Fourier transformation

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 25. januar 2022; checks kræver 10 redigeringer .

Fourier transformation

Kort navn/titel	FT
Opkaldt efter	Fourier, Jean-Baptiste Joseph
Formel, der beskriver en lov eller sætning	$\left({\mathcal {F}}f\right)(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}f(t)\mathrm {d} t$ [en]
Betegnelse i formlen	${\mathcal {F}}f$ , , og $f$ $\omega$ $\mathrm {e}$
tilbage til	invers Fourier-transformation [d]
Mediefiler på Wikimedia Commons

Fourier-transformationen ( symbol ℱ ) er en operation, der kortlægger en funktion af en reel variabel til en anden funktion af en reel variabel. Denne nye funktion beskriver koefficienterne ("amplituderne"), når den oprindelige funktion dekomponeres i elementære komponenter - harmoniske svingninger med forskellige frekvenser

Fourier-transformationen af en funktion af en reel variabel er integral og er givet ved følgende formel: $f$

{\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}f (x)e^{{-ix\omega }}\,dx.

Forskellige kilder kan give definitioner, der adskiller sig fra ovenstående ved at vælge en faktor foran integralet (den såkaldte normaliseringsfaktor , som refererer til spørgsmålet om normalisering af Fourier-transformen ), samt "−"-tegnet i eksponenten . Men uanset sådanne variationer, vil alle egenskaber forblive gyldige, selvom formen af nogle formler kan ændre sig.

Den generelle formel for alle varianter af definitionen af Fourier-transformationen med parametre og ser ud $-en$ $b$

{\hat {f))(\omega )={\sqrt {\frac {\left|b\right|}{(2\pi )^{1-a))))\int \limits _ {-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ibx\omega }\,dx.

Den omvendte transformation er defineret som følger

f(x)={\sqrt {\frac {\left|b\right|}{(2\pi )^{1+a))))\int \limits _{-\infty }^{ \infty }{\hat {f}}(\omega )e^{ib\omega x}\,d\omega .

Når valget og eller formlerne bliver særligt enkle, forsvinder normaliseringsfaktorerne i dem, og formlerne adskiller sig kun i gradens fortegn, som et resultat af, at de fleste af formlerne nedenfor er forenklet til konstante konstanter. $a=0$ $b=2\pi$ $b=-2\pi$

Derudover er der forskellige generaliseringer af dette begreb (se nedenfor).

Egenskaber

Selvom formlen, der definerer Fourier-transformationen, kun har en klar betydning for funktioner i klassen $L_{1}(\mathbb{R} )$ , kan Fourier-transformationen defineres for en bredere klasse af funktioner og endda generaliserede funktioner . Dette er muligt på grund af en række egenskaber ved Fourier-transformationen:

Fourier-transformationen er en lineær operator :

\widehat {(\alpha f+\beta g)}=\alpha {\hat {f}}+\beta {\hat {g}}.

Parseval- ligheden er sand : hvis , så bevarer Fourier-transformationen -normen: $f\in L_{1}(\mathbb{R} )\cap L_{2}(\mathbb{R} )$ $L_{2}$

\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|{{ \hat {f}}(w)}|^{2}\,d\omega .

Denne egenskab gør det muligt at udvide definitionen af Fourier-transformationen til hele rummet ved kontinuitet . Parsevals lighed vil da være gældende for alle . $L_{2}(\mathbb{R} )$ $f\in L_{2}(\mathbb{R} )$

Behandlingsformel :

f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega) e^{ix\omega }\,d\omega

er gyldig, hvis integralet på højre side giver mening. Dette gælder især, hvis funktionen er tilstrækkelig glat. Hvis , så er formlen også sand, da Parsevals lighed gør det muligt at give mening i integralet på højre side ved at gå til grænsen. $f$ $f\in L_{2}(\mathbb{R} )$

Denne formel forklarer den fysiske betydning af Fourier-transformationen: højre side er den (uendelige) sum af harmoniske svingninger med henholdsvis frekvenser , amplituder og faseforskydninger . $e^{{i\omega x}}$ $\omega$ ${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}|{\hat {f}}(\omega )|$ $\arg {\hat {f}}(\omega)$

Konvolutionssætning : hvis da $f,\;g\in L_{1}(\mathbb{R} )$

\widehat {(f\ast g)}={\sqrt {2\pi }}\widehat {f}\widehat {g}

, hvor

(f\ast g)(t)=\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}f(ts)g(s)\,ds.

