Trigonometriske funktioner

Trigonometriske funktioner er elementære funktioner [1] , som historisk opstod, når man betragtede retvinklede trekanter og udtrykte afhængigheden af længderne af siderne i disse trekanter af spidse vinkler ved hypotenusen (eller tilsvarende afhængigheden af korder og højder af den centrale vinkel af buen i en cirkel ). Disse funktioner har fundet bred anvendelse inden for forskellige videnskabsområder. Efterhånden som matematikken udviklede sig, blev definitionen af trigonometriske funktioner udvidet, i moderne forstand kan deres argument være et vilkårligt reelt eller komplekst tal .

Den gren af matematikken, der studerer trigonometriske funktioners egenskaber, kaldes trigonometri .

Trigonometriske funktioner omtales traditionelt som:

direkte trigonometriske funktioner:

sinus ( ); $\sin x$
cosinus ( ); $\cos x$

afledte trigonometriske funktioner:

tangent ; $\left(\mathrm {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x))\right)$
cotangens ; $\left(\mathrm {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x))\right)$

sekant ; $\left(\sec x={\frac {1}{\cos x}}\right)$
cosecant ; $\left(\mathrm {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}}\right)$

inverse trigonometriske funktioner :

arcsine, arccosine osv.

I typografien af litteratur på forskellige sprog er forkortelsen for trigonometriske funktioner forskellig, for eksempel er tangent, cotangens og cosecant i engelsk litteratur betegnet med , , . Før Anden Verdenskrig blev disse funktioner i Tyskland og Frankrig betegnet på samme måde, som det er sædvanligt i russisksprogede tekster [2] , men så i litteraturen på disse landes sprog, den engelsksprogede version af registrering af trigonometriske funktioner blev vedtaget. $\tan x$ $\cot x$ $\csc x$

Ud over disse seks velkendte trigonometriske funktioner, er nogle sjældent anvendte trigonometriske funktioner ( versinus , etc.) nogle gange brugt i litteraturen.

Sinus og cosinus for et reelt argument er periodiske, kontinuerlige og uendeligt differentierbare funktioner med reel værdi. De resterende fire funktioner på den reelle akse er også reelle værdier, periodiske og uendeligt differentiable, med undtagelse af et tælleligt antal diskontinuiteter af den anden art : for tangenten og sekanten i punkterne og for cotangensen og cosekanten, ved punkterne . Grafer over trigonometriske funktioner er vist i fig. 1 . $\pm \pi n + \frac{\pi}{2}$ $\pm\pin$

Måder at bestemme

Definition for skarpe hjørner

I geometri er de trigonometriske funktioner af en spids vinkel bestemt af forholdet mellem siderne i en retvinklet trekant [3] . Lad - rektangulær, med en spids vinkel og hypotenus . Derefter: $\triangle AOB$ $\angle AOB=\alpha$ $OB$

$\sin \alpha ={\frac {AB}{OB}}$ (vinklens sinus er forholdet mellem det modsatte ben og hypotenusen ); $\alfa$
$\cos \alpha ={\frac {OA}{OB}}$ (cosinus af vinklen er forholdet mellem det tilstødende ben og hypotenusen ); $\alfa$
$\mathrm {tg} \,\alpha ={\frac {AB}{OA}}$ (vinklens tangent er forholdet mellem det modsatte ben og det tilstødende ben); $\alfa$
$\mathrm {ctg} \,\alpha ={\frac {OA}{AB}}$ (cotangensen af en vinkel er forholdet mellem det tilstødende ben og det modsatte); $\alfa$
$\mathrm {sek} \,\alpha ={\frac {OB}{OA}}$ (sekanten af vinklen er forholdet mellem hypotenusen og det tilstødende ben ); $\alfa$
$\mathrm {cosec} \,\alpha ={\frac {OB}{AB}}$ (cosecanten af en vinkel er forholdet mellem hypotenusen og det modsatte ben ). $\alfa$

Denne definition har en vis metodologisk fordel, da den ikke kræver introduktion af begrebet et koordinatsystem, men også en så stor ulempe, at det er umuligt at bestemme trigonometriske funktioner selv for stumpe vinkler, som skal kendes ved løsning af elementære problemer vedr. stumpe trekanter. (Se: sinussætning , cosinussætning ).

Definition for alle vinkler

Normalt er trigonometriske funktioner defineret geometrisk [4] . I det kartesiske koordinatsystem på planet konstruerer vi en cirkel med enhedsradius ( ) centreret ved koordinaternes oprindelse . Vi vil betragte enhver vinkel som en rotation fra abscisseaksens positive retning til en bestemt stråle (vi vælger et punkt på cirklen), mens rotationsretningen betragtes som positiv i retning mod uret og negativ i urets retning. Vi betegner punktets abscisse og ordinaten - (se figur 2 ). $R=1$ $O$ $OB$ $B$ $B$ $x_B$ $y_B$

Vi definerer funktioner som følger:

$\sin \alpha =y_{B}$ , ; $\cos \alpha =x_{B}$
$\operatorname {tg} \alpha ={\frac {y_{B}}{x_{B}}}$ , ; $\operatorname {ctg} \alpha ={\frac {x_{B}}{y_{B}}}$
${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{x_{B))))$ , . ${\displaystyle \operatørnavn {cosec} \alpha ={\frac {1}{y_{B))))$

Det er let at se, at en sådan definition også er baseret på relationerne i en retvinklet trekant med den forskel, at tegnet ( ) tages i betragtning. Derfor kan trigonometriske funktioner også defineres på en cirkel med vilkårlig radius , men formlerne skal normaliseres. Figur 3 viser værdierne af trigonometriske funktioner for enhedscirklen . $\pm 1$ $R$

I trigonometri viser det sig at være praktisk at tælle vinkler ikke i grader, men i radianer . Så vinklen ved vil blive skrevet som længden af en enhedscirkel . Vinklen ved er henholdsvis lig og så videre. Bemærk, at vinklen, der adskiller sig fra i figuren, svarer til , så vi konkluderer, at de trigonometriske funktioner er periodiske. ${\displaystyle 360^{\circ ))$ $2\pi$ $180^{\cirkel }$ $\pi$ $2\pi$ $\alfa$ $\alfa$

Endelig definerer vi de trigonometriske funktioner af et reelt tal som trigonometriske funktioner af en vinkel, hvis radianmål er . $x$ $x$

Definition som løsninger af differentialligninger

Sinus og cosinus kan defineres som de eneste funktioner, hvis anden afledede er lig med funktionerne selv, taget med et minustegn:

\ \venstre(\cos x\right)'' = - \cos x,

\ \venstre(\sin x\right)'' = - \sin x.

