Lee gruppe

En Lie-gruppe over et felt ( eller ) er en gruppe udstyret med strukturen af en differentierbar (glat) manifold over , med kort og defineret som følger: $K$ $K=\mathbb{R}$ $\mathbb {C}$ $G$ $K$ $\operatørnavn {mul}$ $\operatørnavn {inv}$

\operatørnavn {mul}\colon G\ gange G\højrepil G;\ \operatørnavn {mul}\,(x,y)=xy

\operatørnavn {inv}\colon G\rightarrow G;\ \ \operatørnavn {inv}\,x=x^{{-1}}

er glatte (i tilfælde af et felt kræver de, at de indførte kortlægninger er holomorfe ). $\mathbb {C}$

Med andre ord kaldes en topologisk gruppe en Lie-gruppe, hvis den er parametrisk , og hvis funktionen, der definerer multiplikationsloven, er realanalytisk [1] .

Enhver kompleks -dimensionel Lie-gruppe er en ægte Lie-gruppe af dimensioner . Enhver kompleks Lie-gruppe er per definition en analytisk mangfoldighed, men i det virkelige tilfælde, på enhver Lie-gruppe, er der et analytisk atlas , hvor afbildningerne og er skrevet af analytiske funktioner . $n$ $2n$ $\operatørnavn {mul}$ $\operatørnavn {inv}$

Studiet af Lie-grupper blev startet uafhængigt af Wilhelm Killing og Sophus Lie .

Løgngrupper opstår naturligt, når man overvejer kontinuerlige symmetrier . For eksempel danner planbevægelser en Lie-gruppe. Løgngrupper er, i betydningen rigdom af struktur, det bedste af manifolder, og er som sådan meget vigtige i differentialgeometri og topologi . De spiller også en vigtig rolle i geometri, fysik og teorien om differentialligninger .

Løgngruppetyper

Løgngrupper klassificeres efter deres algebraiske egenskaber ( simpelhed , semisimplicitet , afgørelighed , nilpotency , abelianitet ) såvel som deres topologiske egenskaber ( forbundethed , simpelt forbundethed og kompakthed ).

Løgn undergrupper

En undergruppe af en Lie-gruppe kaldes dens Lie-undergruppe , hvis den er en undervarietet i sorten , det vil sige, der er sådan, der er specificeret i nærheden af hvert af dens punkter af et system af funktioner med rang . Ikke alle undergrupper er en Lie-undergruppe: for eksempel er en undergruppe af par af formen i en torus ikke en Lie-undergruppe (det giver en overalt tæt vikling af torusen). En Lie undergruppe er altid lukket. I det virkelige tilfælde er det omvendte også sandt: en lukket undergruppe er en Lie undergruppe. I det komplekse tilfælde er dette ikke tilfældet: Der er reelle Lie-undergrupper af en kompleks Lie-gruppe, der har en ulige dimension, såsom enhedsmatricer i gruppen af inverterbare komplekse matricer . $H$ $G$ $G$ $m>0$ $H$ $s$ $k$ $s$ $m$ $(e^{{ix}},e^{{i\pi x}})$ $\{(e^{{ix}},e^{{iy}})\mid x,y\in \mathbb{R} \}$ $2 gange 2$

Lad være en Lie undergruppe af Lie gruppen . Sættet af cosets (uanset om det er venstre eller højre) kan unikt udstyres med strukturen af en differentierbar manifold på en sådan måde, at den kanoniske projektion er en differentierbar mapping. I dette tilfælde opnås et lokalt trivielt bundt, og hvis det er en normal undergruppe af , så er kvotientgruppen en Lie-gruppe. $H$ $G$ $G/H$ $H$

Homomorfismer og isomorfier

Lad og være Lie-grupper over samme felt. En homomorfi af Lie-grupper er en kortlægning , der er en homomorfi af grupper og samtidig en analytisk kortlægning af manifolder (det kan påvises, at kontinuitet er tilstrækkelig til, at sidstnævnte betingelse er opfyldt ). Sammensætningen af homomorfismer af Lie-grupper er igen en homomorfi af Lie-grupper. Klasserne af alle reelle og alle komplekse Lie-grupper danner sammen med de tilsvarende homomorfismer kategorierne og . En Lie gruppe homomorfi kaldes en isomorfisme , hvis der er en invers. To Lie-grupper, mellem hvilke der er en isomorfisme, siges som sædvanligt i abstrakt algebra at være isomorfe. Som sædvanlig skelnes Lie-grupper kun op til isomorfisme. For eksempel er Lie-gruppen af planrotationer med kompositionsoperationen og Lie-gruppen af komplekse tal modulo en med multiplikationsoperationen isomorfe. $G$ $H$ $f\kolon G\til H$ $f$ $\operatørnavn {Lie}_{\mathbb{R} }$ $\operatorname {Lie} _{\mathbb {C} }$ $SO(2)$ $U(1)$

Et eksempel på en irrationel vikling af en torus viser, at billedet af en Lie-gruppe under en homomorfi ikke altid er en Lie-undergruppe. Det omvendte billede af en Lie-undergruppe under en homomorfi er dog altid en Lie-undergruppe.

