Matematisk formel

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 3. juni 2021; checks kræver 5 redigeringer .

Matematisk formel (fra lat. formel - diminutiv af forma - billede, udseende) i matematik , samt fysik og andre naturvidenskaber - en symbolsk optegnelse af et udsagn (som udtrykker en logisk påstand [1] ), eller en form for en erklæring [2] . En formel er sammen med termer en slags formaliseret sprogudtryk. I bredere forstand er en formel enhver ren symbolsk notation (se nedenfor ), i modsætning til forskellige udtryksmæssige måder, der har en geometrisk konnotation: tegninger , grafer , diagrammer , grafer osv.

Grundlæggende typer af (numeriske) formler

Som regel indeholder formlen variabler (en eller flere), og selve formlen er ikke bare et udtryk, men en form for bedømmelse . En sådan bedømmelse kan sige noget om variablerne, eller den kan sige noget om de involverede operationer. Den nøjagtige betydning af en formel antydes ofte fra konteksten og kan ikke forstås direkte ud fra dens form. Der er tre almindelige tilfælde:

Formlen skal fortælle dig, hvordan du slår værdierne af variablen op ( ligninger osv.);
En formel (skrevet som " opslag = udtryk ") definerer en værdi i form af dens parametre (svarende til tildeling i programmering og nogle gange skrevet med en digraf ":=" som i Pascal , men kan i princippet betragtes som et degenereret specialtilfælde af en ligning);
En formel er et egentligt logisk udsagn: en identitet (for eksempel et aksiom), et udsagn om en sætning osv.

Ligninger

En ligning er en formel, hvis ydre (øvre) led er en binær lighedsrelation . Et vigtigt træk ved ligningen er imidlertid også, at symbolerne, der er inkluderet i den, er opdelt i variabler og parametre (tilstedeværelsen af sidstnævnte er dog ikke nødvendig). For eksempel er en ligning, hvor x er en variabel. Værdierne af den variabel, for hvilken ligheden er sand, kaldes ligningens rødder : i dette tilfælde er det de to tal 1 og -1 . Som regel, hvis ligningen for en variabel ikke er en identitet (se nedenfor), så er ligningens rødder en diskret, oftest endelig (muligvis tom ) mængde. $x^{2}=1$

Hvis ligningen indeholder parametre, så er dens betydning at finde rødderne til de givne parametre (det vil sige værdien af den variabel, som ligheden er sand for). Nogle gange kan dette formuleres som at finde den implicitte afhængighed af en variabel af en eller flere parametre. For eksempel forstås det som en ligning for x (dette er det sædvanlige bogstav for en variabel sammen med y , z og t ). Ligningens rødder er kvadratroden af a (det antages, at der er to af dem med forskellige fortegn). En sådan formel definerer i sig selv kun en binær relation mellem x og a , og kan forstås omvendt som en ligning på a med hensyn til x . I dette elementære tilfælde kan vi hellere tale om at definere a gennem x : . $x^{2}=a$ $a=x^{2}$

Identiteter

Identitet er et forslag, der er sandt for alle værdier af variablerne. Normalt betyder identitet identisk sand lighed, selvom der uden for identiteten kan være ulighed eller et andet forhold. I mange tilfælde kan identitet forstås som en egenskab ved de operationer, der bruges i den , for eksempel, identitet hævder kommutativiteten af addition. $a+b=b+a$

Ved hjælp af en matematisk formel kan ret komplekse sætninger skrives i en kompakt og praktisk form. Formler, der bliver sande i enhver substitution af variable med specifikke objekter fra et eller andet område, kaldes identisk sande i dette område. For eksempel: "for enhver a og b finder lighed sted ". Denne identitet kan udledes af aksiomer for addition og multiplikation i en kommutativ ring , som også selv har form af identiteter. ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2))$

Identiteten må ikke indeholde variable og være en aritmetisk (eller en anden) lighed, såsom . $6^{3}=3^{3}+4^{3}+5^{3}$

Tilnærmede ligheder

For eksempel: — omtrentlig lighed for små ; $x\approx \sin(x)$ $x$

Uligheder

Ulighedsformlen kan forstås i begge betydninger beskrevet i begyndelsen af afsnittet: som en identitet (f.eks. Cauchy-Bunyakovsky-uligheden ) eller, som en ligning, som et problem med at finde en mængde (mere præcist, en delmængde af domænet), som en variabel kan høre til, eller variabler .

Anvendte operationer

Dette afsnit vil liste de operationer, der bruges i algebra , samt nogle almindeligt anvendte funktioner fra calculus .

Addition og subtraktion

Tegnene " + " og " - " bruges (sidstnævnte i skrift er ret svagt skelnes fra en bindestreg ). Det unære minus bruges oftere kun for det første (venstre) udtryk, da andre tilfælde, såsom " a + (− b )" og " a − (−b)", ikke adskiller sig i betydningen fra det simplere " a − b ” og “ a + b ” henholdsvis.

