Spontan symmetribrud

Spontan symmetribrud er en metode til at bryde symmetrien i et fysisk system , hvor systemets begyndelsestilstand og bevægelsesligningerne er invariante i forhold til nogle symmetritransformationer, men i evolutionsprocessen går systemet over i en tilstand for hvor invariansen med hensyn til nogle (inklusive alle) transformationer af den indledende symmetri er overtrådt. Spontan symmetribrud er altid forbundet med degenerationen af den minimale energitilstand kaldet vakuum. Sættet med alle støvsugere har en indledende symmetri, men hver støvsuger separat gør det ikke. For eksempel ruller en kugle i et trug med to brønde fra en ustabil symmetrisk tilstand til en stabil tilstand med en minimumsenergi enten til venstre eller højre, hvilket ødelægger symmetrien med hensyn til at skifte fra venstre til højre (inversionsoperation).

Spontan symmetribrud forekommer (pseudo) tilfældigt og er drevet af fluktuationer . Dette fænomen er ekstremt almindeligt i naturen. Mange forskellige eksempler på spontan symmetribrud kan gives i klassisk mekanik . Men hvis spontan symmetribrud i mekanikken snarere har en beskrivende betydning, er det i kvantefeltteorien hovedprincippet, der sikrer genereringen af gauge bosonmasser . I kvantefeltteorien kan nogle mesoner desuden identificeres med de tilsvarende Goldstone -bosoner ( pseudo-Goldstone- bosoner) ved at konstruere effektive Lagrangianere . Nedenfor, som et eksempel, betragtes π - mesonen som en Goldstone-boson i strid med en vis symmetri af kvantekromodynamik med masseløse kvarker . Et stof i en bestemt termodynamisk fase kan også betragtes som et kvantefelt med den tilsvarende symmetri. Så er spontan symmetribrud repræsenteret som en faseovergang .

Eksistensen af fire fundamentale interaktioner i naturen kan også være en konsekvens af symmetribrud. Hypotetisk, ved tilstrækkeligt høje energier (~100 GeV ), kombineres elektromagnetiske og svage kernekræfter til én elektrosvag vekselvirkning , og ved endnu højere energier (~10 14 GeV), kombineres de elektrosvage og stærke kerneinteraktioner til en elektronuklear vekselvirkning , beskrevet af Grand Unified Theory .

Mekanismen for spontan symmetribrud er afgørende for muligheden for eksistensen af supersymmetri . Ubrudt supersymmetri forudsiger eksistensen af en superpartner med samme masse for hver kendt partikel, hvilket ikke er observeret i eksperimenter. Det menes, at partiklers superpartnere på grund af krænkelsen af supersymmetri erhverver store masser, der er uopnåelige for moderne acceleratorer

Støvsugere kan have en ret interessant struktur. Kvantefeltteori tillader eksistensen af feltvakuumkonfigurationer med spontant brudte vakuum, der ændrer sig fra punkt til punkt. Sådanne tilstande er for eksempel magnetiske monopoler , kosmiske strenge , domænevægge . Tilstande af denne type observeres i det kondenserede stofs fysik, for eksempel vægge mellem ferromagnetiske domæner. For komplekse potentielle konfigurationer med mange minima er der flere vakuum. Det virkelige vakuum er dog kun staten med den laveste energi. Alle andre vakuum er metastabile og går over i det nuværende ved kvantetunnelering .

Spontan symmetribrud kan også spille en stor rolle i tyngdekraften. Det antages, at kosmologisk inflation er forårsaget af overgangen fra et falsk vakuum til et sandt under spontan krænkelse af symmetrien i Den Store Forening . Derudover antages spontan brud af supersymmetri ( super-Higgs-mekanisme ) i teorier om massiv tyngdekraft . Modeller af gravitationsfeltet for den metriske tensor er også ved at blive udviklet som et Higgs-Goldstone-felt med en vis brudt symmetri .

Således er spontan symmetribrud et ekstremt almindeligt fænomen inden for alle områder af fysikken, fra klassisk mekanik til kvantetyngdekraften .

Simple eksempler på spontan symmetribrud

I klassisk mekanik

Ligningerne, der beskriver bevægelsen af atomer i enhver ikke-symmetrisk fysisk krop, for eksempel en stol, er invariante med hensyn til tredimensionelle rotationer, men løsningen af disse ligninger - en rigtig stol - har en vis orientering i rummet [ 3] .

En bold placeret i midten mellem hullerne i et to-pit trug vil før eller senere, under påvirkning af forstyrrelser, rulle ind i en af dem og bryde symmetrien med hensyn til udskiftningen . Et potentiale af denne art realiseres for eksempel i problemet med en vulst på en ring, der roterer omkring en lodret akse (se figur). Lagrange-funktionen af dette problem har formen $x\rightarrow -x$

L=T-V_{eff}={\frac {1}{2}}mR^{2}{\dot {\phi }}^{2}+{\frac {1}{2}} mW^{2}R^{2}\sin ^{2}\phi -mgR(1-\cos \phi )

hvor R er ringens radius, m er perlens masse, g er tyngdeaccelerationen, og W er rotationsvinkelhastigheden. Potentialet har minima ved punkter, der adskiller sig fra symmetriens centrum ved en rotationshastighed på . Det centrale punkt bliver et punkt med ustabil ligevægt, og kun udsving i de indledende parametre sætter en ny ligevægtsposition [1] . $W^{2}>g/R$

En blyant placeret på enden af bordet har ikke nogen foretrukken retning i bordets plan, men under påvirkning af forstyrrelser vil den falde og vælge en pseudo-tilfældig (afhængig af udsving) retning [4] .

En rund metalstang, klemt mellem pressens plader , vil bøje under tilstrækkelig belastning, og bøjningens retning er vilkårlig og afhænger af udsving. Den indledende aksiale symmetri af stangen er spontant brudt [5] .

Når elastikken strækkes, øges dens længde, og tykkelsen falder. Ved en vis værdi af trækkraften vil gummibåndet knække et bestemt sted, selvom alle knækpunkter for et ideelt elastikbånd er lige sandsynlige. Årsagen til "krænkelsen" af symmetri er udsving i tykkelsen af tyggegummiet: det går i stykker, hvor tyggegummimaterialet er svagere. Et ideelt gummibånd ville strække sig ind i en kæde af N - atomer og knække (på et uspecificeret sted), når trækkraftens energi blev lig med atomernes samlede bindingsenergi . $E=N\varepsilon$

I det kondenserede stofs fysik

Under krystallisationen af en væske, som er karakteriseret ved den højeste - isotropiske - symmetri, dannes en krystal , hvori der er nogle fornemme retninger i forhold til de krystallografiske akser. Orienteringen af de krystallografiske akser er generelt tilfældig eller på grund af svage eksterne faktorer eller fluktuationer. I dette tilfælde reduceres symmetrien med hensyn til translationer til en vilkårlig vektor også til translationel symmetri til en vektor, som er en lineær kombination af vektorerne i krystalgitteret .

Når væsken afkøles til under krystallisationstemperaturen, bliver den til en krystal. En ren væske kan dog afkøles til under krystallisationstemperaturen. Denne situation opnås på grund af fraværet af krystallisationscentre - der er ingen kerner, hvorpå krystaller kan dannes, og en metastabil fase af en underafkølet væske fremkommer . Fra et symmetrisynspunkt bør væskens isotrope og translationelle symmetri falde til krystalgitterets symmetri , men der er ingen fluktuationer (krystallisationscentre) i væsken, der overtræder denne symmetri.

En lignende situation opstår i en overmættet damp eller overophedet væske . Sådanne metastabile tilstande bruges for eksempel i boblekamre og skykamre .

Ferromagneter , opvarmet over Curie-temperaturen , er i en paramagnetisk tilstand, hvor der ikke er nogen foretrukken magnetiseringsretning ; ved afkøling til under Curie-temperaturen sker der dog en faseovergang i ferromagneten, og der sker spontan magnetisering , hvis retning i fravær af et eksternt magnetfelt er tilfældig og afhænger af fluktuationer [6] . Spontan symmetribrud forekommer i næsten alle faseovergange (se nedenfor).

I kvantemekanik

Dobbelt spalte eksperiment

Når en kvantepartikel passerer gennem en skærm med to tætsiddende spalter [7] , bag hver af dem er placeret en detektor, affyrer kun en af detektorerne. Symmetrien er ved et uheld brudt. Dette eksempel adskiller sig væsentligt fra eksemplerne nævnt ovenfor ved, at baseret på moderne begreber (se Bells sætning [8] ), er tilstedeværelsen af fluktuationer for spontan symmetribrud ikke en nødvendig betingelse, og naturen implementerer passagen af en partikel gennem en af de mulige spalter på en helt tilfældig måde. .

Målinger i kvantemekanik

Det er muligt direkte at generalisere det foregående eksempel til en vilkårlig tilstandsmåling i kvantemekanik . I kvanteteorien består måling ifølge målepostulatet i reduktionen (øjeblikkelig overgang) af en kvantetilstand til en af de mulige egentilstande for operatøren af den målte fysiske størrelse . I dette tilfælde går starttilstanden tilfældigt (med sandsynlighed ) over i en tilstand med brudt initialsymmetri. $|\psi\rangle$ $|a_{n}\rangle$ $\widehat {A}$ ${EN}$ ${\displaystyle |\langle \psi |a_{n}\rangle |^{2))$

Dekohærens

Et andet eksempel på spontant symmetribrud i kvantemekanikken, men allerede forbundet med tilstedeværelsen af fluktuationer, er dekohærens . På grund af tilstedeværelsen af eksterne fluktuationer forvandles den rene tilstand af systemet til en blandet med krænkelse af de indledende symmetrier. Matematisk svarer dette til, at dekohærens får de off-diagonale elementer i tæthedsmatricen til at forsvinde [8] .

Som et eksempel kan du overveje et atom i en ophidset tilstand . Et atom udsender spontant en foton og går til et lavere energiniveau. Hvis et atom er i en sfærisk symmetrisk s -tilstand, udsender det en foton i en vilkårlig retning og går selv ind i en ikke-isotropisk l - tilstand med spontant brudt symmetri med hensyn til rotationer. Årsagen til symmetribrud er tilstedeværelsen af omgivende partikler såvel som tilfældige udsving i det fysiske vakuum .

For at illustrere dekohærens kan vi betragte et ensemble af identiske kvantetilstande. Systemer på grund af tilstedeværelsen af eksterne fluktuationer vil efter nogen tid være i forskellige tilstande [8] .

Det er ødelæggelsen af ikke-diagonale elementer, der er ansvarlig for, at den spontane symmetri brydes i det første eksempel i dette afsnit for lænestolen [3] .

Spontan brud af målersymmetri

Global gauge symmetri breaking

I feltteorien betragter man normalt feltets dynamik i nærheden af vakuumtilstanden (minimum potentiel energi), idet man betragter felterne i sig selv som små [9] . I praksis fører dette til udvidelsen af Lagrange-funktionen af det tilsvarende felt i en Taylor-serie i nærheden af det potentielle energiminimum, efterfulgt af at negligere vilkårene for højere magter. I dette tilfælde kan valget af vakuum være tvetydigt (se figuren "Lineær sigma-model": mulige vakuumtilstande er vist i gråt).

Overvej for eksempel Lagrangian af det komplekse (ladede) Klein-Gordon felt , hvor er rigtige felter: $\varphi =\varphi ^{1}+i\varphi ^{2},$ ${\displaystyle \varphi ^{1},\;\varphi ^{2))$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi ^{*}\partial _{\mu}\varphi -V(\varphi ^{ *}\varphi )={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi ^{1}\partial _{\mu}\varphi ^{1}+{\frac {1}{ 2}}\partial ^{\mu }\varphi ^{2}\partial _{\mu}\varphi ^{2}-V\left((\varphi ^{1})^{2}+(\varphi ^{2})^{2}\right)

hvor er interaktionspotentialet; indekser angivet med græske bogstaver varierer overalt fra 0 til 3. Denne Lagrangian er invariant under globale gauge transformationer [10] $V$

\varphi \rightarrow e^{i\alpha}\varphi ,\quad \left|\left|{\begin{array}{c}\varphi ^{1}\\\varphi ^{2}\end {array}}\right|\right|\rightarrow \left|\left|{\begin{array}{cc}\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &\cos \alpha \end {array}}\right|\right|\left|\left|{\begin{array}{c}\varphi ^{1}\\\varphi ^{2}\end{array}}\right|\right |

hvor er en reel konstant. For en given model er vakuumet ikke invariant under sådanne måletransformationer, hvis funktionen har et minimum ved et andet punkt end nul. Hvis den har et minimum på nul, svarer vakuumpunktet entydigt til dampen . En helt anden situation opstår, når . Minimum af potentialet svarer ikke til et punkt, men til et kontinuum af punkter $\alfa$ $V(x)$ $V(x)$ $\varphi ^{1}=0,\;\varphi ^{2}=0$ $x_{min}=a^{2}\neq 0$

{\displaystyle (\varphi ^{1})^{2}+(\varphi ^{2})^{2}=a^{2))

Ved tilsvarende drejning af koordinatsystemet af ladningsrummets frihedsgrader i Klein-Gordon-feltet kan vakuumet altid reduceres til formen

{\displaystyle \varphi _{0}=\left|\left|0,a\right|\right|^{T))

Det er let at se, at selvom Lagrangian (især den omtrentlige) er invariant under gauge-transformationer, er vakuumet det ikke. Systemet går ind i en tilfældigt valgt (faktisk afhængig af udsving) tilstand. Dette er det spontane brud af den globale målersymmetri.

Eksempel 1. Symmetriovertrædelse med hensyn til fortegnsvending af et rigtigt Klein-Gordon-felt

Overvej et simpelt eksempel på spontan symmetribrud for et rigtigt Klein-Gordon felt, som er givet af Lagrangian

{\mathcal {L}}=\partial ^{\mu}\varphi \partial _{\mu}\varphi -\left(\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac { 1}{2}}\lambda \varphi ^{4}\right)

hvor ,. _ Denne Lagrangian er invariant under ændringen [11] . Feltet i dette tilfælde har to vakuum, hvilket svarer til tilstedeværelsen af to minima i den potentielle energi ved ; dog er ingen af vacuaene invariant under den indledende symmetri af felttegnsvendingen. Dette er det spontane brud af symmetrien [12] : her er inversionen ikke en måletransformation. På grund af lagrangiens symmetri med hensyn til inversionen af feltets tegn (paritet), kan et hvilket som helst tegn på vakuumet vælges. Uden tab af generalitet kan man vælge " ". Ved at udvide feltet i nærheden af vakuumtilstanden og antage, at det er lille, kan Lagrangian skrives [13] som $\lambda >0$ $\mu ^{2}<0$ $\varphi \rightarrow -\varphi$ $\varphi _{0}=a=\pm {\sqrt {-\mu ^{2}/\lambda ))$ $+$ $\varphi =a+\phi (x)$ $\phi(x)$

{\mathcal {L))'=\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu}\phi -2\lambda a^{2}\phi ^{2}+{\mathcal { O))(\phi ^{3})=\partial ^{\mu}\phi \partial _{\mu}\phi -m^{2}\phi ^{2}+{\mathcal {O)) (\phi ^{3})

hvor . Der er endnu en vigtig detalje at fremhæve i dette eksempel. Lagrangian beskriver et masseløst felt med et interaktionspotentiale . Feltet er masseløst, da tegnet falder sammen med tegnet for den kinetiske energi, og derfor ikke kan være ansvarligt for massen. Lagrangianeren beskriver dog allerede det frie Klein-Gordon-felt med masse . Således kan spontan symmetribrud generere et massefelt. Yderligere vil dette fænomen blive undersøgt mere detaljeret. ${\displaystyle m={\sqrt {2\lambda a^{2))}={\sqrt {-2\mu ^{2))))$ $\mathcal{L}$ $\varphi$ $V=\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac {1}{2}}\lambda \varphi ^{4}$ $\varphi$ $\mu ^{2}<0$ ${\mathcal {L}}'$ ${\displaystyle m={\sqrt {-2\mu ^{2))))$

