Schrödinger ligning

Schrödinger-ligningen er en lineær partiel differentialligning, der beskriver ændringen i rummet (i det generelle tilfælde i konfigurationsrummet ) og i tiden af en ren tilstand , givet af bølgefunktionen , i Hamiltonske kvantesystemer.

Det spiller den samme vigtige rolle i kvantemekanikken som Hamiltons ligninger eller Newtons anden lovligning i klassisk mekanik eller Maxwells ligninger for elektromagnetiske bølger.

Formuleret af Erwin Schrödinger i 1925 , udgivet i 1926 . Schrödinger-ligningen er ikke udledt, men postuleret i analogi med klassisk optik, baseret på en generalisering af eksperimentelle data [1] .

Schrödinger-ligningen er beregnet til spinløse partikler, der bevæger sig med hastigheder, der er meget mindre end lysets hastighed . I tilfælde af hurtige partikler og partikler med spin bruges dens generaliseringer ( Klein-Gordon- ligningen , Pauli -ligningen , Dirac-ligningen , etc.).

Historie

I begyndelsen af det 20. århundrede kom videnskabsmænd til den konklusion, at der var en række uoverensstemmelser mellem forudsigelserne fra klassisk teori og eksperimentelle data om atomstruktur. Opdagelsen af Schrödinger-ligningen fulgte de Broglies revolutionære antagelse om, at ikke kun lys, men ethvert legeme generelt (inklusive eventuelle mikropartikler ) har bølgeegenskaber .

Historisk set blev den endelige formulering af Schrödinger-ligningen forud for en lang periode med udvikling af fysik . Selve ligningen blev formuleret af Erwin Schrödinger i 1925 , i færd med at forklare, på anmodning af Peter Debye , de Broglies ideer om mikropartiklers bølgenatur til en gruppe kandidatstuderende ved universitetet i Zürich [2] . Udgivet i 1926 [3] .

For opdagelsen af denne ligning modtog E. Schrödinger Nobelprisen i fysik i 1933 [4] .

Tidsafhængig ligning

Den mest generelle form for Schrödinger-ligningen er den form, der involverer tidsafhængighed [5] [6] :

Tidsafhængig ligning (generelt tilfælde)

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t))\Psi ={\hat {H))(p,q)\Psi ,$

hvor er Hamilton , er koordinaterne og er momenta. $\hat H$ $q$ ${\displaystyle p_{r}={\frac {\hbar }{i)){\frac {\partial }{\partial q_{r))))$

Et eksempel på en ikke-relativistisk Schrödinger-ligning i koordinatrepræsentationen for en punktpartikel med masse, der bevæger sig i et potentielt felt med potentiale : $m$ $V(\vec{r} ,t)$

Et eksempel på en tidsafhængig Schrödinger-ligning

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t))\Psi ({\vec {r)),t)=\venstre[-{\frac {\hbar ^{2)){2m }}\nabla ^{2}+V({\vec {r}},t)\right]\Psi ({\vec {r}},t).$

I dette eksempel er Hamiltonian . $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r},t)$

Nogle egenskaber

Bølgefunktionen , som er en løsning på Schrödinger-ligningen, og dens første afledte skal være enkeltværdierede og kontinuerlige i hele rummet. Kontinuiteten af derivaterne betyder fysisk kontinuiteten af fluxtætheden [7] .

Hvis den potentielle energi ikke vender mod det uendelige nogen steder eller vender sig til på et tidspunkt langsommere end , hvor er afstanden til dette punkt, så skal bølgefunktionen være endelig i hele rummet [7] . $U$ $-\infty$ ${\displaystyle -{\frac {1}{r^{2))))$ $r$

Gennemsnitsværdierne af mekaniske størrelser for en bølgepakke , som kan beskrives ved Schrödinger-ligningen, opfylder de klassiske Hamilton-ligninger ( Ehrenfests sætning ) [8] .

Schrödinger-ligningen er invariant under galilæiske transformationer . En række vigtige konsekvenser følger af denne kendsgerning: eksistensen af en række kvantemekaniske operatører forbundet med galilæiske transformationer; manglende evne til at beskrive tilstande med et massespektrum eller ustabile elementarpartikler i ikke-relativistisk kvantemekanik ( Bargmans teorem ); eksistensen af kvantemekaniske invarianter genereret af den galileiske transformation [9] .

Schrödinger-ligningen er mere kompleks end Hamilton-ligningerne i klassisk mekanik. Hamiltons ligninger er et system af førsteordens almindelige differentialligninger , og Schrödingerligningen er en partiel differentialligning [10] .