Denne formel kan også udvides til at omfatte generaliserede funktioner.

Fourier transformation og differentiering . Hvis , så $f,\;f'\in L_{1}(\mathbb{R} )$

\widehat {(f')}=i\omega \widehat {f}.

Ud fra denne formel udledes formlen for den -th afledte let: $n$

\widehat {(f^{{(n)}})}=(i\omega )^{n}\widehat {f}.

Formlerne er også sande i tilfælde af generaliserede funktioner.

Fourier Transform og Shift .

{\widehat {f(x-x_{0})}}=e^{-i\omega x_{0}}{\hat {f}}(\omega).

Denne og den foregående formel er specialtilfælde af foldningssætningen, da skift for argument er foldning med den forskudte deltafunktion , og differentiering er foldning med den afledede af deltafunktionen. $\delta (x-x_{0})$

Fourier transformation og strækning .

{\widehat {f(ax)}}=|a|^{-1}{\hat {f}}(\omega /a).

Poisson summeringsformel :

\sum _{k=-\infty }^{+\infty }f(k)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\hat {f))(n)

Fouriertransformation af generaliserede funktioner . Fourier-transformationen kan defineres for en bred klasse af generaliserede funktioner. Lad os først definere rummet af glatte hurtigt aftagende funktioner ( Schwartz space ):

S({\mathbb R}):=\venstre\{\varphi \in C^{{\infty }}({\mathbb R}):\forall n,\;m\in \mathbb{N} \; x^{n}\varphi ^{{(m)}}(x){\xrightarrow {x\to \infty }}0\right\}.

Nøgleegenskaben ved dette rum er, at det er et invariant underrum med hensyn til Fourier-transformationen.

Lad os nu definere dets dobbelte rum . Dette er et underrum i rummet af alle generaliserede funktioner - de såkaldte generaliserede funktioner af langsom vækst. For en funktion er dens Fourier-transformation en generaliseret funktion, der virker på hovedfunktionerne i henhold til reglen $S^{*}(\mathbb{R})$ $f\in S^{*}(\mathbb{R})$ ${\hat {f}}\in S^{*}(\mathbb{R})$

\langle {\hat {f)),\;\varphi \rangle =\langle f,\;{\hat {\varphi ))\rangle .

Lad os for eksempel beregne Fourier-transformationen af deltafunktionen :

\langle {\hat {\delta )),\;\varphi \rangle =\langle \delta ,\;{\hat {\varphi ))\rangle =\venstre\langle \delta ,\;{\frac {1 }{{\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{{-\infty }}^({\infty }}\varphi (x)e^{{-i\omega x}}\, dx\right\rangle ={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}\varphi (x)\cdot 1\,dx=\venstre\langle {\frac {1}{{\sqrt {2\pi )))),\;\varphi \right\rangle .

Fourier-transformationen af deltafunktionen er således en konstant . ${\frac {1}{{\sqrt {2\pi ))))$

Usikkerhedsprincippet

Generelt gælder det, at jo større koncentrationen f ( x ) , jo mere spredt skal dens Fourier-transformation f̂ ( ω ) være . Især kan Fourier-transformationens skaleringsegenskab repræsenteres som følger: hvis en funktion er komprimeret x gange, så strækkes dens Fourier-transformation ω gange. Det er umuligt vilkårligt at koncentrere både en funktion og dens Fourier-transformation.