Det vil sige, sæt dem som lige (cosinus) og ulige (sinus) løsninger af differentialligningen

\frac{d^2}{d\varphi^2}R(\varphi) = -R(\varphi),

med yderligere betingelser: for cosinus og for sinus. $R(0)=1$ $R'(0)=1$

Definition som løsninger af funktionelle ligninger

Cosinus- og sinusfunktionerne kan defineres [5] som løsninger ( hhv .) af systemet af funktionelle ligninger : $f$ $g$

$\venstre\{ \begin{array}{rcl} f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\\ g(x+y)&=&g(x )f(y)+f(x)g(y) \end{array} \right.$

under yderligere betingelser:

$f(x)^{2}+g(x)^{2}=1,$ $g(\pi /2)=1,$ og kl . $0<g(x)<1$ $0<x<\pi /2$

Definition i form af serier

Ved at bruge grænsernes geometri og egenskaber kan man bevise, at den afledede af sinus er lig med cosinus, og at den afledede af cosinus er lig med minus sinus. Så kan du bruge teorien om Taylor-rækker og repræsentere sinus og cosinus som potensrækker:

\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{ 9!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},

\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{ 8!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.

Ved at bruge disse formler, såvel som ligheder , kan man finde serieudvidelser af andre trigonometriske funktioner: $\operatørnavn{tg}\,x=\frac{\sin x}{\cos x},$ $\operatørnavn{ctg}\,x=\frac{\cos x}{\sin x},$ $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ $\operatørnavn{cosec}\,x=\frac{1}{\sin x},$

{\operatørnavn{tg}\,x=x+\frac{1}{3}\,x^3 + \frac{2}{15}\,x^5 + \frac{17}{315}\,x ^7 + \frac{62}{2835}\,x^9 + \cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{ 2n}|}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\right),}

{\operatørnavn{ctg}\,x = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2x^5}{945} - \frac{x^7}{4725} - \cdots = \frac{1}{x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}|B_{2n}|}{( 2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),}

{\sek x=1+\frac{1}{2}\,x^2+\frac{5}{24}\,x^4+\frac{61}{720}\,x^6+\ frac{277}{8064}\,x^8+\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{|E_{n}|}{(2n)!}\,x^{2n}, \quad \left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\right),}

\operatørnavn{cosec} x = \frac{1}{x} + \frac{1}{6}\,x + \frac{7}{360}\,x^3 + \frac{31}{15120} \,x^5 + \frac{127}{604800}\,x^7 + \cdots = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2(2^{ 2n-1}-1) |B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),

hvor

B_{n}

er Bernoulli-tallene ,

E_{n}

er Euler-tallene .

Værdier af trigonometriske funktioner for nogle vinkler

Værdierne af sinus, cosinus, tangens, cotangens, sekant og cosecans for nogle vinkler er angivet i tabellen. (" " betyder, at funktionen på det angivne punkt ikke er defineret og har en tendens til uendelig i dens nabolag ). $\infty$

radianer	$0$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{2}}$	$\pi$	${\frac {3\pi }{2}}$	$2\pi$
grader	${\displaystyle 0^{\circ ))$	${\displaystyle 30^{\circ ))$	${\displaystyle 45^{\circ ))$	${\displaystyle 60^{\circ ))$	${\displaystyle 90^{\circ ))$	${\displaystyle 180^{\circ ))$	${\displaystyle 270^{\circ ))$	${\displaystyle 360^{\circ ))$
$\sin \alpha$	$0$	${\frac {1}{2))$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$en$	$0$	$-en$	$0$
$\cos\alpha$	$en$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	${\frac {1}{2))$	$0$	$-en$	$0$	$en$
$\operatørnavn{tg}\,\alpha$	$0$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	$en$	$\sqrt{3}$	$\infty$	$0$	$\infty$	$0$
$\operatørnavn{ctg}\,\alpha$	$\infty$	$\sqrt{3}$	$en$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$\infty$	$0$	$\infty$
$\sec \alpha$	$en$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {2}}$	$2$	$\infty$	$-en$	$\infty$	$en$
$\operatørnavn {cosec} \,\alpha$	$\infty$	$2$	${\sqrt {2}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$en$	$\infty$	$-en$	$\infty$

Værdier af trigonometriske funktioner af ikke-standardvinkler

radianer	${\frac {2\pi }{3}}$	${\frac {3\pi }{4}}$	${\frac {5\pi }{6}}$	${\frac {7\pi }{6}}$	${\frac {5\pi }{4}}$	${\frac {4\pi }{3}}$	${\frac {5\pi }{3}}$	${\frac {7\pi }{4}}$	${\frac {11\pi }{6}}$
grader	${\displaystyle 120^{\circ ))$	${\displaystyle 135^{\circ ))$	${\displaystyle 150^{\circ ))$	${\displaystyle 210^{\circ ))$	${\displaystyle 225^{\circ ))$	${\displaystyle 240^{\circ ))$	${\displaystyle 300^{\circ ))$	${\displaystyle 315^{\circ ))$	${\displaystyle 330^{\circ ))$
$\sin \alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	${\frac {1}{2))$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$
$\cos\alpha$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	${\frac {1}{2))$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\operatørnavn{tg}\,\alpha$	$-\sqrt{3}$	$-en$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$en$	$\sqrt{3}$	$-\sqrt{3}$	$-en$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\operatørnavn{ctg}\,\alpha$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-en$	$-\sqrt{3}$	$\sqrt{3}$	$en$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-en$	$-\sqrt{3}$
$\sec \alpha$	$-2$	$-{\sqrt {2))$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\sqrt {2))$	$-2$	$2$	${\sqrt {2}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$
$\operatørnavn {cosec} \,\alpha$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {2}}$	$2$	$-2$	$-{\sqrt {2))$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\sqrt {2))$	$-2$

