Anden afledt

Den anden eller anden afledede af en funktion er den afledede af den afledede af . Groft sagt måler den anden afledte, hvordan ændringshastigheden af selve størrelsen ændrer sig; for eksempel er den anden afledede af et objekts position i forhold til tiden objektets øjeblikkelige acceleration eller hastigheden for ændring af objektets hastighed i forhold til tiden. I Leibniz notation : $f$ $f$

\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt))={\frac {d^{2}{\boldsymbol {x))}{dt^{2))} ,

hvor - acceleration, - hastighed, - tid, - objektets position, d - øjeblikkelig "delta" eller ændring. Det sidste udtryk er den anden afledte af position i forhold til tid. $-en$ $v$ $t$ $x$ ${\tfrac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}}$ $(x)$

På grafen for en funktion svarer den anden afledede til grafens krumning eller konveksitet . Grafen for en funktion med en positiv anden afledet på et tidspunkt kurver nedad på det punkt, mens grafen for en funktion med en negativ anden afledet på et tidspunkt kurver i den modsatte retning på det punkt.

Betegnelse

Den anden afledede af en funktion betegnes normalt [1] [2] . Det er: $f(x)$ $f''(x)$

f''=\left(f'\right)'

Når du bruger Leibniz-notation , skrives den partielle anden afledede af den afhængige variabel med hensyn til den uafhængige variabel som: $y$ $x$

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.

Denne betegnelse er afledt af følgende formel:

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}} \ret).

Den anden afledede af en potensfunktion

Tager vi den afledede to gange, får vi formlen for den anden afledede:

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{ dx}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac {d}{dx}} \venstre[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.

Eksempel

Givet en funktion

f(x) = x^3,

afledt af - funktion $f$

f^{\prime }(x)=3x^{2}.

Den anden afledte af er den afledte af , nemlig $f$ $f^{\prime }$

f^{\prime \prime}(x)=\left(f'\left(x\right)\right)'=6x.

Den anden afledede på grafen

Bulge

Den anden afledede af funktionen kan bruges til at bestemme konveksiteten/konkavitet af grafen [2] . En funktion, hvis anden afledede er positiv, vil være nedadkonveks (også kaldet opadkonkav), hvilket betyder, at tangenten vil ligge under funktionens graf. Tilsvarende vil en funktion, hvis anden afledede er negativ, være konveks opad (også kaldet blot konkav nedad), og dens tangentlinjer vil ligge over funktionens graf. $f$ $f$

Bøjningspunkter

Hvis den anden afledede af en funktion ændrer fortegn, så ændres grafen for funktionen fra konveks op til konveks ned, eller omvendt. Det punkt, hvor grafen ikke længere er opad konveks, men endnu ikke nedad konveks, kaldes et bøjningspunkt . Hvis den anden afledede er kontinuert, forsvinder den ved et hvilket som helst bøjningspunkt, men husk, at ikke hvert punkt, hvor den anden afledede er nul, nødvendigvis er et bøjningspunkt.

Undersøgelse af stationære punkter

Forholdet mellem den anden afledede og grafen kan bruges til at teste, om et stationært punkt i en funktion (det vil sige et punkt hvor ) er et lokalt maksimum eller et lokalt minimum . I detaljer: $f'(x)=0$

Hvis , så har et lokalt maksimum på punktet . $f^{\prime \prime }(x)<0$ $f$ $x$
Hvis , så har et lokalt minimum på . $f^{\prime \prime }(x)>0$ $f$ $x$
Hvis , tjek af den anden afledede siger intet om, hvorvidt punktet er et bøjningspunkt. $f^{\prime \prime }(x)=0$ $x$

Grunden til, at den anden afledte giver sådanne resultater, kan forstås ved hjælp af en analogi med den virkelige verden. Overvej et køretøj, der i starten bevæger sig fremad med høj hastighed, men med negativ acceleration . Det er klart, at bilens position på det punkt, hvor hastigheden når nul, vil være den største afstand fra startpositionen - næste trin bliver hastigheden negativ, og bilen begynder at gå i den modsatte retning. Det samme gælder for minimum, når køretøjet oprindeligt har en negativ hastighed, men en positiv acceleration.

Begræns

Du kan skrive den anden afledede med kun én grænse :

f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(xh)}{h^{2))}.

Denne grænse kan kaldes den anden symmetriske afledte [3] [4] . Det er værd at bemærke, at den anden symmetriske afledte kan eksistere, selvom den (sædvanlige) anden afledte ikke eksisterer.

Højre side af udtrykket kan skrives som et differensforhold mellem differensforhold:

{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(xh)}{h^{2))}={\frac ({\frac {f(x+h)-f( x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(xh)}{h}}}{h}}.

Denne grænse kan opfattes som en kontinuerlig version af den anden endelige forskel for sekvenser .