Måletransformationerne danner en Lie-gruppe , og en kompakt . Overvej Lagrangian

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu}\varphi ^{i}-V( \varphi _{i})

hvor er N virkelige skalarfelter. Antag at Lagrangian er invariant under målegruppetransformationer : $\varphi _{i}$ ${\displaystyle \omega _{i}^{j))$ $G$

{\displaystyle \varphi _{i}=\omega _{i}^{j}\varphi _{j))

. Tilfældet med et invariant vakuum

Hvis potentialet har et minimum ved punktet , så kan det påvises, at vakuumet er invariant under alle gauge-transformationer, nemlig: virkningen af enhver matrix på nulvektoren transformerer den til nulvektoren. I dette tilfælde kan potentialet udvides i en Taylor-serie i nærheden af nul. Forudsat at , og under hensyntagen til, at de første afledte ved ekstremumpunktet er lig med nul, og matricen af de anden afledede ved minimumspunktet er positiv bestemt , får vi $V$ $\varphi _{i}=0$ $V(0)=0$ $(m^{2})^{ij}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j))}(0)$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu}\varphi ^{i}-{\ frac {1}{2}}(m^{2})^{ij}\varphi _{i}\varphi _{j}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3})

Med en passende ortogonal transformation kan massematrixen reduceres til en diagonal form. Lagrangian opnået på denne måde beskriver reelle skalarfelter med masser, der er bestemt af matricens egenværdier . ${\displaystyle \varphi _{i}'=O_{i}^{j}\varphi _{j))$ $m^{2}$ $N$ $m^{2}$

Tilfældet med et ikke-invariant vakuum

En helt anden situation opstår, når potentialet har et minimum ikke på nul. I dette tilfælde er der altid vilkårlighed i valget af vakuumtilstanden. Vakuumet vil kun være invariant med hensyn til en bestemt undergruppe af målegruppen (gruppen kaldes den lille gruppe). Der er en overtrædelse af målegruppens lokale symmetri . Lad os betragte et eksempel på global symmetribrud, som er givet af målegruppen af tredimensionelle rotationer SO(3) , i en lineær sigma-model. $V$ $H$ $G$ $H\subset G$ $G$

Eksempel 2. Brydning af den globale målersymmetri SO(3)

Overvej Lagrangian

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu}\varphi ^{i}-{\ frac {1}{2}}\lambda \left(\varphi _{i}\varphi ^{i}-a^{2}\right)^{2}

hvor der er tre rigtige skalarfelter . Denne Lagrangian kaldes den lineære sigma-model, som er invariant under gruppetransformationer (ortogonale matricer med enhedsdeterminant). Gruppeelementer virker på vektoren som 3D-rotationsmatricer. Vakuumet i dette felt er degenereret og ligger på et punkt på kuglen $\varphi _{i}$ $SO(3)$ ${\displaystyle \varphi =\mid \mid \varphi _{1},\;\varphi _{2},\;\varphi _{3}\mid \mid ^{T))$

{\displaystyle \varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2}+\varphi _{3}^{2}=a^{2))

Ved passende transformationer af koordinatsystemet kan man altid repræsentere vakuumet i formen

{\displaystyle \varphi _{0}=\mid \mid 0,\;0,\;a\mid \mid ^{T))

Det er indlysende, at vakuumet ikke er invariant med hensyn til , men det er invariant med hensyn til gruppen af rotationer omkring aksen . Lad os udvide feltet i nærheden af vakuum , idet vi betragter det som en lille mængde. I dette tilfælde er Lagrangian repræsenteret i formen $SO(3)$ $SO(2)\subset SO(3)$ $\varphi _{3}$ $\varphi =\varphi _{0}+\phi (x)$ $\phi(x)$

{\mathcal {L}}'={\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi _{1})^{2}+{\frac {1}{2 }}(\partial ^{\mu }\phi _{2})^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi _{3})^{2 }-2\lambda a^{2}\phi _{3}^{2}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3})

hvilket svarer til to masseløse skalarfelter og et felt med masse . Som vi kan se, kan krænkelsen af den globale målersymmetri generere en feltmasse. $\phi _{1}$ $\phi _{2}$ ${\displaystyle \phi _{3))$ $m=2{\sqrt {\lambda }}a$

Generelt kan man vise, at følgende sætning holder:

Goldstones teorem [14] [15] . Når global gaugesymmetri spontant brydes, opstår masseløse skalarfelter og massive skalarfelter . Her er dimensionen af den valgte repræsentation (faktisk er dette det oprindelige antal reelle skalarfelter). $\dim G-\dim H$ $\phi_i$ $N-(\dim G-\dim H)$ ${\tilde {\phi }}_{i}$ $N$ $G$

I dette tilfælde kaldes masseløse felter, der opstår under spontan krænkelse af global gaugesymmetri, Goldstone-bosoner . Vi understreger endnu en gang, at deres antal er lig med antallet af brudte symmetrier.

Eksempel 3. Brydning af den globale målersymmetri SO(N)

Overvej, som i det foregående eksempel, formens Lagrangian

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu}\varphi ^{i}-{\ frac {1}{2}}\lambda \left(\varphi _{i}\varphi ^{i}-a^{2}\right)^{2},

hvor der allerede er rigtige skalarfelter . Denne model er invariant under gruppetransformationer . $N$ $\varphi _{i}$ $SO(N)$

Hvis symmetrien brydes, vil vakuumet være invariant i forhold til gruppen . Gruppens dimension er . Derfor er antallet af Goldstone-bosoner, der produceres ved spontant brud af lokal symmetri, . Så giver det spontane brud af global symmetri anledning til Goldstone-bosoner og en massiv boson. $SO(N-1)\subset SO(N)$ $SO(N)$ $\dim SO(N)=N(N-1)/2$ $\dim SO(N)-\dim SO(N-1)=N-1$ $SO(N)$ $N-1$

I tilfælde af Goldstone-sætningen opnår vi to Goldstone-bosoner og et massivt felt, som blev direkte verificeret i det foregående eksempel. $N=3$

Bevis for Goldstones teorem

For den grundlæggende repræsentation af en gruppe betegner vi generatorerne af den lille gruppe som , og for enhver anden repræsentation som . Så følger det af vakuuminvariansbetingelsen, at . Ved at udvide eksponenten i en Taylor-serie får vi, at virkningen af generatorerne i den lille (ubrudte) gruppe på vakuumet ødelægger vakuumet: $G$ $t_{H,a}$ $T_{H,a}$ ${\displaystyle \exp {(-ie\alpha ^{a}T_{H,a})}\varphi _{0}=\varphi _{0))$

T_{H,a}\varphi _{0}=0

Denne tilstand er et vigtigt kriterium for ubrudt symmetri.

De resterende generatorer i gruppen vil blive betegnet som (eller ). Deres virkning på vakuumet giver ikke nul, ellers ville transformationerne genereret af dem efterlade vakuumet invariant og ville tilhøre en lille gruppe. Lad os introducere vektorer . Deres antal er lige meget . De er lineært uafhængige og danner basis i underrummet af Goldstone-bosoner (brudte symmetrier). $G$ ${\displaystyle t_{G/H,a))$ $T_{G/H,a}$ ${\displaystyle E_{k}=-iT_{G/H,k}\varphi _{0))$ $\dim G-\dim H$

I hele rummet er det praktisk at indføre en ortonormal basis , hvor vektorerne er orterne af Goldstone-underrummet, sammensat af lineære kombinationer af vektorerne , og vektorerne danner grundlaget for underrummet, der komplementerer Goldstone-underrummet til det oprindelige. plads. Så kan skalarfelterne udvides på et sådant grundlag $\{e_{k},{\widetilde {e}}_{k}\}$ $e_{k}$ $E_k$ $N-(\dim G-\dim H)$ ${\widetilde {e}}_{k}$

\varphi _{i}=\varphi _{0i}+\phi _{k}(e^{k})_{i}+{\widetilde {\phi }}_{k}({\ widetilde {e}}^{k})_{i}

og Lagrangian i den kvadratiske tilnærmelse tager formen

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu}\phi ^{i}+{\ frac {1}{2}}\partial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i}}}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}(\phi _ {k}e^{k}+{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {e}}^{k})_{i}(\phi _{k}e^{k}+ {\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {e}}^{k})_{j}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3})

som ikke viser den eksplicitte opfyldelse af Goldstone-sætningen. Men fra tilstanden af måleinvariansen af potentialets minimum (ikke at forveksle med vakuumet, vi taler om invariansen af værdien af potentialet og dets derivater)

{\frac {\partial V}{\partial \varphi _{j))}(\exp {(-ie\alpha ^{a}T_{a})}\varphi _{0})=0 \Rightarrow _{\alpha \rightarrow 0}-ie\alpha ^{a}(T_{a}\varphi _{0})_{i}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{ 0})}{\partial \varphi _{i}\varphi _{j}}}=0

For ubrudt symmetri er ligheden sand , men for brudte symmetrier er sammenhængen sand , og i betragtning af at vi ud fra lineære kombinationer får grundlaget , følger det. Derfor repræsenterer vi Lagrangian i formen $T_{H,a}\varphi _{0}=0$ $-iT_{G/H,a}\varphi _{0}=E_{a}\neq 0$ $E_{a}$ $e_{a}$ $e_{i}^{a}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j))} =0.$ $\mathcal{L}$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu}\phi ^{i}+{\ frac {1}{2}}\partial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i}}}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{kl}{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {\phi }}_{l}+{\mathcal {O}} (\phi ^{3})

hvor er masserne . Denne konklusion beviser Goldstone-sætningen. Faktisk er dette en overvejelse af spontan symmetribrud i det generelle tilfælde, som dog let kan udføres i tilfælde af en specifik symmetri, som i eksemplerne ovenfor. ${\displaystyle (m^{2})^{kl}=({\widetilde {e}}^{k})_{i}({\widetilde {e}}^{l})_{j}{ \frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\varphi _{j))))$

Overtrædelse af lokal målersymmetri

Goldstone-sætningen [14] [15] betragtet ovenfor siger, at når målersymmetrien overtrædes, opstår masseløse spinløse bosoner. På grund af fraværet af sådanne partikler i naturen er Goldstones teorem blevet set som et modargument mod brudte symmetrier. Det viste sig dog, at hvis den lokale snarere end den globale målersymmetri bliver overtrådt, så er der ingen masseløse Goldstone-bosoner, og i stedet får målevektorfelterne masse [16] [17] . Spontan brud af lokal målersymmetri er et vigtigt fænomen i feltteori, da det fører til optagelse af masser ved hjælp af målefelter (husk på, at masseudtrykkene for målefeltet i sig selv ikke er målinvariante, så de er fraværende i Lagrangian af en felt med ubrudt symmetri). En sådan mekanisme kaldes Higgs massegenereringsmekanisme .

Lokale transformationer adskiller sig fra globale transformationer ved tilstedeværelsen af en koordinatafhængighed . Denne afhængighed fører til fremkomsten af målefelter i Lagrangian (i tilfælde af et ladet Klein-Gordon felt, et elektromagnetisk felt med symmetrigruppen , og når man betragter en tre-komponent vektor af skalarfelter med en symmetrigruppe , en måler felt, der kan identificeres med farvegluonfeltet for den stærke nukleare interaktion osv.). $\alpha =\alpha (x)$ $U(1)$ $SU(3)$

Overvej Lagrangian

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi _{i}{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi ^{i}-V(\varphi _{i})-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{a}^{\mu \nu }

hvor er et sæt skalarfelter, er tensoren af det tilsvarende målefelt og er den kovariante afledte af . Vektorpotentialet er generelt en matrix, der virker på en vektorsøjle . Indekset går fra 1 til og opregner komponenterne i udvidelsen af potentialet over symmetrigruppens generatorer . Denne Lagrangian er invariant under lokale gauge-transformationer, der danner gruppen . Felterne under målertransformationer transformeres som følger: $\varphi _{i}$ $N$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu}A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu}A_{\mu}^{a}+\ venstre[A_{\mu },A_{\nu }\right]^{a))$ ${\mathcal {D}}_{\mu}\varphi _{i}=\partial _{\mu}\varphi _{i}+(A_{\mu })_{i}^{j }\varphi_{j}$ ${\displaystyle \varphi =\mid \mid \varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{N}\mid \mid ^{T))$ $-en$ $\dim G$ $\omega _{j}^{i}=\omega _{j}^{i}(x),$ $G$

{\displaystyle \varphi _{i}\rightarrow \omega _{i}^{j}\varphi _{j},\qquad A_{\mu }\rightarrow \omega A_{\mu }\omega ^{-1 }+\omega \partial _{\mu }\omega ^{-1))

. Tilfældet med et invariant vakuum

Hvis minimum er realiseret ved , kan Lagrangian i dette tilfælde udvides i en Taylor-serie i nærheden af vakuum, og Lagrangian kan opnås i kvadratisk tilnærmelse $V$ $\varphi _{i}=0$

{\textstyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu}\varphi ^{i}-{\ frac {1}{2}}(m^{2})^{ij}\varphi _{i}\varphi _{j}-{\frac {1}{4}}(\partial _{\mu } A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu}A_{\mu }^{a})^{2}+{\mathcal {O))(\varphi ^{3},\varphi ^ {2}A,\varphi A^{2},A^{3}),}

som beskriver massive skalarfelter og masseløse målevektorfelter . Lad os beregne antallet af feltfrihedsgrader for sættet af disse felter. Da et skalarfelt har én frihedsgrad og et masseløst vektorfelt har to, er det samlede antal frihedsgrader . $N$ $\dim G$ $A_{\mu }^{a}$ $N+2\dim G$

Tilfældet med et ikke-invariant vakuum

Den væsentligste forskel mellem en lokal målersymmetri og en global er, at målerkonstanten afhænger af koordinaterne . Denne koordinatafhængighed gør det muligt, ved hjælp af et passende valg, at forsvinde felterne for alle masseløse Goldstone-bosoner i hele rummet. En sådan gauge kaldes unitary (det kan påvises, at i tilfælde af kompakte gauge-grupper eksisterer den altid [18] ). Denne måler fører imidlertid til fremkomsten i lagrangian af masseudtryk af typen , som ikke desto mindre er målinvariante. Under en enhedssporvidde opstår massevilkårene nøjagtigt for sporviddefelterne. Da enhedssporet tilintetgør Goldstone-bosonerne og giver anledning til massive gauge-bosoner, siges det ofte, at vektorfelterne "æder" Goldstone-bosonerne og erhverver masser. Enhedsmåletilstanden er skrevet i form af "matrixelementerne" af generatorerne af brudt symmetri i formen $\alfa$ $x^{\mu}$ $\alfa(x)$ $\varphi _{i}$ $\dim G-\dim H$ ${\displaystyle a^{2}A^{\mu }A_{\mu ))$ $\dim G-\dim H$

\varphi _{0}T_{G/H,a}\varphi =0

Denne formel betyder, at feltet er ortogonalt i forhold til alle vektorer i rummet af brudte symmetrier. Spontan symmetribrud producerer også massive skalarfelter kaldet Higgs bosoner. Antallet af felter som følge af spontan brud af lokal gaugesymmetri bestemmes af Higgs-sætningen. $\varphi$ ${\displaystyle E_{k}=-iT_{G/H,k}\varphi _{0))$ $N-(\dim G-\dim H)$

Higgs sætning [16] . Med spontan brud af lokal gauge-symmetri er der massive skalarfelter (Higgs-bosoner), masseløse vektorfelter og massive vektorfelter (antallet af massive gauge-bosoner er lig med antallet af brudte symmetrier). $N-(\dim G-\dim H)$ $\dim G-(\dim G-\dim H)=\dim H$ $\dim G-\dim H$

Lad os nu finde antallet af feltvariabler i dette system. Når man tager i betragtning, at det massive felt har tre frihedsgrader, er det samlede antal feltfrihedsgrader , hvilket falder sammen med resultatet for det invariante vakuum. $N-(\dim G-\dim H)+2\dim H+3(\dim G-\dim H)=N+2\dim G$

Eksempel 4. Overtrædelse af lokal sporviddesymmetri SO (3)

