Jacobiansk matrix

Jacobi -matricen af en afbildning i et punkt beskriver den primære lineære del af en vilkårlig afbildning i et punkt . ${\mathbf {u}}\colon \mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{m}$ $x\in \mathbb{R} ^{n}$ $\mathbf {u}$ $x$

Definition

Lad en mapping gives, der på et tidspunkt har alle partielle afledte af første orden. Matrixen sammensat af de partielle afledte af disse funktioner i punktet kaldes Jacobi -matrixen for det givne system af funktioner. $\mathbf {u} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{m}) ^{T},u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),i=1,\ldots,m,$ $x$ $J$ $x$

J(x)={\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}} (x)&\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\ delvis u_{2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\partial u_{m} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{m} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\ delvis u_{m} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}

Med andre ord er Jacobi-matricen afledet af en vektorfunktion af et vektorargument.

Relaterede definitioner

Hvis , så kaldes Jacobi-matrixdeterminanten Jacobi-determinanten eller Jacobi - determinanten for funktionssystemet . $m=n$ $|J|$ $u_{1},\ldots ,u_{n}$
En mapping kaldes ikke- degenereret , hvis dens jakobiske matrix har den maksimalt mulige rang ; det er, ${\mathrm {rang}}\,J=\min(m,n)$

Egenskaber

Hvis alle er kontinuerligt differentierbare i et kvarter , så $u_{i}$ ${\mathbf {x}}_{0}$ ${\mathbf {u}}(x)={\mathbf {u}}(x_{0})+J(x_{0})({\mathbf {x}}-{\mathbf {x}}_{ 0})+o(|{\mathbf {x}}-{\mathbf {x}}_{0}|)$
Lad være differentiable mappings og være deres Jacobi-matricer. Så er Jacobi-matricen af sammensætningen af afbildninger lig med produktet af deres Jacobi-matricer (den funktionelle egenskab ): $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},~\psi \colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^ {k}$ $J_{\varphi },J_{\psi }$ $J_{{\psi \circ \varphi }}(x)=J_{\psi }(\varphi (x))J_{\varphi }(x)$

Se også

Jacobian

Differentialregning

Hoved

private udsigter

Differentialoperatorer
( i forskellige koordinater )

Første ordre	Nabla operatør Gradient Divergens Rotor Helmholtzian
anden orden	Elliptisk operatør Laplace operatør Laplace vektor operatør D'Alembert operatør Laplace-Beltrami operatør
højere ordrer	Hypoelliptisk operatør

relaterede emner