Eksistensen af ovenstående grænse betyder dog ikke, at funktionen har en anden afledet. Ovenstående grænse gør det simpelthen muligt at beregne den anden afledte, men giver ikke en idé om dens eksistens. Modeksemplet er den funktion , der er defineret som: $f$ $\operatørnavn {sgn}(x)$

\operatornavn {sgn}(x)={\begin{cases}-1,\ \ x<0\\0,\ \ \ \ \ x=0\\1,\ \ \ \ \ x>0 \end{sager}}

Funktionen er diskontinuerlig ved nul, så den anden afledede for eksisterer ikke. Men ovenstående grænse findes for : $\operatørnavn {sgn}(x)$ $x=0$ $x=0$

{\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0 -h)}{h^{2))}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatørnavn {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatørnavn {sgn}(-h) }{h^{2))}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatørnavn {sgn}(h)+(-\operatørnavn {sgn}(h))}{h^ {2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}

Kvadratisk tilnærmelse

Ligesom den første afledede er relateret til den lineære tilnærmelse, er den anden afledede relateret til den kvadratiske tilnærmelse for funktionen . Dette er en andengradsfunktion, hvis første og anden afledede er den samme som y i det givne punkt. Formlen for den kvadratiske tilnærmelse af en funktion omkring et punkt har formen $f$ $f$ $f$ $x=a$

f(x)\approx f(a)+f'(a)(xa)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(xa)^{2}.

Denne kvadratiske tilnærmelse er en andenordens Taylor-række for funktionen centreret ved x = a .

Egenværdier og egenvektorer af den anden afledede

For mange grænseværdiproblemer kan man opnå eksplicitte formler for egenværdierne og egenvektorerne for den anden afledede operator. For eksempel, hvis vi antager, at og får homogene Dirichlet-grænsebetingelser (dvs. ), så er egenværdierne og de tilsvarende egenvektorer (også kaldet egenfunktioner) lig med . Her $x\in [0,L]$ $v(0)=v(L)=0$ $\lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}$ $v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)$ $v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x),\,j=1,\ldots ,\infty .$

For andre bemærkelsesværdige tilfælde, se egenværdier og egenvektorer af den anden afledede .

Generalisering til højere dimensioner

Hessian

Den anden afledede er generaliseret til højere dimensioner med begrebet anden partielle afledninger . Funktionen har tre andenordens partielle afledninger: $f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}} ,{\text{ og }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2))))

og blandede partielle derivater:

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y)),\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z )),{\text{ og }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z)).

Hvis alle disse afledte er kontinuerte, så kan man komponere en symmetrisk matrix ud fra dem, kendt som den hessiske matrix . Egenværdierne af denne matrix kan bruges til at implementere en multivariat analog til at kontrollere den anden afledede.

En anden almindelig generalisering af den anden afledte er Laplacian . Dette er en differentialoperator (eller ), defineret som: $\nabla ^{2}$ $\Delta$

\nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.

Funktionens Laplacian er lig med divergensen af gradienten og sporet af den hessiske matrix.

Se også

Finit forskel bruges til at tilnærme den anden afledede
Bøjningspunktstest
Ligestilling af blandede derivater

Noter

↑ Indhold - Den anden afledte . amsi.org.au. _ Dato for adgang: 16. september 2020. (ubestemt)
↑ 1 2 Anden afledte _ . Matematik 24 . Dato for adgang: 16. september 2020. (ubestemt)
↑ A. Zygmund. Trigonometrisk serie. - Cambridge University Press, 2002. - S. 22-23. — ISBN 978-0-521-89053-3 .
↑ Thomson. Symmetriske egenskaber af reelle funktioner. - Marcel Dekker, 1994. - ISBN 0-8247-9230-0 .

Litteratur

Trykte ressourcer

Anton, Howard; Bivens, Irl & Davis, Stephen (2. februar 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (8. udgave), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5
Apostol, Tom M. (juni 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2. udgave), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1 , < https://archive.org/details/calculus01apos >
Apostol, Tom M. (juni 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications (2. udgave), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5 , < https://archive.org/details/calculus01apos >
Eves, Howard (2. januar 1990), An Introduction to the History of Mathematics (6. udgave), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4
Larson, Ron; Hostetler, Robert P. & Edwards, Bruce H. (28. februar 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (4. udgave), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
Spivak, Michael (september 1994), Calculus (3. udgave), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
Stewart, James (24. december 2002), Calculus (5. udgave), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7 , < https://archive.org/details/calculus0000stew >
Thompson, Silvanus P. (8. september 1998), Calculus Made Easy (revideret, opdateret, udvidet udgave), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0

Bøger tilgængelige online

Crowell, Benjamin (2003), Calculus , < http://www.lightandmatter.com/calc/ >
Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus , < http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/ >
Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus , < http://www.understandingcalculus.com/ >
Keisler, H. Jerome (2000), Elementær Calculus: An Approach Using Infinitesimals , < http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html >
Mauch, Sean (2004), Unabridged Version of Sean's Applied Math Book , < http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html >
Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations , < http://synechism.org/drupal/de2de/ >
Strang, Gilbert (1991), Calculus , < http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm >
Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus , < http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm >
Wikibooks, Calculus , < http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus >

Links

Diskret anden afledet af ujævnt fordelte punkter

Differentialregning

Hoved

private udsigter

Differentialoperatorer
( i forskellige koordinater )

Første ordre	Nabla operatør Gradient Divergens Rotor Helmholtzian
anden orden	Elliptisk operatør Laplace operatør Laplace vektor operatør D'Alembert operatør Laplace-Beltrami operatør
højere ordrer	Hypoelliptisk operatør

relaterede emner