Schrödinger-ligningen er lineær, det vil sige, hvis bølgen fungerer og opfylder Schrödinger-ligningen, så opfylder enhver lineær kombination af dem den , hvor og er komplekse tal [11] . Som et resultat bliver den lineære superposition af bølgefunktionerne ikke overtrådt af Schrödinger-ligningen, og en måleoperation er nødvendig for at reducere bølgefunktionen. Schrödinger-operatorens linearitet er en konsekvens og generalisering af superpositionsprincippet , hvilket er vigtigt for den korrekte formulering af konceptet for måleoperationen [12] . $\psi$ $\Phi$ $\alpha \Psi +\beta \Phi$ $\alfa$ $\beta$

For alle kvantesystemer, der optager begrænsede områder af rummet, eksisterer løsninger af Schrödinger-ligningen kun for et tælleligt sæt af energiværdier og repræsenterer et tælligt sæt bølgefunktioner , hvis medlemmer er nummereret med et sæt kvantetal [7] [13 ] . Bølgefunktionen af den normale tilstand (med den laveste energi) forsvinder ikke (har ingen noder) nogen steder i rummet. Det normale energiniveau kan ikke degenereres. Oscillationssætning : for endimensionel bevægelse forsvinder bølgefunktionen af det diskrete spektrum svarende til den -største egenværdi (for endelige værdier af x-koordinaten) gange [7] . $E_{{n}}$ $\Psi _{{n}}$ $n$ $\Psi _{0}$ $\Psi _{{n}}$ $(n+1)$ $E_{{n}}$ $n$

Schrödinger-ligningen er ligesom Hamilton-ligningerne en ligning af første orden i tid. Det er et matematisk udtryk for princippet om statistisk determinisme i kvantemekanikken: en given tilstand af et system bestemmer dens efterfølgende tilstand ikke entydigt, men kun med en vis sandsynlighed specificeret ved hjælp af bølgefunktionen . $\psi$

Schrödinger-ligningen er symmetrisk med hensyn til begge tidsretninger. Denne symmetri kommer til udtryk i dens invarians, når tegnet ændres , og bølgefunktionen samtidig erstattes af et komplekst konjugat [14] . $t$ $\psi$ $\Psi ^{*}$

Hvis og er to løsninger af Schrödinger-ligningen, så ændrer deres skalarprodukt sig ikke over tid: . Dette følger af ligheden til nul af derivatet af skalarproduktet [15] : $\phi$ $\psi$ $(\mathbf {\phi} ,\mathbf {\psi} )=\mathrm {const}$

{\frac {d}{dt))(\mathbf {\phi } ,\mathbf {\psi } )=(\mathbf {\dot {\phi )) ,\mathbf {\psi} )+( \mathbf {\phi } ,\mathbf {\dot {\psi )) )=(\mathbf {i} {\hat {H))\phi ,\mathbf {\psi} )+(\mathbf {\phi } ,\mathbf {i} {\hat {H}}\psi )=i(\mathbf {\hat {H}} \phi ,\mathbf {\psi} )-i(\mathbf {\phi} ,\mathbf {\hat {H}}\psi )=0

Begrænsninger af anvendelighed

Schrödinger-ligningen kan ikke forklare spontan emission , da bølgefunktionen af den exciterede tilstand er den nøjagtige løsning af den tidsafhængige Schrödinger-ligning [16] [17] .

Schrödinger-ligningen kan ikke beskrive måleprocessen i kvantemekanikken, da den er lineær, deterministisk og reversibel i tid, mens måleprocessen er ikke-lineær, stokastisk og irreversibel i tid [18] .

Schrödinger-ligningen kan ikke beskrive processerne for gensidige transformationer af elementarpartikler . Processerne med gensidige transformationer af partikler er beskrevet af relativistisk kvantefeltteori.

Ordlyd

Generel sag

I kvantefysikken introduceres en funktion med kompleks værdi, der beskriver et objekts rene tilstand, som kaldes bølgefunktionen . I den mest almindelige københavnerfortolkning er denne funktion relateret til sandsynligheden for at finde et objekt i en af de rene tilstande (kvadraten af modulus af bølgefunktionen er sandsynlighedstætheden ) [19] [20] . Opførslen af et Hamilton-system i en ren tilstand er fuldstændig beskrevet af bølgefunktionen. $\psi$

Efter at have forladt beskrivelsen af en partikels bevægelse ved hjælp af baner opnået fra dynamikkens love og i stedet for at have bestemt bølgefunktionen, er det nødvendigt at tage en ligning i betragtning, der er ækvivalent med Newtons love og giver en opskrift på finder især fysiske problemer. En sådan ligning er Schrödinger-ligningen. $\psi$

Lad bølgefunktionen være givet i det n-dimensionelle konfigurationsrum , så vil det ved hvert punkt med koordinater på et bestemt tidspunkt se ud . I dette tilfælde vil Schrödinger-ligningen blive skrevet som: $\vec{r}({x}_1, {x}_2, {x}_3,\ldots,{x}_n)$ $t$ $\Psi \left({\vec {r)),t\right)$

