Liste over integraler af trigonometriske funktioner

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 20. november 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Nedenfor er en liste over integraler ( antiderivater ) af trigonometriske funktioner . Den additive konstant for integration er udeladt overalt i listen .

Konstanten er ikke nul. $c$

Integraler, der kun indeholder sinus

\int \sin cx\;dx=-{\frac {1}{c))\cos cx

\int \sin ^{n}cx\;dx=-{\frac {\sin ^{n-1}cx\cos cx}{nc))+{\frac {n-1}{n} }\int \sin ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{( }}n>0{\mbox{)))

\int x\sin cx\;dx={\frac {\sin cx}{c^{2))}-{\frac {x\cos cx}{c))

\int x^{2}\sin cx\;dx={\frac {2\cos cx}{c^{3))}+{\frac {2x\sin cx}{c^{2} }}-{\frac {x^{2}\cos cx}{c}}

\int x^{3}\sin cx\;dx=-{\frac {6\sin cx}{c^{4))}+{\frac {6x\cos cx}{c^{3 ))}+{\frac {3x^{2}\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x^{3}\cos cx}{c}}

\int x^{4}\sin cx\;dx=-{\frac {24\cos cx}{c^{5}}}-{\frac {24x\sin cx}{c^{4 ))}+{\frac {12x^{2}\cos cx}{c^{3}}}+{\frac {4x^{3}\sin cx}{c^{2}}}-{\ frac {x^{4}\cos cx}{c}}

\int x^{5}\sin cx\;dx={\frac {120\sin cx}{c^{6))}-{\frac {120x\cos cx}{c^{5} }}-{\frac {60x^{2}\sin cx}{c^{4}}}+{\frac {20x^{3}\cos cx}{c^{3}}}+{\frac {5x^{4}\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x^{5}\cos cx}{c}}

\begin{align} \int x^n\sin cx\;dx & = n! \cdot \sin cx \left[ \frac{x^{n-1}}{c^2 \cdot (n-1)!} -\frac{x^{n-3}}{c^4 \cdot (n-3)!} +\frac{x^{n-5}}{c^6 \cdot (n-5)!} - ... \right] - \\ & - n! \cdot \cos cx \left[ \frac{x^n}{c \cdot n!} -\frac{x^{n-2}}{c^3 \cdot (n-2)!} +\frac {x^{n-4}}{c^5 \cdot (n-4)!} - ... \right] \end{align}

\int x^{n}\sin cx\;dx=-{\frac {x^{n}}{c}}\cos cx+{\frac {n}{c}}\int x^{ n-1}\cos cx\;dx\qquad {\mbox{( }}n\geq 0{\mbox{)))

\int {\frac {\sin cx}{x}}dx=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {(cx)^{2i +1}}{(2i+1)\cdot (2i+1)!}}

\int {\frac {\sin cx}{x^{n))}dx=-{\frac {\sin cx}{(n-1)x^{n-1))}+{\ frac {c}{n-1}}\int {\frac {\cos cx}{x^{n-1}}}dx

\int\frac{dx}{\sin cx} = \frac{1}{c}\ln \venstre|\operatørnavn{tg}\frac{cx}{2}\right|

\int {\frac {dx}{\sin ^{n}cx}}={\frac {\cos cx}{c(1-n)\sin ^{n-1}cx}}+{ \frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}n>1{\mbox{) }}

\int\frac{dx}{1\pm\sin cx} = \frac{1}{c}\operatørnavn{tg}\left(\frac{cx}{2}\mp\frac{\pi}{4 }\ret)

\int\frac{x\;dx}{1+\sin cx} = \frac{x}{c}\operatørnavn{tg}\left(\frac{cx}{2} - \frac{\pi}{ 4}\right)+\frac{2}{c^2}\ln\left|\cos\left(\frac{cx}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right|

\int\frac{x\;dx}{1-\sin cx} = \frac{x}{c}\operatørnavn{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - \frac{cx}{ 2}\right)+\frac{2}{c^2}\ln\left|\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{cx}{2}\right)\right|

\int\frac{\sin cx\;dx}{1\pm\sin cx} = \pm x+\frac{1}{c}\operatørnavn{tg}\left(\frac{\pi}{4}\ mp\frac{cx}{2}\right)

