Frihedsgrader (fysik)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 23. september 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Frihedsgrader - karakteristika for bevægelsen af et mekanisk system . Antallet af frihedsgrader bestemmer det mindste antal uafhængige variable (generaliserede koordinater), der kræves for fuldt ud at beskrive tilstanden af et mekanisk system. Strenge teoretisk og mekanisk definition: antallet af frihedsgrader for et mekanisk system er dimensionen af dets staters rum , under hensyntagen til de pålagte begrænsninger.

Desuden er antallet af frihedsgrader lig med det samlede antal uafhængige andenordens ligninger (såsom Lagrange-ligningerne ) eller halvdelen af antallet af førsteordensligninger (såsom de kanoniske Hamilton-ligninger ), der fuldstændigt beskriver [1] systemets dynamik.

Det fysiske systems tilstand

Langt de fleste fysiske systemer kan ikke være i én, men i mange tilstande, beskrevet både af kontinuerlige (for eksempel kropskoordinater ) og diskrete (for eksempel kvantetal af en elektron i et atom ) variable. Uafhængige "retninger", variabler, der karakteriserer systemets tilstande, kaldes frihedsgrader .

Antallet af frihedsgrader er lig med det minimumsantal af sådanne variabler, der er nødvendige for en fuldstændig beskrivelse af systemets tilstand. For eksempel kan positionen af et matematisk pendul karakteriseres både ved vinklen af dets rotation omkring aksen og ved to koordinater for positionen af et materialepunkt i forhold til aksen. Et sådant pendul har imidlertid kun én frihedsgrad og ikke to (som det kunne se ud i det andet tilfælde), da rotationsvinklen alene er tilstrækkelig til at beskrive dette systems position til enhver tid.

Eksempler

Det enkleste mekaniske system - et materielt punkt i tredimensionelt rum - har tre frihedsgrader, da dets tilstand er fuldstændig beskrevet af tre rumlige koordinater.
Et absolut stivt legeme har seks frihedsgrader , da for fuldt ud at beskrive positionen af et sådant legeme er det nok at indstille tre koordinater for massecentrum og tre vinkler, der beskriver kroppens orientering (disse mængder er kendt i hverdagen livet som "vip, løft, drej", i luftfarten kaldes de " rulle , pitch , yaw "). De kaldes også Euler-vinkler (præcession, nutation og korrekt rotation).
Rigtige kroppe har et stort antal frihedsgrader (i størrelsesordenen af antallet af partikler, der udgør kroppen). Men i de fleste situationer viser det sig, at kun nogle få "kollektive" frihedsgrader er vigtigst, hvilket karakteriserer bevægelsen af kroppens massecenter, kroppens rotation , dens deformation , dens makroskopiske svingninger. Resten, mikroskopiske frihedsgrader, er umærkelige hver for sig, men opfattes på én gang, som f.eks. temperatur og tryk .

Generaliserede koordinater

Begrebet frihedsgrad er forbundet med et begreb som dimension. I matematik er dimension antallet af uafhængige variable , der er nødvendige for at beskrive et objekts tilstand, eller med andre ord, for at bestemme dets position i et eller andet abstrakt rum.

I den matematiske beskrivelse af et fysisk systems tilstand svarer N frihedsgrader til N uafhængige variable, kaldet generaliserede koordinater .

I tilfælde af kontinuerlige frihedsgrader antager de tilsvarende generaliserede koordinater en kontinuerlig række af værdier. Imidlertid kan diskrete frihedsgrader også overvejes.

Eksempler

For at beskrive positionen af cirklen på planet er tre parametre nok: to koordinater for centrum og radius, det vil sige, at rummet af cirkler på planet er tredimensionelt. Cirklen kan flyttes til ethvert punkt i planet, og dens radius kan ændres, så den har tre frihedsgrader.
For at bestemme koordinaterne for et objekt på et geografisk kort, skal du angive bredde- og længdegraden . Det tilsvarende rum kaldes derfor todimensionelt. Et objekt kan placeres hvor som helst, så hvert objekt på kortet har to frihedsgrader.
For at indstille flyets position skal du angive tre koordinater - ud over breddegrad og længdegrad skal du kende højden, hvor den er placeret. Derfor er rummet, hvori flyet befinder sig, tredimensionelt. Til disse tre koordinater kan der tilføjes en fjerde (tid) for at beskrive ikke kun flyets aktuelle position, men også tidspunktet. Hvis du tilføjer flyets orientering ( rulle , hældning , krøjning ) til modellen, tilføjes yderligere tre koordinater, og det tilsvarende abstrakte rum i modellen bliver syvdimensionelt.

