Strukturelle konstanter

I matematik bruges strukturkonstanter eller strukturkoefficienter for en algebra over et felt til eksplicit at angive produktet af to basisvektorer i en algebra som en lineær kombination . Givet strukturkonstanterne er det resulterende produkt bilineært og kan entydigt udvides til alle vektorer i vektorrummet, og dermed definere produktet unikt for algebra.

Strukturkonstanter bruges, når en eksplicit form af en algebra skal specificeres. Som sådan bruges de ofte i diskussioner om Lie-algebra i fysik , da basisvektorer angiver specifikke retninger i det fysiske rum eller svarer til specifikke partikler . Husk, at Lie-algebraer er algebraer over et felt, og det bilineære produkt er givet af Lie-parentesen eller kommutatoren .

Definition

Givet et sæt basisvektorer for et algebrabasevektorrum udtrykker strukturkonstanterne eller strukturkoefficienterne multiplikationen af par af vektorer som en lineær kombination : ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}\))$ ${\displaystyle c_{ij}^{\;k))$ $\cdot$

\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\sum _{k}c_{ij}^{\;\;k}\mathbf {e} _{k }

Den hævede og sænkede skrift skelnes ofte ikke, medmindre algebraen er udstyret med en anden struktur, der ville kræve det (for eksempel en pseudo-riemannsk metrik på algebraen af den ubestemte ortogonale gruppe so( p , q )). Det vil sige, at strukturelle konstanter ofte skrives med hævet eller sænket skrift. Forskellen mellem øvre og nedre er en betingelse for at minde læseren om, at sænkede tekster opfører sig som komponenter i den dobbelte vektor , det vil sige kovariante , når de ændrer basis , mens overskrift opfører sig kontravariant .

Naturligvis afhænger strukturkonstanterne af det valgte grundlag. For Lie-algebraer er en almindeligt anvendt basiskonvention udtrykt i form af ladder-operatorer defineret af Cartan-subalgebraen ; dette præsenteres nedenfor i artiklen efter nogle foreløbige eksempler.

Eksempel: Lie algebraer

For en Lie-algebra kaldes basisvektorerne generatorer af algebraen, og produktet er givet af Lie-parentesen. Det vil sige, at produktet af en algebra er "defineret" som en Lie-parentes: for to vektorer og i en algebra er resultatet. Især produktet af en algebra skal ikke forveksles med et matrixprodukt, så alternativ notation er nogle gange påkrævet. $\cdot$ $EN$ $B$ $A\cdot B\equiv [A,B].$ $\cdot$

I dette tilfælde er der ikke noget særligt behov for at skelne mellem hævet og sænket skrift; de kan skrives alle øverst eller alle nederst. I fysik bruges notationen normalt til generatorer og eller (der ignorerer skelnen mellem øvre og nedre) for strukturkonstanter. Lie-beslaget af generatorpar er en lineær kombination af generatorer fra sættet, dvs. $T_{i}$ ${\displaystyle f_{ab}^{\;\;c))$ ${\displaystyle f^{abc))$

{\displaystyle [T_{a},T_{b}]=\sum _{c}f_{ab}^{\;\;c}T_{c))

Ved en lineær forlængelse bestemmer strukturkonstanterne fuldstændig Lie-parenteserne for alle elementer i Lie-algebraen.

Alle Lie-algebraer opfylder Jacobi-identiteten . For basisvektorer kan dette skrives som

[T_{a},[T_{b},T_{c}]]+[T_{b},[T_{c},T_{a}]]+[T_{c},[T_{ a},T_{b}]]=0

og dette fører direkte til den tilsvarende identitet i form af strukturkonstanter:

f_{ad}^{\;\;e}f_{bc}^{\;\;d}+f_{bd}^{\;\;e}f_{ca}^{\;\; d}+f_{cd}^{\;\;e}f_{ab}^{\;\;d}=0.

Ovenstående og resten af denne artikel bruger Einstein summeringskonventionen for gentagne indekser.