\int \sin c_{1}x\sin c_{2}x\;dx={\frac {\sin((c_{1}-c_{2})x)}{2(c_{1 }-c_{2})}}-{\frac {\sin((c_{1}+c_{2})x)}{2(c_{1}+c_{2))}}\qquad {\ mbox{( }}|c_{1}|\neq |c_{2}|{\mbox{)))

Integraler, der kun indeholder cosinus

\int \cos cx\;dx={\frac {1}{c))\sin cx+C

\int \cos ^{n}cx\;dx={\frac {\cos ^{n-1}cx\sin cx}{nc))+{\frac {n-1}{n)) \int \cos ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{( }}n>0{\mbox{)))

\int x\cos cx\;dx={\frac {\cos cx}{c^{2))}+{\frac {x\sin cx}{c))

\int x^{n}\cos cx\;dx={\frac {x^{n}\sin cx}{c}}-{\frac {n}{c}}\int x^{ n-1}\sin cx\;dx

\int {\frac {\cos cx}{x}}dx=\ln |cx|+\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i}{\frac { (cx)^{2i}}{2i\cdot (2i)!}}

\int {\frac {\cos cx}{x^{n))}dx=-{\frac {\cos cx}{(n-1)x^{n-1))}-{\ frac {c}{n-1}}\int {\frac {\sin cx}{x^{n-1}}}dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)} }

\int\frac{dx}{\cos cx} = \frac{1}{c}\ln\venstre|\operatørnavn{tg}\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{ 4}\right)\right|

\int {\frac {dx}{\cos ^{n}cx}}={\frac {\sin cx}{c(n-1)\cos ^{n-1}cx}}+{ \frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}n>1{\mbox{) }}

\int {\frac {dx}{1+\cos cx}}={\frac {1}{c}}\operatørnavn {tg} {\frac {cx}{2}}

\int {\frac {dx}{1-\cos cx}}=-{\frac {1}{c}}\operatørnavn {ctg} {\frac {cx}{2}}

\int\frac{x\;dx}{1+\cos cx} = \frac{x}{c}\operatørnavn{tg}\frac{cx}{2} + \frac{2}{c^2} \ln\venstre|\cos\frac{cx}{2}\right|

\int\frac{x\;dx}{1-\cos cx} = -\frac{x}{c}\operatørnavn{ctg}\frac{cx}{2}+\frac{2}{c^2 }\ln\venstre|\sin\frac{cx}{2}\right|

\int {\frac {\cos cx\;dx}{1+\cos cx))=x-{\frac {1}{c))\operatørnavn {tg} {\frac {cx}{2 }}

\int {\frac {\cos cx\;dx}{1-\cos cx))=-x-{\frac {1}{c))\operatørnavn {ctg} {\frac {cx}{ 2}}

\int \cos c_{1}x\cos c_{2}x\;dx={\frac {\sin(c_{1}-c_{2})x}{2(c_{1}- c_{2})}}+{\frac {\sin(c_{1}+c_{2})x}{2(c_{1}+c_{2})}}\qquad {\mbox{( } }|c_{1}|\neq |c_{2}|{\mbox{)))

Integraler, der kun indeholder tangenten

\int \operatørnavn {tg} cx\;dx=-{\frac {1}{c))\ln |\cos cx|

\int \operatørnavn {tg} ^{n}cx\;dx={\frac {1}{c(n-1)}}\operatørnavn {tg} ^{n-1}cx-\int \ operatørnavn {tg} ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

\int {\frac {dx}{\operatørnavn {tg} cx+1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2c}}\ln |\sin cx+ \cos cx|

\int {\frac {dx}{\operatørnavn {tg} cx-1}}=-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2c}}\ln |\sin cx-\cos cx|

\int {\frac {\operatørnavn {tg} cx\;dx}{\operatørnavn {tg} cx+1}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2c }}\ln |\sin cx+\cos cx|

\int {\frac {\operatørnavn {tg} cx\;dx}{\operatørnavn {tg} cx-1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2c }}\ln |\sin cx-\cos cx|

Integraler, der kun indeholder sekant

\int \sec{cx} \, dx = \frac{1}{c}\ln{\venstre| \sec{cx} + \operatørnavn{tg}{cx}\right|}