radianer	${\frac {\pi }{12}}$	${\frac {\pi }{10}}$	${\frac {\pi }{8}}$	${\frac {\pi }{5}}$	${\frac {3\pi }{10}}$	${\frac {3\pi }{8}}$	${\frac {2\pi }{5}}$	${\frac {5\pi }{12}}$
grader	${\displaystyle 15^{\circ ))$	${\displaystyle 18^{\circ ))$	${\displaystyle 22{,}5^{\circ ))$	${\displaystyle 36^{\circ ))$	${\displaystyle 54^{\circ ))$	$67{,}5^{\circ }$	${\displaystyle 72^{\circ ))$	${\displaystyle 75^{\circ ))$
$\sin \alpha$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3)))){2))$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	${\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$	$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3)))){2}}$
$\cos\alpha$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3)))){2}}$	${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$	${\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3)))){2))$
$\operatørnavn{tg}\,\alpha$	$2-\sqrt{3}$	${\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$\sqrt{2}-1$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	${\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$\sqrt{2}+1$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5))))$	$2+{\sqrt {3}}$
$\operatørnavn{ctg}\,\alpha$	$2+{\sqrt {3}}$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5))))$	$\sqrt{2}+1$	${\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	$\sqrt{2}-1$	${\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$2-\sqrt{3}$
$\sec \alpha$	$2{\sqrt {2-{\sqrt {3))))$	${\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {4-2{\sqrt {2))))$	${\sqrt {5}}-1$	${\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {4+2{\sqrt {2))))$	${\sqrt {5}}+1$	$2{\sqrt {2+{\sqrt {3))))$
$\operatørnavn {cosec} \,\alpha$	$2{\sqrt {2+{\sqrt {3))))$	${\sqrt {5}}+1$	${\sqrt {4+2{\sqrt {2))))$	${\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5}}-1$	${\sqrt {4-2{\sqrt {2))))$	${\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$2{\sqrt {2-{\sqrt {3))))$

Værdier af trigonometriske funktioner for nogle andre vinkler

$\sin \frac{\pi}{60} = \cos \frac{29\,\pi}{60} = \sin 3^\circ = \cos 87^\circ = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)-2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{\pi}{60} = \sin \frac{29\,\pi}{60} = \cos 3^\circ = \sin 87^\circ = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{3}-1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\operatørnavn{tg} \frac{\pi}{60} = \operatørnavn{ctg} \frac{29\,\pi}{60} = \operatørnavn{tg} 3^\circ = \operatørnavn{ctg} 87^ \circ = \frac{2(\sqrt{5}+2)-\sqrt{3}(\sqrt{5}+3)+(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}(\sqrt {5}+1)-2)\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2},$

$\operatørnavn{ctg} \frac{\pi}{60} = \operatørnavn{tg} \frac{29\,\pi}{60} = \operatørnavn{ctg} 3^\circ = \operatørnavn{tg} 87^ \circ = \frac{2(2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(\sqrt{5}+3))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}-1) +2)\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{\pi}{30} = \cos \frac{7\,\pi}{15} = \sin 6^\circ = \cos 84^\circ = \frac{\sqrt{6(5 -\sqrt{5})}-\sqrt{5}-1}{8},$

$\cos \frac{\pi}{30} = \sin \frac{7\,\pi}{15} = \cos 6^\circ = \sin 84^\circ = \frac{\sqrt{2(5 -\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)}{8},$

$\operatørnavn{tg} \frac{\pi}{30} = \operatørnavn{ctg} \frac{7\,\pi}{15} = \operatørnavn{tg} 6^\circ = \operatørnavn{ctg} 84^ \circ = \frac{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{2},$

$\operatørnavn{ctg} \frac{\pi}{30} = \operatørnavn{tg} \frac{7\,\pi}{15} = \operatørnavn{ctg} 6^\circ = \operatørnavn{tg} 84^ \circ = \frac{\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+3)}{2},$

$\sin \frac{\pi}{20} = \cos \frac{9\,\pi}{20} = \sin 9^\circ = \cos 81^\circ = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{5}+1)-2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8},$

$\cos \frac{\pi}{20} = \sin \frac{9\,\pi}{20} = \cos 9^\circ = \sin 81^\circ = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{5}+1)+2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8},$

$\operatørnavn{tg} \frac{\pi}{20} = \operatørnavn{ctg} \frac{9\,\pi}{20} = \operatørnavn{tg} 9^\circ = \operatørnavn{ctg} 81^ \circ = {\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}}},$

$\operatørnavn{ctg} \frac{\pi}{20} = \operatørnavn{tg} \frac{9\,\pi}{20} = \operatørnavn{ctg} 9^\circ = \operatørnavn{tg} 81^ \circ = {\sqrt{5}+1+\sqrt{5+2\sqrt{5}}},$

$\sin \frac{\pi}{15} = \cos \frac{13\,\pi}{30} = \sin 12^\circ = \cos 78^\circ = \frac{\sqrt{2(5 +\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{8},$

$\cos \frac{\pi}{15} = \sin \frac{13\,\pi}{30} = \cos 12^\circ = \sin 78^\circ = \frac{\sqrt{6(5 +\sqrt{5})}+\sqrt{5}-1}{8},$

$\operatørnavn{tg} \frac{\pi}{15} = \operatørnavn{ctg} \frac{13\,\pi}{30} = \operatørnavn{tg} 12^\circ = \operatørnavn{ctg} 78^ \circ = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})-\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{2},$

$\operatørnavn{ctg} \frac{\pi}{15} = \operatørnavn{tg} \frac{13\,\pi}{30} = \operatørnavn{ctg} 12^\circ = \operatørnavn{tg} 78^ \circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+\sqrt{2(5+\sqrt{5))))){2},$

$\sin \frac{7\,\pi}{60} = \cos \frac{23\,\pi}{60} = \sin 21^\circ = \cos 69^\circ = \frac{-\sqrt {2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{7\,\pi}{60} = \sin \frac{23\,\pi}{60} = \cos 21^\circ = \sin 69^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\operatørnavn{tg} \frac{7\,\pi}{60} = \operatørnavn{ctg} \frac{23\,\pi}{60} = \operatørnavn{tg} 21^\circ = \operatørnavn{ctg } 69^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}-2)-\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5} +1)-2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\operatørnavn{ctg} \frac{7\,\pi}{60} = \operatørnavn{tg} \frac{23\,\pi}{60} = \operatørnavn{ctg} 21^\circ = \operatørnavn{tg } 69^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}-2)+\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5} +1)+2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{2\,\pi}{15} = \cos \frac{11\,\pi}{30} = \sin 24^\circ = \cos 66^\circ = \frac{\sqrt{ 3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}{8},$

$\cos \frac{2\,\pi}{15} = \sin \frac{11\,\pi}{30} = \cos 24^\circ = \sin 66^\circ = \frac{\sqrt{ 5}+1+\sqrt{6(5-\sqrt{5})}}{8},$