-{{\hbar }^{2} \over 2m}{\Delta }\Psi ({\vec {r)),t)+V({\vec {r)),t)\Psi ( {\vec {r)),t)=i\hbar {\partial \over \partial t}\Psi ({\vec {r)),t),\qquad (1)

hvor , er Plancks konstant ; er partiklens masse, er den potentielle energi uden for partiklen på tidspunktet , er Laplace-operatoren (eller Laplace-operator), svarer til kvadratet af nabla-operatoren og har i det n-dimensionelle koordinatsystem formen : $\hbar = {h \over 2 \pi}$ $h$ $m$ $V({\vec {r)),t)$ $\vec{r}({x}_1, {x}_2, {x}_3,\ldots,{x}_n)$ $t$ $\Delta$

\Delta \equiv {\nabla}^{\,2} \! = {{\partial}^2 \over \partial {x}_1^2} + {{\partial}^2 \over \partial {x}_2^2} + {{\partial}^2 \over \partial {x}_3^2} + \ldots + {{\partial}^2 \over \partial {x}_n^2}.

Tilfældet med tredimensionelt rum

I det tredimensionelle tilfælde er psi-funktionen en funktion af tre koordinater, og i det kartesiske koordinatsystem er den erstattet af udtrykket $\Delta \Psi$

\Delta \Psi ={{\partial }^{2}\Psi \over \partial {x}^{2}}+{{\partial }^{2}\Psi \over \partial {y} ^{2}}+{{\partial }^{2}\Psi \over \partial {z}^{2}},

så vil Schrödinger-ligningen have formen:

-{{\hbar }^{2} \over 2m}\left({{\partial }^{2}\Psi \over \partial {x}^{2}}+{{\partial }^ {2}\Psi \over \partial {y}^{2}}+{{\partial}^{2}\Psi \over \partial {z}^{2}}\right)+V(x,y ,z,t)\Psi =i\hbar {\partial \Psi \over \partial t},

hvor , er Plancks konstant ; er partiklens masse, er den potentielle energi på tidspunktet t . $\hbar = {h \over 2 \pi}$ $h$ $m$ $V(x,y,z,t)$ $(x,y,z)$

Stationær Schrödinger-ligning

Formen af Schrödinger-ligningen viser, at dens løsning med hensyn til tid bør være enkel, da tiden kun kommer ind i denne ligning gennem den første afledede på højre side. Faktisk kan en bestemt løsning for det tilfælde, hvor det ikke er en funktion af tiden, skrives som: $V$

\Psi ({\vec {r}},t)=\psi ({\vec {r}}\,){e}^{-iEt/\hbar },\qquad (2)

hvor funktionen skal opfylde ligningen: $\psi ({\vec {r}}\,)$

-{{\hbar }^{2} \over 2m}\Delta \psi ({\vec {r)))+V({\vec {r)))\psi ({\vec {r} })=E\psi ({\vec {r))),\qquad (3)

som er opnået fra Schrödinger-ligningen (1) ved at indsætte ovenstående formel for (2) i den . Bemærk, at denne ligning slet ikke indeholder tid; i denne henseende kaldes den den stationære Schrödinger-ligning (Schrödinger-ligningen, der ikke indeholder tid) . $\psi$

Udtryk (2) er kun en bestemt løsning af den tidsafhængige Schrödinger-ligning (1) , den generelle løsning er en lineær kombination af alle bestemte løsninger af formen (2) . Funktionens afhængighed af tid er enkel, men dens afhængighed af koordinaten har ikke altid en elementær form, da ligning (3) med et valg af formen for den potentielle funktion er helt forskellig fra den samme ligning med et andet valg af denne funktion. Faktisk kan ligning (3) kun løses analytisk for et lille antal bestemte typer af funktionen . $\Psi ({\vec {r)),t)$ $V({\vec {r)))$ $V({\vec {r)))$

Schrödinger-ligningen i invariant form

Lad den klassiske kinetiske energi i et dynamisk system have formen . Mængderne kan betragtes som komponenter af en metrisk tensor i målerummet . I rektangulære kartesiske koordinater er disse kun partikelmasserne og er de reciproke masser. $T=\sum _{j,j}^{n}a_{ij}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}$ $a_{{ij}}$ $n$ $a_{{ij}}$ ${\displaystyle a^{ij))$

Schrödinger-ligningen i den invariante form har formen:

$\sum _{k,j}\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{\sqrt {a}}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}} }\venstre({\sqrt {a}}a^{kj}{\frac {\partial }{\partial q^{j}}}\right)+V\right]\Psi +{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=0$

Her er determinanten for matricen . $-en$ $a_{{ij}}$

Metoder til løsning af Schrödinger-ligningen

Analytisk metode. Løsningen søges i form af et eksakt matematisk udtryk. Denne metode er kun anvendelig i nogle få simple tilfælde (enkeltelektronatomer, lineær oscillator, potentialbrønd med uendeligt høje vægge osv.) [22] .