På grund af additionens associativitet giver det ikke matematisk mening at placere parenteser for at angive rækkefølgen, som addition udføres i. I algebra refererer termer til både additions- og subtraktionsargumenter. Subtraktionsrækkefølgen, i mangel af parenteser, er sådan, at kun udtrykket skrevet umiddelbart til højre for subtraktionstegnet viser sig at blive subtraheret, og ikke resultatet af at udføre nogen additions- og subtraktionsoperationer skrevet til højre. Med et minustegn er det således kun de "udtryk", der indgår i summen, umiddelbart til venstre for hvilke der er et "−"-tegn.

Multiplikation

Multiplikationstegnet er oftest udeladt. Dette forårsager ikke tvetydighed, da variabler normalt er angivet med enkelte bogstaver, og det giver ingen mening at skrive multiplikationen af konstanter skrevet i tal af hinanden. I sjældne tilfælde, hvor tvetydighed ikke kan undgås, er multiplikation angivet med et lodret centreret priksymbol "·". Symbolet "×" bruges kun i skoleregning, i tekniske tekster (i en særlig sammenhæng), og nogle systemer indsætter det i stedet for multiplikationstegnet, når formlen overføres til en anden linje (normalt undgås overførsel med multiplikationstegn) .

Division

Division i formler skrives med en brøklinje. I skoleregning bruges også "÷" ( obelus ).

Eksponentiering

Elementære funktioner

Absolut værdi, fortegn osv.

Operatørpræference og parenteser

En operations eller operatørs forrang, rang eller anciennitet er en formel egenskab for en operatør/operation, der påvirker rækkefølgen af dens udførelse i et udtryk med flere forskellige operatører i mangel af en eksplicit (ved hjælp af parentes) angivelse af den rækkefølge, hvori de bliver vurderet. For eksempel er multiplikationsoperationen normalt prioriteret højere end additionsoperationen, så i udtrykket vil først produktet af y og z blive opnået og derefter summen.

Eksempler

For eksempel:

$2+2=5$ - et eksempel på en formel, der har værdien "false";

$y=\ln(x)+\sin(x)$ er en funktion af et reelt argument;

$z={\frac {y^{3}}{y^{2}+x^{2}}}$ - en funktion af flere argumenter (en graf over en af de mest bemærkelsesværdige kurver - Agnesi verzier );

$y=1-|1-x|$ er en ikke-differentierbar funktion i et punkt (en kontinuerlig stiplet linje har ingen tangent); $x=1$

$x^{3}+y^{3}=3axy$ - en ligning, det vil sige en implicit funktion (en graf af den " kartesiske liste " -kurve );

$t_{n}=n!$ er en heltalsfunktion ;

$y=y^{3}\sin(nx)$ er en jævn funktion ;

$y=\operatørnavn {tg} (x)$ er en ulige funktion ;

$f(P)={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ er punktets funktion, afstanden fra punktet til oprindelsen af (kartesiske) koordinater;

$y={\frac {1}{x-3}}$ er en diskontinuerlig funktion i punktet ; $x=3$

$x=a[t-\sin(t)]\,;\ y=a[1-\cos(t)]$ er en parametrisk defineret funktion (plot af en cykloid );

${\displaystyle y=\ln(x),\ x=e^{y))$ — direkte og omvendte funktioner;

$f(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}|f(t)|\,dt$ er en integralligning.

I filateli

Matematiske formler er ofte afbildet på frimærker fra forskellige lande, for eksempel på dem, der er dedikeret til berømte videnskabsmænd, der repræsenterer de mønstre, de opdagede. En række frimærker dedikeret til selve de matematiske formler er bemærkelsesværdig. Dette er et Nicaraguansk postnummer fra 1971 , en serie på 10 frimærker kaldet Las 10 formulas matematicas que cambiaron la faz de la Tierra . De repræsenterer Pythagoras sætning , Arkimedes' lov , Newtons lov , Tsiolkovskys formel, de Broglies formel , Einsteins formel osv. På bagsiden af hvert stempel er der en beskrivelse af den tilsvarende formel ( Sc #877-881 ,C761-C765) .

Se også

Et algebraisk udtryk er en matematisk notation, der ikke udtrykker en fuldstændig tanke.
Udtryk (matematik)
Interpolationsformler
Tilbagevendende formel
transcendental funktion
Simpson formel
Euler formel
ISO 31

Noter

↑ Chupakhin, Brodsky, 1977 , s. 200.
↑ Kolmogorov, Dragilin, 2006 , s. 13-15.

Litteratur

Chupakhin I.Ya., Brodsky I.N. formel logik. - Leningrad: Leningrad University Press, 1977. - 357 s.
Kolmogorov A.N. , Dragilin A.G. Matematisk logik. - M. : KomKniga, 2006. - 240 s. - ISBN 5-484-00520-5 .