Målbar funktion

Målbare funktioner repræsenterer en naturlig klasse af funktioner , der forbinder rum med fornemme sæt algebraer , især målbare rum .

Definition

Lad og være to mængder med fornemme delmængdealgebraer . Så kaldes funktionen - målbar , eller blot målbar , hvis forbilledet af et sæt fra tilhører , dvs. $(X,{\mathcal {F}})$ $(Y,{\mathcal {G}})$ $f:X\til Y$ ${\mathcal {F}}/{\mathcal {G}}$ ${\mathcal {G}}$ ${\mathcal {F}}$

\forall B\in {\mathcal {G)),\;f^{{-1}}(B)\in {\mathcal {F)),

hvor betyder det omvendte billede af sættet . $f^{-1}(B)$ $B$

Noter

Hvis og er topologiske rum , og algebraer og ikke er eksplicit angivet, så antages det, at disse er Borel σ-algebraer af de tilsvarende rum. $x$ $Y$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {G}}$
Betydningen af denne definition er, at hvis et mål er givet på et sæt, så inducerer (overfører) denne funktion denne målestok til mængden . $x$ $Y$

Real-værdi målbare funktioner

Lad en funktion gives . Så svarer ovenstående definition af målbarhed til en af følgende: $f:(X,{\mathcal {F)))\til ({\mathbb {R)),{\mathcal {B))({\mathbb {R))))$

Funktionen er målbar hvis $f$ $\forall c\in \mathbb {R} ,\;\{x\in X\mid f(x)\ >c\}\in {\mathcal {F))$ .

Funktionen er målbar hvis $f$ $\forall a,b\in {\mathbb {R}}$ sådan at vi har , $a\leq b$ $\{x\in X\mid f(x)\i \langle a,b\rangle \}\in {\mathcal {F))$

hvor angiver ethvert interval, åben, halvåben eller lukket.

\langle a,b\rangle

Relaterede definitioner

Lad og være to kopier af den reelle linje sammen med dens Borel σ-algebra . Så hedder den målbare funktion Borel . $(X,{\mathcal {F}})=({\mathbb {R}},{\mathcal {B}}({\mathbb {R}}))$ $(Y,{\mathcal {G}})=({\mathbb {R}},{\mathcal {B}}({\mathbb {R}}))$ $f:({\mathbb {R)),{\mathcal {B))({\mathbb {R))))\to ({\mathbb {R)),{\mathcal {B))({\mathbb {R)))$
En målbar funktion , hvor er sættet af elementære udfald , og er σ-algebraen af tilfældige begivenheder , kaldes et tilfældigt element . Et særligt tilfælde af et tilfældigt element er en tilfældig variabel , for hvilken . $f:(\Omega ,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})$ $\Omega$ ${\mathcal {F}}$ $(Y,{\mathcal {G}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$

Eksempler

Lad være en kontinuerlig funktion . Så er det målbart med hensyn til Borel σ-algebraen på den reelle linje. $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$
Lad og vær en indikator for mængden Så er funktionen ikke målbar. $f:(X,{\mathcal {F}})\to ({\mathbb {R}},{\mathcal {B}}({\mathbb {R}})))),$ $f(x)={\mathbf {1}}_{A}(x),\;x\in X$ $A\ikke \i {\mathcal {F}).$ $f$

Egenskaber

Luzins teorem . En funktion er målbar, hvis og kun hvis der for nogen eksisterer en kontinuerlig funktion , der adskiller sig fra et målsæt, der ikke er større end . $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $\varepsilon >0$ $h\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f$ $\varepsilon$

Historie

I 1901 stillede den franske matematiker A. Lebesgue , baseret på teorien om det Lebesgue-integral , han byggede , opgaven: at finde en klasse af funktioner, der er bredere end analytisk, men som samtidig tillader, at mange analytiske metoder kan anvendes til det. På dette tidspunkt var der allerede en generel måleteori udviklet af E. Borel (1898), og de første værker af Lebesgue var baseret på Borel-teorien. I Lebesgues afhandling (1902) blev målteori generaliseret til det såkaldte Lebesgue-mål . Lebesgue definerede begreberne for målbare mængder, afgrænsede målbare funktioner og integraler for dem, beviste, at alle "almindelige" afgrænsede funktioner studeret i analyse er målbare, og at klassen af målbare funktioner er lukket under grundlæggende analytiske operationer, herunder operationen med at overføre til grænsen . I 1904 generaliserede Lebesgue sin teori ved at fjerne begrænsningsbetingelsen for en funktion.

Lebesgues forskning fandt et bredt videnskabeligt svar, de blev videreført og udviklet af mange matematikere: E Borel, M. Ries , J. Vitali , M. R. Fréchet , N. N. Luzin , D. F. Egorov og andre. Begrebet konvergens i det mindste (1909), topologiske egenskaber af klassen af målbare funktioner blev dybt undersøgt.

Lebesgues værker havde en anden vigtig begrebsmæssig betydning: de var fuldstændig baseret på Cantors mængdeteori , som var kontroversiel i disse år , og frugtbarheden af Lebesgues teori tjente som et stærkt argument for at acceptere mængdeteori som grundlaget for matematik.

Litteratur

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elementer af teorien om funktioner og funktionel analyse, 4. udgave, M.: Nauka, 1976, 544 pp.
Medvedev F. A. Om historien om begrebet en målbar funktion. // Historisk og matematisk forskning . - M .: Fizmatgiz , 1959. - Nr. 12 . - S. 481-492 .
Khalmosh P. Teori om foranstaltninger. M.: Forlag for udenlandsk litteratur, 1953.