Frihedsgrader i statistisk fysik og termodynamik

I statistisk fysik og termodynamik , når man taler om frihedsgrader, betyder de nogle gange et begreb, der er tæt forbundet med det ovenfor beskrevne, men noget modificeret.

Pointen er, at i dette tilfælde først og fremmest er den samlede energi pr. frihedsgrad af interesse. Og hver vibrationsgrad af frihed har både kinetisk og potentiel energi.

Den klassiske sætning om fordeling af energi over frihedsgrader [2] siger: ved termodynamisk ligevægt er den kinetiske energi i gennemsnit ensartet fordelt over alle frihedsgrader, kT /2 for hver frihedsgrad. I dette tilfælde, for hver frihedsgrad, som også har en potentiel energi (afhængigt af en given koordinat), lægges den potentielle energi også til systemets samlede energi, og for vibrationsfrihedsgrader, den gennemsnitlige kinetik og gennemsnit. potentielle energier er ens (denne erklæring er nøjagtig for harmoniske oscillatorer, men er god tilnærmelse og med en vis anharmonicitet).

Således viser det sig, at når man beregner systemets indre energi, tages der to gange højde for hver vibrationsgrad af frihed. Derfor bruges formlen nogle gange for at lette beregningen

kTN_{f}/2,

hvorved forstås antallet af frihedsgrader ikke i den sædvanlige betydning, men i betydningen fordelingen af den samlede energi, det vil sige, at hver vibrationsfrihedsgrad tages i betragtning to gange (som "vibrationskinetisk" plus som " vibrationspotentiale"), det vil sige i denne forstand kan vi sige, at hver vibrationsfrihedsgrad svarer til to frihedsgrader i termodynamisk forstand. De resterende frihedsgrader (translationel og rotation) tages i betragtning uden fordobling (da disse typer bevægelser svarer til nul - mere præcist ubetydelig - potentiel energi). $N_{f}$

I statistisk fysik forstås frihedsgrader således ofte som koordinater ikke i konfigurationsrummet , men i faserummet , dvs. betragte generaliserede koordinater og generaliserede momenta som forskellige frihedsgrader. I dette tilfælde ydes der i den klassiske tilnærmelse (det vil sige med nogle forbehold - bare ved tilstrækkelig høje temperaturer) bidrag til den samlede energi - for hver - kun dem, der kommer kvadratisk ind i udtrykket for energi. $kT/2$

Fryser frihedsgrader

Kvantemekaniske overvejelser viser, at forskellige frihedsgrader kan være aktive eller inaktive i følgende betydning: hvis en eller anden bevægelse har et diskret spektrum (og det diskrete spektrum svarer til enhver bundet tilstand), så kan det exciteres (systemet går til et højere energiniveau) kun når absorberet energi større end energiforskellen mellem den første exciterede tilstand og grundtilstanden (excitationsenergi). Derfor, hvis systemet (molekyle, atom) oprindeligt er i grundtilstanden, og der er en interaktion med en partikel, der kun kan afgive energi mindre end excitationsenergien (f.eks. med en foton med lavere energi eller med et molekyle, hvis bevægelsesenergi er mindre end denne tærskel), denne frihedsgrad manifesterer sig ikke på nogen måde (bevægelsen forbundet med den kan ikke opstå; mere præcist kan den ikke ændre sig, denne frihedsgrad forbliver i grundtilstanden). Dette kaldes frihedsgradsfrysning (selv i det samme system kan forskellige frihedsgrader have den samme eller forskellige excitationsenergier og derfor fryses ud eller ikke fryses ud for at interagere med partikler af forskellige energier) .

Dette gælder fuldt ud manifestationen af forskellige frihedsgrader ved forskellige temperaturer.