\int \sec ^{n}{cx}\,dx={\frac {\sec ^{n-1}{cx}\sin {cx}}{c(n-1)))\, +\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}{cx}\,dx\qquad {\mbox{ ( }}n\neq 1{\mbox{ )}}

\int \frac{dx}{\sec{x} + 1} = x - \operatørnavn{tg}{\frac{x}{2}}

Integraler, der kun indeholder cosecant

\int \operatørnavn {cosec} {cx}\,dx=-{\frac {1}{c}}\ln {\venstre|\operatørnavn {cosec} {cx}+\operatørnavn {ctg} {cx }\right|}

\int \operatørnavn {cosec} ^{n}{cx}\,dx=-{\frac {\operatørnavn {cosec} ^{n-1}{cx}\cos {cx}}{c(n -1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \operatørnavn {cosec} ^{n-2}{cx}\,dx\qquad {\mbox{ ( }}n\neq 1{\mbox{)))

Integraler, der kun indeholder cotangensen

\int \operatørnavn {ctg} cx\;dx={\frac {1}{c))\ln |\sin cx|

\int \operatørnavn {ctg} ^{n}cx\;dx=-{\frac {1}{c(n-1)}}\operatørnavn {ctg} ^{n-1}cx-\int \operatørnavn {ctg} ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{( }}n\nev 1{\mbox{)))

\int {\frac {dx}{1+\operatørnavn {ctg} cx}}=\int {\frac {\operatørnavn {tg} cx\;dx}{\operatørnavn {tg} cx+1}}

\int {\frac {dx}{1-\operatørnavn {ctg} cx}}=\int {\frac {\operatørnavn {tg} cx\;dx}{\operatørnavn {tg} cx-1}}

Integraler, der kun indeholder sinus og cosinus

\int\frac{dx}{\cos cx\pm\sin cx} = \frac{1}{c\sqrt{2}}\ln\venstre|\operatørnavn{tg}\left(\frac{cx}{ 2}\pm\frac{\pi}{8}\right)\right|

\int\frac{dx}{(\cos cx\pm\sin cx)^2} = \frac{1}{2c}\operatørnavn{tg}\left(cx\mp\frac{\pi}{4} \ret)

\int\frac{dx}{(\cos x + \sin x)^n} = \frac{1}{n-1}\venstre(\frac{\sin x - \cos x}{(\cos x + \sin x)^{n - 1}} - 2(n - 2)\int\frac{dx}{(\cos x + \sin x)^{n-2}} \right)

\int\frac{\cos cx\;dx}{\cos cx + \sin cx} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2c}\ln\venstre|\sin cx + \cos cx\right|

\int\frac{\cos cx\;dx}{\cos cx - \sin cx} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2c}\ln\venstre|\sin cx - \cos cx\right|

\int\frac{\sin cx\;dx}{\cos cx + \sin cx} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2c}\ln\venstre|\sin cx + \cos cx\right|

\int\frac{\sin cx\;dx}{\cos cx - \sin cx} = -\frac{x}{2} - \frac{1}{2c}\ln\venstre|\sin cx - \ cos cx\right|

\int\frac{\cos cx\;dx}{\sin cx(1+\cos cx)} = -\frac{1}{4c}\operatørnavn{tg}^2\frac{cx}{2}+ \frac{1}{2c}\ln\venstre|\operatørnavn{tg}\frac{cx}{2}\right|

\int {\frac {\cos cx\;dx}{\sin cx(1-\cos cx)))=-{\frac {1}{4c))\operatørnavn {ctg} ^{2} {\frac {cx}{2}}-{\frac {1}{2c}}\ln \left|\operatørnavn {tg} {\frac {cx}{2}}\right|

\int\frac{\sin cx\;dx}{\cos cx(1+\sin cx)} = \frac{1}{4c}\operatørnavn{ctg}^2\left(\frac{cx}{2 }+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{2c}\ln\venstre|\operatørnavn{tg}\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi }{4}\right)\right|

\int\frac{\sin cx\;dx}{\cos cx(1-\sin cx)} = \frac{1}{4c}\operatørnavn{tg}^2\left(\frac{cx}{2 }+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{2c}\ln\venstre|\operatørnavn{tg}\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi }{4}\right)\right|