Afvejningen mellem fortætningen af en funktion og dens Fourier-transformation kan formaliseres som usikkerhedsprincippet , idet man betragter funktionen og dens Fourier-transformation som konjugerede variabler med hensyn til den tids-frekvens- symplektiske form : set fra det lineære synspunkt. kanonisk transformation , Fourier-transformationen er en 90° rotation i tids-frekvensdomænet og bevarer den symplektiske form.

Antag, at f ( x ) er en integrerbar og kvadrat-integrerbar funktion. Så udtrykkes normen som

||f||_{2}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx.

Det følger af Plancherels sætning , at f̂ ( ω ) også er normaliseret.

Spredningen omkring den forventede værdi kan måles ved variansen defineret som $x_{0}={\frac {1}{||f||_{2}^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }x|f(x )|^{2}\,dx$

(\Delta f)^{2}={\frac {1}{||f||_{2}^{2))}\int \limits _{-\infty }^{\infty } (x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2}\,dx.

Med hensyn til sandsynlighed er dette det centrale andet moment af funktionen . ${\displaystyle |f(x)|^{2))$

Usikkerhedsprincippet siger, at hvis f ( x ) er absolut kontinuert, og funktionerne x f ( x ) og f ′( x ) er kvadratintegrerbare, så

{\displaystyle (\Delta f)^{2}(\Delta {\hat {f)))^{2}\geq {\frac {1}{16\pi ^{2))))

hvor normaliseringsfaktoren før Fourier-transformationen er , når normaliseringsfaktoren er lig, bliver højrehåndsudtrykket . Udtrækker rødderne fra begge udtryk, bliver højrehåndsudtrykket henholdsvis og bestemmer halvdelen af vinduets bredde ( standardafvigelse ). $en$ ${\frac {1}{2\pi ))$ ${\frac {1}{4))$ ${\frac {1}{4\pi }}$ ${\frac {1}{2))$ $\Delta$

Ligestilling opnås kun hvis

{\begin{aligned}f(x)&=C_{1}\,e^{-\pi {\frac {x^{2)){\sigma ^{2))))\\\ derfor {\hat {f}}(\xi )&=\sigma C_{1}\,e^{-\pi \sigma ^{2}\omega ^{2}}\end{aligned}}

hvor σ > 0 er vilkårlig og således at f er L 2 -normaliseret. Med andre ord, hvor f er en (normaliseret) Gauss-funktion med varians σ 2 , centreret ved nul, og dens Fourier-transformation er en Gauss-funktion med varians σ -2 . ${\displaystyle C_{1}={\frac {\sqrt[{4}]{2)){\sqrt {\sigma ))))$

Faktisk indebærer denne ulighed, at:

{\displaystyle \left({\frac {1}{||f||_{2}^{2))}\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0} )^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left({\frac {1}{||{\hat {f}}||_{2}^{2} }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }(\omega -\omega _{0})^{2}\left|{\hat {f}}(\omega )\right|^ {2}\,d\omega \right)\geq {\frac {1}{16\pi ^{2))))

for enhver x 0 , ω 0 ∈ R .

I kvantemekanikken er bølgefunktionens momentum og position par af Fourier-transformationer op til Plancks konstant . Med denne konstant korrekt taget højde for, bliver uligheden ovenfor en erklæring om Heisenberg-usikkerhedsprincippet .

Et stærkere usikkerhedsprincip er Hirschman-usikkerhedsprincippet , som udtrykkes som:

H\left(\left|f\right|^{2}\right)+H\left(\left|{\hat {f))\right|^{2}\right)\geq \ln \left({\frac {e}{2}}\right)

hvor H ( p ) er den differentielle entropi af sandsynlighedstæthedsfunktionen p ( x ) :

H(p)=-\int \limits _{-\infty }^{\infty }p(x)\ln {\bigl (}p(x){\bigr )}\,dx

hvor logaritmerne kan være i en hvilken som helst fortløbende base. Ligestilling opnås for den Gaussiske funktion som i det foregående tilfælde.

