Matematisk pendul

Et matematisk pendul er en oscillator , som er et mekanisk system bestående af et materialepunkt for enden af en vægtløs uudvidelig tråd eller let stang og placeret i et ensartet felt af gravitationskræfter [1] . Den anden ende af gevindet (stangen) er normalt fast. Perioden med små naturlige svingninger af et pendul af længden L , ophængt i et gravitationsfelt, er lig med

T_{0}=2\pi {\sqrt {L \over g))

og afhænger i den første tilnærmelse ikke af svingningsamplituden og pendulets masse . Her er g fritfaldsaccelerationen .

Det matematiske pendul er den enkleste model af et fysisk legeme, der svinger: det tager ikke højde for massefordelingen. Et reelt fysisk pendul ved små amplituder svinger dog på samme måde som et matematisk pendul med reduceret længde .

Arten af pendulets bevægelse

Et matematisk pendul med en stang er kun i stand til at svinge i et eller andet plan (langs en valgt vandret retning) og er derfor et system med én frihedsgrad . Hvis stangen erstattes af en uudvidelig tråd, opnås et system med to frihedsgrader (da svingninger langs to vandrette koordinater bliver mulige).

Når pendulet svinger i et plan, bevæger det sig langs en cirkelbue med radius , og i nærværelse af to frihedsgrader kan det beskrive kurver på en kugle med samme radius [1] . Ofte, også når der er tale om en filament, begrænser man sig til analysen af planbevægelse; det overvejes nærmere. $L$

Pendulet ligningen

Hvis vi udskiller den tangentielle komponent ( ) i posten af Newtons anden lov for et matematisk pendul , får vi udtrykket $m{\vec {a}}={\vec {F}}$ $ma_{\tau }=F_{\tau })$

mL{\ddot {\theta }}=-mg\sin \theta

da , og af tyngdekraften og spændingen, der virker på punktet, giver kun den første komponent en ikke-nul komponent. Som følge heraf beskrives pendulets oscillationer ved en almindelig differentialligning (DE) af formen $a_{\tau }={\dot {v}}=d/dt(Ld\theta /dt)$ ${\displaystyle F_{\tau ))$

{\ddot {\theta }}+{\frac {g}{L}}\sin \theta =0

hvor den ukendte funktion er pendulets afvigelsesvinkel i øjeblikket fra den nedre ligevægtsposition, udtrykt i radianer, er længden af ophænget og er fritfaldsaccelerationen . Det antages, at der ikke er energitab i systemet. I området for små vinkler bliver denne ligning $\theta (t)$ $t$ $L$ $g$ $\sin \theta \approx \theta$

{\ddot {\theta }}+{\frac {g}{L}}\theta =0

For at løse den anden ordens DE, det vil sige at bestemme pendulets bevægelseslov, er det nødvendigt at indstille to begyndelsesbetingelser - vinklen og dens afledte til . $\theta$ ${\dot {\theta ))$ $t=0$

Løsninger til bevægelsesligningen

Mulige typer af løsninger

I det generelle tilfælde kan løsningen af DE med startbetingelserne for pendulet opnås numerisk. Bevægelsesmuligheder (i tilfælde af at pendulet er et materielt punkt på en lysstang), kvalitativt præsenteres i animationen. I hvert vindue er vinkelhastighedens afhængighed af vinklen vist øverst . Efterhånden som svinget øges, afviger pendulets adfærd mere og mere fra regimet med harmoniske svingninger. ${\dot {\theta ))$ $\theta$

pendul hængende
Små udsving (spændvidde 45°)
Oscillationer med et spænd på 90°
Oscillationer med et spænd på 135°
Oscillationer med et spænd på 170°
Fiksering i øverste position
Bevægelse tæt på separatrix
pendul rotation

Harmoniske vibrationer

Ligningen for små svingninger af pendulet nær den nedre ligevægtsposition, når udskiftningen er passende , kaldes den harmoniske ligning: $\sin \theta \approx \theta$

{\ddot {\theta }}+\omega _{0}^{2}\theta =0

hvor er en positiv konstant kun bestemt ud fra pendulets parametre og har betydningen af den naturlige oscillationsfrekvens . Derudover kan der laves en overgang til variablen "horisontal koordinat" (aksen ligger i svingplanet og er ortogonal på gevindet i bundpunktet): $\omega _{0}={\sqrt {g/L))$ $x=L\sin \theta \approx L\theta$ $x$

{\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0

Pendulets små svingninger er harmoniske . Det betyder, at pendulets forskydning fra ligevægtspositionen ændrer sig med tiden i henhold til den sinusformede lov [2] :

x=A\sin(\omega _{0}t+\alpha )

hvor er amplituden af pendulsvingningerne, er den indledende fase af svingningerne. $EN$ $\alfa$