Overvej Lagrangian

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi _{i}{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi ^{i}-{\frac {\lambda }{2}}\left(\varphi _{i}\varphi ^{i}-a^{2}\right)^{2}-{\ frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{a}^{\mu \nu }

hvor indekset går fra 1 til 3. Vi vælger vakuumtilstanden i formen . I lighed med de foregående eksempler udvider vi feltfunktionerne i nærheden af vakuum . I den kvadratiske felttilnærmelse omskrives Lagrangian i formen $jeg$ ${\displaystyle \varphi _{0}=\mid \mid 0;0;a\mid \mid ^{T))$ $\varphi =\varphi _{0}+\phi$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi _{3})^{2}-2\lambda a^{2}( \phi _{3})^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu}^{a}-\partial _{\nu}A_ {\mu }^{a}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu}\phi _{1}-eaA_{\mu }^{ 2}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\phi _{2}+eaA_{\mu }^{1}\right)^ {2}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3},\phi ^{2}A,\phi A^{2},A^{3})

Den resulterende Lagrangian er diagonaliserbar ved hjælp af ændring af variable

{\displaystyle B_{\mu }^{1}=A_{\mu }^{1}+{\frac {1}{ea))\partial _{\mu }\phi _{2},\qquad B_ {\mu }^{2}=A_{\mu }^{2}-{\frac {1}{ea))\partial _{\mu }\phi _{1))

Så har den diagonaliserede Lagrangian formen

{\mathcal {L}}\approx {\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi _{3})^{2}-2\lambda a^{2} (\phi _{3})^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu}^{3}-\partial _{\nu} A_{\mu }^{3}\right)^{2}-{\frac {1}{4))\left(\partial _{\mu }B_{\nu }^{1}-\partial _ {\nu }B_{\mu }^{1}\right)^{2}+{\frac {e^{2}a^{2}}{2}}(B_{\mu }^{1} )^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }B_{\nu }^{2}-\partial _{\nu}B_{\mu}^{ 2}\right)^{2}+{\frac {e^{2}a^{2}}{2}}(B_{\mu }^{2})^{2}

Som vi kan se, beskriver Lagrangian opnået som et resultat af spontan symmetribrud et skalarfelt med masse , et masseløst vektorfelt og to massive vektorfelter med masser , hvilket er i fuld overensstemmelse med de generelle betragtninger ovenfor. ${\displaystyle \phi _{3))$ $m_{\phi }=2a{\sqrt {\lambda ))$ $A^{3}$ ${\displaystyle B^{2},\;B^{3))$ $m_{B}=ea$

Det er værd at bemærke, at enhedsmåleren efterlader en vis symmetri i Lagrangian. Gruppen af denne symmetri er den lille gruppe . I tilfælde af symmetribrud (eksempel ovenfor), er den lille gruppe gruppen af rotationer om aksen . Bemærk, at gruppen er isomorf i forhold til målesymmetrigruppen i det elektromagnetiske felt. $H$ $SO(3)$ $SO(2)$ ${\displaystyle \phi _{3))$ $SO(2)$ $U(1)$

Bevis for Higgs-sætningen

For at bevise Higgs-sætningen, analogt med beviset for Goldstone-sætningen, udvider vi skalarfeltet . Vi nedbryder også målefeltet med målegruppegeneratorer : . I den kvadratiske approksimation har udvidelsen for skalarfelter samme form som i beviset for Goldstone-sætningen, kvadratet af felttensoren og den kovariante afledte i den første tilnærmelse (da en lineær tilnærmelse i afvigelser fra vakuum er tilstrækkelig til at opnå en lagrangsk andengrad i afvigelse) skrives som form $\varphi _{i}=\varphi _{0i}+\phi _{k}(e^{k})_{i}+{\widetilde {\phi }}_{k}({\ widetilde {e}}^{k})_{i}$ $G$ $A_{\mu }=ie(A_{H,\mu }^{a}t_{H,a}+A_{G/H,\mu }^{a}t_{G/H,a} )$ ${\displaystyle -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{a}^{\mu \nu}=-{\frac {1}{4}}\venstre (\partial _{\mu }A_{\nu}^{a}-\partial _{\nu}A_{\mu }^{a}\right)^{2))$

{\mathcal {D))_{\mu }\varphi \approx \partial _{\mu }\varphi +A_{\mu }\varphi _{0}=\partial _{\mu }\varphi +ieA_{G/H,\mu }^{a}T_{G/H,a}\varphi _{0}=e^{k}\partial _{\mu}\phi _{k}+{\ widetilde {e}}^{k}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}_{k}-eA_{G/H,\mu }^{a}E_{a}

Substitution af disse udtryk i den resulterende lagrangian giver lagrangian i tilnærmelsesgraden kvadratisk i felterne

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu}A_ {\mu }^{a}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{k}-eA_{G/H,\mu } ^{a}K_{ak})^{2}+{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i))}\partial _{\mu } {\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{kl}{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde { \phi }}_{l}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3},\varphi ^{2}A,\varphi A^{2},A^{3})

hvor . Matrixen er ikke degenereret, da den faktisk er en overgangsmatrix mellem baser . Marginer kan indføres (svarende til unitary gauge); så kan den endelige Lagrangian skrives i formen $K_{ak}=(E_{a})_{i}(e_{k})^{i}$ ${\displaystyle K_{ak))$ $E_{a}=K_{ak}e^{k}$ $B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e))\partial _{\mu }\phi _{k} (K^{-1})^{ka}$ $B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e))\partial _{\mu }\phi _{k} (K^{-1})^{ka}$ $B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e))\partial _{\mu }\phi _{k} (K^{-1})^{ka}$ $B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e))\partial _{\mu }\phi _{k} (K^{-1})^{ka}$ $B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e))\partial _{\mu }\phi _{k} (K^{-1})^{ka}$

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{H,\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{H,\mu }^{a}\right)^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }B_{\nu }^{a}- \partial _{\nu }B_{\mu }^{a}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}M_{ab}^{2}B_{\mu }^{a }B_{\mu }^{b}+{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i))}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{kl}{\widetilde {\phi}}_{k}{\widetilde {\phi } }_{l}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3},\varphi ^{2}A,\varphi A^{2},A^{3})

hvor , , som beviser Higgs-sætningen. ${\displaystyle (M^{2})_{ab}=e^{2}K_{ai}K_{bi))$ ${\displaystyle (m^{2})^{kl}=({\widetilde {e}}^{k})_{i}({\widetilde {e}}^{l})_{j}{ \frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\varphi _{j))))$

Spontan krænkelse af omtrentlig symmetri

I de foregående afsnit betragtede vi situationen, hvor den oprindelige Lagrangian har en vis gruppesymmetri , og denne symmetri er spontant brudt. Overvej nu tilfældet, når små termer tilføjes til Lagrangian med symmetri, som ødelægger symmetrien (nogle gange kaldes tilstedeværelsen af små ikke-symmetriske termer, i modsætning til spontan symmetribrud, blød symmetribrud). Spontan krænkelse af omtrentlig symmetri giver anledning til spinløse felter med lille masse, kaldet pseudo-Goldstone-bosoner [19] . $G$

Lad den potentielle energi tage formen , hvor udtrykket opfylder betingelsen om invarians med hensyn til gruppetransformationer : , er en forstyrrelse, der ødelægger symmetrien, er en lille parameter. Udtrykket flytter vakuumtilstanden til punktet . Så kan minimumsbetingelsen skrives som $V(\varphi )=V_{0}(\varphi )+\lambda V_{1}(\varphi )$ $V_{0}(\varphi )$ $G$ $(T_{a}\varphi _{0})_{i}{\frac {\partial V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i))}= 0$ $V_{1}(\varphi)$ $\lambda$ $V_{1}(\varphi)$ ${\displaystyle {\overline {\varphi }}_{0}={\varphi }_{0}+\lambda {\varphi }_{0}^{(1)))$

{\frac {\partial V}{\partial \varphi _{i))}\left(\varphi _{0}+\lambda \varphi _{0}^{(1)}\right)= 0\Højrepil {\frac {\partial V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i))}+\lambda \left[{\frac {\partial V_{1}( \varphi _{0})}{\partial \varphi _{i))}+{\frac {\partial ^{2}V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{ i}\partial \varphi _{j}}}\varphi _{0,j}^{(1)}\right]=\lambda \left[{\frac {\partial V_{1}(\varphi _{ 0})}{\partial \varphi _{i}}}+{\frac {\partial ^{2}V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}\varphi _{0,j}^{(1)}\right]=0.

Hvis vi multiplicerer den sidste ligning med og tager højde for, at det andet led giver (betingelsen for at vakuumværdien er invariant under målegruppetransformationer, se beviset for Goldstone-sætningen), får vi ${\displaystyle (T_{a}\varphi _{0})_{i))$ $0$

(T_{a}\varphi _{0})_{i}{\frac {\partial V_{1}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i))}= 0.

Den resulterende ligning kaldes vakuumjusteringstilstanden [20] . Hvis denne betingelse ikke er opfyldt, så fører selv en lille forstyrrelse til så store ændringer , at ekspansionsvilkårene i nabolaget ikke er små korrektioner. Men hvis der er tale om en kompakt Lie-gruppe, er denne betingelse opfyldt [3] . I analogi med udvidelsen i en Taylor-serie i afsnittet "Bevis for Goldstone-sætningen", kan man opnå massematricen af pseudo-Goldstone-bosoner ${\overline {\varphi }}_{0}$ ${\overline {\varphi }}_{0}$ ${\displaystyle {\varphi }_{0))$ $G$

(m^{2})^{kl}=({e}^{k})_{i}({e}^{l})_{j}{\frac {\partial ^{2 }V}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}\left(\varphi _{0}+\lambda \varphi _{0}^{(1)}\right)= \lambda ({e}^{k})_{i}({e}^{l})_{j}\venstre[{\frac {\partial ^{2}V_{1}(\varphi _{ 0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j))}+{\frac {\partial ^{3}V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}\partial \varphi _{n}}}\varphi _{0,n}^{(1)}\right]

hvilket er positivt bestemt [3] [19] .

Symmetribrud af kvantefeltet

I kvanteteorien holder feltvariablen op med kun at være en reel eller kompleks funktion af koordinater, men bliver en lineær operator defineret på Hilbert-rummet af felttilstande, som i Fock-repræsentationen eller anden kvantisering har formen [21] [ 22] $\varphi(x)$ ${\widehat {\Phi }}(x)$

|...,n_{\textbf {k}},...\rangle =C(...,n_{\textbf {k}},...)\prod _{\textbf {k }}b_{\textbf {k}}^{+}|0\rangle ,

hvor er normaliseringskonstanten, er skabelsesoperatoren, som øger antallet af partikler med et vist momentum med 1; for eksempel, for bosoner , , er en vakuumtilstand, hvor der ikke er nogen partikler (excitationer). De observerede mængder er gennemsnittet af feltoperatorerne på feltets tilstande , hvor er en operator, der er polynomisk i feltoperatorerne. $C$ $b_{\textbf {k}}^{+}$ ${\textbf {k))$ $b_{\textbf {k}}^{+}|...,n_{\textbf {k}},...\rangle ={\sqrt {n_{\textbf {k}}+1} }|...,n_{\textbf {k}}+1,...\rangle$ $|0\interval$ $\langle ...,n_{\textbf {k}},...|{\widehat {A}}|...,n_{\textbf {k}},...\rangle$ $\widehat {A}$

Det kan dog vises, at gennemsnittet af operatoren på tilstande kan omskrives i form af vakuumgennemsnittet for operatoren , som også har en polynomisk form med hensyn til feltoperatorerne. Det er praktisk at beregne sådanne vakuumforventningsværdier som funktionelle derivater af den såkaldte genererende funktional, der betegnes som det funktionelle integral $\widehat {A}$ $|...,n_{\textbf {k}},...\rangle$ $\langle 0|{\widehat {B}}|0\rangle$ ${\widehat {B}}$

Z=\int [d\varphi ][d\psi ][...]e^{iS[\varphi ,\psi ,...]},

hvor er den klassiske handling for felter [22] . Den genererende funktion er amplituden af "vakuum-vakuum" overgangen. $S$ $\varphi ,\psi ,...$

Oftest beregnes den genererende funktionelle og dens derivater ved at ekspandere i nærheden af virkningen af frie ikke-interagerende felter (Lagrangians kvadratisk i felterne). Korrektioner til en teori uden interaktioner beregnes bekvemt ved hjælp af Feynman-diagrammer .

Som i kvantemekanik med hensyn til klassisk mekanik, fører feltets operatørkarakter til ikke-trivielle kvanteeffekter. Nogle gange er kvantekorrektioner ubetydelige, men generelt kan de have et betydeligt (potentielt uendeligt) bidrag. For et kvantefelt er der ofte kvanteanomalier - fundamentale krænkelser af nogle symmetrier, der er iboende i klassisk teori i det tilsvarende kvantesystem. Derfor kan det fysiske billede af symmetribrud for det klassiske felt præsenteret i det foregående afsnit ikke direkte ekstrapoleres til kvantetilfældet, og man kan ikke på forhånd hævde, at Goldstone- eller Higgs-sætningerne også vil holde i kvantetilfældet.

Global gauge symmetri

Goldstones teorem i kvantetilfældet kan let formuleres ved hjælp af den effektive handling (potentiale). Denne tilgang introducerer yderligere klassiske strømme , der interagerer med skalarfelter . Den genererende funktion kan omskrives som $J_{i}(x)$ $\varphi _{i}(x)$

Z[J]=\exp {(iW[J])},

hvor værdien er summen af alle forbundne vakuumdiagrammer , og diagrammer , der er dannet af hinanden ved at permutere toppunkter, betragtes ikke som forskellige. Vakuummiddelværdier for feltoperatorer ved givne klassiske strømme omskrives i form af variationsafledninger af $W[J]$ ${\displaystyle \varphi _{J}^{i}(x)=\langle \Phi ^{i}(x)\rangle _{0,J))$ $J_{i}(x)$ $W[J]$

\varphi _{J}^{i}(x)={\frac {\delta }{\delta J_{i}(x)))W[J].

Vi betegner den strøm , for hvilken vakuumfeltgennemsnittet er lig med det forudbestemte felt . Legendre-transformationen af fører til kvanteeffektiv handling [23] $J_{i}(x)$ ${\displaystyle \varphi _{J}^{i}=\varphi ^{i))$ $W[J]$ $\Gamma [\varphi ]$

\Gamma [\varphi ]=-\int d^{4}x\varphi ^{i}(x)J_{i,\varphi}(x)+W[J].

Mængden er summen af alle koblede enkelt-partikel irreducerbare diagrammer i nærværelse af en strøm . Det kan man vise $\Gamma [\varphi ]$ $J_{i}(x)$

{\frac {\delta \Gamma [\varphi ]}{\delta \varphi ^{i}(x)))=-J_{i}(x).

I fravær af eksterne strømme , og værdierne af vakuumforventningsværdierne bestemmes som stationære punkter af den funktionelle $J_{i}(x)=0$

{\frac {\delta \Gamma [\varphi ]}{\delta \varphi ^{i}(x)))=0.