Ansøgninger

Fourier-transformationen bruges i mange områder af videnskaben - i fysik , talteori , kombinatorik , signalbehandling , sandsynlighedsteori , statistik , kryptografi , akustik , oceanologi , optik , geometri og mange andre. I signalbehandling og relaterede felter ses Fourier-transformationen normalt som en dekomponering af et signal til frekvenser og amplituder , det vil sige en reversibel overgang fra tid til frekvensrum . De rige anvendelsesmuligheder er baseret på flere nyttige transformationsegenskaber:

Transformationerne er lineære operatorer og, med den passende normalisering, unitære (en egenskab kendt som Parsevals sætning , eller mere generelt som Plancherels sætning , eller mere generelt som Pontryagins dualisme ).
Transformationerne er reversible, og den inverse transformation har næsten samme form som den direkte transformation.
Sinusformede basisfunktioner (eller rettere komplekse eksponentialer) er egenfunktioner af differentiering , hvilket betyder, at den givne repræsentation gør lineære differentialligninger med konstante koefficienter til almindelige algebraiske. (For eksempel i et lineært stationært system er frekvensen en konservativ værdi , så adfærden ved hver frekvens kan løses uafhængigt).
Ved hjælp af foldningssætningen forvandler Fourier-transformationen en kompleks foldningsoperation til en simpel multiplikation , hvilket betyder, at de giver en effektiv måde at beregne foldningsbaserede operationer som multiplikation af polynomier og multiplikation af store tal .
Den diskrete version af Fourier-transformationen kan hurtigt beregnes på computere ved hjælp af Fast Fourier Transform (FFT)-algoritmen.

Sorter

Multidimensionel transformation

Fourier-transformationen af funktioner givet på rummet er defineret af formlen $\mathbb {R} ^{n}$

{\hat {f))(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{{n/2))))\int \limits _{{\mathbb{R} ^{n} }}f(x)e^{{-ix\cdot \omega }}\,dx.

Her og er rumvektorer , er deres skalarprodukt . Den omvendte transformation i dette tilfælde er givet af formlen $\omega$ $x$ $\mathbb {R} ^{n}$ $x\cdot\omega$

f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{{n/2))))\int \limits _({\mathbb{R} ^{n))}{\hat {f }}(\omega )e^{{ix\cdot \omega }}\,d\omega .

Denne formel kan tolkes som at udvide funktionen til en lineær kombination ( superposition ) af formen " plane bølger " med henholdsvis amplituder , frekvenser og faseforskydninger . Som før kan definitionerne af den multidimensionelle Fourier-transformation i forskellige kilder være forskellige i valget af en konstant foran integralet. $f$ $e^{{ix\cdot \omega }}$ ${\frac {1}{(2\pi )^{{n/2))))|{\hat {f))(\omega )|$ $\omega$ $\arg {\hat {f}}(\omega)$

Bemærkningen om domænet for at specificere Fourier-transformationen og dens hovedegenskaber forbliver også gyldig i det multidimensionale tilfælde, med følgende præciseringer:

At tage partielle afledte under påvirkning af Fourier-transformationen bliver til multiplikation med koordinaten af samme navn:

\widehat {{\frac {\partial f}{\partial x_{k))))=i\omega _{k}{\hat {f))(\omega ).

Konstanten i foldningssætningen ændres:

\widehat {(f\ast g)}=(2\pi )^{{n/2}}{\hat {f}}{\hat {g}}.

Fourier-transformation og koordinatkompression:

\widehat {\left(f\left({\frac {x}{|a|}}\right)\right)}=|a|^{n}{\hat {f}}(\omega |a| ).

Mere generelt, hvis er et inverterbart lineært kort , så ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$

{\widehat {\left(f(Ax)\right)}}=|\det(A)|^{-1}{\hat {f}}((A^{T})^{- 1}\omega ).