Perturbationsmetode . Hamilton-operatøren betragtes som summen af to led. En af dem betragtes som en uforstyrret operatør med en nøjagtig analytisk løsning. Det andet udtryk betragtes som en lille foruroligende tilføjelse til det. Med en stationær forstyrrelse består løsningen i at udvide egenværdierne og egenfunktionerne i en serie i potenser af en lille forstyrrelseskonstant og finde en omtrentlig løsning til det opnåede ligningssystem [23] . Ved en ikke-stationær forstyrrelse søges bølgefunktionen i form af en lineær kombination af egenbølgefunktioner med tidsafhængige koefficienter [24] .
Ritz-metoden . Det bruges til at løse den stationære Schrödinger-ligning. De ekstreme værdier af den gennemsnitlige samlede energi i systemet bestemmes ved at variere parametrene for en testfunktion [25] .
Hartree-Fock metode .
WKB metode .

Overgang til klassisk mekanik

Schrödinger-ligningen, der beskriver et mikroobjekts bevægelse i et potentielt felt : $U({\vec {r)))$

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t))=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +U({ \vec {r)))\psi

Bølgefunktionen af en mikropartikel ved kan repræsenteres som . På grund af identiteterne kan Schrödinger-ligningen i dette tilfælde også skrives på formen: . $\hbar \rightarrow 0$ ${\displaystyle \psi ({\vec {r)),t)=Ae^({\frac {i}{\hbar }}S({\vec {r}},t)))$ $i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t))=-{\frac {\partial S}{\partial t))\psi$ $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi =\venstre[{\frac {1}{2m}}(\nabla S)^{2} -{\frac {i\hbar }{2m}}\Delta S\right]\psi$ ${\frac {\partial S}{\partial t))+{\frac {1}{2m))(\nabla S)^{2}+U({\vec {r)))-{ \frac {i\hbar }{2m}}\Delta S=0$

I dette tilfælde bliver denne ligning Hamilton-Jacobi-ligningen for klassisk mekanik: $\hbar \rightarrow 0$

{\frac {\partial S}{\partial t))+{\frac {1}{2m))(\nabla S)^{2}+U({\vec {r)))=0

Eksistensen af en grænseovergang fra Schrödinger-ligningen til Hamilton-Jacobi-ligningen giver anledning til at betragte Newtons mekanik som et begrænsende tilfælde af en mere generel kvantemekanik, velegnet til at beskrive både mikroskopiske og makroskopiske objekter ( korrespondanceprincippet ).

Analogier og sammenhænge med andre ligninger

Maxwells ligninger for elektromagnetiske bølger i det tomme rum

\left\{{\begin{aligned}-c\cdot \operatorname {rot} E&={\frac {\partial H}{\partial t)),\\c\cdot \operatorname {rot} H& ={\frac {\partial E}{\partial t}}\end{aligned}}\right.

kan konverteres til en enkelt ligning ved at indføre en ny kompleks størrelse , der ligner bølgefunktionen i Schrödinger-ligningen $\Psi =E+iH$

i{\frac {\partial \Psi }{\partial t))=c\cdot \operatørnavn {rot} \Psi ,

svarende til Schrödinger-ligningen [27] .

Schrödinger-ligningen ligner ligningerne for varmeledning og diffusion i klassisk fysik, idet den er en ligning af første orden i tid og adskiller sig fra dem i nærværelse af en imaginær koefficient før . Takket være det kan det også have periodiske løsninger [28] . ${\frac {\partial \Psi }{\partial t))$

Schrödingers ligning kan udledes af princippet om mindste handling ved at behandle som Eulers ligning

{\frac {\partial L}{\partial \psi }}-\sum _{{k=0}}^{{3}}{\frac {\partial }{\partial x_{{k}}}} {\frac {\partial L}{\partial \left({\frac {\partial \psi }{\partial x_{{k))))\right)))=0

et eller andet variationsproblem, hvor tætheden af Lagrangian har formen [29] [30] :

L=i\hbar \psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial t))-{\frac {\hbar ^{2)){2m))\nabla \psi ^ {*}\nabla \psi -U(r,t)\psi ^{*}\psi -i\hbar {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\psi ={\ frac {i\hbar }{2}}\venstre(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\ delvis t}}\psi \right)-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(\nabla \psi ^{*}\cdot \nabla \psi )-U(r,t)\psi ^{*}\psi