\int \sin cx\cos cx\;dx={\frac {1}{2c))\sin ^{2}cx

\int \sin c_{1}x\cos c_{2}x\;dx=-{\frac {\cos(c_{1}+c_{2})x}{2(c_{1} +c_{2})}}-{\frac {\cos(c_{1}-c_{2})x}{2(c_{1}-c_{2})}}\qquad {\mbox{( }}|c_{1}|\neq |c_{2}|{\mbox{)))

\int \sin ^{n}cx\cos cx\;dx={\frac {1}{c(n+1)}}\sin ^{n+1}cx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

\int \sin cx\cos ^{n}cx\;dx=-{\frac {1}{c(n+1)))\cos ^{n+1}cx\qquad {\mbox{ ( }}n\neq 1{\mbox{)))

\int \sin ^{n}cx\cos ^{m}cx\;dx=-{\frac {\sin ^{n-1}cx\cos ^{m+1}cx}{c( n+m)))+{\frac {n-1}{n+m}}\int \sin ^{n-2}cx\cos ^{m}cx\;dx\qquad {\mbox{( } }m,n>0{\mbox{)))

\int \sin ^{n}cx\cos ^{m}cx\;dx={\frac {\sin ^{n+1}cx\cos ^{m-1}cx}{c(n +m)))+{\frac {m-1}{n+m}}\int \sin ^{n}cx\cos ^{m-2}cx\;dx\qquad {\mbox{( }} m,n>0{\mbox{)))

\int\frac{dx}{\sin cx\cos cx} = \frac{1}{c}\ln\venstre|\operatørnavn{tg} cx\right|

\int {\frac {dx}{\sin cx\cos ^{n}cx}}={\frac {1}{c(n-1)\cos ^{n-1}cx}}+ \int {\frac {dx}{\sin cx\cos ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

\int {\frac {dx}{\sin ^{n}cx\cos cx}}=-{\frac {1}{c(n-1)\sin ^{n-1}cx}} +\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}cx\cos cx}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

\int {\frac {\sin cx\;dx}{\cos ^{n}cx))={\frac {1}{c(n-1)\cos ^{n-1}cx} }\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

\int\frac{\sin^2 cx\;dx}{\cos cx} = -\frac{1}{c}\sin cx+\frac{1}{c}\ln\venstre|\operatørnavn{tg} \left(\frac{\pi}{4}+\frac{cx}{2}\right)\right|

\int {\frac {\sin ^{2}cx\;dx}{\cos ^{n}cx))={\frac {\sin cx}{c(n-1)\cos ^{ n-1}cx}}-{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}n \neq 1{\mbox{)))

\int {\frac {\sin ^{n}cx\;dx}{\cos cx))=-{\frac {\sin ^{n-1}cx}{c(n-1)} }+\int {\frac {\sin ^{n-2}cx\;dx}{\cos cx}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

\int {\frac {\sin ^{n}cx\;dx}{\cos ^{m}cx))={\frac {\sin ^{n+1}cx}{c(m- 1)\cos ^{m-1}cx}}-{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n}cx\;dx}{\cos ^{m-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)))

\int {\frac {\sin ^{n}cx\;dx}{\cos ^{m}cx))=-{\frac {\sin ^{n-1}cx}{c(nm )\cos ^{m-1}cx))+{\frac {n-1}{nm))\int {\frac {\sin ^{n-2}cx\;dx}{\cos ^{m }cx}}\qquad {\mbox{( }}m\neq n{\mbox{)))

\int {\frac {\sin ^{n}cx\;dx}{\cos ^{m}cx))={\frac {\sin ^{n-1}cx}{c(m- 1)\cos ^{m-1}cx}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n-1}cx\;dx}{\cos ^{m-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)))

\int {\frac {\cos cx\;dx}{\sin ^{n}cx}}=-{\frac {1}{c(n-1)\sin ^{n-1}cx }}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

\int\frac{\cos^2 cx\;dx}{\sin cx} = \frac{1}{c}\left(\cos cx+\ln\left|\operatørnavn{tg}\frac{cx}{ 2}\right|\right)

\int\frac{\cos^2 cx\;dx}{\sin^n cx} = -\frac{1}{n-1}\venstre(\frac{\cos cx}{c\sin^{n -1} cx)}+\int\frac{dx}{\sin^{n-2} cx}\right) \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}

