Abelsk gruppe

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 15. august 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Abelsk (eller kommutativ ) gruppe - en gruppe , hvor gruppeoperationen er kommutativ ; med andre ord, en gruppe er abelsk hvis for to elementer . $(G,\;*)$ $a*b=b*a$ $a,\;b\i G$

Normalt bruges additiv notation til at betegne en gruppeoperation i en abisk gruppe, dvs. en gruppeoperation er angivet med et tegn og kaldes addition [1] $+$

Navnet er givet til ære for den norske matematiker Niels Abel .

Eksempler

Gruppen af parallelle oversættelser i lineært rum.
Enhver cyklisk gruppe er abelsk. Faktisk for enhver, og det er sandt, at $G=\langle a\rangle$ $x=a^{n}$ $y=a^{m}$ $xy=a^{m}a^{n}=a^{{m+n}}=a^{n}a^{m}=yx$ .
- Især sættet af heltal er en kommutativ gruppe ved addition; det samme gælder for restklasser $\mathbb {Z}$ $\mathbb{Z } /n\mathbb{Z } \,.$
Enhver ring er en kommutativ (abelsk) gruppe ved sin tilføjelse; et eksempel er feltet af reelle tal med operationen af addition af tal. $\mathbb {R}$
De inverterbare elementer i en kommutativ ring (især de ikke-nul elementer i ethvert felt ) danner en abelsk gruppe ved multiplikation. For eksempel er en abelsk gruppe et sæt af ikke-nul reelle tal med multiplikationsoperationen.

Relaterede definitioner

I analogi med dimensionen af vektorrum har enhver abelsk gruppe en rang . Det er defineret som minimumsdimensionen af et vektorrum over feltet af rationelle tal , hvori torsionsfaktoren for en gruppe er indlejret . $\mathbb {Q}$

Egenskaber

Endeligt genererede abelske grupper er isomorfe til direkte summer af cykliske grupper .
- Finite abelske grupper er isomorfe til direkte summer af endelige cykliske grupper.
Enhver abelsk gruppe har en naturlig modulstruktur over ringen af heltal . Faktisk, lad være et naturligt tal , og være et element i en kommutativ gruppe med operationen angivet med +, så kan vi definere både ( gange) og . $n$ $x$ $G$ $nx$ $x+x+\ldots +x$ $n$ $(-n)x=-(nx)$
- Udsagn og sætninger, der er sande for abelske grupper (det vil sige moduler over et principielt idealdomæne ) kan ofte generaliseres til moduler over et vilkårligt principielt idealdomæne. Et typisk eksempel er klassificeringen af
endeligt genererede Abelske grupper , som kan generaliseres til klassificeringen af vilkårlige endeligt genererede moduler over et domæne af principielle idealer . $\mathbb {Z}$

Sættet af homomorfier af alle gruppehomomorfismer fra til er i sig selv en abelsk gruppe. Faktisk, lad være to gruppe homomorfismer mellem abelske grupper, så er deres sum , givet som , også en homomorfi (dette er ikke sandt, hvis det ikke er en kommutativ gruppe).

\operatørnavn {Hom}(G,\;H)

G

H

f,\;g:G\til H

f+g

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

H

Begrebet abelianitet er tæt forbundet med begrebet midten af en gruppe - et sæt bestående af de af dens elementer, der pendler med hvert element i gruppen , og spiller rollen som en slags "mål for abelianitet". En gruppe er abelsk, hvis og kun hvis dens centrum falder sammen med hele gruppen.

Z(G)

G

G

Finite abelske grupper

Den grundlæggende sætning om strukturen af en endelig abelsk gruppe siger, at enhver endelig abelsk gruppe kan dekomponeres i en direkte sum af dens cykliske undergrupper, hvis rækkefølger er primtal . Dette er en konsekvens af den generelle sætning om strukturen af endeligt genererede Abelske grupper for det tilfælde, hvor gruppen ikke har elementer af uendelig rækkefølge. er isomorf til en direkte sum hvis og kun hvis og er coprime . $\mathbb{Z } _{{mn}}$ $\mathbb{Z } _{m}$ $\mathbb {Z} _{n}$ $m$ $n$

Derfor kan man skrive en abelsk gruppe i form af en direkte sum $G$

\mathbb{Z } _{{k_{1}}}\oplus \ldots \oplus \mathbb{Z } _{{k_{u}}}

på to forskellige måder:

Hvor er primtallene $k_{1},\;\ldots ,\;k_{u}$
Hvor deler , hvilke deler , og så videre op til . $k_{1}$ $k_{2}$ $k_{3}$ $k_{u}$

For eksempel kan det dekomponeres i en direkte sum af to cykliske undergrupper af ordre 3 og 5: . Det samme kan siges om enhver abelsk gruppe af orden femten; som et resultat konkluderer vi, at alle abelske grupper af orden 15 er isomorfe. $\mathbb{Z } /15\mathbb{Z } =\mathbb{Z } _{{15}}$ $\mathbb{Z} /15\mathbb{Z} =\{0,\;5,\;10\}\oplus \{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}$

Variationer og generaliseringer

En differentialgruppe er en abelsk gruppe , hvor en sådan endomorfisme er givet , at . Denne endomorfisme kaldes en differential . Elementer af differentialgrupper kaldes kæder , elementer af kernecyklusserne , elementer af billedgrænserne . ${\mathbf {C}}$ $d\colon {\mathbf {C}}\to {\mathbf {C}}$ $d^{2}=0$ $\ker \,d$ ${\mathrm {Im}}\,d$
En ring er en abelsk gruppe, hvorpå der er givet en ekstra binær operation "multiplikation", som opfylder fordelingsaksiomerne .
En metabelsk gruppe er en gruppe, hvis kommutatorundergruppe er abelsk.
En nilpotent gruppe er en gruppe, hvis centrale række er endelig.
En løsbar gruppe er en gruppe, hvis kommutatorserie stabiliserer sig på trivialgruppen.
En Dedekind-gruppe er en gruppe, som hver undergruppe er normal .

Se også

Algebraisk system

Noter

↑ Abelsk gruppe - artikel fra Encyclopedia of Mathematics . Yu. L. Ershov

Litteratur

Vinberg E. B. Algebra kursus. - 3. udg. - M . : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 eksemplarer. — ISBN 5-88688-060-7 . .
Fuchs L. Uendelige abelske grupper. - Verden, 1974.

Gruppeteori
Basale koncepter	Undergruppe Normal undergruppe Faktor gruppe Arbejde direkte semi-direkte ledig
Algebraiske egenskaber	kommutativ gruppe Cyklisk gruppe bestilt gruppe Forvandle gruppe Opløselig gruppe Schreiers Lemma Lagranges sætning Sylows sætninger Klassificering af simple endelige grupper
begrænsede grupper	Endelig cyklisk gruppe C n Symmetrisk gruppe S n Dihedral gruppe D n Skiftende gruppe A n Klein Quadruple Group Mathieu grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fiskergrupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiske grupper	Løgngrupper Ortogonal gruppe O(n) Særlig ortogonal gruppe SO(n) Enhedsgruppe U(n) Særlig enhedsgruppe SU(n) Symplektisk gruppe Sp(n) Enestående enkel Lorentz gruppe Poincaré gruppe
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier transformation