Fourier-serien

Den kontinuerlige transformation i sig selv er faktisk en generalisering af den tidligere idé om Fourier-serien , som er defineret for periodiske funktioner og repræsenterer udvidelsen af sådanne funktioner til en (uendelig) lineær kombination af harmoniske svingninger med heltalsfrekvenser : $2\pi$

f(x)=\sum _{{n=-\infty }}^({\infty }}{\hat {f}}_{n}\,e^{{inx}}.

Fourier-seriens udvidelse er også anvendelig til funktioner defineret på afgrænsede intervaller, da sådanne funktioner periodisk kan udvides til hele linjen.

Fourier-serien er et specialtilfælde af Fourier-transformationen, hvis sidstnævnte forstås i betydningen generaliserede funktioner . For enhver -periodisk funktion, vi har $2\pi$

{\hat {f}}(\omega )={\sqrt {2\pi }}\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}{\hat {f}}_{n }\delta (\omega -n).

Med andre ord er Fourier-transformationen af en periodisk funktion summen af punktbelastningerne ved heltalpunkter og er nul uden for dem.

Diskret konvertering

Den diskrete Fourier-transformation er en transformation af endelige sekvenser af (komplekse) tal, der som i det kontinuerlige tilfælde gør foldning til punktvis multiplikation. Anvendes i digital signalbehandling og andre situationer, hvor du hurtigt skal udføre foldning, såsom når du multiplicerer store tal.

Lad være en sekvens af komplekse tal. Lad os overveje et polynomium . Lad os vælge nogle punkter på det komplekse plan . Nu kan vi associere et nyt sæt tal med et polynomium: . Bemærk, at denne transformation er reversibel: for ethvert sæt tal eksisterer der højst et unikt gradspolynomium med sådanne værdier i henholdsvis (se interpolation ). $x_{0},\;x_{1},\;\ldots ,\;x_{{n-1}}$ $f(t)=x_{0}+x_{1}t+x_{2}t^{2}+\ldots +x_{{n-1}}t^{{n-1}}$ $n$ $z_{0},\;z_{1},\;\ldots ,\;z_{{n-1}}$ $f(t)$ $n$ $f_{0}:=f(z_{0}),\;f_{1}:=f(z_{1}),\;\ldots ,\;f_{{n-1}}:=f(z_ {{n-1}})$ $f_{0},\;f_{1},\;\ldots ,\;f_{{n-1}}$ $f(t)$ $n-1$ $z_{0},\;\ldots ,\;z_{{n-1}}$

Sættet og kaldes den diskrete Fourier-transformation af det originale sæt . Enhedens rødder er normalt valgt som punkter : $\{f_{k}\}$ $\{x_{k}\}$ $z_{k}$ $n$

z_{k}=e^{{\frac {2\pi ik}{n))}

Dette valg er dikteret af det faktum, at den inverse transformation i dette tilfælde antager en simpel form, og også af det faktum, at beregningen af Fourier-transformationen kan udføres særligt hurtigt . Så mens beregning af foldningen af to længdesekvenser direkte kræver en rækkefølge af operationer, kan det at gå til deres Fourier-transformation og tilbage ved hjælp af en hurtig algoritme udføres i operationer. For Fourier-transformationer svarer foldning til komponentvis multiplikation, som kun kræver rækkefølgen af operationer. $n$ $n^{2}$ $O(n\log n)$ $n$

Windowing

F(t,\;\omega )=\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }f(\tau )W(\tau -t)e^{{-i\omega \tau } }\,d\tau ,

hvor giver frekvensfordelingen (generelt noget forvrænget) af den del af det originale signal i nærheden af tiden . $F(t,\;\omega )$ $f(t)$ $t$

Den klassiske Fourier-transformation beskæftiger sig med spektret af et signal, der overtages hele området for eksistensen af en variabel. Ofte er det kun den lokale frekvensfordeling, der er af interesse, mens det er nødvendigt at beholde den oprindelige variabel (normalt tid). I dette tilfælde bruges en generalisering af Fourier-transformationen - den såkaldte windowed Fourier-transformation . Til at begynde med er det nødvendigt at vælge en eller anden vinduesfunktion , og denne funktion skal have et vellokaliseret spektrum. $W$