\int {\frac {\cos ^{n}cx\;dx}{\sin ^{m}cx))=-{\frac {\cos ^{n+1}cx}{c(m -1)\sin ^{m-1}cx}}-{\frac {nm-2}{m-1}}\int {\frac {cos^{n}cx\;dx}{\sin ^{ m-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)))

\int {\frac {\cos ^{n}cx\;dx}{\sin ^{m}cx))={\frac {\cos ^{n-1}cx}{c(nm) \sin ^{m-1}cx}}+{\frac {n-1}{nm}}\int {\frac {cos^{n-2}cx\;dx}{\sin ^{m}cx }}\qquad {\mbox{( }}m\neq n{\mbox{)))

\int {\frac {\cos ^{n}cx\;dx}{\sin ^{m}cx))=-{\frac {\cos ^{n-1}cx}{c(m -1)\sin ^{m-1}cx}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {cos^{n-2}cx\;dx}{\sin ^{m-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)))

Integraler, der kun indeholder sinus og tangens

\int \sin cx\operatørnavn {tg} cx\;dx={\frac {1}{c))(\ln |\sec cx+\operatørnavn {tg} cx|-\sin cx)

\int {\frac {\operatørnavn {tg} ^{n}cx\;dx}{\sin ^{2}cx}}={\frac {1}{c(n-1)))\ operatørnavn {tg} ^{n-1}(cx)\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

Integraler, der kun indeholder cosinus og tangent

\int {\frac {\operatørnavn {tg} ^{n}cx\;dx}{\cos ^{2}cx}}={\frac {1}{c(n+1)))\ operatørnavn {tg} ^{n+1}cx\qquad {\mbox{( }}n\neq -1{\mbox{)))

Integraler, der kun indeholder sinus og cotangens

\int {\frac {\operatørnavn {ctg} ^{n}cx\;dx}{\sin ^{2}cx}}={\frac {1}{c(n+1)))\ operatørnavn {ctg} ^{n+1}cx\qquad {\mbox{( }}n\neq -1{\mbox{)))

Integraler, der kun indeholder cosinus og cotangens

\int {\frac {\operatørnavn {ctg} ^{n}cx\;dx}{\cos ^{2}cx}}={\frac {1}{c(1-n)))\ operatørnavn {tg} ^{1-n}cx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

Integraler, der kun indeholder tangent og cotangens

\int {\frac {\operatørnavn {tg} ^{m}(cx)}{\operatørnavn {ctg} ^{n}(cx)))\;dx={\frac {1}{c( m+n-1)}}\operatørnavn {tg} ^{m+n-1}(cx)-\int {\frac {\operatørnavn {tg} ^{m-2}(cx)}{\operatørnavn { ctg} ^{n}(cx)}}\;dx\qquad {\mbox{( }}m+n\neq 1{\mbox{)))

Bibliografi

Bøger

Gradshtein I. S., Ryzhik I. M. Tabeller over integraler, summer, serier og produkter. - 4. udg. - M .: Nauka, 1963. - ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
Dvait G. B. Tabeller over integraler St. Petersborg: Forlag og trykkeri af JSC VNIIG im. B. V. Vedeneeva, 1995. - 176 s. — ISBN 5-85529-029-8 . // EqWorld
D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulas , 31. udgave, 2002. ISBN 1-58488-291-3 .
M. Abramowitz og I. A. Stegun, red. Håndbog i matematiske funktioner med formler, grafer og matematiske tabeller , 1964. ISBN 0-486-61272-4
Korn G. A., Korn T. M. Håndbog i matematik for videnskabsmænd og ingeniører . - M . : " Nauka ", 1974.

Tabeller over integraler

Beregning af integraler

Lister over integraler efter funktionstyper
Elementære rationel irrationel trigonometrisk baglæns hyperbolsk baglæns eksponentiel logaritmiske funktioner

Trigonometri
Generel	Trigonometri oversigt Historie Brug Funktioner Baglæns Sjældent brugt Generaliseret trigonometri
Vejviser	Identiteter Præcise konstanter borde enhedscirkel
Love og teoremer	Sinus-sætning Pythagoras sætning Cosinus-sætning Tangentsætning Cotangenssætning Løsning af trekanter
Matematisk analyse	Trigonometrisk substitution Integraler ( omvendte funktioner ) Derivater