Stationær perturbationsteori i kvantemekanik

Stationær forstyrrelsesteori i kvantemekanik er en forstyrrelsesteori, hvor Hamiltonianeren ikke er afhængig af tid. Teorien blev bygget af Schrödinger i 1926.

Teorien er anvendelig for tilstrækkeligt svage forstyrrelser: , mens parameteren skal være så lille, at forstyrrelsen ikke forvrænger det uforstyrrede spektrum for meget . $H = H_0 + \lambda H_1$ $\lambda$ $H^0$

Ikke-degenereret spektrum

I perturbationsteorien er løsningen repræsenteret som en udvidelse

|n\rangle = |n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle +\lambda^2 |n^2\rangle+...,

E_n = E^0_n+\lambda E^1_n + \lambda^2 E^2_n+...

Selvfølgelig skal Schrödinger-ligningen være sand :

H|n\rangle = E_n|n\rangle.

Ved at indsætte udvidelsen i denne ligning får vi

(H_0+\lambda H_1)(|n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle + \lambda^2 |n^2\rangle +...) =

(E^0_n + \lambda E^1_n + \lambda^2 E^2_n + ... ) ( |n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle + \lambda^2 |n^2\rangle +...)

Indsamling af udtryk af samme orden i , får vi sekvenser af ligninger $\lambda$

H_0 |n^0\rangle = E^0_n|n^0\rangle,

H_0 |n^1\rangle + H_1 |n^0\rangle = E^0_n |n^1\rangle + E^1_n|n^0\rangle,

H_0 |n^2\rangle + H_1 |n^1\rangle = E^0_n |n^2\rangle + E^1_n |n^1\rangle + E^2_n |n^0\rangle.

osv. Disse ligninger skal løses sekventielt for at opnå og . Indeksleddet er løsningen på den uforstyrrede Schrödinger-ligning, så man taler også om "nulordenstilnærmelsen". Tilsvarende taler man om "tilnærmelse af den k. orden", hvis løsningen beregnes op til vilkårene og . $E^k_n$ $n^k$ $k = 0$ $E^k_n$ $n^k$

Fra den anden ligning får vi, at det er muligt entydigt at bestemme løsninger for med kun yderligere betingelser, da hver lineær kombination er en løsning. Der er et spørgsmål om normalisering. Det kan vi antage , men på samme tid indebærer normalisering af den nøjagtige løsning . Derefter skal vi i den første rækkefølge (med hensyn til parameteren λ) for normaliseringsbetingelsen indstille . Da valget af fase i kvantemekanikken er vilkårligt, kan man uden tab af generalitet sige, at et tal er reelt. Derfor , og som en konsekvens heraf, vil den pålagte yderligere betingelse antage formen: $n^1$ $n^1$ $n^0$ $\langle n^0|n^0\rangle = 1$ $\langle n|n\rangle = 1$ $\langle n^0|n^1\rangle +\langle n^1|n^0\rangle=0$ $\langle n^0|n\rangle$ $\langle n^{0}|n^{1}\rangle =-\langle n^{0}|n^{1}\rangle$