Lineær differentialligning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. september 2020; checks kræver 3 redigeringer .

I matematik har en lineær differentialligning formen

Ly=f

hvor differentialoperatoren L er lineær , y er en kendt funktion af , og højre side er en funktion af samme variabel som y . $y=y(t)$ $f=f(t)$

Den lineære operator L kan betragtes i formen

L_{n}(y)\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n))}+A_{1}(t){\frac {d^{n-1} y}{dt^{n-1}}}+\cdots +A_{n-1}(t){\frac {dy}{dt}}+A_{n}(t)y

Desuden, hvis , kaldes en sådan ligning en lineær homogen ligning, ellers en lineær inhomogen ligning. $f(t)\equiv 0$

Ligninger med variable koefficienter

En lineær differentialligning af orden n med variable koefficienter har den generelle form

p_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +p_{0} (x)y(x)=r(x)

Eksempel

Cauchy-Euler-ligningen , brugt i teknik , er et simpelt eksempel på en lineær differentialligning med variable koefficienter

x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{ 0}y(x)=0

Første ordens ligning

Eksempel

Ligningsløsning

y'\left(x\right)+3y\left(x\right)=2

med startbetingelser

y\left(0\right)=2

Vi har en generel løsning

y=e^{-3x}\left(\int 2e^{3x}\,dx+\kappa \right)

Løsning af det ubestemte integral

y=e^{-3x}\left(2/3e^{3x}+\kappa \right)

Kan forenkles til

{\displaystyle y=2/3+\kappa e^{-3x))

hvor 4/3, efter at have erstattet de indledende betingelser i opløsningen. $\kappa=$

En førsteordens lineær differentialligning med variable koefficienter har den generelle form

y'(x)+f(x)y(x)=g(x)

Ligninger i denne form kan løses ved at gange med en integrerende faktor

{\displaystyle e^{\int f(x)\,dx))

Ligningen vil blive skrevet

y'(x)e^{{\int f(x)\,dx}}+f(x)y(x)e^{{\int f(x)\,dx}}=g(x)e ^{{\int f(x)\,dx}}),

Da den venstre side danner produktets differentiale

\left(y(x)e^{{\int f(x)\,dx}}\right)'=g(x)e^({\int f(x)\,dx}}

Hvilket, efter at have integreret begge dele, fører til

y(x)e^{{\int f(x)\,dx}}=\int g(x)e^({\int f(x)\,dx}}\,dx+C~,

y(x)={\dfrac {\int g(x)e^{{\int f(x)\,dx}}\,dx+C}{e^{{\int f(x)\,dx }}}}~.

Således løsningen af den lineære differentialligning af første orden

y'(x)+f(x)y(x)=g(x),

(især med konstante koefficienter) har formen

y(x)=e^{{-{\int {f(x)\,dx))))\venstre(\int g(x)e^{{\int {f(x)\,dx)) }\,dx+C\right)

hvor er integrationskonstanten. $C$

Eksempel

Lad os tage en førsteordens differentialligning med konstante koefficienter:

{\frac {dy}{dx}}+af=1.

Denne ligning er af særlig betydning for førsteordenssystemer såsom RC-kredsløb og massedæmperen.[ udtryk ukendt ] systemer.

I dette tilfælde er p ( x ) = b, r ( x ) = 1.

Derfor bliver løsningen:

y(x)=e^{{-bx}}\left(e^{{bx}}/b+C\right)=1/b+Ce^{{-bx}}.

Se også

Greens funktionsmetode

Lineær differentialligning

Ligninger med variable koefficienter

Eksempel

Første ordens ligning

Eksempel

Se også

Ligninger med konstante koefficienter