$\operatørnavn{tg} \frac{2\,\pi}{15} = \operatørnavn{ctg} \frac{11\,\pi}{30} = \operatørnavn{tg} 24^\circ = \operatørnavn{ctg } 66^\circ = \frac{-\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{2},$

$\operatørnavn{ctg} \frac{2\,\pi}{15} = \operatørnavn{tg} \frac{11\,\pi}{30} = \operatørnavn{ctg} 24^\circ = \operatørnavn{tg } 66^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{2(5-\sqrt{5}))){2},$

$\sin \frac{3\,\pi}{20} = \cos \frac{7\,\pi}{20} = \sin 27^\circ = \cos 63^\circ = \frac{-\sqrt {2}(\sqrt{5}-1)+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8},$

$\cos \frac{3\,\pi}{20} = \sin \frac{7\,\pi}{20} = \cos 27^\circ = \sin 63^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\sqrt{5}-1)+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8},$

$\operatørnavn{tg} \frac{3\,\pi}{20} = \operatørnavn{ctg} \frac{7\,\pi}{20} = \operatørnavn{tg} 27^\circ = \operatørnavn{ctg } 63^\circ = {\sqrt{5}-1-\sqrt{5-2\sqrt{5}}},$

$\operatørnavn{ctg} \frac{3\,\pi}{20} = \operatørnavn{tg} \frac{7\,\pi}{20} = \operatørnavn{ctg} 27^\circ = \operatørnavn{tg } 63^\circ = {\sqrt{5}-1+\sqrt{5-2\sqrt{5}}},$

$\sin \frac{11\,\pi}{60} = \cos \frac{19\,\pi}{60} = \sin 33^\circ = \cos 57^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{11\,\pi}{60} = \sin \frac{19\,\pi}{60} = \cos 33^\circ = \sin 57^\circ = \frac{-\sqrt {2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\operatørnavn{tg} \frac{11\,\pi}{60} = \operatørnavn{ctg} \frac{19\,\pi}{60} = \operatørnavn{tg} 33^\circ = \operatørnavn{ctg } 57^\circ = \frac{-2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+(2-\sqrt{3})(\sqrt{3} }(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2},$

$\operatørnavn{ctg} \frac{11\,\pi}{60} = \operatørnavn{tg} \frac{19\,\pi}{60} = \operatørnavn{ctg} 33^\circ = \operatørnavn{tg } 57^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(3+\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5} }-1)+2)\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{13\,\pi}{60} = \cos \frac{17\,\pi}{60} = \sin 39^\circ = \cos 51^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)-2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{13\,\pi}{60} = \sin \frac{17\,\pi}{60} = \cos 39^\circ = \sin 51^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\operatørnavn{tg} \frac{13\,\pi}{60} = \operatørnavn{ctg} \frac{17\,\pi}{60} = \operatørnavn{tg} 39^\circ = \operatørnavn{ctg } 51^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}-2)+\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5} }+1)+2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\operatørnavn{ctg} \frac{13\,\pi}{60} = \operatørnavn{tg} \frac{17\,\pi}{60} = \operatørnavn{ctg} 39^\circ = \operatørnavn{tg } 51^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}-2)-\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5} }+1)-2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{7\,\pi}{30} = \cos \frac{8\,\pi}{30} = \sin 42^\circ = \cos 48^\circ = \frac{-(\ sqrt{5}-1)+\sqrt{6(5+\sqrt{5})}}{8},$

$\cos \frac{7\,\pi}{30} = \sin \frac{8\,\pi}{30} = \cos 42^\circ = \sin 48^\circ = \frac{\sqrt{ 3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{8},$

$\operatørnavn{tg} \frac{7\,\pi}{30} = \operatørnavn{ctg} \frac{8\,\pi}{30} = \operatørnavn{tg} 42^\circ = \operatørnavn{ctg } 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2(5+\sqrt{5}))){2},$

$\operatørnavn{ctg} \frac{7\,\pi}{30} = \operatørnavn{tg} \frac{8\,\pi}{30} = \operatørnavn{ctg} 42^\circ = \operatørnavn{tg } 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})+\sqrt{2(25-11\sqrt{5)))))){2},$

$\operatørnavn{tg} \frac{\pi}{120} = \operatørnavn{ctg} \frac{59\,\pi}{120} = \operatørnavn{tg} 1,5^\circ = \operatørnavn{ctg} 88,5^ \circ = \sqrt{\frac{8-\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})} - \sqrt{ 2(2+\sqrt{3})(5 +\sqrt{5})}}{8+\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})}+\sqrt{2(2+\sqrt{3})( 5+\sqrt{5})} }},$

$\cos {\frac {\pi }{240}}=\sin {\frac {119\,\pi }{240}}=\cos 0,75^{\circ }=\sin 89,25^{\circ }={\frac {1}{16}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2))))))\left({\sqrt {2(5+{ \sqrt {5)))))+{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {5}})\right)+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2} )))))\left({\sqrt {6(5+{\sqrt {5))))}}+{\sqrt {5}}-1\right)\right),$

$\cos \frac{\pi}{17} = \sin \frac{15\,\pi}{34} = \frac{1}{8}\sqrt{2 \left(2\sqrt{3\sqrt{ 17}-\sqrt{2(85+19\sqrt{17})} +17}+\sqrt{2(17-\sqrt{17})}+\sqrt{17}+15 \right)}.$

$\sin {\pi \over 2^{n+1}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}} }}} _{n},n\i \mathbb {N}$

$\cos {\pi \over 2^{n+1}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}} }}} _{n},n\i \mathbb {N}$

$\sin {\pi \over 3\cdot 2^{n}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {3}} }}}} _{n},n\geq 2$

$\cos {\pi \over 3\cdot 2^{n}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {3}} }}}} _{n},n\geq 2$

Egenskaber for trigonometriske funktioner

De enkleste identiteter

Da sinus og cosinus er henholdsvis ordinat og abscisse af det punkt, der svarer til vinklen α på enhedscirklen , så har vi ifølge enhedscirkelligningen ( ) eller Pythagoras sætning : $x^{2}+y^{2}=1$

\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1.

Denne relation kaldes den grundlæggende trigonometriske identitet .

Ved at dividere denne ligning med kvadratet af henholdsvis cosinus og sinus får vi:

1+\mathop {\mathrm {tg} } \,^{2}\alpha =\mathop {\mathrm {sek} } \,^{2}\alpha ,

1+\mathop {\mathrm {ctg} } \,^{2}\alpha =\mathop {\mathrm {cosec} } \,^{2}\alpha .

