Ptolemæus' ulighed

Ptolemæus ' ulighed er en ulighed for 6 afstande mellem fire punkter på et plan.

Opkaldt efter den afdøde hellenistiske matematiker Claudius Ptolemæus .

Ordlyd

For alle punkter i flyet, uligheden $A,B,C,D$

AC\cdot BD\leq AB\cdot CD+BC\cdot AD,

desuden opnås lighed, hvis og kun hvis er en konveks indskrevet firkant , eller punkterne ligger på en lige linje. $ABCD$ $A,B,C,D$

En version af beviset for uligheden er baseret på brugen af inversion omkring en cirkel centreret i punktet ; dette reducerer Ptolemæus' ulighed til trekantens ulighed for billederne af punkterne , , . [en] $EN$ $B$ $C$ $D$
Der er en måde at bevise det ved at bruge Simsons linje .
Ptolemæus' sætning kan bevises på følgende måde (tæt på beviset for Ptolemæus selv, givet af ham i bogen Almagest ) - indfør et punkt sådan, at , og derefter gennem trekanters lighed . $E$ $\angle ABE=\angle DBC$
Sætningen er også en konsekvens af Bretschneiders forhold .

Pompeys sætning . [2] Betragt et punktog en regulær trekant . Så fra segmenterne,ogdet er muligt at lave en trekant, og denne trekant er degenereret, hvis og kun hvis punktetligger på trekantens omskrevne cirkel. $x$ $ABC$ $XA$ $XB$ $XC$ $x$ $ABC$

Hvis AC er diameteren af cirklen, så bliver sætningen til sinusumreglen . Det var denne konsekvens, at Ptolemæus brugte til at udarbejde en sinustabel.

Bretschneider forhold
Ptolemæus' uligheder kan udvides til seks punkter: hvis vilkårlige punkter i planet (denne generalisering kaldes Ptolemæus's sætning for en sekskant og i udenlandsk litteratur Fuhrmanns sætning [3] ), så $A_{1},A_{2},\dots A_{6}$

A_{1}A_{4}\cdot A_{2}A_{5}\cdot A_{3}A_{6}\leq A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{6 }\cdot A_{4}A_{5}+A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{4}\cdot A_{5}A_{6}+

+A_{2}A_{3}\cdot A_{1}A_{4}\cdot A_{5}A_{6}+A_{2}A_{3}\cdot A_{4}A_{5 }\cdot A_{1}A_{6}+A_{3}A_{4}\cdot A_{2}A_{5}\cdot A_{1}A_{6},

hvor lighed opnås hvis og kun hvis er en indskrevet sekskant.

A_{1}\dots A_{6}

Caseys sætning ( generaliseret Ptolemæus sætning ): Betragt cirklerogtil en given cirkel ved hjørnerneogkonveks firkant. Lade være længden af den fælles tangent til cirklerneog(ekstern, hvis begge berøringer er interne eller eksterne på samme tid, og intern, hvis en berøring er intern og den anden er ekstern); osv. defineres tilsvarende. Derefter $\alfa ,\beta ,\gamma$ $\delta$ $A,B,C$ $D$ $ABCD$ $t_{{\alpha \beta ))$ $\alfa$ $\beta$ $t_{{\beta \gamma }},t_{{\gamma \delta }}$

t_{{\alpha \beta }}t_{{\gamma \delta }}+t_{{\beta \gamma }}t_({\delta \alpha }}=t_{{\alpha \gamma }}t_{{ \beta\delta}}

↑ Et bevis på Ptolemæus' sætning ved hjælp af inversion Arkiveret 26. maj 2009 på Wayback Machine . Fjernkonsultationssted for matematik MCNMO .
↑ Om D. Pompeius teorem Arkiveret 17. december 2004 på Wayback Machine . Fjernkonsultationssted for matematik MCNMO .
↑ Ptolemæus' sætning . Hentet 17. maj 2011. Arkiveret fra originalen 26. maj 2009. (ubestemt)
↑ Howorka, Edward (1981), A characterization of Ptolemaic graphs , Journal of Graph Theory bind 5 (3): 323–331 , DOI 10.1002/jgt.3190050314 .

Valgfrit kursus i matematik. 7-9 / Komp. I. L. Nikolskaya. - M . : Education , 1991. - S. 328-329. — 383 s. — ISBN 5-09-001287-3 .
Ponarin Ya. P. Elementær geometri. I 2 bind - M . : MTSNMO , 2004. - S. 61-63. — ISBN 5-94057-170-0 .