bordismer er den enkleste type bordismer af glatte lukkede manifolds med ekstra struktur. To orienterede manifolds og er orienteret grænseoverskridende, hvis de er grænseoverskridende i førstnævnte betydning, og filmen er orienteret, og (i førstnævnte notation) orienteringen induceret af orienteringen på og (som på dele af grænsen) passerer under diffeomorfismer og , henholdsvis til den oprindelige orientering og til orienteringen, modsat den oprindelige orientering . Tilsvarende introduceres grupper af orienterede bordismer og en annulus . $M$ $M'$ $W$ $W$ $M_{0}$ $M_{1}$ $g_{0}$ $g_{1}$ $M$ $M'$ $\Omega _{n}^{O}$ $\Omega _{*}^{O}$ $\Omega _{n}^{SO}$ $\Omega _{*}^{SO}$

Andre muligheder

Andre varianter af bordismer af manifolder med yderligere struktur er de meget vigtige bordismer af kvasi-komplekse manifolder (også kaldet enhedsbordismer), grænserne af manifolder, som en gruppe af transformationer virker på, er bordismer. Der findes også varianter af en lidt anden art, for stykkevis lineære eller topologiske manifolder, for Poincaré-komplekser osv. En særstilling indtager foliationsbordismer og -bordismer (tidligere kaldet -ækvivalenser); sidstnævnte tjener til at forbinde differentiel og homotopi topologi. $\mathrm {Spin}$ $J$

Egenskaber

To manifolder er grænseoverskridende, hvis og kun hvis de har de samme karakteristiske tal ( Stiefel-Whitney-tal i det ikke-orienterbare tilfælde og Stiefel-Whitney- tal og Pontryagin-tal i det orienterbare tilfælde ).

Historie

Det første eksempel er bordismen af indrammede manifolder introduceret i 1938 af Pontryagin , som viste, at klassificeringen af disse bordismer svarer til at beregne sfærernes homotopigrupper , og på denne måde var i stand til at finde og . Uorienterede og orienterede grænser blev indført i 1951-53 af Rokhlin , der beregnede for . Pontryagin beviste, at hvis to manifolder er grænseoverskridende, så har de de samme karakteristiske tal . Efterfølgende viste det sig, at det modsatte også er tilfældet. $\pi _{i}(S^{n})$ $\pi _{n+1}(S^{n})$ $\pi _{n+2}(S^{n})$ $\Omega _{n}^{SO}$ $n\leqslant 4$

Litteratur

Milnor J., Wallace A. Differentiel topologi / Per. fra engelsk. — M .: Mir, 1972. — 280 s.

Se også

$h$ -kobordisme