Af definitionen af tangent og cotangens følger det

\mathop{\mathrm{tg}}\,\alpha \cdot \mathop{\mathrm{ctg}}\,\alpha=1.

Enhver trigonometrisk funktion kan udtrykkes i form af enhver anden trigonometrisk funktion med det samme argument (op til et fortegn på grund af kvadratrodsudvidelsens tvetydighed). Følgende formler er korrekte for : $0<x<\pi /2$

	synd	cos	tg	ctg	sek	årsag
$\,\sin x=$	$\,\sin x$	${\sqrt {1-\cos ^{2}x}}$	${\displaystyle {\frac {\operatørnavn {tg} x}{\sqrt {1+\operatørnavn {tg} ^{2}x))))$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\operatørnavn {ctg} ^{2}x+1))))$	${\frac {\sqrt {\sec ^{2}x-1)){\sec x))$	${\frac {1}{\operatørnavn {cosec} x))$
$\,\cos x=$	$\,{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}$	$\,\cos x$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {1+\operatørnavn {tg} ^{2}x))))$	${\displaystyle \,{\frac {\operatørnavn {ctg} x}{\sqrt {\operatørnavn {ctg} ^{2}x+1))))$	$\,{\frac {1}{\sek x}}$	$\,{\frac {\sqrt {\operatørnavn {cosec} ^{2}x-1}}{\operatørnavn {cosec} x}}$
$\,\operatørnavn {tg} x=$	${\displaystyle \,{\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x))))$	$\,{\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{\cos x}}$	$\,\operatørnavn {tg} x$	$\,{\frac {1}{\operatørnavn {ctg} x}}$	$\,{\sqrt {\sec ^{2}x-1))$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {\operatørnavn {cosec} ^{2}x-1))))$
$\,\operatørnavn {ctg} x=$	$\,{\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}x}}{\sin x}}$	${\displaystyle \,{\frac {\cos x}{\sqrt {1-\cos ^{2}x))))$	$\,{\frac {1}{\operatørnavn {tg} x}}$	$\,\operatørnavn {ctg} x$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}x-1))))$	$\,{\sqrt {\operatørnavn {cosec} ^{2}x-1))$
$\,\sek x=$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}x))))$	$\,{\frac {1}{\cos x))$	$\,{\sqrt {1+\operatørnavn {tg} ^{2}x}}$	$\,{\frac {\sqrt {\operatørnavn {ctg} ^{2}x+1}}{\operatørnavn {ctg} x}}$	$\,\sek x$	${\displaystyle \,{\frac {\operatørnavn {cosec} x}{\sqrt {\operatørnavn {cosec} ^{2}x-1))))$
$\,\operatørnavn {cosec} x=$	$\,{\frac {1}{\sin x))$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}x))))$	$\,{\frac {\sqrt {1+\operatørnavn {tg} ^{2}x}}{\operatørnavn {tg} x}}$	$\,{\sqrt {\operatørnavn {ctg} ^{2}x+1}}$	${\displaystyle \,{\frac {\sec x}{\sqrt {\sec ^{2}x-1))))$	$\,\operatørnavn {cosec} x$

Kontinuitet

Sinus og cosinus er kontinuerlige funktioner .
Tangent og sekant har brudpunkter , hvor er ethvert heltal . $\pi /2+\pi k$ $k$
Cotangensen og cosecanten har diskontinuitetspunkter , hvor er ethvert heltal . $\pik$ $k$

Paritet

Cosinus og sekant er lige . De resterende fire funktioner er ulige , det vil sige:

\sin \left( - \alpha \right) = - \sin \alpha \,,

\cos \left( - \alpha \right) = \cos \alpha \,,

\mathop{\mathrm{tg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,,

\mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,,

\sec \left( - \alpha \right) = \sec \alpha \,,

\mathop{\mathrm{cosec}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{cosec}}\, \alpha \,.

Periodicitet

Funktioner er periodiske med periode , funktioner og er med periode . $\sin x,\;\cos x,\;\sec x,\;\mathrm {cosec} \,x$ $2\pi$ $\mathrm {tg} \,x$ $\mathrm {ctg} \,x$ $\pi$

Casting formler

Reduktionsformler kaldes formler med følgende form:

f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha ),

f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha ),

f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2))+\alpha \right)=\pm g(\alpha ),

f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha \right)=\pm g(\alpha ).

Her - enhver trigonometrisk funktion, - dens tilsvarende cofunktion (det vil sige cosinus for sinus, sinus for cosinus, tangent for cotangent, cotangent for tangent, sekant for cosecans og cosecans for sekant), - et heltal . Den resulterende funktion indledes med tegnet, som den oprindelige funktion har i et givet koordinatkvarter, forudsat at vinklen er spids, f.eks. $f$ $g$ $n$ $\alfa$

\cos \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \sin \alpha\,,

eller hvad er det samme:

\cos \left( 90^\circ - \alpha \right) = \sin \alpha\,.

Nogle støbeformler:

$\alfa$	$\frac{\pi}{2} - \alpha$	$\frac{\pi}{2} + \alpha$	$\pi -\alpha$	$\pi +\alpha$	$\frac{3\,\pi}{2} - \alpha$	$\frac{3\,\pi}{2} + \alpha$	$2\,\pi - \alfa$
$\sin\alfa$	$\cos\alpha$	$\cos\alpha$	$\sin\alfa$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\sin \alpha$
$\cos\alpha$	$\sin\alfa$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\sin \alpha$	$\sin\alfa$	$\cos\alpha$
$\operatørnavn{tg}\,\alpha$	$\operatørnavn{ctg}\,\alpha$	$-\operatørnavn{ctg}\,\alpha$	$-\operatørnavn{tg}\,\alpha$	$\operatørnavn{tg}\,\alpha$	$\operatørnavn{ctg}\,\alpha$	$-\operatørnavn{ctg}\,\alpha$	$-\operatørnavn{tg}\,\alpha$
$\operatørnavn{ctg}\,\alpha$	$\operatørnavn{tg}\,\alpha$	$-\operatørnavn{tg}\,\alpha$	$-\operatørnavn{ctg}\,\alpha$	$\operatørnavn{ctg}\,\alpha$	$\operatørnavn{tg}\,\alpha$	$-\operatørnavn{tg}\,\alpha$	$-\operatørnavn{ctg}\,\alpha$

Reduktionsformlerne af interesse kan også let opnås ved at overveje funktioner på enhedscirklen.

