Riccati ligning

Riccati-ligningen er en førsteordens almindelig differentialligning af formen

{\frac {dx}{dt}}=a(t)x^{2}+b(t)x+c(t).\quad (*)

Riccati-ligningen kaldes også en multidimensionel analog , det vil sige et system af almindelige differentialligninger med uafhængige variabler, hvis højre dele er polynomier af anden grad i variable med koefficienter , der afhænger af . Endimensionelle og multidimensionelle Riccati-ligninger finder anvendelse inden for forskellige områder af matematikken: algebraisk geometri [1] , teorien om fuldstændigt integrerbare Hamilton-systemer [2] , variationskalkyler [3] , teorien om konforme kortlægninger , kvantefeltteori [4] ] . $(*)$ $x_{1},\ldots ,x_{n},$ $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $t$

Historie

Et særligt tilfælde af en sådan ligning:

b{\frac {dx}{dt}}=x^{2}+at^{{\alpha }},\quad (**)

hvor er ikke-nul konstanter, blev først undersøgt af de italienske matematikere Jacopo Francesco Riccati og Bernoulli -familien (Daniel, Johann, Nikolai Sr. og Nikolai Jr.) [5] [6] [7] . De fandt en betingelse, hvorunder denne ligning tillader adskillelse af variabler og følgelig integration i kvadraturer: eller Som Joseph Liouville (1841) beviste , for andre værdier kan løsningen af ligningen ikke udtrykkes i kvadraturer fra elementære funktioner; dens generelle løsning kan skrives ved hjælp af cylindriske funktioner . $\alpha ,\,a,\,b$ $\alpha ={4n}/{(1-2n)},\ n\in \mathbb {N} ,$ $\alpha =-2.$ $\alfa$ $(**)$

Typeligningen kaldes ofte den generelle Riccati-ligning , og typeligningen kaldes ofte den specielle Riccati-ligning . $(*)$ $(**)$

Egenskaber

Riccati-ligningen i sagen er lineær og kan integreres i kvadraturer. $a(t)=0$
Riccati-ligningen i sagen er en Bernoulli-ligning og er integreret i kvadraturer ved hjælp af ændringen $c(t)=0$ $y=1/x.$
Den generelle løsning af Riccati-ligningen er en lineær-brøkfunktion af integrationskonstanten, og omvendt er enhver førsteordens differentialligning med denne egenskab en Riccati-ligning.
Hvis bestemte løsninger af Riccati-ligningen svarer til værdierne af integrationskonstanten , så har vi identiteten $x_{1}(t),\ldots ,x_{4}(t)$ $c_{1},\ldots ,c_{4}$

{\frac {x_{3}(t)-x_{1}(t)}{x_{3}(t)-x_{2}(t))):{\frac {x_{4}(t) -x_{1}(t)}{x_{4}(t)-x_{2}(t)}}\equiv {\frac {c_{3}-c_{1}}{c_{3}-c_ {2}}}:{\frac {c_{4}-c_{1}}{c_{4}-c_{2}}}.\quad (***)

Den venstre side af identiteten , det dobbelte forhold mellem fire bestemte løsninger, er det første integral af Riccati-ligningen. Således gendannes den generelle løsning af ligningen fra tre uafhængige bestemte løsninger ved hjælp af formlen . $(***)$ $(***)$

Ansøgninger

I Riemannsk geometri Riccati-ligningen $S'(V)+S^{2}(V)+R(V,T)T=0$

tilfredsstille formoperatorerne for ækvidistansoverflader langs en geodætisk vinkelret på dem med et tangentielt felt . Ligesom Jacobi-ligningen anvendes denne ligning i studiet af geodætik.

T

Variationer og generaliseringer

Matrix Riccati ligningen er differentialligningen

{\frac {dX}{dt}}=XA(t)X+B_{1}(t)X+XB_{2}(t)+C(t)

med hensyn til en ukendt kvadratisk matrix af orden , hvori er givet kvadratiske matricer af orden med variabel-afhængige koefficienter. $X=(x_{{ij}})$ $n$ $A,B_{1},B_{2},C$ $n$ $t$

I variationsregningen spilles en vigtig rolle af matrix Riccati-ligningen af formen

{\frac {dW}{dt}}=(R(t)+W)\cdot P^{{-1}}(t)\cdot (R^{*}(t)+W)-Q(t )

med hensyn til en ukendt kvadratisk matrix af orden , hvori er givet kvadratiske matricer af orden med variabelt afhængige koefficienter, hvor stjernen betyder transponering af . Det er tæt forbundet med Jacobi-ligningen for den anden variation af integralets funktionelle $W=(w_{{ij}})$ $n$ $P,Q,R$ $n$ $t$ $\det P\neq 0,$

J=\int f(t,x,{\dot x})\,dt,\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{n}),

på et stationært punkt I dette tilfælde, matricerne $\widehat x(\cdot ).$

P(t)={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\dot x}_{i}\partial {\dot x}_{j))}{\Bigr )}{\Bigl |}_{{\widehat x(t)}}),\ \,Q(t)={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{ i }\partial x_{j))}{\Bigl )}{\Bigl |}_({\widehat x(t)))),\ \,R(t)={\Bigl (}{\frac { \partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial {\dot x}_{j))}{\Bigr )}{\Bigl |}_({\widehat x(t))).

Litteratur

Zelikin M. I. Homogene rum og Riccati-ligningen i variationsregningen , - Facttorial, Moskva, 1998.
Egorov A. I. Riccati Equations, Fizmatlit, Moskva, 2001.
Laufer M. Ya. Om løsningen af Riccati-ligningerne // Laufer M. Ya. Udvalgte problemer inden for matematisk fysik. Lør. artikler.— Severodvinsk: NTO Skibsbyggere. acad. A. N. Krylova, Sevmashvtuz, Severodv. departement Lomonosov. Fonden, 2005.- s. 137-140.- ISBN 5-7723-0605-9 .

Noter

↑ Wilczinski EJ Projektiv differentialgeometri af kurver og regerede overflader. Teubner, Leipzig, 1906.
↑ Zakharov V. E., Faddeev L. D. Korteweg-de Vries-ligningen er et fuldstændigt integrerbart Hamilton-system.
↑ Zelikin M. I. Homogene rum og Riccati-ligningen i variationsregningen, - Facttorial, Moskva, 1998.
↑ Winternitz P. Lie-grupper og løsninger af ikke-lineære partielle differentialligninger. Lecture Notes in Physics, 1983, vol. 189, s. 263-331.
↑ Riccati JF Animadversationes in aequationes differentiales secundi gradus. Acta Eruditorum Quae Lipside Publicantur, 1724. Supplementa 8.
↑ Cantor M. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik (V. 4). Leipzig, 1901. (utilgængeligt link)
↑ Grugnetti L. Sur Carteggio Jacopo Riccati - Nicola 2 Bernulli. J. Riccati e la Cultura della Marca nel Settecento Europeo. Firenze, 1992.