Gruppe generator

Gruppegenerator ( infinitesimal operator ) er et begreb, der bruges i Lie- gruppeteori . Generatorerne af en gruppe er de elementer, der danner grundlaget for dens Lie-algebra , eller i det generelle tilfælde grundlaget for Lie-algebraen af billedet af en gruppe . $G$ $G$

Generatoren er den afledte af operatoren (eller matrix) repræsentationen af et gruppeelement med hensyn til en eller anden repræsentationsparameter med nul værdi af alle parametre (det antages, uden tab af generalitet, at med nul værdier af parametrene, operator, der repræsenterer det givne element, er lig med identitetsoperatoren og svarer til gruppens identitetselement). Repræsentationen af et vilkårligt gruppeelement tæt nok på identitetselementet udtrykkes på en lineær måde i form af gruppegeneratorerne (generatorer er førsteordens termer i udvidelsen af repræsentationsoperatøren i en potensrække med hensyn til parametre). Desuden, under visse svage antagelser, kan ethvert element i gruppen (dens repræsentation) udtrykkes i termer af generatorer, da termer af anden og højere orden igen udtrykkes i termer af generatorer. For en bestemt klasse af forbundne Lie-grupper kan ethvert element i gruppen repræsenteres ved hjælp af en eksponentiel mapping i formen . Især er en sådan repræsentation gyldig for simpelt forbundne kommutative grupper: gruppens egenskaber i dette tilfælde følger naturligvis af identiteten for pendlingsoperatører og . Hvis generatorerne ikke pendler, så er den eksponentielle repræsentation for gruppens elementer generelt set kun gyldig lokalt i et tilstrækkeligt lille kvarter af gruppens identitet, selvom gruppen er forbundet. $\exp(A_{1}\alpha _{1}+\cdots +A_{n}\alpha _{n})$ $\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)$ $EN$ $B$

Definition af begrebet

Lad et vilkårligt element i gruppen have en -parametrisk repræsentation (operatorfunktion af parametre, operatorer virker på et vektorrum), og gruppens identitetselement svarer til værdien af operatorfunktionen ved nulværdier af parametrene . Så er gruppens generatorer mængderne: $G$ $s$ $g(\alpha )=g(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{s})$ $s$ $g(0)$

A_{k}=\venstre.{\frac {\partial g(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{s})}{\partial \alpha _{k))}\right \vert _{\alpha =\,0}

Derefter kan et vilkårligt element fra det undersøgte kvarter (hvor parametrene naturligt er små) udvides nær identitetstransformationen op til vilkår af anden orden af lillehed: $g(\alpha _{1},\dots,\alpha _{s})$ $\alpha _{k}$

g(\alpha _{1},\dots,\alpha _{s})=1+\sum _{k=1}^{s}A_{k}\alpha _{k}+O( \sum _{k,\,j=1}^{s}\alpha _{k}\alpha _{j}),

Løgn Algebra. Eksponentiel mapping

Lad gruppen være en forbundet Lie-gruppe - en gruppe af transformationer afhængig af et endeligt sæt af parametre, således at ethvert element i gruppen kan forbindes med identitetselementet via en sti, der ligger helt inden for denne gruppe. Lad os betegne gruppens generatorer. Så kan det vises, at de genererer en Lie-algebra med kommuteringsrelationen: $T(\alfa)$ $t_{a}$

[t_{b},t_{c}]=iC_{{bc}}^{a}t_{a}

hvor er de såkaldte strukturkonstanter for Lie- algebraen (også kaldet "gruppens strukturelle konstanter"). $C_{{bc}}^{a}$

Bevis

Gruppeloven for multiplikation har formen:

T(\alpha )T(\beta )=T(f(\alpha ,\beta ))

hvor er en funktion. Da nulparametervektoren tages som "koordinaterne" for identitetselementet, skal denne funktion have egenskaberne . Derudover kan denne funktion udvides i en power-serie: $f$ $f^{a}(\alpha ,0)=f^{a}(0,\alpha )=\alpha ^{a}$

f^{a}(\alpha ,\beta )=\alpha ^{a}+\beta ^{a}+f_{bc}^{a}\alpha ^{b}\beta ^{c} +\dots

desuden ville vilkårene, der er proportionale med kvadraterne af parametrene, krænke ovenstående egenskab for denne funktion, så de er fraværende i udvidelsen.