Dirac-ligningen kan skrives som Schrödinger-ligningen:

i\hbar {\frac {\partial \psi _{1}}{\partial t}}=mc^{2}\psi _{1}+c({\hat {p_{x}}} -i{\hat {p_{y}}}})\psi _{4}+c{\hat {p_{z}}}\psi _{3}

i\hbar {\frac {\partial \psi _{2}}{\partial t}}=mc^{2}\psi _{2}+c({\hat {p_{x}}} +i{\hat {p_{y}}}})\psi _{3}-c{\hat {p_{z}}}\psi _{4}

i\hbar {\frac {\partial \psi _{3}}{\partial t}}=-mc^{2}\psi _{3}+c({\hat {p_{x}} }-i{\hat {p_{y}}}})\psi _{2}+c{\hat {p_{z}}}\psi _{1}

i\hbar {\frac {\partial \psi _{4}}{\partial t}}=-mc^{2}\psi _{4}+c({\hat {p_{x}} }+i{\hat {p_{y}}}})\psi _{1}-c{\hat {p_{z}}}\psi _{2}

Her: , , ${\hat {p_{x))}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x))$ ${\hat {p_{y))}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y))$ ${\hat {p_{z))}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z))$

I nogle tilfælde kan løsningen af den stationære Schrödinger-ligning ved WKB-metoden søges i formen , og handlingen opfylder Hamilton-Jacobi-ligningen . Udvidelse af funktionen til en række i potenser af parameteren : , man opnår den stationære Hamilton-Jacobi-ligning i den nulte tilnærmelse, og korrektioner af forskellige rækkefølger i de næste tilnærmelser [31] . ${\displaystyle \psi =e^{{\frac {i}{\hbar }}S(r))))$ $S$ ${\frac {1}{2m}}(\nabla S)^{2}+{\frac {i\hbar }{2m}}\Delta S+V(r)=E$ $S$ $i\hbar$ $S=S^{0}+i\hbar S'+...$ ${\displaystyle S^{0))$

Vejledende tanker

Bølgeligning for de Broglie-bølger

Schrödinger-ligningen kan opnås ved at generalisere bølgeligningen til tilfældet med De Broglie-bølger : [32]

$\Delta \varphi ={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi}{\partial t^{2}}}$

hvor er Laplace-operatøren , er bølgefunktionen , som har egenskaberne af en de Broglie-bølge, er tiden, er den rumlige koordinat, er fasehastigheden . $\Delta$ $\varphi =\varphi ({\vec {r)),t)$ $t$ ${\vec {r))$ $v$

Hvis bølgefunktionen er monokromatisk, så kan løsningen til denne ligning repræsenteres som

$\varphi ({\vec {r)),t)=e^{-i\omega t}\Psi ({\vec {r)))$

hvor er den cirkulære frekvens . $\omega$

Ligningen for den rumlige del af bølgefunktionen er: $\psi ({\vec {r)))$

$\Delta \Psi ({\vec {r)))=-{\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}\Psi ({\vec {r}})$

Lad os bruge udtrykket for bølgelængden:

$\lambda ={\frac {2\pi v}{\omega }}$

Ligningen for den rumlige del af bølgefunktionen har formen:

$\Delta \Psi ({\vec {r)))=-{\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}\Psi ({\vec {r}})$

Under hensyntagen til udtrykket for de Broglie-bølgelængden :

$\lambda ={\frac {2\pi \hbar }{p}}$

og loven om energibevarelse :

${\frac {p^{2}}{2m}}+V({\vec {r}})=E$

hvor er partiklens momentum , er Plancks konstant , er partiklens masse, er partiklens potentielle energi , er partiklens samlede energi. $s$ $\hbar$ $m$ $V({\vec {r)))$ $E$

Vi får:

${\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(EV({\vec {r}} ))$

Som et resultat har vi den stationære Schrödinger-ligning:

$\Delta \Psi ({\vec {r)))+{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(EV({\vec {r))))\Psi ({\vec {r}})=0$

For at gå videre til den ikke-stationære Schrödinger-ligning repræsenterer vi den stationære Schrödinger-ligning i formen:

$E\Psi (t)+({\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta -V)\Psi (t)=0$

hvor . $\Psi (t)=\Psi e^{-{\frac {i}{\hbar }}Et}$

Ved hjælp af ligestilling

$-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \Psi (t)}{\partial t}}=E\Psi (t)$

vi kommer til den ikke-stationære Schrödinger-ligning:

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\vec{r} ,t) = \venstre [ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec {r},t)\right ] \Psi(\vec{r} ,t)$

Time shift-operatør

I kvantemekanikken kan den tidsafledede af bølgefunktionen opfattes som en tidsforskydningsoperator. I analogi med klassisk mekanik og forholdet mellem energi og tid kan vi antage, at dens rolle altid spilles af Hamiltonianeren . Dette indebærer umiddelbart Schrödinger-ligningen [33] [34] .

