Hypoelliptisk operatør

En hypoelliptisk operator er en partiel differentialoperator, hvis grundlæggende løsning tilhører klassen på alle punkter i rummet, undtagen oprindelsen. ${\displaystyle C^{\infty ))$

Definition

Lade være et rigtigt polynomium i variabler $P(\xi)$ $\xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}):$

P(\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\xi ^{\alpha }:=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\ alpha }\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n)),

hvor og . ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n})\i \mathbb {Z} _{+}^{n))$ ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n))$

Vi definerer den tilsvarende differentialoperator:

P(D)=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }D^{\alpha }:=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha } {\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}},

hvor

D=(D_{1},\ldots,D_{n}),\quad D_{j}={\frac {\partial}{\partial x_{j))},\quad j=1, \ldots ,n.

En generaliseret funktion kaldes en fundamental løsning af differentialoperatoren, hvis det er en løsning på ligningen, hvor er Dirac delta-funktionen . En operator kaldes hypoelliptisk, hvis den tilhører klassen for alle . [1] [2] ${\mathcal {E}}(x)$ $P(D)$ $P(D){\mathcal {E}}(x)=\delta (x),$ $\delta(x)$ $P(D)$ ${\mathcal {E}}(x)$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $x\neq 0$

Egenskaber

Følgende kriterium for hypoellipticitet bruges ofte som en definition af en hypoelliptisk operator: [1]

Sætning 1. En operator er hypoelliptisk, hvis og kun hvis for ethvert åbent domæne en løsning (generaliseret funktion) af ligningen $P(D)$ $U\subset {\mathbb {R}}^{n}$ $u(x)$

P(D)\,u(x)=f(x),\quad x\in U,

med enhver højre side hører også til klassen $f\in C^{\infty }(U)$ $u\in C^{\infty }(U).$

Følgende algebraiske kriterium for hypoellipticitet, etableret af Hörmander , gælder også : [1]

Sætning 2. En operator er hypoelliptisk hvis og kun hvis $P(D)$

{\frac {P^{(k)}(-i\xi )}{P(-i\xi )}}\,\to \,0,\quad \ |\xi |\to \infty ,

for alle hvor er den imaginære enhed . $k=(k_{1},\ldots ,k_{n})\in \mathbb {Z} _{+}^{n},\,\ |k|\geq 1,$ $jeg$

Eksempler

Enhver elliptisk operator er hypoelliptisk, såsom Laplace-operatoren [2] .
Varmeoperatoren er hypoelliptisk, men ikke elliptisk [2] .
D'Alembert-operatøren er ikke hypoelliptisk [2] .

Noter

↑ 1 2 3 Hörmander L. Analyse af lineære partielle differentialoperatorer. - Moskva: Mir, 1986-1988.
↑ 1 2 3 4 Vladimirov V.S. Generaliserede funktioner i matematisk fysik. - Moskva: Nauka, 1979.

Litteratur

Hormander L. Analyse af lineære differentialoperatorer med partielle derivater. - Moskva: Mir, 1986-1988.
Vladimirov V.S. Generaliserede funktioner i matematisk fysik. - Moskva: Nauka, 1979.
Yu.V. Egorov , M.A. Shubin. Lineære partielle differentialligninger. Grundlaget for klassisk teori . — Resultater af videnskab og teknologi. Ser. Moderne sandsynlighed måtte. Fundam. retninger. - Moskva: VINITI, 1988. - T. 30. - S. 5-255.
J. Trev. Forelæsninger om lineære partielle differentialligninger med konstante koefficienter. - Moskva, 1965.

Differentialregning

Hoved

private udsigter

Differentialoperatorer
( i forskellige koordinater )

Første ordre	Nabla operatør Gradient Divergens Rotor Helmholtzian
anden orden	Elliptisk operatør Laplace operatør Laplace vektor operatør D'Alembert operatør Laplace-Beltrami operatør
højere ordrer	Hypoelliptisk operatør

relaterede emner