Den effektive handling tager højde for kvantekorrektioner af alle ordrer, samtidig med at den giver en klassisk behandling af området for vakuumforventningsværdier for feltoperatører. Hvis vi antager, at vakuumet er invariant under transformationerne af den inhomogene Lorentz-gruppe , så kan vi vise, at den effektive handling skrives som $\Gamma [\varphi ]$ $\varphi _{i}(x)$

\Gamma [\varphi ]=-{\mathcal {V}}_{4}V(\varphi ),

hvor er rum-tidens rumfang, og er den sædvanlige funktion, som kaldes det effektive potentiale [3] . ${\mathcal {V}}_{4}$ $V(\varphi )$

Ifølge Slavnov-Taylor identiteterne [24] [25] er den effektive handling invariant under infinitesimale transformationer af vakuumfelter (her ved et hvilket som helst felt, ikke kun et skalært). For en bred klasse af såkaldte lineære infinitesimale transformationer, som inkluderer gauge-transformationer, ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }\varphi ^{i}(x)=\varepsilon \langle F^{i}(x)\rangle _{J))$ $\varphi ^{i}(x)$

F^{i}(x)=s^{i}(x)+A_{j}^{i}\varphi ^{j}(x),

hvor er en konstant matrix, er den effektive handling invariant under de samme symmetrier som den oprindelige klassiske handling [3] . Således, hvis en sådan symmetri ikke er brudt på det klassiske niveau, så vil den ikke blive brudt af kvantekorrektioner i nogen som helst rækkefølge af forstyrrelsesteori . ${\displaystyle A_{j}^{i))$

Ved at bruge det effektive potentiale kan beviset for Goldstones teorem i kvantetilfældet udføres ved at bruge næsten de samme overvejelser som for klassiske felter (op til at erstatte potentiale med effektivt potentiale og klassiske felter med vakuumforventningsværdier for feltoperatører). I kvantefeltteori er værdien af de kvadrerede bosonmasser efter symmetribrud bestemt af massematricens egenværdier . Og da, som nævnt ovenfor, symmetrien af den effektive handling (potentiale) med hensyn til måletransformationer er den samme som for den oprindelige handling, er antallet af nul-egenværdier af kvantemassematricen det samme som for den klassiske, og Goldstone-sætningen er også gyldig i kvantetilfældet. ${\displaystyle (m^{2})_{ij}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{i}\partial \varphi ^{j))))$

Lokal målersymmetri

I kvantefeltteorien forbliver Higgs-sætningen gyldig, selvom den matematiske behandling af problemet af de grunde, der er angivet i begyndelsen af afsnittet, er vanskelig. For at fjerne de "ikke-fysiske" Goldstone-tilstande, når man overvejede krænkelsen af den lokale sporviddesymmetri i det klassiske felt, blev enhedssporet brugt. Men når man anvender en unitary gauge i kvantefeltteori, viser det sig, at gauge field propagator har en asymptotisk adfærd , og det er derfor ikke muligt at kontrollere teorien for renormaliserbarhed på en simpel måde (ved at tælle grader). I kvantefeltteorien bruges den såkaldte -gauge, som afhænger af en reel parameter, som er en generalisering af unitary gauge [26] [27] [28] . Fordelen ved familien af sådanne målere er den asymptotiske opførsel af målerfeltpropagatoren. ${\mathcal {O}}(1)={\mathcal {O}}(k^{0})$ $\xi$ ${\displaystyle R_{\xi ))$ ${\mathcal {O}}(k^{-2})$

På den ene eller anden måde stiller valget af kalibrering yderligere betingelser for feltvariablerne, som skal tages i betragtning ved kvantificering. I feltteorien tages sådanne forhold i betragtning inden for rammerne af Faddeev-Popov-metoden [29] . Overvej Lagrangian

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi {\mathcal {D}}^{\mu }\varphi - V(\varphi )-{\frac {1}{4}}(F_{\mu \nu }^{a})^{2}.

Udvider de skalære felter i nærheden af minimum , kan vi omskrive det som en funktion og :. I dette tilfælde er måleren fastsat af betingelsen , og matricen blev introduceret i det foregående afsnit, når man overvejede beviset for Higgs-sætningen i det klassiske tilfælde. Alle sådanne forhold . Lad os introducere funktioner , der tager højde for kalibreringer. At -gauge passerer ind i Landau gauge . Enhedsmåleren opnås i grænsen . $\varphi (x)=\varphi _{0}+\phi (x)$ $EN$ $\phi$ ${\mathcal {L}}(A,\phi )$ $\partial ^{\mu }A_{\mu }^{a}-\xi e\phi _{i}(K^{-1})^{ai}=0$ $K^{ai}$ $\dim G-\dim H$ $G^{a}={\frac {1}{\sqrt {\xi }}}(\partial ^{\mu }A_{\mu }^{a}-\xi g\phi _{i }(K^{-1})^{ai})$ $\xi \rightarrow 0$ ${\displaystyle R_{\xi ))$ $\partial _{\mu }A_{a}^{\mu }=0$ $\xi \rightarrow \infty$

Teorien kvantiseres ved hjælp af den genererende funktional

Z=C\int ({\mathcal {D}}A)({\mathcal {D}}\phi )\exp \left[i\int d^{4}x({\mathcal {L} }(A,\phi )-{\frac {1}{2}}G^{2})\right]\det \left({\frac {\delta G}{\delta \alpha }}\right) ,

hvor er måleparametrene for brudte symmetrier. Som et resultat antager den lagrangske kvadratiske i felter formen $\alfa$

{\mathcal {L}}\approx -{\frac {1}{2}}A_{\mu }^{a}\left(\delta ^{ab}\left[-\eta ^{\ mu \nu }\partial ^{2}+(1-{\frac {1}{\xi }}\partial ^{\mu }\partial ^{\nu})\right]-\eta ^{\mu \nu }(m_{A}^{2})_{ab}\right)A_{\nu }^{b}+{\frac {1}{2))(\partial _{\mu }\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}(m_{G}^{2})_{ij}\phi _{i}\phi _{j}+{\frac {1}{ 2}}(\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }})^{2}-{\frac {1}{2}}(m_{H}^{2})_{ij}{ \widetilde {\phi }}_{i}{\widetilde {\phi }}_{j},

hvor matricerne har formen , , . ${\displaystyle (m_{A}^{2})_{ab}=g^{2}K_{ai}K_{bi))$ ${\displaystyle (m_{G}^{2})_{ij}=\xi g^{2}K_{ia}K_{ja))$ $(m_{H}^{2})_{ij}=({\widetilde {e}}^{k})_{i}({\widetilde {e}}^{l})_{ j}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\varphi _{j))}+\xi g^{2}K_{ia }K_{ja}$

Determinanten under integralet kan tages i betragtning ved at tilføje til Lagrangian af systemet af Faddeev - Popov spøgelse Lagrangians :. ${\mathcal {L}}_{gh}={\overline {c}}\left(-\partial ^{2}-\xi m_{A}^{2}{\frac {\phi ( x)}{\varphi _{0}}}\right)c$

Tilstedeværelsen af masserne af Goldstone-bosonerne (som dog er proportionale med ) og -afhængigheden af masserne af Higgs-bosonerne afhænger af måleren, hvilket betyder, at de ikke er fysiske. Hvis de ikke tages i betragtning, viser de resulterende massematricer fuld overensstemmelse mellem kvante- og klassiske Higgs-sætninger. Imidlertid kan masseværdierne i sig selv ændre sig noget på grund af tilstedeværelsen af kvantekorrektioner. $\sim {\sqrt {\xi ))$ $\xi$

Pi mesoner som pseudogoldsten

Som et eksempel på symmetribrud i kvantefeltteori kan du overveje at bryde den chirale symmetri af kvantekromodynamik med masseløse kvarker . Den fermioniske lagrangian af masseløse kvarker har formen $SU(2)\ gange SU(2)$

{\mathcal {L}}=i{\overline {u}}\gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu}u+i{\overline {d}}\gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }d,

hvor bjælken over feltet betyder Dirac-konjugation , og spinorerne svarer til - og -kvarker. Generelt danner kvarkspinorer farvetripletter, men vi vil ikke skrive dem eksplicit her. En sådan masseløs Lagrangian er invariant under transformationerne af isospin - dubletgruppen ${\overline {u}}=u^{\dolk }\gamma ^{0}$ $u,\,d$ $u$ $d$ $SU(2)\ gange SU(2)$

\left|\left|{\begin{array}{c}u\\d\end{array}}\right|\right|\rightarrow \exp {\left(i\alpha _{V}^ {a}{\frac {\sigma _{a}}{2}}+i\alpha _{A}^{a}\gamma ^{5}{\frac {\sigma _{a}}{2} }\right)}\left|\left|{\begin{array}{c}u\\d\end{array}}\right|\right|,

hvor og er Pauli-matricer . Denne symmetri svarer til vektor- og aksialsymmetristrømmene $t_{a}={\frac {\sigma _{a}}{2}}$ $\sigma _{a}$

V_{a}^{\mu }=i{\overline {q))\gamma ^{\mu }t_{a}q,\quad A_{a}^{\mu }=i{\overline {q}}\gamma ^{\mu}\gamma _{5}t_{a}q,

med de tilsvarende kontinuitetsligninger , hvor betegner isospin-kvark-dubletten. De tilsvarende symmetriladninger er generatorer af isospin og resterende symmetrier. Disse operatører virker på kvarkfelter og inducerer transformationer $\partial _{\mu }V_{a}^{\mu }=0,\,\partial _{\mu }A_{a}^{\mu }=0$ ${\displaystyle q=||u,d||^{T))$ ${\widehat {I}}_{a}=\int d^{3}xV_{a}^{0},\;{\widehat {X}}_{a}=\int d^{ 3}xA_{a}^{0}$

[{\widehat {I}}_{a},q]=-t_{a}q,\;[{\widehat {X}}_{a},q]=-\gamma ^{5 }t_{a}q

Hvis symmetrien ikke er brudt, svarer hver hadron til sin analog med de samme kvantetal ( spin , baryonladning ), men med den modsatte paritet . Imidlertid observeres ingen paritetsdegeneration af hadronspektret, så det bør antages, at den chirale symmetri med generatorer er brudt. $SU(2)\ gange SU(2)$ $X_{a}$

Det skal dog bemærkes, at på grund af tilstedeværelsen af masseudtryk i Lagrangian er symmetrien omtrentlig. Derfor, som det blev vist i det foregående afsnit, optræder lavmasse pseudo-Goldstone bosoner i partikelspektret. De skal være spinless, have nul baryon ladning, isospin lig med 1 og negativ paritet. De letteste blandt alle hadroner er netop -mesoner ; desuden har de de nødvendige kvantetal. Det kan vises [3] at kvadratet af -mesonmassematricen giver -mesonmassen 140 MeV ved 10 MeV, hvilket svarer til virkeligheden. $-m_{u}{\overline {u}}u-m_{d}{\overline {d}}d$ $SU(2)\ gange SU(2)$ $\pi$ $\pi$ $m_{\pi }^{2}\sim (m_{u}+m_{d})$ $\pi$ $m_{u}+m_{d}\sim$

Higgs-feltet og dynamisk symmetribrud

Dynamisk symmetribrud [30] [31] [32] består i symmetribrud ved kvanteeffekter af vakuumpolarisering. Sådanne polarisationseffekter bryder gruppens originale klassiske gauge-symmetri og reducerer den til en symmetri med en lille gruppe . Vakuumpolarisering kan føre til optagelse af masse af initialt masseløse partikler [33] . I en sådan ideologi introduceres Higgs-bosonen i teorien som følger [34] . Lad der være et system af materiale- og målefelter, som vi for nemheds skyld betegner med et enkelt bogstav . Lad den tilsvarende handling være invariant under transformationer af målegruppen . Lad os introducere det klassiske eksterne Higgs-felt i systemet , som reducerer målersymmetrien til en lille gruppe . Lad os nedskrive handlingen af et sådant system . Vi skriver den genererende funktion i følgende form (med integration kun over felterne , forudsat at feltet er givet): $G$ $H$ $\varphi$ $S[\varphi ]$ $G$ $\sigma$ $H$ $S[\varphi ,\sigma ]$ $\varphi$ $\sigma$

Z_{\sigma }=\int [d\varphi ]e^{iS[\varphi ,\sigma ]}

Lad os nu tilføje en "seed"-handling for Higgs-feltet til handlingen og tilføje integration over felterne i den genererende funktion : $S[\varphi ,\sigma ]$ ${\displaystyle S_{\sigma ))$ $\sigma$

Z=\int [d\varphi ][d\sigma ]e^{iS[\varphi ,\sigma ]+iS_{\sigma }}

Feltintegration genererer nogle effektive handlinger for Higgs-feltet: $\varphi$

Z=\int [d\varphi ][d\sigma ]e^{iS[\varphi ,\sigma ]+iS_{\sigma }}=\int [d\sigma ]e^{iS_{eff} +iS_{\sigma ))

Fordelen ved denne tilgang er at opnå et ikke-trivielt bidrag til Higgs-feltet, som kommer fra det indledende system af felter . Ved analoge metoder inden for kvanteelektrodynamik opnås ikke-lineære korrektioner til Lagrangian [35] . $\varphi$

Symmetribrud i statistisk fysik

Forskellige statistiske systemer kan repræsenteres som nogle kvantiserede felter. Således er et system af Bose - partikler (for eksempel 4 He) et komplekst skalarfelt, et Fermi-system ( 3 He) er repræsenteret som et spinorfelt . Imidlertid er oftest lagrangianere i kvantestatistisk fysik effektive og fænomenologiske, og de tilsvarende felter beskriver visse excitationer i systemet ( Ginzburg-Landau-teorien [36] , plasmoner , fononer , excitoner osv.).

Kvantefeltteoriens matematiske apparat anvendes til studiet af statistiske systemer af mange partikler. På samme tid, i statistisk fysik, har vilkårene for kvantefeltteori deres analoger. Så for eksempel er analogen til den genererende funktion den statistiske sum , som er repræsenteret som et funktionelt integral

Z=e^{-\beta F[\varphi ]}=\int ({\mathcal {D))\varphi )\exp {\left(-\beta \int d^{3}x\left [e(x)-\mu (T)\varphi ^{\dolk }\varphi \right]\right)},

hvor er den frie Helmholtz energi , som har betydningen af en analog af den klassiske handling i kvantefeltteori, er sættet af modelfelter, er den gensidige temperatur, er energitætheden i nærheden af punktet , er det kemiske potentiale . $F$ $\varphi$ $\beta =1/T$ $e(x)$ $x$ $\mu$

Det er klart, at der, som i tilfældet med kvantefeltteori, opstår kvantekorrektioner ved kvantificering af et statistisk system, som kan have en hvilken som helst effekt på systemet. Men analogt med det foregående afsnit kan vi introducere et effektivt potentiale, som er praktisk at bruge til at studere systemet. Hvis dette er tilstrækkeligt, så er det muligt at arbejde i middelfelttilnærmelsen, inden for hvilken det antages at

F\approx E=\int d^{3}x\left[e(x)-\mu \varphi ^{\dolk }\varphi \right].

Faseovergange som spontant symmetribrud

Når temperaturen ændres, ændres både systemets energitæthed (på grund af en ændring i interaktionspotentialet) og det kemiske potentiale; derfor kan det ske, at ved temperaturer over en vis kritisk temperatur findes minimumsenergien i en konfiguration af systemet og under den i en anden. Systemet går fra en tilstand, der ikke længere er stabil ved en given temperatur, til en ny stabil tilstand. Makroskopisk observeres en faseovergang . $T_{c}$

Afvigelsesfelterne fra vakuumtilstanden er identificeret med termodynamiske fluktuationer. Med spontan symmetribrud i statistisk fysik opstår der udover massive skalarer altid masseløse fluktuationstilstande, som kaldes Goldstone (ofte Nambu-Goldstone) bosoner. Tilstedeværelsen af masseløse Goldstone-tilstande fører til et spalteløst energispektrum af systemet ( Hugenholtz-Pines-sætningen [37] ). Goldstone-tilstanden er også ansvarlig for fluktuationer, der er korreleret i hele systemet (den såkaldte off-diagonale langdistancerækkefølge; for eksempel i tilfælde af en Bose-blanding, et Bose-kondensat). I det kondenserede stofs fysik omtales massive vibrationstilstande nogle gange forkert som Higgs-bosoner.

Næsten alle faseovergange kan tolkes som spontant symmetribrud. Ikke desto mindre er der stoftilstande, der ikke kan repræsenteres som spontant forstyrrede feltkonfigurationer. Sådanne tilstande inkluderer spin-væsker, såvel som elektrongas i den fraktionelle kvante Hall-effekt [38] .