Overensstemmelse mellem klassisk mekanik og geometrisk optik

Schrödinger-ligningen kan nås ud fra overensstemmelsen mellem klassisk mekanik og geometrisk optik. Begreberne et materialepunkt, bane, hastighed, potentiel energi, energi, Maupertuis variationsprincip i klassisk mekanik svarer til begreberne en bølgepakke, stråle, gruppehastighed, fasehastighed (brydningsindeks), frekvens, Fermats variationsprincip i geometrisk optik [35] .

Maupertuis ' variationsprincip i klassisk mekanik

\int {\sqrt {EV}}ds=\min \qquad

(en)

svarer til Fermats variationsprincip inden for optik

\int {\frac {ds}{v}}=\min .\qquad

(2)

Her er den samlede energi, er den potentielle energi og er fasehastigheden. En bane i klassisk mekanik svarer til en lysstråle i optik if $E$ $V$ $v$

{\frac {1}{v(\omega ,x)}}=f(\omega ){\sqrt {E(\omega )-V(x))).\qquad

(3)

Bølgepakken kan repræsenteres som

{\displaystyle \sum _{\omega }a_{\omega }\cos {2\pi \omega \left(t-{\frac {x}{v(\omega )))\right)))

For pakkens maksimum, ligheden

{\frac {d}{d\omega }}\left\{\omega \left(t-{\frac {x}{v(\omega )))\right)\right\}=0

Det følger af denne ligestilling, at . I klassisk mekanik svarer dette til ligheden . Ud fra disse to udtryk fås en formel for gruppehastigheden [36] : $t=x{\frac {d}{d\omega }}\left({\frac {\omega}{v}}\right)$ $t=\frac{x}{V_{g}}$

V_{g}=\left[{\frac {d}{d\omega }}\left({\frac {\omega }{v}}\right)\right]^{-1}.\ qquad

(fire)

Så kan betingelsen for lighed mellem hastigheden af materialepunktet og gruppehastigheden af bølgepakken skrives som [37] :

{\frac {d}{d\omega }}\left({\frac {\omega }{v}}\right)={\sqrt {\frac {m}{2}}}{\frac {1}{\sqrt {E(\omega )-V(x)}}}.\qquad

(5)

Herfra får vi ved hjælp af (3):

{\sqrt {\frac {m}{2}}}{\frac {1}{\sqrt {EV}}}={\frac {d}{d\omega }}\left\{\omega f(\omega ){\sqrt {EV}}\right\}={\frac {d(\omega f(\omega ))}{d\omega }}{\sqrt {EV}}+{\frac { \omega f(\omega )}{2{\sqrt {EV)))){\frac {dE}{d\omega ))

Ved at sammenligne koefficienterne ved de samme potenser finder vi $\sqrt{EV}$

{\frac {d}{d\omega }}(\omega f(\omega ))=0,\qquad {\sqrt {\frac {m}{2}}}={\frac {\omega f(\omega )}{2}}{\frac {dE}{d\omega }}.

Den første af dem giver , derefter indebærer den anden , , . Bølgens fasehastighed afhænger af frekvensen : $\omega f(\omega )=\mathrm {konst}$ $\frac{dE}{d\omega} = konst$ $E=\hbar \omega$ $f(\omega)=\frac{\sqrt{2m)){\hbar \omega}$ $v$ $\omega$

v={\frac {\hbar \omega }{\sqrt {2m))}{\frac {1}{\sqrt {\hbar \omega -V))}.\qquad

(6)

En monokromatisk bølge med fasehastighed opfylder ligningen $v$

\nabla ^{2}\Psi -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}= 0.\qquad

(7)

En særlig løsning til denne ligning har formen:

\Psi =ue^{-i\omega t}=ue^{-{\frac {i}{\hbar }}Et},\qquad

(otte)

hvor er frekvensen af bølgen. Ved at erstatte løsning (8) i ligning (7), får vi: $\omega$

\nabla ^{2}u+{\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}u=0.\qquad

(9)

Ved at erstatte (6) med (9), får vi:

\nabla ^{2}u+{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(\hbar \omega -V)u=0.\qquad

(ti)

Fra ligning (8) får vi:

\omega u=-{\frac {1}{i}}{\frac {\partial \Psi }{\partial t)).\qquad

(elleve)

Ved at erstatte (11) med (10), får vi den tidsafhængige Schrödinger-ligning (12) [38] :

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =\venstre[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\ højre]\Psi .\qquad

(12)

Generaliseringer

Schrödingers ligning i et elektromagnetisk felt

En ikke-relativistisk spinløs partikel i et elektromagnetisk felt defineret af potentialerne og beskriver Schrödinger-ligningen i et magnetisk felt (potentialet af det elektriske felt er skalar og indgår som et almindeligt led ): $\varphi$ $\mathbf {A}$ $V$

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t))\Psi =\venstre[{\frac {1}{2m))({\hat {\mathbf {p} ))-{\ frac {e}{c}}\mathbf {A} )^{2}+e\varphi \right]\Psi .