Lad grupperepræsentationen gives . Det kan udvides i et eller andet område af nul med hensyn til parametre i form af følgende serie (vi tilføjer en imaginær enhed til den tilgang, der bruges i fysik): $U(T(\alpha ))$

U(T(\alpha ))=1+i\alpha ^{a}t_{a}+1/2\alpha ^{b}\alpha _{c}t_{bc}+\dots

hvor er operatører uafhængige af parametrene . $t_{a},t_{{bc}}$ $\alfa$

Hvis repræsentationen er ensartet, er operatørerne (gruppens generatorer) hermitiske. Det antages, at repræsentationen er ikke-projektiv, det vil sige almindelig, og derfor kan vi skrive: $U$ $t_{a}$

U(T(\alpha ))U(T(\beta ))=U(T(f(\alpha ,\beta ))

Venstre side af dette forhold er:

(1+i\alpha ^{a}t_{a}+1/2\alpha ^{b}\alpha _{c}t_{bc}+prikker)*(1+i\beta ^{a }t_{a}+1/2\beta ^{b}\beta _{c}t_{bc}+...)=1+i(\alpha ^{a}+\beta ^{a})t_ {a}-\alpha ^{b}\beta _{c}t_{b}t_{c}+\dots

Den højre side kan repræsenteres som følger (ved at bruge dekomponeringen af repræsentationen og dekomponeringen af funktionen f):

1+i(\alpha ^{a}+\beta ^{a}+f_{bc}^{a}\alpha ^{b}\beta _{c}+prikker)t_{a}+1 /2(\alpha ^{b}+\beta ^{b}+...)(\alpha ^{c}+\beta ^{c}+...)t_{bc}+...=1 +i(\alpha ^{a}+\beta ^{a})t_{a}+f_{bc}^{a}\alpha ^{b}\beta _{c}t_{a}+\alpha ^ {b}\beta _{c}t_{bc}+...

hvor ublandede udtryk af anden orden er udeladt på grund af deres åbenlyse sammenfald med venstre side. Betingelserne for den første orden er naturligvis også sammenfaldende. Relationerne for blandede udtryk af anden orden viser sig at være ikke-trivielle. For ligheden mellem venstre og højre del af gruppebetingelsen for repræsentationen af U skal forholdet nemlig være opfyldt:

t_{{bc}}=-t_{b}t_{c}-if_{{bc}}^{a}t_{a}

Således viste andenordens operatøren til nedbrydning af repræsentationen af en gruppe sig at blive udtrykt i form af førsteordens operatører, dvs. i form af gruppegeneratorer. Fuld konsistens kræver dog, at operatøren er symmetrisk med hensyn til indeksene. Ved at bruge udtrykket i form af generatorer betyder symmetrikravet: $t_{{bc}}$

0=t_{{cb}}-t_{{bc}}=(t_{b}t_{c}-t_{c}t_{b})-i(f_{{cb}}^{a}-f_ {{bc}}^{a})t_{a}

Herfra får vi udtrykket for kommutatoren af gruppegeneratorer:

[t_{b},t_{c}]=iC_{{bc}}^{a}t_{a}

hvor er gruppens såkaldte strukturkonstanter. $C_{{bc}}^{a}=f_{{cb}}^{a}-f_{{bc}}^{a}$

Et sådant sæt kommuteringsrelationer er Lie-algebraen. Således genererer gruppegeneratorer en Lie-algebra.

Disse kommuteringsrelationer er den eneste betingelse, der garanterer det rekursive udtryk for de operatorer, der optræder i udvidelsen af repræsentationen af gruppen i form af anden og højere orden. Alle ekspansionsvilkår kan således udtrykkes i form af generatorer. Dette betyder, at grupperepræsentationsoperatørerne, i det mindste i nogle områder af identitetselementet, kan udtrykkes unikt i form af gruppegeneratorer.

I et bestemt tilfælde, når , viser kommuteringsrelationerne, at generatorerne pendler i par: . Sådan en gruppe er Abelian. For en sådan gruppe er det muligt at udtrykke grupperepræsentationsoperatører gennem generatorer $C_{{bc}}^{a}=0$ $[t_{b},t_{c}]=0$

U(T(\alpha ))=e^{{i\alpha ^{a}t_{a}}}

En sådan kortlægning fra en Lie-algebra til en Lie-gruppe kaldes en eksponentiel mapping.

Bevis

I sådan en gruppe ; derfor . Derfor kan vi skrive følgende grupperelation: $f(\alpha ,\beta )=\alpha +\beta$ $f(\alpha /n,\alpha /n,prikker,\alpha /n)=\sum _{n}\alpha /n=\alpha$

U(T(\alpha ))=U(T(\alpha /n))^{n}

;

for tilstrækkelig stor kan man bruge den infinitesimale repræsentation på grund af lilleheden af . Vi får $n$ $\alfa /n$

U(T(\alpha ))=(1+i/n\alpha ^{a}t_{a})^{n}

Går vi til grænsen med hensyn til , får vi det ønskede udtryk for grupperepræsentationen for vilkårlige parametre i form af eksponenten $n$

U(T(\alpha ))=e^{{i\alpha ^{a}t_{a}}}

Eksempler på generatorer

Den imaginære enhed er generatoren af gruppen U(1) .
Pauli-matricer er generatorer af den særlige enhedsgruppe SU(2).
Gell-Mann-matricer er generatorer af den særlige enhedsgruppe SU(3).

Gruppe generator

Definition af begrebet

Løgn Algebra. Eksponentiel mapping

Eksempler på generatorer

Links