Superfluiditet

Som et eksempel på spontan symmetribrud i teorien om faseovergange betragtes overgangen af en væske til en superfluid tilstand. Som nævnt tidligere kan en Bose-væske beskrives ved et enkelt komplekst felt . I teorien om en superflydende Bose-væske, hvis man antager, at væskens atomer er faste kugler, der kun interagerer i direkte kollisioner ( -interaktion), og der ikke er nogen langdistance-interaktioner, kan energitætheden skrives som [39] $^{4}Han$ $\psi$ $\delta$

e(x)={\frac {\hbar ^{2}}{2M}}|\nabla \psi |^{2}+{\frac {g}{2}}|\psi |^{ fire},

hvor er det komplekse felt svarende til væskeatomernes bølgefunktion, M er massen af væskeatomerne, og g er interaktionsparameteren. Det kemiske potentiale har formen . Dette udtryk for energitætheden svarer til Lagrangian i Ginzburg-Landau teorien [36] uden et eksternt magnetfelt. Den første kvantefeltovervejelse af superfluiditet blev udført af Pitaevskii [40] . Ved temperaturer over kritisk har energien et minimum på . Samtidig med at temperaturen falder til under den kritiske værdi, realiseres minimum ved . Grundtilstanden bliver uendeligt degenereret i forhold til fasen . Den specifikke frie energi (det vil sige fri energi pr. volumenenhed) over den kritiske temperatur er nul: . Dog under den kritiske temperatur (uanset faseværdien) , hvor . Varmekapacitet pr. volumenhed $\psi$ $\mu =-\mu _{0}\left(T/T_{c}-1\right)$ $\psi =0$ $|\psi |=a={\sqrt {-\mu _{0}(T/T_{c}-1)/V))$ ${\displaystyle \phi =\arg {\psi ))$ $f(T>T_{C})=0$ $f(T<T_{C})=-f_{0}\left(T/T_{c}-1\right)^{2}$ $f_{0}={\frac {\mu _{0}^{2}}{2V}}$

c=-T{\frac {\partial ^{2}f}{\partial T^{2}}}=\left\{{\begin{array}{c}0,\;T>T_ {c};\\{\frac {\mu _{0}^{2}}{V}}{\frac {T}{T_{c}^{2}}},\;T>T_{c }.\end{array}}\right.

Denne opførsel af varmekapaciteten svarer til en andenordens faseovergang . Udvidelse af markerne og i vakuumkvarteret, opnår vi $|\psi (x)|=a+\rho (x)$ $\phi (x)=\phi _{0}+\gamma (x)$

\epsilon =\int d^{3}x\left[{\frac {1}{2}}\left((\nabla \rho (x))^{2}+(-2m^{2 })\rho (x)^{2}\right)+{\frac {1}{2}}a^{2}(\nabla \gamma (x))^{2}\right]

hvor ,. _ Afvigelse fra vakuumet, at være i ligevægtsværdier svarer til excitationsfelterne. Som du kan se, er der to oscillationstilstande: den massive tilstand og den masseløse Goldstone-tilstand . Oscillationstilstande er karakteriseret ved en korrelationslængde , som sætter den eksponentielle dæmpningslov for excitationer med afstand . Over det kritiske punkt er der to tilstande med en korrelationslængde $\epsilon =2ME/\hbar ^{2}$ $m^{2}=-\mu 2M/h^{2}>0$ $\rho$ $\gamma$ ${\displaystyle \xi _{\varphi }=1/m_{\varphi ))$ ${\displaystyle e^{-|x|/\xi ))$

{\displaystyle \xi _{\psi }={\frac {1}{m}}={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2M\mu _{0}}}}{\frac {1}{\sqrt {T/T_{c}-1))))

Under det kritiske punkt for Goldstone-masseløse tilstande er korrelationslængden uendelig (dette betyder faktisk ikke eksponentiel, men effektlovens opførsel af excitationer), hvilket svarer til korrelationen af faseudsving i hele systemet (f.eks. et Bose-kondensat). For en massiv tilstand i superfluid tilstand har vi temperaturafhængigheden af korrelationslængden i nærheden af det faseovergangskritiske punkt

\xi _{\rho }={\frac {1}{\sqrt {2|m^{2}|}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2M\mu _{0)))){\frac {1}{\sqrt {1-T/T_{c))))

Ensretning af grundlæggende interaktioner

Glashow-Weinberg-Salam-modellen

Glashow-Weinberg-Salam-modellen [41] [42] [43] beskriver den forenede elektrosvage interaktion med en målesymmetrigruppe og fire gauge vektorbosoner , hvor indekset øverst angiver bosonens elektriske ladning. Efterhånden som energien aftager, nedbrydes symmetrigruppen til elektrodynamikgruppen med en gauge boson , fotonen . Bemærk, at den uforstyrrede gruppe er gruppen af hyperladningsfeltet og ikke det elektromagnetiske felt. Også et skalarfelt optræder i teorien, som transformeres i overensstemmelse med den grundlæggende repræsentation af gruppen , så det har form af en to-komponent kompleks skalar . Derudover er der materialefelter i modellen, som vi for enkelhedens skyld ikke vil tage højde for. Lagrangian af målefelterne (mere præcist, af den bosoniske sektor) har formen ${\displaystyle SU(2)_{L}\ gange U(1)_{Y))$ $B^{0},\;W^{0},\;W^{+},\;W^{-}$ ${\displaystyle SU(2)_{L}\ gange U(1)_{Y))$ ${\displaystyle U(1)_{\gamma ))$ $U(1)_{Y}$ $SU(2)$ ${\displaystyle \varphi =||\varphi _{1},\varphi _{2}||^{T))$

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}(F_{Y}^{\mu \nu })^{2}-{\frac {1}{4}} (F_{L}^{a,\mu \nu})^{2}+{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi ^{\dolk }{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi -\lambda \left(\varphi ^{\dolk}\varphi -a^{2}\right)^{2},

hvor den kovariante afledte af skrives som $\varphi$

{\mathcal {D}}^{\mu}\varphi =\partial ^{\mu}\varphi +{\frac {i}{2}}e_{Y}Z_{U(1)}^ {\mu }\varphi +ie_{L}W_{SU(2)}^{a,\mu}{\frac {\sigma _{a}}{2}}\varphi ,

hvor og er interaktionskonstanterne for de tilsvarende felter, og er kombinationen af identitetsmatrix og Pauli matricer . Vi vælger vakuumtilstanden i formularen . Det er klart, at vakuumet er invariant under påvirkning af elementerne i den lille gruppe , hvis generator er matrixen . Det er denne gruppe, der svarer til elektrodynamikkens måletransformationer. Det er praktisk at indføre en tredobbelt af matricer og også omskrive parametrene og med hensyn til de nye parametre og $e_{Y}$ $e_{L}$ $\sigma _{a}$ $\sigma_i$ ${\displaystyle \varphi _{0}=||0,a||^{T))$ ${\displaystyle U(1)_{\gamma ))$ $t_{A}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right)$ $t_{i}=\sigma _{i}/2$ $e_{Y}$ $e_{L}$ $e$ ${\mathcal {\theta }}_{W}$

e=e_{Y}\cos {\mathcal {\theta }}_{W}=e_{L}\sin {\mathcal {\theta }}_{W},

desuden viser parameteren sig at være lig med den elementære elektriske ladning, og parameteren kaldes Weinberg-vinklen . I dette tilfælde vil den kovariante afledte blive skrevet i formen $e$ ${\mathcal {\theta }}_{W}$

{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi =\partial ^{\mu}\varphi +ie\left(A^{\mu}-{\rm {tg}}{\mathcal { \theta }}_{W}Z^{\mu}\right)t_{A}\varphi +i\left({\frac {e_{2}}{\cos {\mathcal {\theta}}_{ W))}Z^{\mu }t_{3}+e_{2}W_{+}^{\mu }t_{1}+e_{2}W_{-}^{\mu }t_{2} \right)\varphi ,

hvor ,, . _ ${\begin{pmatrix}A_{\mu }\\Z_{\mu}\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}\cos \theta _{W}&\sin \theta _{W }\\-\sin \theta _{W}&\cos \theta _{W}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{\mu }\\W_{\mu }^{3}\ slut{pmatrix}}$ ${\displaystyle W_{\mu }^{+}=W_{\mu }^{1))$ ${\displaystyle W_{\mu }^{-}=W_{\mu }^{2))$

I unitary gauge , hvor er det virkelige skalarfelt svarende til Higgs-bosonen , eksperimentelt opdaget i 2012. I den kvadratiske tilnærmelse kan Lagrangian med brudt symmetri skrives som ${\displaystyle \varphi =||0,a+\phi ||^{T))$ $\phi$

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}(\partial _{\mu }A_{\nu}-\partial _{\nu}A_{\mu })^ {2}-{\frac {1}{4}}(\partial _{\mu }Z_{\nu}-\partial _{\nu}Z_{\mu })^{2}+m_{Z} ^{2}Z^{2}-\sum _{i=\pm }\venstre[{\frac {1}{4}}(\partial _{\mu }W_{\nu }^{i}- \partial _{\nu }W_{\mu }^{i})^{2}+m_{W}^{2}(W^{i})^{2}\right]+(\partial _{ \mu }\phi )^{2}-m_{\phi}^{2}\phi ^{2},

hvor ,, . _ ${\displaystyle m_{W}={\frac {e_{2}a}{\sqrt {2))))$ $m_{Z}={\frac {e_{2}a}{{\sqrt {2}}\cos {\mathcal {\theta }}_{W}}}$ $m_{\phi }=2{\sqrt {\lambda }}a$

Det skal tilføjes, at kvantekorrektioner fører til en ændring i bosonmasserne og interaktionskonstanternes energiafhængighed.

SU(5) model af Grand Unified Georgie-Glashow

Ved høje energier (~10 14 GeV) kombineres de elektrosvage og stærke nukleare vekselvirkninger i et enkelt felt med en vis målesymmetrigruppe, som ved lavere energier spontant bryder ned til Standard Model -gruppen . I dette afsnit skal du overveje Georgie-Glashow-modellen] med den mindste målegruppe, der giver mulighed for storslået forening ${\displaystyle SU(3)_{C}\ gange SU(2)_{L}\ gange U(1)_{Y))$ $SU(5)$

I denne teori er alle fermioner kombineret i tre generationer af 15-komponent multipletter , bestående af 5- og 10-komponent multipletter, som svarer til de mindste dimensioner af irreducerbare grupperepræsentationer . 5-komponent sektoren af 15-komponent multipletten inkluderer den højre farvetriplet af kvarker af typen (en komponent for hver farve) og den venstre lepton isospin dublet ( elektron og neutrino ): . 10-komponent sektoren indeholder venstre og højre kvarktripletter , venstre kvarktriplet og højre elektron: . $SU(5)$ $d$ $5=||d_{R};e_{L}^{-},\nu _{L}||$ $u$ $d$ $10=||u;d_{L};e_{R}^{-}||$

Med nøjagtig symmetri indeholder gruppen masseløse gauge bosoner. Der er tre bosoner , der er ansvarlige for overgangene i leptonkvintetten og relateret til gruppen , samt en boson , der svarer til gruppen . Som i standardmodellen er fotonen og -bosonen ortogonale superpositioner af felterne og . Der er også 8 gluoner , der laver overgange mellem tre farvekvarker og er gruppegeneratorer . De resterende tolv gauge bosoner er firefarvede trillinger og . Bosoner og er ansvarlige for interaktionerne henholdsvis , og , . $SU(5)$ $5\times 5-1=24$ $W^{+},Z^{0},W^{-}$ $SU(2)_{L}\subset SU(5)$ ${\displaystyle B^{0))$ $U(1)_{Y}$ $Z^0$ ${\displaystyle W^{0))$ ${\displaystyle B^{0))$ ${\displaystyle SU(3)_{C))$ ${\displaystyle X_{\pm 4/3))$ ${\displaystyle Y_{\pm 4/3))$ $x$ $Y$ ${\displaystyle \nu _{e}-d_{R))$ ${\displaystyle e_{R}^{-}-u_{L))$ ${\displaystyle d_{L}-u_{R))$ ${\displaystyle e_{L}-d_{R))$ $e_{R}-d_{L}$ ${\displaystyle u_{L}-u_{R))$

Når energien aftager, brydes symmetrien op til . I dette tilfælde opnår gauge - og -bosonerne masser på 10 14 GeV. $SU(5)$ ${\displaystyle SU(3)_{C}\ gange SU(2)_{L}\ gange U(1)_{Y))$ $x$ $Y$

Derudover er det muligt at indføre massive højrehåndede neutrinoer i modellen (som en singlet ). Sådanne neutrinoer kan interagere med kvintetten ved hjælp af Higgs-bosoner, som produceres ved spontan Grand Unified symmetribrud. $SU(5)$ $SU(5)$

Georgi-Glashow-modellen forudsiger en protonlevetid på ~10 29 år [45] , dog giver moderne eksperimenter ved Super-Kamiokanda et lavere estimat for protonlevetiden på 10 32 år, hvilket fuldstændig eliminerer muligheden for at realisere symmetri i den enkleste version af modellen. $SU(5)$

SO(10) model og modeller med højere sporvidde grupper

Den næste minimale gauge-gruppe, der kan beskrive den store forening, er gruppen [46] , hvor fermioner danner en 16-komponent multiplet: en venstre neutrino føjes til 15 fermioner. Det kan påvises, at der er i alt gauge bosoner, der kan opnå masse ved spontan symmetribrud . En sådan model er også udelukket på grund af fraværet af protonhenfald. $SO(10)$ $SU(5)$ $10\time 9/2=45$ $SO(10)$

Der tages dog også hensyn til højere grupper og (f.eks. osv .), samt modeller, hvor målegruppen er produktet af to eller flere simple grupper: [47] osv . Der lægges særlig vægt på kæden af exceptionelle grupper $Sol)$ $SO(n)$ $SU(8)$ $SO(16)$ $SU(4)\ gange SU(4)$ $SU(3)\ gange SU(3)\ gange SU(3)$

E_{4}=SU(5)\subset E_{5}=SO(10)\subset

E6E8 . _ _ _

\subset E_{7}\subset

som opstår i teorier om flerdimensionel tyngdekraft og strengteori . Grupperne , E 8 er store nok til at rumme forskellige generationer af partikler. $E_7$

På trods af det store antal felter i grupper af højere orden, er mekanismen for spontan symmetribrud i de tilsvarende teorier den samme som beskrevet ovenfor.

Spontan brud af supersymmetri

Spontan brud af supersymmetri (i modsætning til blød og dynamisk) består i at opnå en ikke-supersymmetrisk (eksplicit) teori i nærheden af vakuum med supersymmetri. Supersymmetribrud er en nødvendig proces for at undgå konflikt mellem supersymmetriske modeller og eksperiment. Faktum er, at eksakt supersymmetri forudsætter, at superpartnere (hvis antallet falder sammen med antallet af almindelige partikler) har samme masse som deres partnere (almindelige partikler), hvilket ikke er observeret i eksperimentet. Under supersymmetribrud opnår superpartnerne en betydelig ekstra masse og bliver dermed uopnåelige i eksperimenter indtil videre.

Hvad angår excitation af gaugesymmetri, kan det påvises, at kvantekorrektioner ikke bryder supersymmetri, hvis den ikke brydes på det klassiske niveau [48] . Imidlertid er den væsentlige forskel mellem supersymmetri breaking og gauge symmetri påstanden om følgende sætning:

Sætning [48] . I enhver teori med supersymmetri er enten alle supersymmetrier brudt, eller ingen af dem er brudt.

Kriterier for at bryde supersymmetri

Ikke-nul vakuum gennemsnit

Supersymmetri brydes, hvis og kun hvis overladninger ikke ødelægger vakuumtilstanden: . For vakuumgennemsnittet af feltvariationen kan man skrive . Med andre ord, supersymmetri brydes, hvis og kun hvis vakuumforventningsværdien for et felt ikke er lig med 0. Dette kræver Lorentz-invariansen af vakuumet. $Q_{a}$ $Q_{a}|0\rangle \neq 0$ $\varphi$ $\langle \delta \varphi \rangle _{0}=\langle \left[\varphi ,Q_{\alpha }\right]\rangle _{0}\neq 0$

For eksempel for Wess-Tsumino-modellen [49]

S=\int d^{4}x\left(-{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu}A)^{2}-{\frac {1}{2 }}(\partial _{\mu }B)^{2}-{\frac {1}{2}}\chi ^{\dolk }\gamma ^{\mu}\partial _{\mu }\chi +{\frac {1}{2}}D^{2}+{\frac {1}{2}}F^{2}\right)

med bosoniske marker og Majorana fermion . Felterne er komplementære og forsvinder på masseskallen; deres tilstedeværelse er nødvendig for ligheden mellem de bosoniske og fermioniske frihedsgrader på masseskallen og uden for den. For denne model, under hensyntagen til kravet om Lorentz-invariansen af vakuumet, følger det, at , , . Den ikke-nul middelværdi af feltvariationen har formen . Således brydes supersymmetri, hvis og kun hvis vakuumforventningsværdierne for de ekstra felter ikke er lig med 0. $A,B,D,F$ $\chi$ $D,F$ $\langle \chi _{\alpha }\rangle =0$ $\langle \partial _{\mu }A\rangle =0$ $\langle \partial _{\mu }B\rangle =0$ $\langle \delta _{\varepsilon }\chi _{\alpha }\rangle =((\langle F\rangle +i\gamma _{5}\langle D\rangle )\varepsilon )_{\alpha }$

Nul potentiel værdi

Hamiltonianeren af den supersymmetriske teori med overladninger skrives som $Q_{a}$

H=\sum _{a}(Q_{a}Q_{a}^{\dolk }+Q_{a}^{\dolk }Q_{a})

Og dette fører igen til følgende udsagn: den supersymmetriske vakuumtilstand skal have nul energi; hvis vakuumenergien er positiv, brydes supersymmetrien. Faktisk opfylder vakuumforventningen Hamiltonian uligheden

\langle H\rangle =\sum _{a}(||Q_{a}|0\rangle ||^{2}+||Q_{a}^{\dolk }|0\rangle || ^{2})\geqslant 0

Her opnås lighed kun i tilfælde af ubrudt supersymmetri . $Q_{a}|0\rangle =0$

Dette er den grundlæggende forskel mellem spontant supersymmetribrud og spontant målesymmetribrud. For sidstnævnte er invariansen af potentialets minimum vigtig, og for supersymmetri værdien af dets minimum. Målesymmetribrud er således i en vis forstand uafhængig af supersymmetribrud. Hvis minimum af vakuumet brudt med hensyn til målersymmetrien har nul energi, så er supersymmetrien ikke brudt.