Her er momentumoperatoren . Denne ligning er skrevet i det Gaussiske enhedssystem . I SI -systemet er koefficienten ved lig med ikke , men . ${\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla$ $\mathbf {A}$ ${\frac {e}{c))$ $e$

Ikke-lineær Schrödinger-ligning

Den ikke-lineære Schrödinger-ligning har formen:

i{\frac {\partial u}{\partial t))+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+\nu |u|^{2 }u=0,

hvor er en funktion med kompleks værdi . $u(x, t)$

Det bruges i beskrivelsen af ikke-lineære kvantemekaniske fænomener.

Kvantefeltteori

I kvantefeltteorien, når man studerer relativistiske processer med udslettelse og skabelse af elementarpartikler, kendes en generalisering af Schrödinger-ligningen i variationsderivater:

i{\frac {\delta \Phi (g)}{\delta g(x)))=H(x;g)\Phi (g).

Her er tilstandsamplituden , er interaktionsintensiteten, er tætheden af den generaliserede Hamilton-funktion og er spredningsmatrixen [39] . $\Phi (g)$ $g$ $H(x,g)=i{\frac {\delta S(g)}{\delta g(x)))S^{+}(g)$ $S(g)$

Denne ligning kan omskrives i form af Schwinger-Tomonaga funktionelle differentialligning :

i{\frac {\delta \Phi (\sigma )}{\delta \sigma (x)))=H(x,\sigma )\Phi (\sigma ),

hvor er en rumlignende overflade i Minkowski-rummet [40] . $\sigma (x)$

Se også

bølgefunktion
En-dimensionel stationær Schrödinger-ligning
Dirac ligning
Pauli ligning
Lindblads ligning
Von Neumann ligning
Heisenberg ligning
Jost funktioner
Schrödinger-gruppen
Schwinger-Tomonaga ligning
Schrödinger-operatør
Ikke-lineær Schrödinger-ligning
Funktioner af spredningstransformationen for den todimensionelle Schrödinger-ligning

Noter

↑ Prigozhin, 2006 , s. 74.
↑ Kapitsa P. L. Nogle principper for kreativ opdragelse og uddannelse af moderne ungdom // Eksperiment, teori, praksis. - M., Nauka, 1981. - s. 257.
↑ Kuznetsov B. G. Grundlæggende ideer om kvantemekanik // otv. udg. Grigoryan A. T. , Polak L. S. Essays om udvikling af grundlæggende fysiske ideer. - M., USSR Academy of Sciences, 1959. - S. 390-421;
↑ Nobelprisen i fysik 1933 Erwin Schrödinger . Hentet 26. oktober 2019. Arkiveret fra originalen 18. juli 2020. (ubestemt)
↑ Shankar, R. Principles of Quantum Mechanics (neopr.) . — 2. - Springer Science + Business Media / Springer Science + Business Media , 1994. - S. 143. - ISBN 978-0-306-44790-7 .
↑ Mott, 1966 , s. 52.
↑ 1 2 3 4 Landau L. D. , Livshits E. M. Kvantemekanik. - M., Nauka, 1972. - s. 78 - 82
↑ Pauli, 1947 , s. 47.
↑ Kaempfer, 1967 , s. 390.
↑ Shirokov, 1972 , s. 24.
↑ Penrose, 2003 , s. 234.
↑ Pauli, 1947 , s. 43.
↑ Shirkov, 1980 , s. 464.
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Kvantemekanik. - M., Nauka, 1972. - s. 83
↑ G. Lyubarsky, Teori om grupper og fysik. - M., Nauka, 1986. - s. 123
↑ Wigner, 1961 , s. 67.
↑ Migdal, 1966 , s. 49.
↑ Wigner, 2002 , s. 145.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Kvantemekanik (ikke-relativistisk teori). - 6. udgave, revideret. — M .: Fizmatlit , 2004 . - 800 sek. - ("Teoretisk fysik", bind III). — ISBN 5-9221-0530-2 .
↑ V. A. Fok. Begyndelsen af kvantemekanik. - L .: Kubuch, 1932; 2. udg. — M.: Nauka, 1976.
↑ Mott N. , Sneddon I. Bølgemekanik og dens anvendelser. - M., Nauka, 1966. - s. 77-78
↑ Fermi, 1968 , s. 28.
↑ Fermi, 1968 , s. 191.
↑ Fermi, 1968 , s. 211.
↑ Gribov, 1999 , s. 234.
↑ Zhirnov N. I. Klassisk mekanik. — Serie: lærebog for studerende på fysik- og matematikfakulteter ved pædagogiske institutter. - M., Oplysning , 1980. - Oplag 28.000 eksemplarer. - Med. 212-213
↑ Mott, 1966 , s. 21.
↑ Blokhintsev, 1963 , s. 115.
↑ Kushnirenko, 1971 , s. 38.
↑ J. Ziman moderne kvanteteori. - M., Mir, 1971. - s. tredive
↑ Grechko L. G., Sugakov V. I., Tomasevich O. F. Samling af problemer i teoretisk fysik. - M., Højere Skole, 1972. - s. 58
↑ Sokolov A. A. , Ternov I. M. Kvantemekanik og atomfysik. - M., Uddannelse, 1970. - 39-40, 52
↑ P. A. M. Dirac Kvantemekaniks principper. - M., Nauka, 1960. - s. 148-152
↑ Kuznetsov B. G. Grundlæggende ideer om kvantemekanik // otv. udg. Grigoryan A. T. , Polak L. S. Essays om udvikling af grundlæggende fysiske ideer. - M., USSR Academy of Sciences , 1959. - Oplag 5000 eksemplarer. - Med. 403, 411, 412;
↑ Fermi, 1968 , s. femten.
↑ Fermi, 1968 , s. 17.
↑ Fermi, 1968 , s. 19.
↑ Fermi, 1968 , s. 21.
↑ Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Introduktion til teorien om kvantiserede felter. - M., GITTL, 1957. - s. 396-397
↑ Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Introduktion til teorien om kvantiserede felter. - M., GITTL, 1957. - s. 399-401

