Evolution operatør

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 6. september 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Evolutionsoperatoren ( generator af evolution i tid ) er en operator i kvantemekanik , givet på et Hilbert-rum , som overfører systemets tilstand fra det første tidspunkt af tid til et hvilket som helst andet.

Forbindelse af evolution-operatoren med Hamilton-operatoren

Evolutionsoperatoren er relateret til Hamilton-operatoren med følgende formler:

${\hat S}(t,t_{0})=T\venstre\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{{t_{0}}}^{ t}H(t')\,dt'}\right)\right\},t>t_{0}$

${\hat S}(t,t_{0})=\overline {T}\left\{\exp \left(({\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{{t_ {0}}}H(t')\,dt'}\right)\right\},t<t_{0}$

hvor er tidsbestillings- og anti-bestillingsoperatørerne. $T,\overline {T}$

Især hvis Hamiltonian ikke er afhængig af tid, så har evolutionsoperatøren formen:

${\hat S}(t,t_{0})=e^{{-i{\hat H}(t-t_{0})/\hbar }}$

Evolutionsoperatorens egenskaber

1. [1] er en enhedsoperatør. ${\hat S}(t_{2},t_{1})$

2. . ${\hat {S}}(t_{3},t_{2}){\hat {S}}(t_{2},t_{1})={\hat {S}}(t_{ 3},t_{1}),\forall \,t_{1},t_{2},t_{3}$

3. [2] , hvor er identitetsoperatøren. ${\hat {S}}(t,t_{1}){\hat {S}}(t_{1},t)={\hat {I}},\forall \,t_{1} ,t$ ${\hat jeg}$

Afledning af forholdet mellem evolutionsoperatoren og Hamiltonianeren

Ifølge kvantemekanikkens postulater er systemets rene tilstand beskrevet af en vektor fra Hilbert-rummet . Vi introducerer en operatør , der handler efter reglen: $|\psi\rangle$ ${\hat S}(t,t_{0})$

{\hat S}(t,t_{0})\venstre|\Psi (t_{0})\right\rangle =\venstre|\Psi (t)\right\rangle

Den indførte operator skal være ensartet, således at normaliseringen af tilstandsvektoren bevares i tid. I Schrödinger-repræsentationen opfylder tilstandsvektoren Schrödinger-ligningen:

{\hat H}(t)\venstre|\Psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\Psi (t)\right\rangle ,

hvor er Hamilton-operatøren . ${\hat H}(t)$

Hvis Hamiltonian ikke er afhængig af tid, så - er en løsning af Schrödinger-ligningen. Det følger, at evolutionsoperatoren har formen: $\left|\Psi (t)\right\rangle =e^{{-i{\hat H}(t-t_{0})/\hbar }}\left|\Psi (t_{0})\right \rækkevidde$

{\hat S}(t,t_{0})=e^{{-i{\hat H}(t-t_{0})/\hbar }}

Lad nu Hamilton-operatøren afhænge af tid og lad . Derefter opdeler vi det betragtede tidsinterval i intervaller og antager, at i hvert af disse intervaller er Hamilton-operatoren konstant , ved . Så til enhver tid, ifølge den tidligere begrundelse, har tilstandsvektoren formen: $t_{0}<t$ $(t_{n},t_{{n+1}})$ ${\hat H}(t)={\hat H}(t_{n})$ $t_{n}<t\leq t_{{n+1}}$

\left|\Psi (t)\right\rangle =e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }}\left|\Psi (t_ {n})\right\rangle =e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }}\dots e^{{-i{\hat H}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }}e^{{-i{\hat H}(t_{0})(t_{1}-t_{0 })/\hbar }}\venstre|\Psi (t_{0})\right\rangle

Lad os nu introducere tidsbestillingsoperatøren , som fungerer i henhold til følgende regel: $T$

T\{{\hat H}(t_{{P(m)))){\hat H}(t_{{P(m-1))))\prikker {\hat H}_{{P(1 )}}\}={\hat H}(t_{m}){\hat H}(t_{{m-1)))\dots {\hat H}(t_{1})

for , for enhver permutation . $t_{1}\leq t_{2}\leq \dots \leq t_{{m}}$ $P(1,2\prikker ,m)$

Med dette i tankerne kan bølgefunktionen skrives som:

\left|\Psi (t)\right\rangle =T\left\{e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }}\dots e^{{-i{\hat H}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }}e^{{-i{\hat H}(t_{0}) (t_{1}-t_{0})/\hbar }}\right\}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

For pendleroperatører er det rigtigt, at . Da operatørerne under T - bestilling pendler, omskrives sidstnævnte som: ${\hat A},{\hat B}$ $e^{{{\hat A}}}e^{{{\hat B}}}=e^{{{\hat A}+{\hat B}}}$

\left|\Psi (t)\right\rangle =T{\Big \{}e^{{-i\sum \limits _{{i=0}}^{{n}}{\hat H}( t_{i})\Delta t_{i}/\hbar }}{\Big \}}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

Når vi får det $n\højrepil\infty$

\left|\Psi (t)\right\rangle =T{\Big \{}e^{-i\int \limits _{t_{0}}^{t}{\hat {H}} (t')dt'/\hbar }{\Big \}}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

Derfor

{\hat S}(t,t_{0})=T\venstre\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{{t_{0}}}^{ t}H(t')\,dt'}\right)\right\},t>t_{0}

Overvej nu operatøren for . Dette er det samme, hvis vi betragter kl . Lad os bruge det faktum ${\hat S}(t,t_{0})$ $t<t_{0}$ ${\hat S}(t_{0},t)$ $t_{0}<t$ ${\hat S}(t_{0},t){\hat S}(t,t_{0})={\hat I}$

hvor er identitetsoperatøren. ${\hat jeg}$

Derefter:

\lim _{{n\rightarrow 0}}{\hat S}(t_{0},t)e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/ \hbar }}\dots e^{{-i{\hat H}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }}e^{{-i{\hat H} (t_{0})(t_{1}-t_{0})/\hbar }}={\hat I}

og ved direkte verifikation bekræfter vi det

{\hat S}(t_{0},t)=\lim _{{n\rightarrow 0}}e^{{i{\hat H}(t_{0})(t-t_{0})/ \hbar }}\dots e^{{i{\hat H}(t_{{n-1}})(t_{n}-t_{{n-1}})/\hbar }}e^{{ -i{\hat H}(t)(t-t_{n})/\hbar }}=\overline {T}\left\{\exp \left(({\frac {i}{\hbar }} \int _{{t_{0}}}^{{t}}H(t')\,dt'}\right)\right\},t>t_{0}

hvor er tidspunktet anti-bestillingsoperatør. $\overline {T}$

Noter

↑ Evolutionsoperatoren skal være ensartet, så normaliseringen af tilstandsvektoren bevares i tid . $\langle \Psi (t)|\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle$
↑ Ejendom 3 er en konsekvens af ejendom 2.

Se også

Litteratur

Stefanucci, Gianluca. Nonequilibrium mange-legeme teori om kvantesystemer: en moderne introduktion / Gianluca Stefanucci, Robert van Leeuwen. - Cambridge: Cambridge University Press, 2013. - S. 81-85. — ISBN 9781139023979 .