Goldstino og Higgsino

Når supersymmetrien af det chirale superfelt brydes, hvor , er superrummets Grassmann-koordinater, opstår den såkaldte -type-supersymmetribrud, når vakuumforventningsværdien af den dynamiske skalar og yderligere felter er . Når supersymmetrien af vektorsuperfeltet er brudt , og den tilsvarende supersymmetribrud siges at være -type. $\Phi (x,\theta ,{\overline {\theta )))=\varphi (y)+\theta \chi (y)+\theta \theta F(y),$ $y=xi\theta \sigma ^{\mu }{\overline {\theta }}$ $\theta ,\;{\overline {\theta ))$ $F$ $\langle F\rangle _{0}\neq 0$ $\langle D\rangle _{0}\neq 0$ $D$

I begge typer af supersymmetribrud er der en spinor, som under påvirkning af supersymmetriske transformationer får en inhomogen term

\delta _{\varepsilon }\lambda _{\alpha }=-2\varepsilon _{\alpha }\langle D\rangle +o(\varepsilon ),\qquad \delta _{\varepsilon }\chi _{\alpha }=-2\varepsilon _{\alpha }\langle F\rangle +o(\varepsilon ).

Sådan en spinor kaldes en Goldstone fermion eller goldstino.

I analogi med Higgs-mekanismen, hvor vektorbosonen "spiser" Goldstone-bosonen og bliver massiv, i supergravitation "spiser" gravitinoen goldstinoen (vektor-supermultipletten "spiser" den chirale) og bliver massiv. En sådan mekanisme kaldes super-Higgs-mekanismen [50] [51] .

O'Reiferty-modellen

Overvej supersymmetri-overtrædelser ved at bruge eksemplet med O'Reiferty-modellen [52] med chirale supermultipletter , som er givet af Lagrangian $n$ ${\displaystyle \Phi _{i))$

\int d^{2}\theta d^{2}{\overline {\theta }}\sum _{i}{\overline {\Phi}}_{i}\Phi ^{i}+ \int d^{2}\theta W(\Phi )+hc,

hvor bjælken over feltet betyder Dirac eller kompleks konjugation, angiver det hermitiske konjugerede udtryk og superpotentialet $h.c.$

W(\Phi )=a_{i}\Phi ^{i}+{\frac {1}{2}}m_{ij}\Phi ^{i}\Phi ^{j}+{\frac {1}{3}}\lambda _{ijk}\Phi ^{i}\Phi ^{j}\Phi ^{k}

Nu, ved at variere handlingen, får vi en ligning for det ekstra felt . Ved at erstatte den opnåede løsning får vi den potentielle energi ${\overline {F}}_{i}=-{\frac {\partial W}{\partial \varphi ^{i}}}=-(a_{i}+m_{ij}\varphi ^ {j}+\lambda _{ijk}\varphi ^{j}\varphi ^{k})$

V=\sum _{i}{\overline {F}}_{i}F^{i}=\sum _{i}\left|-{\frac {\partial W}{\partial \ varphi ^{i}}}\right|^{2}=\sum _{i}|a_{i}+m_{ij}\varphi ^{j}+\lambda _{ijk}\varphi ^{j} \varphi ^{k}|^{2}.

Supersymmetri i denne model er brudt, hvis det er umuligt at finde et sådant sæt , der for alle komponenter. $\langle \varphi _{i}\rangle$ $\langle F^{i}\rangle =0$

Ikke-invariante støvsugere

Når vi overvejede krænkelsen af kvantefeltsymmetrien, antog vi, at feltets vakuumkonfiguration er invariant under transformationerne af den inhomogene Lorentz-gruppe (rotationer, boosts og translationer). Dette er en meget stærk urimelig begrænsning af vakuumkonfigurationer, som fører til, at feltvakuumet er det samme på alle punkter i rummet. Det viser sig imidlertid, at ikke-trivielle koordinatafhængige konfigurationer af feltvakuumet faktisk er mulige. Desuden kan sådanne konfigurationer være vigtige ved beregning af den genererende funktionelle, da deres indflydelse ikke er lille (for eksempel instanton [53] bidraget i kvantekromodynamik ). Sådanne ikke-trivielle vakuum er også magnetiske monopoler [54] [55] , kosmiske strenge [56] og domænevægge [57] , som i princippet kan være til stede i universet og behandles som topologiske defekter i rum-tid med ubrudt elektrosvag måler symmetri eller Grand Unification symmetri . Sådanne ikke-invariante vakuumtilstande realiserer det handlingsfunktionelle ekstremum og er stabile med hensyn til excitationer.

Sådanne konfigurationer er velkendte i det kondenserede stofs fysik. For eksempel er domænevægge mellem områder af universet med forskellige symmetribrud analoge med domænevægge i ferromagneter (deraf deres navn), og kosmiske strenge ligner hvirvellinjer i en superleder .

Nogle konfigurationer med ikke-invariant vakuum, som overvejes af teoretikere, er givet nedenfor.

Mekanisk model af Unruh

Nedenfor er en simpel mekanisk model foreslået af Unruh. Overvej et sæt blyanter, der er placeret ende mod ende på et bord, og deres skarpe ender er forbundet med hinanden med gummibånd. Et sådant system er i en tilstand af ustabil ligevægt - enhver forstyrrelse vil få blyanterne til at falde og gå fra en ustabil tilstand til en stabil vakuumtilstand. Dog er faldretningen tilfældig. Billedet af ligevægtstilstanden har mange forskellige varianter. Selvfølgelig er det muligt for blyanter at falde i én retning. Det kan dog også ske, at omkring en bestemt blyant falder alle de andre blyanter i modsatte retninger. Så virker de samme spændingskræfter af elastikbåndene fra blyanterne, der allerede er faldet, isotropisk på den centrale blyant fra alle sider. Da spændingskraften virker jævnt, bliver den tidligere ustabile vakuumtilstand på det valgte punkt stabil, og blyanten falder ikke. Der opstår et punkt, der adskiller sig fra de andre punkter, hvor symmetrien ikke er brudt.

Vakuumkonfigurationer med lokalt ubrudt målersymmetri

Med hensyn til den mekaniske model, hvis målersymmetrien er brudt, er stabile tilstande med punktvis ubrudt symmetri mulige. Sådanne løsninger kaldes Polyakov-t'Hoft monopoler [54] [55] .

Når symmetrien af visse grupper (for eksempel ) er brudt til gruppen af elektromagnetisk målersymmetri, ligner feltet af Polyakov-t'Hoft monopolen et magnetfelt, derfor identificeres det med magnetiske monopoler . I dette tilfælde kan det vises, at monopolen har en magnetisk ladning, der er et multiplum af , hvor er den elementære elektriske ladning. Monopolkonfigurationer med en stor magnetisk ladning er også mulige, men de henfalder til monopoler med en elementær magnetisk ladning [58] . Konfigurationen af skalar- og målefelter for Polyakov - t'Hoft-monopolen kan vælges i måleren i formularen $G$ $SU(2)$ $U(1)$ $g={\frac {\pm 1}{e}}$ $e$ $g$ $A_{a0}=0$ $\varphi _{i}={\textbf {e}}_{i}\langle \varphi \rangle F(r),$ $A_{ai}={\frac {\varepsilon _{ail}{\textbf {e}}_{l}}{er}}G(r)$ ${\textbf {e}}_{i}={\frac {x_{i}}{r}}$ $\varepsilon_{ijk}$ $-en$ $F(r),\,G(r)$

Feltet for Polyakov-t'Hoft-monopolen i måleren for skalarfelter, hvor er Kronecker delta-symbolet , har formen ${\displaystyle \varphi _{i}=\varphi \delta _{i3))$ $\delta _{{ij}}$

B_{i}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{ijk}(\partial _{j}A_{k}^{3}-\partial _{k}A_{j} ^{3})=-{\frac {{\textbf {e}}_{i}}{er^{2}}}.

Antallet af monopoler, der skal dannes som følge af krænkelsen af den store forenings symmetri, er en monopol pr. 10 3 nukleoner, hvilket modsiger de observerede data. Fraværet af monopoler forklares med inflation . Det menes, at de blev dannet før faseovergangen af feltet med den store forenede symmetri til symmetrien i standardmodellen , og den inflation , der fulgte med denne overgang , førte til, at gassen fra monopoler blev flydende [59] . Desuden betragtes fraværet af magnetiske monopoler som et af argumenterne til støtte for den inflationære teori om universets udvikling.

Der er også punktvakuumfeltkonfigurationer - dyoner, som har både elektriske og magnetiske ladninger [60] .

Feltkonfigurationer med lokalt ubrudt gaugesymmetri af store dimensioner er også mulige - disse er endimensionelle kosmiske strenge [56] og domænevægge [57] .

Instantons

For ikke-lineære feltteorier (for eksempel kvantekromodynamik ) er ikke-trivielle feltkonfigurationer i (1 + 3)-rum mulige, som kaldes instantons [53] . De er en generalisering af et soliton til (1 + 3)-dimensionelt rum. Sådanne konfigurationer realiserer handlingens ekstremum. De er ikke-perturbative (de kan ikke opnås i nogen som helst rækkefølge af forstyrrelsesteori).

Ikke desto mindre er bidraget af instantons og fluktuationer i nærheden af instantontilstanden til den genererende funktion betydelig. Instantons løser problemet med chiral symmetribrud [61] . I teorien om elektrosvage interaktioner er det instantonkonfigurationerne af det svage felt, der forklarer krænkelsen af baryon- og leptontallene [62] . Instanton-stater spiller også en vigtig rolle i henfaldet af et falsk vakuum (se nedenfor) [63] [64] . $U(1)$ ${\displaystyle SU(2)_{L))$

Skyrmions

Effektive feltteorier med en lineær sigma-type Lagrangian beskriver godt lavenergimesonadfærden . For konsistens i beregningen af interaktionsparametrene for mesoner ved høje energier er det imidlertid nødvendigt at supplere Lagrangian med termer med højere potenser i feltderivater:

{\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\sigma }(\varphi )+f_{abcd}{\varphi }\partial _{\mu }\varphi ^{a}\ delvis ^{\mu }\varphi ^{b}\partial _{\nu}\varphi ^{c}\partial ^{\nu}\varphi ^{d}+....

Tilstedeværelsen af højere grader af derivater kan tillade en stabil ikke-triviel vakuumfeltkonfiguration, som kaldes skyrmioner [65] .

Skyrmioner kan også opstå i statistisk fysik [66] og i dynamisk symmetribrud.

Diagonaliseringer af den øjeblikkelige Hamiltonian

For ikke-invariante vakuum er der ingen klar forståelse af, hvad der præcist skal betragtes som partikler, og om det overhovedet er muligt at tale om partikler i tilfælde af en vilkårlig vakuumkonfiguration. I kvantefeltteorien er feltoperatoren repræsenteret som en funktion af skabelses- og udslettelsesoperatorerne , som opfylder visse (anti) kommutationsrelationer, hvis form afhænger af lagrangien og felttypen (fermionisk eller bosonisk). Hvis den tilsvarende Hamiltonian i teorien er diagonal i forhold til disse operatorer, så har begrebet en partikel en simpel fortolkning. Vakuumtilstanden bestemmes ud fra ligningen og svarer til tilstanden med Hamiltonianerens mindste egenværdi, det vil sige tilstanden uden partikler. Tilstanden anses for at være en partikel med momentum . ${\widehat {\Phi ))$ $b_{\textbf {k}}^{+},\,b_{\textbf {k}}$ $b_{\textbf {k}}|0\rangle =0$ ${\textbf {k))$ $|1_{\textbf {k}}\rangle =b_{\textbf {k}}^{+}|0\rangle$

Men i tilfælde af Hamiltonianerens (og følgelig vakuum- og exciterede tilstandes) afhængighed af tid, viser det sig, at tilstanden, som på et givet tidspunkt fortolkes som en partikel, ikke længere vil være en partikel på efterfølgende tidspunkter. Ikke desto mindre er det muligt at udvikle en simpel formalisme i tilfælde af et ikke-stationært vakuum, metoden til diagonalisering af den øjeblikkelige Hamiltonian [67] . Ifølge denne metode antages det, at på et eller andet tidspunkt, f.eks. , bliver Hamiltonianeren diagonaliseret, og skabelses- og udslettelsesoperatørerne findes ; her angiver indekset alle feltets kvantetal. Søgningen efter et sådant vakuum kan udføres ved at overveje ikke- interagerende felter og adiabatisk inkludere interaktionen (interaktionsparametrene) ved hjælp af faktoren . $t_{0}=-\infty$ $b_{A}^{+}(t_{0}),\,b_{A}(t_{0})$ $EN$ $t=-\infty$ ${\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow +0}e^{\lambda t))$

Operatørerne af fødsel og udslettelse på alle efterfølgende tidspunkter opnås ved hjælp af Bogolyubov-transformationerne

b_{A}(t)=u_{A}^{B}(t)b_{B}(t_{0})+v_{A}^{B}(t)b_{B}^{ +}(t_{0})

og transformationer opnået fra den givne konjugation (hermitisk eller kompleks). Funktionerne bestemmes ud fra betingelsen om opfyldelse af de tilsvarende kommuteringsrelationer og diagonaliseringen af Hamiltonianen på et givet tidspunkt . I denne formalisme, på grund af vakuumets ikke-ækvivalens, vil der på forskellige tidspunkter under systemets udvikling blive observeret fødsler og udslettelse af partikler (analogt med Unruh-effekten ). Antallet af partikler, der vil blive født på tidspunktet, er lig med $u(t),\,v(t)$ $t$ $t$

N_{0}(t)=\sum _{A}\langle t_{0}|a_{A}^{+}(t)a_{A}(t)|t_{0}\rangle .

En sådan korpuskulær fortolkning af ikke-invariante vakuum er ikke den eneste mulige.

Tyngdekraften som et Higgs-Goldstone-felt

For første gang om muligheden for at behandle en graviton som en guldsten[ klargør ] Geisenberg og Ivanenko påpegede . Senere blev denne idé udviklet fra forskellige synsvinkler [68] [69] [70] [71] [72] [73] . Dette afsnit giver en kort introduktion til problemet.

Måler tyngdekraften

Ifølge moderne synspunkter opstår felterne for fundamentale interaktioner fra behovet for invariansen af Lagrange-funktionen af stoffeltet med hensyn til lokale gauge-transformationer. Som vist tidligere, for at inkludere interaktionen mellem stoffeltet og målefeltet, erstattes den almindelige afledte af feltet med en kovariant afledet . Derudover ændres målefeltet på en bestemt måde under påvirkning af målertransformationer. Måletransformationer danner en kompakt Lie-gruppe .