Strukturelle konstanter spiller en rolle i Lie-algebra-repræsentationer og giver faktisk præcis matrixelementerne i den adjoint repræsentation . Killing-formen og Casimir-invarianten har også en særlig enkel form, når de er skrevet i form af strukturkonstanter.

Strukturkonstanter vises ofte i tilnærmelser til Baker-Campbell-Hausdorff-formlen for produktet af to elementer i en Lie-gruppe . For små elementer i Lie-algebraen er strukturen af Lie-gruppen omkring identitetselementet givet af formlen $X,Y$

\exp(X)\exp(Y)\approx \exp(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]).

Vær opmærksom på faktoren 1/2. De optræder også i eksplicitte udtryk for differentialer som f.eks . $e^{-X}de^{X}$

Eksempler på løgnalgebra

𝖘𝖚(2) og 𝖘𝖔(3)

Algebraen 𝖘𝖚(2) i den særlige enhedsgruppe SU(2) er tredimensionel, med generatorer givet af Pauli-matricer . Generatorerne af SU(2)-gruppen opfylder kommuteringsrelationerne (hvor er Levi-Civita-symbolet ): $\sigma_i$ ${\displaystyle \epsilon ^{abc))$

{\displaystyle [\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\epsilon ^{abc}\sigma _{c))

hvor

\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}

\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

I dette tilfælde er strukturkonstanterne lig med . Bemærk, at konstanten 2i kan inkluderes i definitionen af basisvektorer; således, definerende , kan man lige så godt skrive ${\displaystyle f^{abc}=2i\epsilon ^{abc))$ $t_{a}=-i\sigma _{a}/2$

[t_{a},t_{b}]=\epsilon ^{abc}t_{c}

Dette understreger, at Lie-algebraen 𝖘𝖚(2) i Lie-gruppen SU(2) er isomorf med Lie-algebraen 𝖘𝖔(3) i gruppen SO(3) . Dette bringer strukturkonstanterne i overensstemmelse med SO(3)-rotationsgruppekonstanterne . Det vil sige, at kommutatoren for vinkelmomentoperatoren normalt skrives som

{\displaystyle [L_{i},L_{j}]=\epsilon ^{ijk}L_{k))

hvor

L_{x}=L_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}}

L_{y}=L_{2}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}

L_{z}=L_{3}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}

skrevet for at adlyde højrehåndsreglen for rotationer i tre dimensioner.

Forskellen i "2i"-faktoren mellem disse to sæt af strukturelle konstanter kan være irriterende, fordi den involverer en vis subtilitet. Således kan for eksempel et todimensionelt komplekst vektorrum få en reel struktur. Dette fører til to ikke-ækvivalente todimensionelle fundamentale repræsentationer af gruppen (2), som er isomorfe, men er komplekse konjugerede repræsentationer ; begge betragtes dog som gyldige repræsentationer , netop fordi de opererer i et rum med en reel struktur [1] . I tilfælde af tre dimensioner er der kun én tredimensionel repræsentation, den adjoint repræsentation , som er den faktiske repræsentation; mere præcist er det det samme som dets dobbelte repræsentation vist ovenfor. Med andre ord er transponeringen minus sig selv: $L_{k}^{T}=-L_{k}.$

Under alle omstændigheder siges Lie-grupper at være reelle, netop fordi strukturkonstanterne kan skrives på en sådan måde, at de er rent reelle.

𝖘𝖚(3)

Et mindre trivielt eksempel er givet i SU(3) [2] .