I praksis implementeres diskret spektralanalyse i moderne digitale oscilloskoper og spektrumanalysatorer . Det bruges som regel valget af et vindue fra 3-10 typer. Brugen af vinduer er grundlæggende nødvendig, da i rigtige enheder altid undersøges et vist snit fra signalet under undersøgelse. I dette tilfælde forvrænger signaldiskontinuiteter på grund af hakket skarpt spektret på grund af overlejringen af springspektrene på signalspektret.

Nogle spektrumanalysatorer bruger hurtig (eller kort tid) vinduesvisning. Med det er et signal af en given varighed opdelt i et antal intervaller ved hjælp af et glidende vindue af en eller anden type. Dette gør det muligt at opnå, undersøge og opbygge dynamiske spektre i form af spektrogrammer og analysere deres adfærd i tide. Spektrogrammet er bygget i tre koordinater - frekvens, tid og amplitude. I dette tilfælde indstilles amplituden af farven eller nuancen af farven på hvert rektangel i spektrogrammet. Sådanne spektrumanalysatorer kaldes realtidsspektrumanalysatorer . Deres hovedproducent er Keysight Technologies Corporation ( USA ), Rohde & Schwarz (Tyskland), Tektronix (USA). Sådanne analysatorer dukkede op i slutningen af forrige århundrede og udvikler sig nu hurtigt. Frekvensområdet for de signaler, de studerer, når hundredvis af gigahertz.

Disse metoder til spektralanalyse er også implementeret i computermatematiksystemer, for eksempel Mathcad , Mathematica , Maple og MATLAB .

Andre muligheder

Den diskrete Fourier-transformation er et specialtilfælde (og nogle gange brugt som en tilnærmelse) af den diskrete-i-tid Fourier-transformation (DTFT), som er defineret på diskrete, men uendelige domæner, og derfor er spektret kontinuerligt og periodisk. Den tidsdiskrete Fourier-transformation er i det væsentlige det omvendte af Fourier-rækken. $x_k$

Disse varianter af Fourier-transformationen kan generaliseres til Fourier-transformationerne af vilkårlige lokalt kompakte Abelske topologiske grupper , som studeres i harmonisk analyse; de forvandler en gruppe til dens dobbeltgruppe . Denne fortolkning giver os også mulighed for at formulere foldningssætningen , som etablerer en forbindelse mellem Fourier-transformationer og foldninger . Se også Pontryagins dualisme .

Fortolkning i form af tid og frekvens

Med hensyn til signalbehandling tager transformationen en tidsserierepræsentation af en signalfunktion og kortlægger den i et frekvensspektrum , hvor hjørnefrekvensen er . Det vil sige, at det forvandler en funktion af tid til en funktion af frekvens ; det er nedbrydningen af en funktion til harmoniske komponenter ved forskellige frekvenser. $\omega$

Når funktionen er en funktion af tid og repræsenterer et fysisk signal , har transformationen en standardfortolkning som signalets spektrum . Den absolutte værdi af den resulterende komplekse funktion repræsenterer amplituderne af de tilsvarende frekvenser ( ), mens faseforskydningerne opnås som et argument for denne komplekse funktion. $f$ $F$ $\omega$

Fourier-transformationer er dog ikke begrænset til funktioner af tid og tidsmæssige frekvenser. De kan anvendes på samme måde til analyse af rumlige frekvenser, såvel som til næsten enhver anden funktion.