En homomorfi af en Lie-gruppe over et felt til en gruppe af ikke- degenererede lineære transformationer af et vektorrum over et felt kaldes en repræsentation af gruppen i rummet . $G$ $K$ $GL(V)$ $V$ $K$ $G$ $V$

Handlinger af Lie grupper

Lie-grupper fungerer ofte som symmetrier af en eller anden struktur på en manifold, og derfor er det naturligt, at studiet af Lie-gruppers handlinger på forskellige manifolds er en vigtig del af teorien. En Lie-gruppe G siges at virke på en glat manifold M , hvis der er givet en gruppehomomorfi a : G → Diff M , hvor Diff M er diffeomorfigruppen af M. Således skal hvert element g i gruppen G svare til en diffeomorf transformation a g af mangfoldigheden M , og produktet af elementer og tage det inverse element svarer til henholdsvis sammensætningen af diffeomorfismer og den inverse diffeomorfi. Hvis det fremgår tydeligt af konteksten, hvilken handling vi taler om, så er billedet a g ( m ) af punktet m under diffeomorfien defineret af elementet g blot betegnet med gm .

Lie-gruppen virker naturligt på sig selv ved venstre og højre forskydninger, såvel som konjugationer. Disse handlinger er traditionelt betegnet med l , r og a :

l_{g}(h)=gh

r_{g}(h)=hg

{\displaystyle a_{g}(h)=ghg^{-1))

Et andet eksempel på en handling er handlingen af en Lie-gruppe på sættet af cosets af denne gruppe med hensyn til en Lie-undergruppe : $G$ $N\leq G$

g(hN)=(gh)N

En handling af en Lie -gruppe på en differentierbar manifold M siges at være transitiv , hvis ethvert punkt kan føres til et andet ved hjælp af et element . En manifold, hvorpå der gives en transitiv handling af en Lie-gruppe, kaldes denne gruppes homogene rum . Homogene rum spiller en vigtig rolle i mange grene af geometri. Det homogene rum i gruppen er diffeomorf , hvor er stabilisatoren af et vilkårligt punkt. $G$ $M$ $G$ $G$ $G/{\mathop {\rm {st)) }(x)$ ${\mathop {\rm {st)) }(x)$

Lie-algebraen for Lie-gruppen

Lie-algebraen bestemmer fuldstændigt den lokale struktur af sin Lie-gruppe.

Et vektorfelt på en Lie-gruppe siges at være efterladt invariant , hvis det pendler med venstreforskydninger, dvs. $G$

X(l_{g}^{*}(f))=l_{g}^{*}(X(f))

for alle og enhver differentierbar funktion .

g

G

f

Tilsvarende

{\displaystyle dl_{g}X_{p}=(l_{g})_{*}X_{p}=X_{gp))

for alle fra .

s

g

G

Det er klart, at ethvert venstre-invariant vektorfelt på en Lie-gruppe er fuldstændig bestemt af dets værdi ved enhed. Tværtimod kan man ved at sætte en vilkårlig vektor i tangentrummet til enhed sprede den ved venstreforskydninger over hele gruppen. En en-til-en overensstemmelse opnås mellem tangentrummet til gruppen ved identiteten og rummet af venstre-invariante vektorfelter. $x$ $X_{e}$ $x$ $T_{e}G$

Lie -parentesen af venstreinvariante vektorfelter vil være et venstreinvariant vektorfelt. Derfor er en Lie-algebra . Denne algebra kaldes gruppens Lie-algebra . (Algebra er normalt angivet med det passende lille gotiske bogstav.) $[X,Y]$ $T_{e}G$ $\mathfrak{g}$ $G$

Se også

Noter

↑ Zhelobenko, 1970 , s. 27.

Litteratur

Løgngruppeteori // Great Russian Encyclopedia : [i 35 bind] / kap. udg. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.
Vinberg E. B., Onishchik A. L. Seminar om Lie-grupper og algebraiske grupper. 1988, 1995
Resultater af videnskab og teknologi. Moderne matematikproblemer. grundlæggende retninger. T.20. Lie grupper og Lie algebraer - 1. - M.: VINITI, 1988.
Adams JF Foredrag om Lie-grupper. — M.: Nauka, 1979.
Bourbaki N. Lie-grupper og algebraer. Kapitel I-III. — M.: Mir, 1976. — 496 s.
Bourbaki N. Lie-grupper og algebraer. Kapitel IX. — M.: Mir, 1986. — 174 s.
Zhelobenko D. P. Compact Lie grupper og deres repræsentationer. — M .: Nauka, 1970. — 664 s.
Postnikov M. M. Lie-grupper og algebraer. — M .: Nauka, 1982. — 447 s. — (Forelæsninger over Geometri. Semester V).

Fysik og matematik biblioteksressourcer Arkiveret 14. juli 2007 på Wayback Machine på EqWorld -webstedet World of Mathematical Equations Arkiveret 3. oktober 2008 på Wayback Machine :

Seminar "Sophus Lie". Teorien om Lie algebraer. Topologi af Lie grupper. - M .: IL, 1962 (djvu) Arkivkopi af 19. juni 2018 på Wayback Machine
Serre J.-P. Lie algebraer og Lie grupper. - M .: Mir, 1969 (djvu) Arkiveret 8. december 2015 på Wayback Machine

Gruppeteori
Basale koncepter	Undergruppe Normal undergruppe Faktor gruppe Arbejde direkte semi-direkte ledig
Algebraiske egenskaber	kommutativ gruppe Cyklisk gruppe bestilt gruppe Forvandle gruppe Opløselig gruppe Schreiers Lemma Lagranges sætning Sylows sætninger Klassificering af simple endelige grupper
begrænsede grupper	Endelig cyklisk gruppe C n Symmetrisk gruppe S n Dihedral gruppe D n Skiftende gruppe A n Klein Quadruple Group Mathieu grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fiskergrupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiske grupper	Løgngrupper Ortogonal gruppe O(n) Særlig ortogonal gruppe SO(n) Enhedsgruppe U(n) Særlig enhedsgruppe SU(n) Symplektisk gruppe Sp(n) Enestående enkel Lorentz gruppe Poincaré gruppe
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier transformation