Bernoullis differentialligning

En almindelig differentialligning af formen:

y'+a(x)y=b(x)y^{n},\quad n\neq 0,\,1

kaldes Bernoulli-ligningen (for eller vi opnår en inhomogen eller homogen lineær ligning). $n=0$ $n=1$

At er et særligt tilfælde af Riccati-ligningen . Opkaldt efter Jacob Bernoulli , som offentliggjorde denne ligning i 1695. $n=2$

Metoden til at løse ved hjælp af en erstatning, som reducerer denne ligning til en lineær, blev fundet af hans bror Johann Bernoulli i 1697. [en]

Løsningsmetode

Den første måde

Divider alle led i ligningen med

y^{n},

vi får

{\frac {dy}{dx}}\!y^{-n}+a(x)y^{1-n}=b(x).

At lave en udskiftning

{\displaystyle z=y^{1-n))

og differentierer, får vi:

{\frac {dz}{dx}}=(1-n)y^{-n}{\frac {dy}{dx}}.

Denne ligning er reduceret til en lineær ligning:

{\frac {dz}{dx}}+(1-n)a(x)z=(1-n)b(x)

og kan løses ved Lagrange-metoden (konstant variation) eller ved integrerende faktor-metoden.

Den anden måde

Lad os erstatte

y=uv,

derefter:

{\dot {u}}v+u({\dot {v}}+a(x)v)=b(x)(uv)^{n}.

Lad os vælge så $v(x)\ikke \ækvivalent 0$

{\dot {v}}+a(x)v=0,

hertil er det tilstrækkeligt at løse ligningen med adskillelige variable af 1. orden. Derefter får vi til definitionen en ligning - en ligning med adskillelige variable. $u$ ${\frac {{\dot {u}}}{u^{n}}}=b(x)v^{{n-1}}$

Eksempel

Ligningen

y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}

dividere med får vi: $y^{2},$

y'y^{{-2}}-{\frac {2}{x}}y^{{-1}}=-x^{2}.

Ændring af variabler

w={\frac {1}{y}}

giver:

w'={\frac {-y'}{y^{2}}},

w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}.

M(x)=e^{{-2\int {\frac {1}{x}}dx}}=x^{{-2}}.

Vi deler med $M(x)$

w'x^{2}+2xw=x^{4},

\int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx

wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C

{\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C.

Resultat:

y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}.

Litteratur

A. F. Filippov . Samling af opgaver om differentialligninger, - Enhver udgave.
V. V. Stepanov . Forløb af differentialligninger, - Enhver udgave.
Zelikin M. I. Homogene rum og Riccati-ligningen i variationsregningen, - Facttorial, Moskva, 1998.

Noter

↑ Zelikin M. I. Homogene rum og Riccati-ligningen i variationsregningen, - Facttorial, Moskva, 1998.