Vigtige formler

Følgende tabel indeholder en liste over vigtige formler for Fourier-transformationen. og betegne Fourier-komponenterne af funktionerne og hhv. og skal være integrerbare funktioner eller generaliserede funktioner . $F(\omega)$ $G(\omega)$ $f(t)$ $g(t)$ $f$ $g$

Nøglen i denne tabel, og i særdeleshed faktorer som f.eks. , afhænger af konventionen, hvilken definitionsform for Fourier-transformationen er blevet brugt før (selvom generelt forholdene selvfølgelig er korrekte). ${\sqrt {2\pi ))$

	Fungere	Billede	Noter
en	$af(t)+bg(t)$	$aF(\omega )+bG(\omega )$	Linearitet
2	$f(ta)$	$e^{-i\omega a}F(\omega )$	Lag
3	$e^{iat}f(t)$	$F(\omega-a)$	frekvensskift
fire	$fed)$	$\|a\|^{{-1}}F\venstre({\frac {\omega }{a}}\højre)$	Hvis den er stor, så er den koncentreret nær nul og bliver flad $-en$ $fed)$ $\|a\|^{{-1}}F\venstre({\frac {\omega }{a}}\højre)$
5	${\displaystyle {\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n))))$	$(i\omega )^{n}F(\omega )$	Egenskab for Fourier-transformationen af den th afledte $n$
6	$t^{n}f(t)$	${\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}F(\omega )}{d\omega ^{n))))$	Dette er en tilbageførsel af regel 5
7	$(f*g)(t)$	${\sqrt {2\pi }}F(\omega )G(\omega )$	Record betyder foldning og . Denne regel er foldningssætningen. $f*g$ $f$ $g$
otte	$f(t)g(t)$	${\displaystyle {\frac {(F*G)(\omega )}{\sqrt {2\pi ))))$	Denne appel 7
9	$\delta (t)$	${\frac {1}{{\sqrt {2\pi ))))$	$\delta (t)$ betyder Dirac delta-funktionen
ti	$en$	${\sqrt {2\pi }}\delta (\omega )$	Anke 9.
elleve	$t^{n}$	$i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega)$	Her er et naturligt tal , er den generaliserede afledte af Dirac delta-funktionen. Konsekvens af regel 6 og 10. Ved at bruge den sammen med regel 1 kan du lave transformationer af alle polynomier $n$ $\delta ^{{(n)}}(\omega)$ $n$
12	${\displaystyle e^{iat))$	${\sqrt {2\pi }}\delta (\omega -a)$	Konsekvens 3 og 10
13	$\cos(at)$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}$	Følge 1 og 12 ved hjælp af Eulers formel $\cos(at)={\frac {1}{2}}\left(e^{iat}+e^{-iat}\right)$
fjorten	$\sin(at)$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}}$	Også fra 1 og 12
femten	$\exp(-at^{2})$	${\frac {1}{\sqrt {2a}}}\exp \left({\frac {-\omega ^{2}}{4a}}\right)$	Angiver, at den Gaussiske funktion matcher dens billede $\exp(-t^{2}/2)$
16	$W{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\mathrm {sinc} (Wt)$	$\mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2W}}\right)$	Den rektangulære funktion er et ideelt lavpasfilter, og sinc (x)-funktionen er dens tidsmæssige ækvivalent
17	${\frac {1}{t))$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatørnavn {sgn}(\omega )$	Her er sgn- funktionen . Denne regel er i overensstemmelse med 6 og 10 $\operatørnavn {sgn}(\omega )$
atten	${\displaystyle {\frac {1}{t^{n))))$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatørnavn {sgn }(\omega )$	Generalisering 17
19	$\operatørnavn {sgn}(t)$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(i\omega )^{-1}$	Anke 17
tyve	${\sqrt {2\pi }}\theta (t)$	${\frac {1}{i\omega }}+\pi \delta (\omega )$	Her er Heaviside-funktionen . Følger af regel 1 og 19 $\theta (t)$