Dens "T"-generatorer i den definerende repræsentation er:

T^{a}={\frac {\lambda ^{a}}{2}}.\,

hvor Gell-Mann-matricerne er SU(3)-modstykket til Pauli-matricerne for SU(2): $\lambda \,$

$\lambda ^{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda ^{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda ^{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda ^{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda ^{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda ^{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$
$\lambda ^{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}$	$\lambda ^{8}={\frac {1}{\sqrt {3))}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix)).$

De er i forhold

\left[T^{a},T^{b}\right]=if^{abc}T^{c}\,

\{T^{a},T^{b}\}={\frac {1}{3}}\delta ^{ab}+d^{abc}T^{c}.\,

Strukturkonstanterne er fuldstændig antisymmetriske. De gives:

f^{123}=1\,

f^{147}=-f^{156}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=-f^{367}={\frac {1}{2} }\,

f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2)),\,

og alle andre , der ikke er relateret til dem ved en permutation af indekser, er lig med nul. ${\displaystyle f^{abc))$

d tage værdier:

d^{118}=d^{228}=d^{338}=-d^{888}={\frac {1}{\sqrt {3))}\,

d^{448}=d^{558}=d^{668}=d^{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3))))\,

d^{146}=d^{157}=-d^{247}=d^{256}=d^{344}=d^{355}=-d^{366}=-d^ {377}={\frac {1}{2}}.\,

Eksempler fra andre algebraer

Hall polynomier

Hall-polynomier er strukturkonstanter for Hall-algebraen .

Hopf algebraer

Ud over produktet kan coproduktet og antipoden af Hopf-algebraen udtrykkes i form af strukturkonstanter. Det forbindelsesaksiom, der definerer konsistensbetingelsen for Hopf-algebraen, kan udtrykkes som en forbindelse mellem disse forskellige strukturkonstanter.

Ansøgninger

En Lie-gruppe er abelsk , hvis og kun hvis alle strukturkonstanter er 0.
En Lie-gruppe er reel , præcis når dens strukturkonstanter er reelle.
Strukturkonstanterne er fuldstændig antisymmetriske i alle indekser, hvis og kun hvis Lie-algebraen er en direkte sum af en simpel kompakt Lie-algebra .
en nilpotent Lie-gruppe tillader et gitter, hvis og kun hvis dens Lie-algebra tillader en basis med rationelle strukturkonstanter: dette er Maltsev-kriteriet . Ikke alle nilpotente Lie-grupper indrømmer gitter; se også Raghunathan [3] for flere detaljer .
I kvantekromodynamik repræsenterer symbolet gauge-kovarianten af gluonfeltstyrketensoren , svarende til den elektromagnetiske feltstyrketensor , F μν , i kvanteelektrodynamik. Dette er givet i [4] : $G_{\mu \nu }^{a}\,$

G_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }{\mathcal {A}}_{\nu}^{a}-\partial _{\nu }{\mathcal { A}}_{\mu }^{a}+gf^{abc}{\mathcal {A}}_{\mu }^{b}{\mathcal {A}}_{\nu }^{c} \,,

hvor f abc er SU (3) strukturkonstanter . Bemærk, at reglerne for at skubbe eller slippe indeks a , b eller c er trivielle , (+, ... +), så f abc = f abc = fen
f.Kr, mens der for indekserne μ eller ν er ikke-trivielle relativistiske regler, der for eksempel svarer til den metriske signatur (+ - - -).

Valg af grundlag for Lie algebra

En af de traditionelle tilgange til at give et grundlag for en Lie-algebra er at bruge såkaldte "stige-operatorer", som optræder som egenvektorer for Cartan-subalgebraen. Her beskriver vi kort opbygningen af dette grundlag ved hjælp af konventionel notation. En alternativ konstruktion ( Serre-konstruktionen ) kan findes i papiret "Semisimple Lie Algebra" .

