En topologisk gruppe ( kontinuerlig gruppe ) er [1] en gruppe , der også er et topologisk rum , og multiplikationen af elementer i gruppen G × G → G og operationen med at tage det inverse element G → G er kontinuerlige i den anvendte topologi .
Det følger direkte af ovenstående definition, at venstre og højre skiftoperationer, såvel som konjugationsoperationen, traditionelt betegnet med bogstaverne l , r , a og defineret af lighederne
l g ( h ) = gh , r g ( h ) = h g , a g ( h ) = ghg- 1 ,er homøomorfier af rummet G på sig selv.
En isomorfi af en topologisk gruppe G på en topologisk gruppe H er [2] en bijektiv afbildning af gruppen G på H , som både er en isomorfi af gruppestrukturen i G på gruppestrukturen i H og en homeomorfi af G på H .
Begrebet en topologisk gruppe generaliserer forestillingen om en Lie-gruppe ; sidstnævnte kræver, at operationerne med at multiplicere elementer og tage det omvendte element ikke kun er kontinuerlige, men også analytiske eller holomorfe (i dette tilfælde introduceres ikke kun topologien på gruppen, men også strukturen af en analytisk eller kompleks manifold) .
| Gruppeteori | |
|---|---|
| Basale koncepter | |
| Algebraiske egenskaber | |
| begrænsede grupper |
|
| Topologiske grupper |
|
| Algoritmer på grupper | |