Hvis vi bruger variablen , så er det nødvendigt at indstille koordinat og hastighed , hvilket vil tillade os at finde to uafhængige konstanter , fra relationerne og . $x$ $t=0$ $x_{0}$ ${\displaystyle v_{x0))$ $EN$ $\alfa$ $x_{0}=A\sin \alpha$ $v_{x0}=A\omega _{0}\cos \alpha$

Tilfældet med ikke-lineære svingninger

For et pendul, der svinger med en stor amplitude, er bevægelsesloven mere kompliceret:

\sin {\frac {\theta }{2}}=\varkappa \cdot \operatørnavn {sn} (\omega _{0}t;\varkappa ),

hvor er den jakobiske sinus . For det er en periodisk funktion, for lille falder den sammen med den sædvanlige trigonometriske sinus. $\operatørnavn {sn}$ $\varkappa<1$ $\varkappa$

Parameteren er defineret af udtrykket $\varkappa$

\varkappa ={\frac {\varepsilon +\omega _{0}^{2}}{2\omega _{0}^{2}}},\quad \varepsilon ={\frac {E} {ml^{2}}}

Svingningsperioden for et ikke-lineært pendul er

T={\frac {2\pi }{\Omega )),\quad \Omega ={\frac {\pi}{2)){\frac {\omega _{0)){K(\ varkappa)}}

hvor K er et elliptisk integral af den første slags.

Til beregninger er det praktisk talt praktisk at udvide det elliptiske integral i en serie:

T=T_{0}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}\left({\ frac {\theta _{0}}{2}}\right)+\dots +\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!} }\right]^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)+\dots \right\}

hvor er perioden for små svingninger, er den maksimale afvigelsesvinkel for pendulet fra lodret. $T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g))}$ $\theta _{0}$

Ved vinkler op til 1 radian (≈ 60°), med acceptabel nøjagtighed (fejl mindre end 1%), kan vi begrænse os til den første tilnærmelse:

T=T_{0}\left(1+{\frac {1}{4}}\sin ^{2}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right )\ret)

Den nøjagtige periodeformel, med kvadratisk konvergens for enhver vinkel med maksimal afvigelse, er diskuteret i september 2012 -udgaven af American Mathematical Society Notes [3] :

T={\frac {2\pi }{M{\big (}\cos(\theta _{0}/2){\big )}}}{\sqrt {\frac {L}{g }}}

hvor er den aritmetisk-geometriske middelværdi af tallene 1 og . $M(s)$ $s$

Bevægelse langs separatrix

Pendulets bevægelse langs separatrix er ikke-periodisk. På et uendeligt fjernt tidspunkt begynder den at falde fra den yderste øvre position i en eller anden retning med nul hastighed, samler den gradvist op og stopper derefter og vender tilbage til sin oprindelige position.

Fakta

Trods sin enkelhed er det matematiske pendul forbundet med en række interessante fænomener.

Hvis amplituden af pendulets oscillation er tæt på , det vil sige, at pendulets bevægelse på faseplanet er tæt på separatrix , så udviser systemet kaotisk adfærd under påvirkning af en lille periodisk drivkraft . Dette er et af de enkleste mekaniske systemer, hvor kaos opstår under påvirkning af en periodisk forstyrrelse [4] . $\pi$
Hvis ophængningspunktet ikke er fast, men svinger, så kan pendulet have en ny ligevægtsposition. Hvis ophængningspunktet svinger hurtigt nok op og ned, får pendulet en stabil omvendt position. Et sådant system kaldes Kapitza-pendulet .
Under jordens rotationsforhold, med et tilstrækkeligt langt ophængsgevind, vil det plan, hvori pendulet svinger, langsomt rotere i forhold til jordoverfladen i modsat retning af jordens rotationsretning ( Foucaults pendul ).

Noter

↑ 1 2 Chefredaktør A. M. Prokhorov. Pendulum // Fysisk encyklopædisk ordbog. — M.: Sovjetisk Encyklopædi . - 1983. (Russisk) - Artikel i Physical Encyclopedic Dictionary
↑ Pendulets hastighed og acceleration under harmoniske svingninger ændrer sig også med tiden ifølge en sinusformet lov.
↑ Adlaj S. En veltalende formel for omkredsen af en ellipse // Meddelelser fra AMS . - 2012. - Bd. 59 , nr. 8 . - S. 1096-1097 . — ISSN 1088-9477 .
↑ V. V. Vecheslavov. Kaotisk lag af et pendul ved lave og mellemstore frekvenser af forstyrrelser // Journal of teknisk fysik. - 2004. - T. 74 , nr. 5 . - S. 1-5 . Arkiveret fra originalen den 14. februar 2017.

Matematisk pendul

Arten af pendulets bevægelse

Pendulet ligningen