For en Lie -algebra er en Cartan-subalgebra en maksimal Abelsk subalgebra. Per definition består den af de elementer, der pendler med hinanden. Et ortonormalt grundlag kan frit vælges på ; skriv denne stamme som $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {h))$ ${\displaystyle H_{1},\cdots ,H_{r))$

{\displaystyle \langle H_{i},H_{j}\rangle =\delta _{ij))

hvor er det indre produkt i vektorrummet. Dimensionen af denne subalgebra kaldes algebraens rang . Matricer i den adjoint repræsentation pendler indbyrdes og kan diagonaliseres samtidigt . Matricer har (samtidige) egenvektorer ; som med ikke-nul egenværdi normalt betegnes med . Sammen dækker de hele vektorrummet . Så har kommuteringsrelationerne formen: $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $r$ $\mathrm {ad} (H_{i})$ $\mathrm {ad} (H_{i})$ $\alfa$ ${\displaystyle E_{\alpha ))$ $Hej$ $\mathfrak{g}$

[H_{i},H_{j}]=0\quad {\mbox{u))\quad [H_{i},E_{\alpha }]=\alpha _{i}E_{\alpha }

Egenvektorer er kun defineret op til en fælles skala; normal normalisering kan indstilles $E_{\ }alpha$

\langle E_{\alpha },E_{-\alpha }\rangle =1

Dette giver os mulighed for at skrive de resterende kommuteringsrelationer i formularen

{\displaystyle [E_{\alpha },E_{-\alpha }]=\alpha _{i}H_{i))

{\displaystyle [E_{\alpha },E_{\beta }]=N_{\alpha ,\beta }E_{\alpha +\beta ))

med sidstnævnte, forudsat at rødderne (defineret nedenfor) med en værdi, der ikke er nul: . kaldes nogle gange stigeoperatører, fordi de har denne hæve/sænke værdi egenskab . $\alpha ,\beta$ $\alpha +\beta \neq 0$ ${\displaystyle E_{\alpha ))$ $\beta$

For en given , der er lige så mange som der er , så du kan definere en vektor , denne vektor kaldes roden af algebraen. Lie-algebraernes rødder optræder i regulære strukturer (for eksempel kan rødder i en simpel Lie-algebra kun have to forskellige længder); se rodsystem for detaljer . $\alfa$ $\alpha_i$ $Hej$ ${\displaystyle \alpha =\alpha _{i}H_{i))$

Strukturelle konstanter har egenskaben til kun at afvige fra nul, når er en rod. Derudover er de antisymmetriske: ${\displaystyle N_{\alpha ,\beta ))$ $\alfa +\beta$

{\displaystyle N_{\alpha ,\beta }=-N_{\beta ,\alpha ))

og du kan altid vælge så

{\displaystyle N_{\alpha ,\beta }=-N_{-\alpha ,-\beta ))

De adlyder også betingelserne for cocycle [5] :

{\displaystyle N_{\alpha ,\beta }=N_{\beta ,\gamma }=N_{\gamma ,\alpha ))

hvornår og også hvad $\alpha +\beta +\gamma =0$

N_{\alpha ,\beta }N_{\gamma ,\delta }+N_{\beta ,\gamma }N_{\alpha ,\delta}+N_{\gamma ,\alpha }N_{\beta , \delta }=0

når som helst . $\alpha +\beta +\gamma +\delta =0$

Noter

↑ Fulton, William; Harris, Joe (1991). repræsentationsteori. En forret. Kandidattekster i matematik, læsninger i matematik. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249. OCLC 246650103.
↑ Weinberg, Steven. Kvanteteorien om felter. - Cambridge University Press, 1995. - Vol. 1 fundamenter. — ISBN 0-521-55001-7 .
↑ Raghunathan, Madabusi S. 2. Gitter i nilpotente løgnegrupper // Diskrete undergrupper af løgnegrupper . - Springer, 2012. - ISBN 978-3-642-86428-5 .
↑ Eidemüller, M.; Dosch, HG; Jamin, M. (2000) [1999]. "Feltstyrkekorrelatoren fra QCD-sumregler". Nucl. Phys. B Proc. Suppl . 86 : 421-5. arXiv : hep-ph/9908318 . Bibcode : 2000NuPhS..86..421E . DOI : 10.1016/S0920-5632(00)00598-3 .
↑ Cornwell, JF Gruppeteori i fysik. - Academic Press, 1984. - Vol. 2 Lie Groups og deres applikationer. — ISBN 0121898040 .