Additions- og subtraktionsformler

Værdierne af de trigonometriske funktioner af summen og forskellen af to vinkler:

\sin\venstre( \alpha \pm \beta \right)= \sin\alpha \, \cos\beta \pm \cos\alpha \, \sin\beta,

\cos\left( \alpha \pm \beta \right)= \cos\alpha \, \cos\beta \mp \sin\alpha \, \sin\beta,

\operatørnavn{tg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatørnavn{tg}\,\alpha \pm \operatørnavn{tg}\,\beta}{1 \mp \operatørnavn{tg }\,\alpha \, \operatørnavn{tg}\,\beta},

\operatørnavn{ctg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatørnavn{ctg}\,\alpha\,\operatørnavn{ctg}\,\beta \mp 1}{\operatørnavn{ctg }\,\beta \pm \operatørnavn{ctg}\,\alpha}.

Lignende formler for summen af tre vinkler:

\sin \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \ beta \sin \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma,

\cos \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \sin \alpha \cos \ beta \sin \gamma - \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma.

Formler for flere vinkler

Dobbeltvinkelformler:

\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatørnavn{tg}\,\alpha }{1 + \operatørnavn{tg}^2\alpha} = \frac{2 \,\operatørnavn{ctg}\,\alpha }{1 + \operatørnavn{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatørnavn{tg}\,\alpha + \operatørnavn{ctg}\,\ alfa},

\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \ alpha = \frac{1 - \operatørnavn{tg}^2 \alpha}{1 + \operatørnavn{tg}^2\alpha} = \frac{\operatørnavn{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatørnavn{ ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatørnavn{ctg}\,\alpha - \operatørnavn{tg}\,\alpha}{\operatørnavn{ctg}\,\alpha + \operatørnavn{tg}\ ,\alpha},

\operatørnavn{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatørnavn{tg}\,\alpha}{1 - \operatørnavn{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatørnavn{ ctg}\,\alpha}{\operatørnavn{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatørnavn{ctg}\,\alpha - \operatørnavn{tg}\,\alpha},

\operatørnavn{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatørnavn{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatørnavn{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatørnavn{ctg}\ ,\alpha - \operatørnavn{tg}\,\alpha}{2}.

Tredobbelte vinkelformler:

\sin\,3\alpha=3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha,

\cos\,3\alpha=4\cos^3\alpha -3\cos\alpha,

\operatørnavn{tg}\,3\alpha=\frac{3\,\operatørnavn{tg}\,\alpha - \operatørnavn{tg}^3\,\alpha}{1 - 3\,\operatørnavn{tg} ^2\,\alpha},

\operatørnavn{ctg}\,3\alpha=\frac{\operatørnavn{ctg}^3\,\alpha - 3\,\operatørnavn{ctg}\,\alpha}{3\,\operatørnavn{ctg}^2 \,\alpha - 1}.

Andre formler for flere vinkler:

\sin\,4\alpha=\cos\alpha \left(4\sin\alpha - 8\sin^3\alpha\right),

\cos\,4\alpha=8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1,

\operatørnavn{tg}\,4\alpha=\frac{4\,\operatørnavn{tg}\,\alpha - 4\,\operatørnavn{tg}^3\,\alpha}{1 - 6\,\operatørnavn {tg}^2\,\alpha + \operatørnavn{tg}^4\,\alpha},

\operatørnavn{ctg}\,4\alpha=\frac{\operatørnavn{ctg}^4\,\alpha - 6\,\operatørnavn{ctg}^2\,\alpha + 1}{4\,\operatørnavn{ ctg}^3\,\alpha - 4\,\operatørnavn{ctg}\,\alpha},

\sin\,5\alpha=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha +5\sin\alpha,

\cos\,5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha +5\cos\alpha,

\operatørnavn{tg}\,5\alpha=\operatørnavn{tg}\alpha\frac{\operatørnavn{tg}^4\alpha-10\operatørnavn{tg}^2\alpha+5}{5\operatørnavn{tg }^4\alpha-10\operatørnavn{tg}^2\alpha+1},

\operatørnavn{ctg}\,5\alpha=\operatørnavn{ctg}\alpha\frac{\operatørnavn{ctg}^4\alpha-10\operatørnavn{ctg}^2\alpha+5}{5\operatørnavn{ctg }^4\alpha-10\operatørnavn{ctg}^2\alpha+1},

\sin (n\alpha)=2^{n-1}\prod^{n-1}_{k=0}\sin\left( \alpha+\frac{\pi k}{n}\right)

følger af komplementformlen og Gaussformlen for gammafunktionen .

Fra De Moivres formel kan følgende generelle udtryk for flere vinkler fås:

\sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k -1}\alpha\,\sin^{2k+1}\alpha,

\cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\ sin^{2k}\alpha,

\mathrm{tg}(n\alpha)=\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[ (n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{tg}^{2k+1}\alpha)){\displaystyle{\sum\limits_{k =0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{tg}^{2k}\alpha}},

\mathrm{ctg}(n\alpha)=\frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[ n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{ctg}^{n-2k}\alpha)){\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[ (n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{ctg}^{n-2k-1}\alpha}},

hvor er den heltallige del af tallet , er den binomiale koefficient . $[n]$ $n$ $\binom{n}{k}$

Halvvinkelformler:

\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2)),\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,

\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2)),\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,

\operatørnavn{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} ,

\operatørnavn{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha} ,

\operatørnavn{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha)),\quad 0 \leqslant \alpha < \pi ,

\operatørnavn{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha)),\quad 0 < \alpha \leqslant \pi .

Virker

Formler for produkter af funktioner af to vinkler:

\sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2)),

\sin\alpha \cos\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{2},

\cos\alpha \cos\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{2},

\operatørnavn{tg}\,\alpha\,\operatørnavn{tg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha- \beta) + \cos(\alpha+\beta)},

\operatørnavn{tg}\,\alpha\,\operatørnavn{ctg}\,\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\ beta)-\sin(\alpha-\beta)},

\operatørnavn{ctg}\,\alpha\,\operatørnavn{ctg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha- \beta) - \cos(\alpha+\beta)}.

Lignende formler for produkterne af sinus og cosinus af tre vinkler:

\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) + \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma ) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},

\sin\alpha \sin\beta \cos\gamma = \frac{-\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\ gamma) - \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4},

\sin\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) - \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma ) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},

\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma ) + \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4}.

Formler for produkterne af tangenter og cotangenter af tre vinkler kan opnås ved at dividere højre og venstre del af de tilsvarende ligheder præsenteret ovenfor.