Ved en bestemt temperatur har partikelbevægelsesenergien en gennemsnitsværdi af størrelsesordenen k T , derfor vil alle frihedsgrader, hvis excitationsenergi er meget højere, blive frosset ud (de kan ignoreres i statistikker ). I denne henseende introduceres begrebet frysetemperatur (lig med excitationsenergien divideret med Boltzmann-konstanten ) for hver specifik frihedsgrad af hvert system (atom, molekyle, krystal osv.) . Ved meget lavere temperaturer end frysepunktet viser frihedsgraden sig ikke (den er i grundtilstanden og kan som regel blot ignoreres på nogen måde), ved meget højere temperaturer er frihedsgraden fuldstændig "tændt" og bevægelse langs den kan betragtes som klassisk, ved temperaturer i størrelsesordenen frysetemperaturen, gradvis [3] medtagelse af frihedsgraden, når temperaturen stiger, eller gradvis slukning, når den falder.

Det beskrevne forklarer ændringen i forskellige stoffers varmekapacitet med temperaturen. Klassisk statistisk fysik taler om en ensartet fordeling af energi over frihedsgrader (her forstås begrebet frihedsgrad i termodynamisk betydning, se ovenfor ) . Det er dog indlysende, at denne erklæring faktisk (under hensyntagen til den kvantemekaniske korrektion) kun bør anvendes på de "tændte" frihedsgrader, det vil sige undtagen de frosne. Derfor vil den molære varmekapacitet være

c={\frac {1}{2}}kN_{f},

hvor k er Boltzmann -konstanten, Nf er antallet af frihedsgrader af en given type i det pågældende system (især hvis vi taler om et sæt molekyler, hvor N er antallet af molekyler, i er antal frihedsgrader for et molekyle). $N_{f}=Ni,$

Frihedsgrader for et molekyle

Formlen for den indre energi af en ideel gas [4] :

U={\frac {i}{2}}\cdot {\frac {m}{\mu }}RT

og den direkte relaterede formel for den gennemsnitlige energi af et ideelt gasmolekyle

U_{1}={\frac {i}{2}}kT

hvor

jeg

er antallet af frihedsgrader for et gasmolekyle,

\nu ={\frac {m}{\mu ))

- mængde af gas ( - masse , - molær masse af gas),

m

\mu

R

er den universelle gaskonstant ,

k

er Boltzmann konstanten ,

T

er gassens absolutte temperatur .

Molekylets frihedsgrader er frosset ud som beskrevet i afsnittet ovenfor, hvilket betyder, at det effektive i i formlen afhænger af temperaturen og generelt set ikke uden videre kan beregnes på en klassisk mekanisk måde.

Alle rotationsfrihedsgrader for monoatomiske molekyler og rotationsfrihedsgraden svarende til rotation omkring længdeaksen for lineære (i egentlig geometrisk forstand) molekyler er frosset ud (det vil sige, de skal ikke tages i betragtning i i ) altid, da deres frysetemperaturer er så høje, at dissociationen af molekyler sker meget tidligere, end disse temperaturer nås.

Se også

Noter

↑ Antyder klassisk dynamik, her mener de bevægelsesligningerne . Men i det mindste i princippet, til kvantebeskrivelsen, kan der anvendes operatorligninger, der praktisk talt er sammenfaldende i form.
↑ Det er kun sandt i sin rene form i den klassiske (det vil sige ikke-kvante) tilnærmelse, og når man forsøger at anvende den ret konsekvent, fører den til uoverensstemmelse med erfaring og endda paradokser, såsom den ultraviolette katastrofe ; det er dog også vigtigt for kvantetilfældet, selvom dets formulering bør ændres kraftigt. Se også senere i denne artikel (hvoraf det følger, at med tilstrækkeligt hensyn til kvantekorrektioner, kan selv en rent klassisk sætning bruges.
↑ Gradvis på grund af den jævne termiske fordeling.
↑ Nikerov. V. A. Fysik: lærebog og workshop for akademiske bachelorstuderende. - Yurayt, 2015. - S. 127-129. - 415 s. - ISBN 978-5-9916-4820-2 .

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk norsk Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	J9U : 987007545601105171 LCCN : sh85036480