Litteratur

Schrödinger E. Udvalgte værker om kvantemekanik. Moskva: Nauka, 1976.
Berezin F. A., Shubin M. A. The Schrödinger Equation.— M. : Publishing House of Moscow State University.— 1983.— 392 s.
Kaempfer F. Grundlæggende om kvantemekanik. — M .: Mir, 1967. — 391 s.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantemekanik (ikke-relativistisk teori). - 6. udgave, revideret. — M .: Fizmatlit , 2004. — 800 s. - (" Teoretisk fysik ", bind III). — ISBN 5-9221-0530-2 .
Fock V. A. Kvantemekaniks principper . - L .: Kubuch, 1932; 2. udg. — M.: Nauka, 1976.
Pauli V. Generelle principper for bølgemekanik. - M. : OGIZ, 1947. - 330 s.
Prigogine Ilya . Fra eksisterende til kommende: tid og kompleksitet i de fysiske videnskaber. - M . : KomKniga, 2006. - 296 s. — ISBN 5-484-00313-X .
Penrose Roger . " Kongens nye sind ": Om computere, tænkning og fysikkens love. - M. : Redaktionel URSS, 2003. - 384 s. — ISBN 5-354-00005-X .
Kushnirenko AN Introduktion til kvantefeltteori. - M . : Højere skole, 1971. - 304 s.
Shirokov Yu. M. , Yudin N. P. Kernefysik. - M. : Nauka, 1972. - 670 s.
Mott N. , Sneddon I. Bølgemekanik og dens anvendelser. - M. : Nauka, 1966. - 428 s.
Blokhintsev D. I. Grundlæggende om kvantemekanik. — M .: Nauka, 1963. — 619 s.
udg. Shirkov DV Fysik af mikrokosmos. - M . : Soviet Encyclopedia, 1980. - 528 s.
Wigner E. Teori om grupper. - M. : IL, 1961. - 444 s.
Migdal A. B. , Krainov, V. P. Tilnærmede kvantemekaniske metoder. — M .: Nauka, 1966. — 152 s.
Fermi E. Kvantemekanik. — M .: Mir, 1968. — 367 s.
Wigner Eugen Paul . Invarians og bevaringslove. Undersøgelser om symmetri. - M. : Redaktionel URSS, 2002. - 320 s. — ISBN 5-354-00191-9 .
Gribov L.A., Mushtakova S.P. kvantekemi. - M . : Gardariki, 1999. - 390 s. - ISBN 5-8297-0017-4 .

Matematisk fysik

Typer af ligninger

Grænsebetingelser

Matematisk fysiks ligninger

Diffusion og konvektion	Varme ligning Diffusionsligning Mason-Weaver ligning
Hydrodynamik	Overførselsligning Navier-Stokes ligninger Euler ligning Gromeka-lam ligning Vortex ligning Burgers ligning Lavt vand ligninger Korteweg-de Vries ligning
Elektromagnetisme	Maxwells ligninger Helmholtz ligning Landau-Lifshitz ligning Screenet Poisson-ligning
Kvantemekanik	Schrödinger ligning Heisenberg ligning Rarita-Schwinger ligning Hartrees ligning Dirac ligning Klein-Gordon ligning
Generelle modeller	Kontinuitetsligning bølgeligning Fokker-Planck ligning Poisson ligning

Løsningsmetoder

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder

Studie af ligninger

relaterede emner

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk norsk Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	BNF : 119702345 GND : 4053332-3 J9U : 987007560881205171 LCCN : sh85118495 NKC : ph195849