Grader

\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{2))={\frac {\operatørnavn {tg} ^{2}\,\alpha }{ 1+\operatørnavn {tg} ^{2}\,\alpha }},

\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{2}}={\frac {\operatørnavn {ctg}^{2}\,\alpha }{1+\ operatørnavn {ctg}^{2}\,\alpha }},

\operatørnavn {tg}^{2}\,\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{1+\cos 2\,\alpha }}={\frac {\operatørnavn {sin} ^{2}\,\alpha }{1-\operatørnavn {sin}^{2}\,\alpha }},

\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{1-\cos 2\,\alpha }}={\frac {\operatørnavn {cos} ^{2}\,\alpha }{1-\operatørnavn {cos} ^{2}\,\alpha }},

\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{4},

\cos^3\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{4},

\operatørnavn{tg}^3\,\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha},

\operatørnavn{ctg}^3\,\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha},

\sin^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{8},

\cos^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{8},

\operatørnavn{tg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3} ,

\operatornavn{ctg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3} .

Beløb

\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2))\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2)),

\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2))\cos {\frac {\alpha -\beta }{2)),

\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2))\sin {\frac {\alpha -\beta }{2)),

\operatørnavn {tg} \alpha \pm \operatørnavn {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta )),

\operatørnavn {ctg} \alpha \pm \operatørnavn {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta )),

1\pm \sin {2\alpha }=(\sin \alpha \pm \cos \alpha )^{2},

\sin \alpha \pm \cos \alpha ={\sqrt {2}}\cdot \sin \left(\alpha \pm {\pi \over 4}\right).

Der er udsigt:

A\sin \alpha +B\cos \alpha ={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\;\sin(\alpha +\phi ),

hvor vinklen findes ud fra relationerne: $\phi$

\sin \phi ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2))))),

\cos \phi ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2))))

Universel trigonometrisk substitution

Alle trigonometriske funktioner kan udtrykkes som tangenten af en halv vinkel:

$\sin x={\frac {\sin x}{1}}={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}} {\sin ^{2}{\frac {x}{2}}+\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {2\operatørnavn {tg} {\frac {x}{2}}}{1+\operatørnavn {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\cos x={\frac {\cos x}{1}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1 -\operatørnavn {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operatørnavn {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\operatorname {tg} ~x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {2\operatørnavn {tg} {\frac {x}{2}}}{1- \operatørnavn {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\operatørnavn {ctg} ~x={\frac {\cos x}{\sin x))={\frac {1-\operatørnavn {tg} ^{2}{\frac {x}{2} }}{2\operatørnavn {tg} {\frac {x}{2}}}},$

$\sec x={\frac {1}{\cos x}}={\frac {1+\operatørnavn {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1-\ operatørnavn {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\operatorname {cosec} ~x={\frac {1}{\sin x}}={\frac {1+\operatørnavn {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}} {2\operatørnavn {tg} {\frac {x}{2}}}}.$

Undersøgelse af funktioner i matematisk analyse

Nedbrydning til uendelige produkter

Trigonometriske funktioner kan repræsenteres som et uendeligt produkt af polynomier:

\sin x=x\,\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2} }}\ret),

\cos x=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {4x^{2}}{\pi ^{2}(2n+1)^{2 }}}\ret).

Disse relationer gælder for enhver værdi af . $x$

Fortsat brøker

Udvidelse af tangenten til en fortsat brøk :

\mathop {\rm {tg)) x={\frac {x}{1-{\frac {x^{2}}{3-{\frac {x^{2}}{5-{ \frac {x^{2}}{7-{\frac {x^{2}}{\ddots }}}}}}}}}}

Derivater og antiderivater

Alle trigonometriske funktioner er kontinuerligt og uendeligt differentierbare over hele definitionsdomænet:

$( \sin x )' = \cos x \,,$

$( \cos x )' = -\sin x \,,$

$(\operatørnavn {tg} x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\operatørnavn {tg} ^{2}x=\sek ^{2}x ,$

$(\operatørnavn {ctg} x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-\operatørnavn {cosec} ^{2}x,$

$(\sec x)'={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\sec x\operatørnavn {tg} x,$

$( \operatørnavn{cosec}~x)' = -\frac{\cos x}{\sin ^2 x}.$

Integralerne af trigonometriske funktioner på definitionsdomænet udtrykkes i form af elementære funktioner som følger [6] :

$\int\sin x\, dx = -\cos x + C \,,$

$\int\cos x\, dx = \sin x + C \,,$

$\int \operatørnavn {tg} x\,dx=-\ln \venstre|\cos x\right|+C\,,$

$\int \operatørnavn {ctg} x\,dx=\ln \left|\sin x\right|+C\,,$

$\int\sek x\, dx=\ln \venstre| \operatørnavn{tg} \, \left( \frac {\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) \right|+ C \,,$

$\int \operatørnavn{cosec}~ x\, dx=\ln \venstre| \operatørnavn{tg} \, \frac{x}{2} \right|+ C.$

Trigonometriske funktioner af komplekst argument

Definition

Euler formel :

e^{i\vartheta }=\cos \vartheta +i\sin \vartheta .

Eulers formel gør det muligt at definere trigonometriske funktioner af komplekse argumenter i form af eksponenten , analogt med hyperbolske funktioner , eller (ved hjælp af serier ) som en analytisk fortsættelse af deres reelle modstykker:

\sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}\, = \frac{\operatørnavn{sh} iz }{i};

\cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = \frac{e^{iz} + e^{ -iz}}{2}\, = \operatørnavn{ch}iz;

\operatorname{tg}\, z = \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{i(e^{iz} + e^{ -iz})};

\operatørnavn{ctg}\, z = \frac{\cos z}{\sin z} = \frac{i(e^{iz} + e^{-iz})}{e^{iz} - e^ {-iz}};

\sec z = \frac{1}{\cos z} = \frac{2}{e^{iz} + e^{-iz}};

\operatorname {cosec} \,z={\frac {1}{\sin z}}={\frac {2i}{e^{iz}-e^{-iz}}},

hvor

i^{2}=-1.

I overensstemmelse hermed, for ægte x :

\cos x=\operatørnavn {Re} (e^{ix}),

\sin x=\operatørnavn {Im} (e^{ix}).

De komplekse sinus og cosinus er tæt forbundet med hyperbolske funktioner :

\sin(x+iy)=\sin x\,\operatørnavn {ch} \,y+i\cos x\,\operatørnavn {sh} \,y,

\cos(x+iy)=\cos x\,\operatørnavn {ch} \,yi\sin x\,\operatørnavn {sh} \,y.