Fra et geometrisk synspunkt er sporfelter forbindelser i et fiberrum i tilfælde af interne sporviddesymmetrier - i et rum med et lokalt trivielt bundt . Fibrerummet generaliserer konceptet med et tangentbundt , og erstatter tangentrummet i hvert punkt af manifolden med et vilkårligt vektorrum - for eksempel det komplekse rum i tilfælde af et ladet Klein-Gordon-felt eller rummet af et lepton - par ( ). Geometrien af teorien om målefelter er således meget lig relativitetsteorien . ${\displaystyle e,\,\nu _{e))$

På den anden side bør gravitationsfeltet betragtes som et målefelt med en vis symmetrigruppe . Det viser sig dog, at der er to målersymmetrier for gravitationsfeltet. Den første er givet ved generelle kovariante transformationer af tensormængder

{T'}_{\nu _{1}...\nu _{n))^{\mu _{1}...\mu _{m))={\frac {\partial x'^{\mu _{1))}{\partial x^{\alpha _{1))))\cdot ...\cdot {\frac {\partial x'^{\mu _{m} }}{\partial x^{\alpha _{m}}}}{\frac {\partial x^{\beta _{1}}}{\partial x'^{\nu _{1}}}} \cdot ...\cdot {\frac {\partial x^{\beta _{n))}{\partial x'^{\nu _{n)))))T_{\beta _{1}.. .\beta _{n}}^{\alpha _{1}...\alpha _{m}},

som udgør den matematiske afspejling af Einsteins generelle relativitetsprincip . Disse transformationer danner en gruppe . $GL(4,R)$

Men selve relativitetsprincippet fikserer ikke den (1 + 3)-dimensionelle pseudo-euklidiske struktur af rum-tid på nogen måde. Derudover tager generelle kovariante transformationer ikke højde for endnu en symmetri i den generelle relativitetsteori, nemlig symmetrien under rotationer, boosts og translationer i lokale referencerammer (rum-tidsmanifoldrum). For at tage højde for disse fakta introduceres den metriske tensor i teorien . Det er praktisk at repræsentere den metriske tensor i tetradformen , hvor indekserne angivet med latinske bogstaver afspejler de lokale Lorentz-indekser, tetraderne definerer overgangen mellem generelle kovariante og lokale Lorentz-indekser, og er Minkowski-tensoren. ${\displaystyle g^{\mu \nu))$ ${\displaystyle g^{\mu \nu }=\eta ^{ab}e_{a}^{\mu }e_{b}^{\nu ))$ $e_{a}^{\mu }$ ${\displaystyle \eta ^{ab}={\rm {diag}}{(1,-1,-1,-1)))$

Målefeltets generel kovariant symmetri kan let identificeres med forbindelsen af gravitationsfeltet ( Christoffel-symboler ) . Faktisk ligner udtrykkene for den kovariante afledte og gauge-transformationer af forbindelsen lignende udtryk for Yang-Mills-feltet ${\displaystyle \Gamma _{\mu \beta }^{\alpha ))$

\nabla _{\mu }A_{\beta }=\partial _{\mu }A_{\beta}-\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }A_{\alpha },

{\Gamma '}_{\mu \beta }^{\alpha }={\frac {\partial x'^{\alpha }}{\partial x^{\gamma }}}\left(\ Gamma _{\nu \sigma }^{\gamma }{\frac {\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\mu }}}\right){\frac {\partial x^{ \sigma }}{\partial x'^{\beta }}}+{\frac {\partial x'^{\alpha }}{\partial x^{\gamma }}}\partial '_{\mu } {\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial x'^{\beta }}}.

Samtidig er der ikke noget analogt udtryk for den metriske tensor (tetradfelt), og dens målestatus forbliver uklar.

Metrisk som et Higgs-Goldstone-felt

Denne idé blev i vid udstrækning udviklet af Ivanenko og Sardanashvili [72] [74] . I dette afsnit præsenterer vi dens vigtigste essens.

I mangel af et gravitationsfelt er rum-tidsmanifolden, såvel som handlingen af materielle felter, invariante under transformationerne af den inhomogene Lorentz-gruppe . Men når tyngdekraften er slået til, overtrædes systemets Lorentz-invarians. Der er en symmetribrud, hvor Higgs-Goldstone-feltet er forbundet med metrikken . ${\displaystyle g^{\mu \nu))$

Ikke desto mindre, som i tilfælde af krænkelse af interne målersymmetrier, kan den Lorentz-invariante Higgs-komponent, Minkowski-tensoren, skelnes i metrikken . Afvigelser fra Minkowski-metrikken (eller tilsvarende tetrads ) spiller rollen som Goldstone-komponenter. Men i modsætning til Yang-Mills-feltets symmetriskrydende billede, kan Goldstone-gravitationsfelterne annulleres på hvert punkt i rumtiden med et eller andet valg af måler (som det blev sagt, annullerer enhedsmåleren kun Goldstone-tilstandene for kompakte Lie-målegrupper) . Den geometriske årsag til dette er, at lokale transformationer i tangentrum kun virker på afledte som på vektorer i et fladt rum, hvor tangentrummet er det samme som sig selv. I et krumlinjet rum er vektorerne med hensyn til lokale transformationer mængderne . Således fører et forsøg på at beskrive hele den krumlinede rumtid udelukkende ved hjælp af Minkowski Higgs-metrikken kun til en overgang til den tetradeformalisme [74] . $\eta ^{\mu \nu }$ ${\displaystyle h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu}-\eta _{\mu \nu ))$ $e_{a}^{\mu }$ $\delvis_\mu$ ${\displaystyle e_{a}^{\mu }\partial _{\mu ))$

Tyngdekraften som en effekt af vakuumpolarisering

Et hint om, at gravitationsfeltet kan fortolkes på en måde svarende til Higgs-bosonen, er muligheden for at opnå Lagrangian af gravitationsfeltet under hensyntagen til vakuumpolarisering [75] , ligesom den effektive Lagrangian for Higgs-feltet blev opnået ovenfor. Overvej et system af felter i et buet rum. Hvis disse er skalære ikke-interagerende felter, har den tilsvarende handling formen $\varphi$

S_{m}=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu}\varphi \partial _{ \mu }\varphi -{\frac {1}{2}}m^{2}\varphi ^{2}+\xi R\varphi ^{2}\right),

hvor er determinanten for den metriske tensor ; _ Hvis vi introducerer et bestemt frøbegreb og tilføjer integration over det metriske felt og derefter integrerer over skalarfelter, så kan vi opnå en effektiv handling , hvorfra vi så kan vælge en Lagrangian-uafhængig form ${\sqrt {-g))$ $R$ $\xi$ $\xi =1/6$ $g$ ${\displaystyle S_{eff))$ $\varphi$

{\mathcal {L}}_{gr}={\sqrt {-g}}\venstre[-A+BR+CR_{\alpha \beta \mu \nu }R^{\alpha \beta \ mu \nu }+DR_{\mu \nu }R^{\mu \nu }+E\partial ^{2}R+FR+GC_{\alpha \beta \mu \nu }C^{\alpha \beta \mu \nu }\right],

hvor er nogle konstanter, hvis værdier afhænger af typen , er Riemann-kurvaturtensoren , er Ricci-tensoren , er Weil-tensoren . I tilfælde af skalarfelter , , , , , udtrykkes konstanten i form af feltspin, konstanterne begrænses ikke, når regulariseringen af konstanten fjernes, men de kan renormaliseres og udtrykkes i form af den kosmologiske konstant og gravitationskonstanten . $A,\,B,\,C,\,D,\,E,\,F,\,G$ $\varphi$ ${\displaystyle R_{\alpha \beta \mu \nu ))$ $R_{\mu \nu }$ ${\displaystyle C_{\alpha \beta \mu \nu ))$ $C={\frac {a}{180}}$ $D=-{\frac {a}{180}}$ $E={\frac {a}{5}}\left(\xi -{\frac {1}{6}}\right)$ $F={\frac {a}{2}}\left(\xi -{\frac {1}{6}}\right)^{2}$ $G=0$ $-en$ $A,\,B$

Det er også interessant, at for et bestemt sæt konstanter kan det frie gravitationsfelt ( ) kvantiseres, og den tilsvarende teori er renormaliserbar [76] . $A,\,B,\,C,\,D,\,E,\,F,\,G$ $R_{\mu \nu }=0$

Falsk vakuumbrud

Ofte har den potentielle energi (effektivt potentiale i kvantetilfældet) ikke et minimum, men flere. Forskellige vakuum svarer til forskellige energier. Vakuumet med den laveste energi kaldes sandt, og alle de andre kaldes falsk (falsk). Hvis systemets tilstand, som var et rigtigt vakuum, efter at have brudt symmetrien og dannet yderligere vakuum, blev falsk, vil systemet ikke umiddelbart gå ind i et sandt vakuum (f.eks. et dobbeltbrøndspotentiale med et lille hul kl. det punkt, hvor systemet er placeret). Hvis brønden er lavvandet, kan tilstrækkeligt intense eksterne fluktuationer overføre systemet til et nabovakuum med mindre energi. Hvis den potentielle brønd er dyb nok, så sker overgangen af systemet fra et metastabilt falsk vakuum til et sandt på grund af kvantetunneling . $\varphi=0$

Forfaldsdynamikken er som følger. På et bestemt punkt i rummet dannes et ægte vakuum, som fører til dannelsen af det samme sande vakuum på alle nabopunkter - boblen begynder at vokse med lysets hastighed, indtil den møder ekspansionsfronten af en anden boble. Energitætheden er hovedsageligt koncentreret på grænsen af boblerne, og indeni er de tomme.

Matematisk, når man beregner overgangsamplituden, vælges en sådan integrationskontur, så det er muligt at tage højde for den eksisterende instantonkonfiguration , som giver den fremherskende eksponentielle faktor for overgangsamplituden , hvor er værdien af handlingen for instantonet [ 63] . ${\displaystyle \varphi _{inst))$ ${\displaystyle \exp {(-S[\varphi _{inst}])))$ $S[\varphi _{inst}]>0$

Inflation som sammenbruddet af et falsk vakuum

Snesevis af faktorer indikerer tilstedeværelsen i det tidlige stadie af universets udvikling af fasen med eksponentiel ekspansion- inflation . På den anden side følger det af Friedmans kosmologiske model , at den acceleration , som kroppen modtager under påvirkning af stoffets tyngdekraft, er lig med $-en$

a=-{\frac {4}{3}}\pi G(\varepsilon +3P)R,

hvor er gravitationskonstanten , er energitætheden og trykket af stof i universet, er radius af den kugle, der indeholder stof (universets radius). Ved at have ligningen for stoffets tilstand , som relaterer tryk og tæthed, kan man beregne accelerationen. For alle stoffelter er tryk og energi derfor positive værdier, og universet trækker sig sammen. $G$ $\varepsilon ,\,P$ $R$ $a<0$

For det fysiske vakuum, hvor kontinuerlige processer med skabelse og udslettelse af virtuelle partikel-antipartikel-par forekommer, er trykket negativt og svarer i modul til energitætheden: . I dette tilfælde i mangel af stoffelter ${\displaystyle P_{vac}=-\varepsilon _{vac))$

a={\frac {8\pi G\varepsilon _{vac}}{3}}R={\frac {\Lambda }{3}}R.

Det kan så vises , at universet ekspanderer eksponentielt ( de Sitter ekspansion ). $R(t)=R_{0}\exp {({\sqrt {\Lambda /3}}t)}$

Men under afkølingen af det varme univers i perioden forud for inflationen, blev det fyldt med kvanter af felterne i Den Store Forening (for eksempel feltet ) med en tæthed på g/cm 3 , det vil sige, at det ikke var tomt overhovedet. Men på dette tidspunkt var universet allerede kølet nok ned til, at dette vakuum var falsk (se figur), og bobler af ægte vakuum ~ 10 -20 cm i størrelse begyndte at dannes i det, hvis radius steg med lysets hastighed. Da boblen er tom indeni, var dens ekspansion eksponentiel. Ved slutningen af inflationen var størrelsen af boblen 10 32 - 10 40 cm (størrelsen af universet, der er synligt nu, er 10 28 cm, det vil sige, vi lever helt i en sådan boble) [77] [78] . $SU(5)$ ${\displaystyle \varepsilon _{vac}/c^{2}\ca. 10^{74))$

Nobelpriser for forskning i spontan symmetribrud

Nedenfor er en liste over nobelprisvindere, hvis forskning er relateret til eller direkte relateret til spontan symmetribrud (2008, 2013).

1979 - Sheldon Glashow , Steven Weinberg og Abdus Salam - "for deres bidrag til den forenede teori om svage og elektromagnetiske vekselvirkninger mellem elementarpartikler, herunder forudsigelsen af svage neutrale strømme" [79] .
1982 - Kenneth Wilson - "for teorien om kritiske fænomener i forbindelse med faseovergange" [80] .
1999 - Gerard 't Hooft og Martinus Veltman - "for at belyse kvantestrukturen af elektrosvage interaktioner" [81] .
2008 - Yoichiro Nambu - "for opdagelsen af mekanismen for spontan symmetribrud i subatomær fysik "; og Makoto Kobayashi og Toshihide Masukawa "for deres opdagelse af kilden til symmetribrud, som gjorde det muligt at forudsige eksistensen af mindst tre generationer af kvarker i naturen" [82] .
2013 - François Engler og Peter Higgs - "for den teoretiske opdagelse af en mekanisme , der hjælper os med at forstå oprindelsen af massen af subatomære partikler , for nylig bekræftet af opdagelsen af den forudsagte elementarpartikel i ATLAS- og CMS - eksperimenterne ved Large Hadron Collider på CERN [83] .