Se også

Litteratur

Zorich V. A. Matematisk analyse. — M .: Fizmatlit , 1984. — 544 s.
Afonsky A. A., Dyakonov V. P. Digital Spectrum, Signal and Logic Analyzers / Ed. prof. V. P. Dyakonova. - M. : SOLON-Press, 2009. - S. 248 . - ISBN 978-5-913-59049-7 .
Dyakonov V.P. MATLAB 6.5 SP1/7.0 + Simulink 5/6. Signalbehandling og filterdesign. - M. : SOLON-Press, 2005. - S. 576. - ISBN 5-980-03206-1 .
Sergienko AB Digital signalbehandling. - 2. udg. - Sankt Petersborg. : Peter, 2006. - S. 751. - ISBN 5-469-00816-9 .
M. A. Pavleino, V. M. Romadanov. Spektraltransformationer i MatLab. - Sankt Petersborg. , 2007. - S. 160. - ISBN 978-5-983-40121-1 .

Links

Integral Transforms Arkiveret 11. juli 2007 på Wayback Machine EqWorld: The World of Mathematical Equations
Online beregning af transformationen eller omvendt transformation
"Fourier Transform" Arkiveret 4. juli 2015 på Wayback Machine - En interaktiv guide til Fourier Transformen | BetterExplained Arkiveret 4. juli 2015 på Wayback Machine
Ronald N. Bracewell . Fourier transformation. Scientific American. I videnskabens verden. nr. 8, 1989, s. 48-56 Arkiveret 24. maj 2017 på Wayback Machine

Integrale transformationer
Abel transformerer Bessel forvandler sig Bushman transformation Gegenbauer transformation Hilbert transformation Kontorovich-Lebedev transformation Laplace transformation Meyer transformation Mehler-Fock transformation Mellin transformation Nerain transformation Radon transformation Stieltjes transformerer Fourier transformation Hankel transformation Hartley transformation

Kompressionsmetoder _

Teori

Information	Egen Gensidig Entropi Betinget entropi Kompleksitet Redundans
Enheder	Bit Nat Nappe Hartley Hartley formel

Tabsfri

Entropi kompression	Asymmetriske talsystemer Huffman algoritme Adaptiv Huffman-algoritme Shannon-Fano algoritme Shannons algoritme Aritmetisk kodning ( interval ) Golomb koder Delta Universel kode Elias fibonacci
Ordbogsmetoder	RLE Tøm luften ud LZ ( LZ77/LZ78 LZSS LZW LZWL LZO LZMA LZX LZRW LZJB LZT LZ4 Brotli zstandard )
Andet	RLE CTW BWT MTF PPM DMC

Lyd

Teori	Konvolution PCM Aliasing Prøveudtagning Kotelnikovs teorem
Metoder	LPC LAR LSP WLPC CELP ACELP En lov μ-lov ADPCM MDCT Fourier transformation Psykoakustisk model
Andet	Audio kompressor Talekompression Båndkodning

Billeder

Vilkår	farverum Pixel Mætningsundersampling Kompressionsartefakter
Metoder	RLE DPCM fraktal wavelet EZW SPIHT LP Forbered PCL
Andet	Bitrate Standard testbillede PSNR Kvantisering

Video

Vilkår	Video egenskaber Ramme Rammetyper Videokvalitet
Metoder	Bevægelseskompensation Forbered Kvantisering wavelet
Andet	Video codec Teori om prisforvrængning CBR ABR VBR

Afledninger af det latinske bogstav F, f
Breve	Ḟḟ F̣f̣ Ƒƒ ᶂ Ff F̀f̀ F̄f̄ F̧f̧ ꜰ Ꞙꞙ ꟻ ꬵ Ⅎⅎ ʩ 𝼀 Ꝼꝼ
Symboler	ƒ ₣ ℉ ℱ 𝔽 🜅 𝄢 𝇑 𝆑 Ⓕⓕ ⒡

Ordbøger og encyklopædier	stor kinesisk Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	BNF : 119793260 J9U : 987007548250405171 LCCN : sh85051094 NDL : 00562090 NKC : ph117565

↑ 2-19.1 // ISO 80000-2:2019 Mængder og enheder - Del 2: Matematik - 2 - ISO , 2019. - 36 s.