De fleste af de ovennævnte egenskaber ved trigonometriske funktioner er også bevaret i det komplekse tilfælde. Nogle yderligere egenskaber:

komplekse sinus og cosinus, i modsætning til reelle, kan antage vilkårligt store værdier i absolut værdi;
alle nuller i den komplekse sinus og cosinus ligger på den reelle akse.

Komplekse grafer

Følgende plots viser det komplekse plan og funktionsværdier fremhævet i farver. Lysstyrke afspejler den absolutte værdi (sort er nul). Farven skifter fra argumentet og vinklen i henhold til kortet .

Trigonometriske funktioner i det komplekse plan


$\sin \,z$	$\cos\,z$	$\operatørnavn {tg} \,z$	$\operatørnavn {ctg} \,z$	$\sec \,z$	$\operatørnavn {cosec} \,z$

Navnehistorie

Sinuslinjen (linien i fig. 2 ) blev oprindelig af indiske matematikere kaldt "arha-jiva" ("halvstreng", det vil sige halvdelen af denne bues akkord , da en bue med en akkord ligner en bue med en buestreng ). Så blev ordet "arha" droppet, og sinuslinjen blev simpelthen kaldt "jiva". Arabiske matematikere, der oversatte indiske bøger fra sanskrit , oversatte ikke ordet "jiva" med det arabiske ord "vatar", der betegner buestreng og akkord, men transskriberede det med arabiske bogstaver og begyndte at kalde sinuslinjen "jiba" ( جيب ‎) . Da korte vokaler ikke er angivet på arabisk , og det lange "og" i ordet "jiba" er angivet på samme måde som halvvokalen "y", begyndte araberne at udtale navnet på sinuslinjen som "fok", hvilket bogstaveligt betyder "depression", "barm". Når de oversatte arabiske værker til latin , oversatte europæiske oversættere ordet "jaib" med det latinske ord sinus - " sinus ", som har samme betydning (det er i denne betydning, at det bruges som et anatomisk udtryk sinus ). Udtrykket " cosinus " ( lat. cosinus ) er en forkortelse for lat. complementi sinus - yderligere sinus. $AB$

Moderne forkortelser introduceret af William Oughtred og Bonaventura Cavalieri og nedfældet i Leonhard Eulers skrifter . $\synd$ $\cos$

Udtrykkene " tangens " ( lat. tangens - rørende) og " sekans " ( lat. secans - secant) blev introduceret af den danske matematiker Thomas Fincke i sin bog Geometri of the Round (Geometria rotundi, 1583).

Udtrykket trigonometriske funktioner blev introduceret af Klugel i 1770 .

Senere blev vilkårene for inverse trigonometriske funktioner også introduceret - arcsine , arccosine , arctangent , arccotangent , arcsecant , arccosecant - ved at tilføje præfikset " arc " (fra latin arcus - arc), - J. Lagrange og andre.

Se også

Litteratur

Bermant A. F., Lyusternik L. A. Trigonometri. — M.: Nauka, 1967.
Trigonometriske funktioner - artikel fra Great Soviet Encyclopedia . - M.: Soviet Encyclopedia , 1977. - T. 26. - S. 204-206.
Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Retlineær trigonometri // Håndbog i matematik . - Ed. 7., stereotypisk. - M . : Statens forlag for teknisk og teoretisk litteratur, 1967. - S. 179-184.
Vygodsky M. Ya. Håndbog i elementær matematik . — M .: Nauka, 1978.
- Genudgivelse: M.: AST, 2006. - 509 s. — ISBN 5-17-009554-6 www.alleng.ru/d/math/math42.htm
Dwight DK Trigonometriske funktioner // Tabeller over integraler og andre matematiske formler. - 4. udg. - M . : Nauka, 1973. - S. 70-102.
Kozheurov P.A. Trigonometri. — M.: Fizmatgiz, 1963.
Markushevich A.I. Store bihuler. — M.: Nauka, 1974.
Matematisk encyklopædi / Kap. udg. I. M. Vinogradov. - M .: Soviet Encyclopedia, 1984. - I. M. Vinogradov. Trigonometriske funktioner // Matematisk encyklopædi. — M.: Sovjetisk Encyklopædi . - 1977-1985. (Russisk)
Trigonometriske funktioner // Encyclopedic Dictionary of a Young Mathematician / Ed. collegium, Gnedenko B.V. (chefredaktør), Savin A.P. og andre - M .: Pedagogy , 1985 (1989). - S. 299-301-305. - 352 s., ill. - ISBN 5-7155-0218-7 (s. 342 , 343 - tabeller over trigonometriske funktioner 0 ° -90 °, inklusive i radianer)
Trigonometriske funktioner // Håndbog i matematik (for gymnasier) / Tsypkin A. G., red. Stepanova S. A. - 3. udg. — M.: Nauka, Ch. udgave af Phys.-Math. Litteratur, 1983. - S. 240-258. - 480 s.

Noter

↑ Håndbog: Korn G., Korn T. Håndbog i matematik (for videnskabsmænd og ingeniører) . - M . : Nauka, 1973. - 720 s. En 19. januar 2015 arkivkopi på Wayback Machine angiver dem som særlige funktioner .
↑ Matematisk tegn. // Stor sovjetisk encyklopædi . 1. udg. T. 27. - M., 1933.
↑ Håndbog i elementær matematik, 1978 , s. 271-272.
↑ Håndbog i elementær matematik, 1978 , s. 282-284.
↑ Ilyin V. A. , Poznyak E. G. Fundamentals of matematisk analyse. Del 1. - M . : Nauka , 1998. - ISBN 5-02-015231-5 .
↑ I formler, der indeholder en logaritme på højre side af lighederne, er integrationskonstanterne generelt set forskellige for forskellige kontinuitetsintervaller. $\scriptstyle C$

Ordbøger og encyklopædier

I bibliografiske kataloger
BNF : 12168469v GND : 4186137-1 J9U : 987007548881405171 LCCN : sh85137518 NDL : 00570156 NKC : ph923034

Trigonometri
Generel	Trigonometri oversigt Historie Brug Funktioner Baglæns Sjældent brugt Generaliseret trigonometri
Vejviser	Identiteter Præcise konstanter borde enhedscirkel
Love og teoremer	Sinus-sætning Pythagoras sætning Cosinus-sætning Tangentsætning Cotangenssætning Løsning af trekanter
Matematisk analyse	Trigonometrisk substitution Integraler ( omvendte funktioner ) Derivater