Noter

↑ 1 2 Greenberger, Daniel M. Esoteriske elementarpartikelfænomener i bachelorfysik - spontan symmetribrud og skalainvarians // American Journal of Physics. - 1978. - T. 46 . - S. 394-398 .
↑ Raviola, Lisandro A og Veliz, Maximiliano E og Salomone, Horacio D og Olivieri, Nestor A og Rodriguez, Eduardo E. Bead on a rotating hoop revisited: an unexpected resonance // European Journal of Physics. - 2016. - T. 38 . - S. 015005 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Weinberg, Steven. Kvanteteorien om felter. Bind 2. Moderne applikationer (neopr.) . - Cambridge University Press , 1996. - ISBN 0521670543 .
↑ Olga Zakutnyaya. asymmetrisk respons . http://www.itogi.ru/ . Resultater (27. oktober 2008). Hentet 26. oktober 2019. Arkiveret fra originalen 26. oktober 2019. (Russisk)
↑ Encyclopedic Dictionary of a Young Physicist / Comp. V. A. Chuyanov .. - M . : Pædagogik, 1984. - S. 257 . — 252 s.
↑ John Earman. Curie-princippet og spontan symmetribrud // Internationale studier i videnskabsfilosofien. - 2004. - T. 18 . - S. 173-198 . - doi : 10.1080/0269859042000311299 . Arkiveret fra originalen den 14. august 2017.
↑ Vakarchuk, I. O. Kvantemekanik (neopr.) . - Lviv: LNU im. JEG. Franka, 2012. - S. 35-36. - ISBN 978-966-613-921-7 . Arkiveret 4. juni 2016 på Wayback Machine
↑ 1 2 3 Tkachuk, V.M. Grundlæggende problemer med kvantemekanik (neopr.) . - Lviv: LNU im. JEG. Frank, 2011. - ISBN 978-966-613-850-0 . Arkiveret 20. januar 2021 på Wayback Machine
↑ Cheng T.P., Li L.F. Gauge-teorier i partikelfysik . - M . : "Mir", 1987. - 624 s. - ISBN 978-5-458-27042-7 .
↑ Cheng T.P., Li L.F., 1987 , s. 156.
↑ Miransky VA, 1994 , s. 41.
↑ Miransky VA, 1994 , s. 42.
↑ Miransky VA, 1994 , s. 43.
↑ 1 2 Goldstone J. Felteorier med "Superleder"-løsninger // Nuovo Cimento. - 1961. - T. 19 . - S. 154-164 . - doi : 10.1007/BF02812722 . Arkiveret fra originalen den 6. juli 2020.
↑ 1 2 Goldstone J., Salam A., Weinberg S. Broken symmetries // Phys. Rev.. - 1962. - T. 127 . - S. 965 . - doi : 10.1103/PhysRev.127.965 . Arkiveret fra originalen den 26. oktober 2019.
↑ 1 2 Higgs, Peter W. Broken Symmetries and the Masses of Gauge Bosons // Phys. Rev. Lett.. - 1964. - T. 13 . - S. 508-509 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.13.508 . Arkiveret 27. maj 2020.
↑ Englert, F. og Brout, R. Broken Symmetry and the Mass of Gauge Vector Mesons // Phys. Rev. Lett.. - 1964. - T. 13 . - S. 321-323 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.13.321 . Arkiveret fra originalen den 28. oktober 2019.
↑ Steven Weinberg. Generel teori om brudte lokale symmetrier // Phys. Rev. D. - 1973. - T. 7 . - S. 1068-1082 . - doi : 10.1103/PhysRevD.7.1068 . Arkiveret fra originalen den 24. februar 2019.
↑ 12 Steven Weinberg . Tilnærmede symmetrier og pseudo-Goldstone-bosoner // Phys. Rev. Lett.. - 1972. - T. 29 . - S. 1698-1701 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.29.1698 . Arkiveret fra originalen den 2. marts 2019.
↑ Roger Dashen. Chiral SU(3)⊗SU(3) som en symmetri af de stærke interaktioner // Fysisk. Rev.. - 1969. - T. 183 . - S. 1245-1260 . - doi : 10.1103/PhysRev.183.1245 .
↑ Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Kvantefelter . - Moskva: "Nauka", 1980.
↑ 1 2 Weinberg, Steven. Kvanteteorien om felter. Bind 1. Fundamenter (neopr.) . - Cambridge University Press , 1995. - ISBN 0521550017 .
↑ Goldstone, Jeffrey og Salam, Abdus og Weinberg, Steven. Brudte symmetrier // Fysisk. Rev.. - 1962. - T. 127 . - S. 965-970 . - doi : 10.1103/PhysRev.127.965 .
↑ A. A. Slavnov. Wards identiteter i gauge-teorier // TMF. - 1972. - T. 10 . - S. 153-161 . - doi : 10.1007/BF01090719 .
↑ Taylor, JC Ward Identities and Charge Renormalization of the Yang-Mills Field // Nucl. Phys.. - 1971. - T. B33 . - S. 436-444 . - doi : 10.1016/0550-3213(71)90297-5 .
↑ t Hooft, Gerard. Renormaliserbare lagrangianer til massive Yang-Mills felter // Nucl. Phys.. - 1971. - T. B35 . - S. 167-188 . - doi : 10.1016/0550-3213(71)90139-8 . Arkiveret fra originalen den 26. oktober 2019.
↑ Lee, Benjamin W. Renormalizable Massive Vector-Meson Theory-Perturbation Theory of the Higgs Phenomenon // Phys. Rev. D. - 1972. - T. 5 . - S. 823 . - doi : 10.1103/PhysRevD.5.823 .
↑ Fujikawa, K. og Lee, BW og Sanda, AI Generaliseret renormaliserbar gauge-formulering af spontant brudte gauge-teorier // Fysisk. Rev.. - 1972. - T. D6 . - S. 2923-2943 . - doi : 10.1103/PhysRevD.6.2923 .
↑ Faddeev, LD og Popov, VN Feynman Diagrams for the Yang-Mills Field // Phys. Lett.. - 1967. - T. 25B . - S. 29-30 . - doi : 10.1016/0370-2693(67)90067-6 .
↑ Nambu, Yoichiro og Jona-Lasinio, G. Dynamisk model af elementarpartikler baseret på en analogi med superledning. 1 // Fysisk. Rev.. - 1961. - T. 122 . - S. 345-358 . - doi : 10.1103/PhysRev.122.345 .
↑ Nambu, Yoichiro og Jona-Lasinio, G. Dynamisk model af elementarpartikler baseret på en analogi med superledning. 2 // Fysisk. Rev.. - 1961. - T. 124 . - S. 246-254 . - doi : 10.1103/PhysRev.124.246 .
↑ Jackiw, R. og Johnson, K. Dynamisk model af spontant brudte målersymmetrier // Phys. Rev.. - 1973. - T. D8 . - S. 2386-2398 . - doi : 10.1103/PhysRevD.8.2386 .
↑ Schwinger, Julian S. Gauge invarians og masse // Phys. Rev.. - 1962. - T. 125 . - S. 397-398 . - doi : 10.1103/PhysRev.125.397 .
↑ Haymaker, Richard W. Dynamical Symmetry Breaking // Acta Phys. Polon.. - 1982. - T. B13 . - S. 575-605 . Arkiveret fra originalen den 26. oktober 2019.
↑ Bjorken, JD A Dynamisk oprindelse for det elektromagnetiske felt // Annals Phys.. - 1963. - Vol . 24 . - S. 174-187 . - doi : 10.1016/0003-4916(63)90069-1 .
↑ 1 2 Ginzburg, V. L. og Landau, L. D. Om teorien om superledning // JETP . - 1950. - T. 20 . - S. 1064 . (Russisk)
↑ Hugenholtz, NM og Pines, D. Ground-State Energy and Excitation Spectrum of a System of Interacting Bosons // Phys. Rev.. - 1959. - T. 116 . - S. 489-506 . - doi : 10.1103/PhysRev.116.489 .
↑ Chen, Xie og Gu, Zheng Cheng og Wen, Xiao Gang. Lokal enhedstransformation, langrækkende kvantesammenfiltring, bølgefunktionsrenormalisering og topologisk orden // Fysisk. Rev. B. - 2010. - T. 82 . - S. 155138 . - doi : 10.1103/PhysRevB.82.155138 . - arXiv : 1004.3835 .
↑ Rovenchak, A.A. Fysik af Bose-systemer (neopr.) . — Lviv: Vydavnichesky center LNU im. I. Franka, 2015.
↑ Pitaevsky, L.P. Vortex-filamenter i en ikke-ideal Bose-gas // Journal of Experimental and Theoretical Physics . - 1961. - T. 40 . - S. 646-651 .
↑ Glashow, S. L. Partielle symmetrier af svage interaktioner. - 1961. - T. 22 . - S. 579-588 . - doi : 10.1016/0029-5582(61)90469-2 .
↑ Weinberg, Steven. En model af leptoner. - 1967. - T. 19 . - S. 1264-1266 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.19.1264 .
↑ Salam A. Elementærpartikelteori: Relativistiske grupper og analyticitet / Nils Svartholm. - Almqvist & Wiksell, 1968. - S. 367. - ISBN 978-0-470-83842-6 .
↑ Georgi, H. og Glashow, S.L. Unity of All Elementary Particle Forces // Phys. Rev. Lett.. - 1974. - T. 32 . - S. 438-441 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.32.438 .
↑ Okun L. B. Leptoner og kvarker . - URSS, 2012. - S. 254-255. - ISBN 978-5-382-01375-6 .
↑ Georgi H., Partikler og felter - 1974, red. C. Carlson (Amer. Inst. of Physics, NY, 1975).
↑ Pati, Jogesh C. og Salam, Abdus. Unified Lepton-Hadron Symmetri and a Gauge Theory of the Basic Interactions // Phys. Rev.. - 1973. - T. D8 . - S. 1240-1251 . - doi : 10.1103/PhysRevD.8.1240 .
↑ 1 2 Witten, Edward. Dynamisk brud af supersymmetri // Nucl. Phys.. - 1981. - T. B188 . - S. 513 . - doi : 10.1016/0550-3213(81)90006-7 .
↑ Wess, J. og Zumino, B. Supergauge Transformations in Four-Dimensions // Nucl. Phys.. - 1974. - T. B70 . - S. 39-50 . - doi : 10.1016/0550-3213(74)90355-1 .
↑ Volkov, D.V. og Soroka, V.A. Higgs-effekt for Goldstone-partikler med spin 1/2 // JETP-bogstaver. — 1973}. - T. 18 . - S. 529-532 .
↑ Deser, Stanley og Zumino, B. Broken Supersymmetry and Supergravity, Phys. Rev. Lett.. - 1977. - T. 38 . - S. 1433-1436 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.38.1433 .
↑ O'Raifeartaigh, L. Spontaneous Symmetry Breaking for Chiral Scalar Superfields // Nucl. Phys.. - 1975. - T. B96 . - S. 331-352 . - doi : 10.1016/0550-3213(75)90585-4 .
↑ 1 2 Belavin AA, Polyakov AM, Schwarz AS, Tyupkin Yu.S., Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equations, Phys. Lett. B 59 , 85 (1975).
↑ 1 2 Polyakov, AM. Partikelspektrum i kvantefeltteori // Journal of Experimental and Theoretical Physics . - 1974. - T. 20 . - S. 430-433 .
↑ 1 2 't Hooft, Gerard. Magnetiske monopoler i Unified Gauge Theories // Nucl. Phys.. - 1974. - T. B79 . - S. 276-284 . - doi : 10.1016/0550-3213(74)90486-6 .
↑ 1 2 Nielsen, Holger Bech og Olesen, P. Vortex Line Models for Dual Strings // Nucl. Phys.. - 1973. - T. B61 . - S. 45-61 . - doi : 10.1016/0550-3213(73)90350-7 .
↑ 1 2 Ya. B. Zel'dovich, I. Yu. Kobzarev og L. B. Okun', Cosmological Consequences of Spontaneous Breaking of Discrete Symmetry, JETP 40 , 2 (1975).
↑ Bogomolny, E. B. Stabilitet af klassiske løsninger // Kernefysik. — 1976}. - T. 24 . - S. 861-870 .
↑ Zeldovich, Ya. B. og Khlopov, M. Yu. Om koncentrationen af relikviemagnetiske monopoler i universet // Physics Letters B. - 1978. - T. 79 . - S. 239-241 .
↑ Julia, B. og Zee, A. Poler med både magnetiske og elektriske ladninger i Nonabelian Gauge Theory // Phys. Rev.. - 1975. - T. D11 . - S. 2227-2232 . - doi : 10.1103/PhysRevD.11.2227 .
↑ 't Hooft, Gerard. Beregning af kvanteeffekterne på grund af en firedimensionel pseudopartikel // Fysisk. Rev.. - 1976. - T. D14 . - S. 3432-3450 . - doi : 10.1103/PhysRevD.18.2199.3, 10.1103/PhysRevD.14.3432 .
↑ 't Hooft, Gerard. Symmetri Breaking Through Bell-Jackiw Anomalies // Phys. Rev. Lett.. - 1976. - T. 37 . - S. 8-11 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.37.8 .
↑ 1 2 Coleman, Sidney R. The Fate of the False Vacuum. 1. Semiklassisk teori // Fysisk. Rev.. - 1977. - T. D15 . - S. 2929-2936 . - doi : 10.1103/PhysRevD.15.2929, 10.1103/PhysRevD.16.1248 .
↑ Callan, Jr., Curtis G. og Coleman, Sidney R. The Fate of the False Vacuum. 2. Første kvantekorrektioner, fys. Rev.. - 1977. - T. D16 . - S. 1762-1768 . - doi : 10.1103/PhysRevD.16.1762 .
↑ Skyrme, THR En ikke-lineær feltteori // Proc. Roy. soc. Lond.. - 1961. - T. A260 . - S. 127-138 . - doi : 10.1098/rspa.1961.0018 .
↑ Al Khawaja, Usama og Stoof, Henk. Skyrmioner i et ferromagnetisk Bose--Einstein-kondensat // Nature . - 2001. - Bd. 411 . — S. 918 .
↑ Grib A. A., Mamaev S. G., Mostepanenko V. M., Quantum effects in intense external fields, Moskva: Atomizdat, 1980.
↑ Joseph, A. og Solomon, AI Globale og infinitesimale ikke-lineære chirale transformationer // J. Math. Phys.. - 1970. - T. 11 . - S. 748-761 . - doi : 10.1063/1.1665205 .
↑ Isham, CJ og Salam, Abdus og Strathdee, JA Ikke-lineære realiseringer af rum-tidssymmetrier. Skalar- og tensortyngdekraft // Annals Phys.. - 1971. - T. 62 . - S. 98-119 . - doi : 10.1016/0003-4916(71)90269-7 .
↑ Ogievetsky V.I., Polubarinov I.V., ZhETF 21 , 1093 (1965).
↑ Ne'eman, Yuval og Sherry, TN Graded Spin-Extension of the Algebra of Volume Preserving Deformations // Phys. Lett.. - 1978. - T. 76B . - S. 413 . - doi : 10.1016/0370-2693(78)90895-X .
↑ 1 2 Sardanashvili G. A. (1998), doktorafhandling "Higgs model af det klassiske gravitationsfelt", http://www.g-sardanashvily.ru/D.Sc-Sard.pdf
↑ Sardanashvily, G. Gauge gravitation theory: Gravity as a Higgs field // Int. J. Geom. Meth. Mod. Fysisk.. - 2016. - T. 13 . - S. 1650086 . - doi : 10.1142/S0219887816500869 . - arXiv : 1602.06776 .
↑ 1 2 Ivanenko D.D., Pronin P.I., Sardanashvili G.A. Gauge Theory of Gravity (neopr.) . - Moskva: MGU Publishing House, 1985.
↑ Adler, Stephen L. Einstein Gravity as a Symmetri-Breaking Effect in Quantum Field Theory // Rev. Mod. Phys.. - 1982. - T. 54 . - S. 729 . - doi : 10.1103/RevModPhys.54.729 .
↑ Stelle, KS Renormalization of Higher Derivative Quantum Gravity // Phys. Rev.. - 1977. - T. D16 . - S. 953-969 . - doi : 10.1103/PhysRevD.16.953 .
↑ Linde, Andrei D. Et nyt inflationært univers-scenarie: en mulig løsning af horisonten, fladheden, homogeniteten, isotropi og primordiale monopolproblemer // Physics Letters B. - 1982. - V. 108 . - S. 389-393 .
↑ Albrecht, Andreas og Steinhardt, Paul J. Cosmology for Grand Unified Theories with Radiatively Induced Symmetri Breaking // Phys. Rev. Lett.. - 1982. - T. 48 . - S. 1220-1223 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.48.1220 .
↑ Nobelprisen i fysik 1979 . Nobelfonden . Hentet 17. juni 2012. Arkiveret fra originalen 22. juni 2012.
↑ Nobelprisen i fysik 1982 . Nobelfonden . Hentet 17. juni 2012. Arkiveret fra originalen 22. juni 2012.
↑ Nobelprisen i fysik 1999 . Nobelfonden . Hentet 17. juni 2012. Arkiveret fra originalen 22. juni 2012.
↑ Nobelprisen i fysik 2008 . Nobelfonden . Hentet 17. juni 2012. Arkiveret fra originalen 22. juni 2012.
↑ Nobelprisen i fysik 2013 . Nobelfonden . Hentet 8. oktober 2013. Arkiveret fra originalen 4. april 2015.

Litteratur

V. P. Shelest. SPONTANT SYMMETRIBRYDNING . Fysisk encyklopædi. Hentet: 30. september 2019. (Russisk)
Miransky VA Dynamisk symmetribrud i kvantefeltteorier. - Singapore: World Scientific, 1994. - 533 s. — ISBN 981-02-1558-4 .

Partikelklassifikationer
Hastighed i forhold til lysets hastighed	Tardions ( eller bradyoner) Luxons Hypotetisk: Tachyoner overbradyoner
Ved tilstedeværelsen af intern struktur og adskillelighed	Elementær partikel ( fundamental partikel ) sammensat partikel
Fermioner ved tilstedeværelsen af en antipartikel	Dirac fermioner Fermions merian
Dannes under radioaktivt henfald	α β γ δ ε n
Kandidater til rollen som mørkt stof partikler	WIMP Wimpzilla LSP NLSP
I den inflationære model af universet	Inflaton krumning
Ved tilstedeværelsen af en elektrisk ladning	ladet partikel neutral partikel
I teorier om spontan symmetribrud	Goldstone boson Goldstone fermion ( eller goldstino)
Efter levetid	stabile partikler Ustabile partikler
Andre klasser	virtuel partikel subatomare partikel antipartikler Ægte neutrale partikler Frie partikler Identiske partikler De og Kvasipartikler Hypotetiske partikler Resonanser