Pinkerle derivat

I matematik er Pinkerle-afledte T' af en lineær operator T : K [ x ] → K [ x ] på et vektorrum af polynomier i en variabel x over et felt K kommutatoren for operatoren T ganget med x i endomorfien algebra End( K [ x ]). Te T' er en anden lineær operator T' : K [ x ] → K [ x ]

T':=[T,x]=Tx-xT=-\operatørnavn {ad} (x)T.

Mere detaljeret, på et polynomium, virker denne operator som følger: $p(x)$

T'\{p(x)\}=T\{xp(x)\}-xT\{p(x)\}\qquad \forall p(x)\in \mathbb {K} [x ].

Opkaldt efter den italienske matematiker Salvatore Pinkerle .

Egenskaber

Pinkerle-derivatet, som enhver kommutator , er en differentiering , der opfylder reglen om produkt og sum: for enhver lineær operator og tilhørende , $\scriptstyle S$ $\scriptstyle T$ $\scriptstyle \operatørnavn {End} \left(\mathbb {K} [x]\right)$

$\scriptstyle {(T+S)^{\prime }=T^{\prime }+S^{\prime ))$ ;
$\scriptstyle {(TS)^{\prime }=T^{\prime }\!S+TS^{\prime }}$ hvor er sammensætningen af operatører ; $\scriptstyle {TS=T\circ S}$

Hvor er også den sædvanlige Lie-parentes , som følger af Jacobi-identiteten . $\scriptstyle {[T,S]^{\prime }=[T^{\prime },S]+[T,S^{\prime }]},$ $\scriptstyle {[T,S]=TS-ST}$

Den almindelige afledte, D = d / dx , er en operator på polynomier. Direkte beregning viser, at dets Pinkerle-derivat er

D'=\left({d \over {dx}}\right)'=\operatørnavn {Id} _{\mathbb {K} [x]}=1.

Ved induktion generaliserer denne formel til

(D^{n})'=\left({{d^{n}} \over {dx^{n}}}\right)'=nD^{n-1}.

Dette beviser, at Pinkerle- derivatet af differentialoperatoren

\partial =\sum a_{n}{{d^{n}} \over {dx^{n}}}=\sum a_{n}D^{n}

er også en differentialoperator, så Pinkerle-derivatet er en afledning . $\scriptstyle \operatørnavn {Diff} (\mathbb {K} [x])$

Skift operatør

S_{h}(f)(x)=f(x+h)

kan optages

S_{h}=\sum _{n=0}{{h^{n}} \over {n!}}D^{n}

ved hjælp af Taylor-formlen . Så er dets Pinkerle-derivat

S_{h}'=\sum _{n=1}{{h^{n}} \over {(n-1)!}}D^{n-1}=h\cdot S_{h }.

Med andre ord er skiftoperatorerne egenvektorerne af Pinkerle-derivatet, hvis spektrum er hele rummet af skalarer . $\scriptstyle {\mathbb {K} }$

Hvis T er skiftinvariant, altså hvis T pendler med S h eller , har vi også: , så er skiftinvariant også . $\scriptstyle {[T,S_{h}]=0}$ $\scriptstyle {[T',S_{h}]=0}$ $\scriptstyle T'$ $\scriptstyle h$

Diskret tidsdelta-operator

{\displaystyle (\delta f)(x)={{f(x+h)-f(x)} \over h))

dette er operatøren

\delta ={1 \over h}(S_{h}-1),

hvis Pinkerle-derivat er skiftoperatoren . $\scriptstyle {\delta '=S_{h))$

Se også

Operatørkontakt

Links

Weisstein, Eric W. Pincherle-derivat . MathWorld - En Wolfram-webressource.
Biografi om Salvatore Pincherle på MacTutor History of Mathematics-arkivet .

Differentialregning

Hoved

private udsigter

Differentialoperatorer
( i forskellige koordinater )

Første ordre	Nabla operatør Gradient Divergens Rotor Helmholtzian
anden orden	Elliptisk operatør Laplace operatør Laplace vektor operatør D'Alembert operatør Laplace-Beltrami operatør
højere ordrer	Hypoelliptisk operatør

relaterede emner