Newtons anden lov

Newtons anden lov er en differentiallov for mekanisk bevægelse , som beskriver afhængigheden af et legemes acceleration af resultatet af alle kræfter og kropsmasse påført kroppen. En af Newtons tre love . Grundlæggende lov om dynamik [1] [2] [3] .

Det objekt, der henvises til i Newtons anden lov, er et materielt punkt , som har en umistelig egenskab - inerti [4] , hvis værdi er karakteriseret ved masse . I klassisk (Newtonsk) mekanik antages massen af et materielt punkt at være konstant i tid og uafhængig af træk ved dets bevægelse og interaktion med andre legemer [5] [6] [7] [8] .

Newtons anden lov i dens mest almindelige formulering, som er gyldig for hastigheder , der er meget mindre end lysets hastighed , siger: i inertiereferencerammer er accelerationen opnået af et materialepunkt, som er direkte proportional med den kraft, der forårsager det, ikke afhænge af dens natur [9] , falder sammen med den i retning og omvendt proportional med massen af et materialepunkt [10] .

Newtons anden lov i klassisk mekanik

Mulige formuleringer

I sit arbejde " Matematical Principles of Natural Philosophy " giver Isaac Newton følgende formulering [11] af sin lov:

Ændringen i momentum er proportional med den påførte drivkraft og sker i retning af den rette linje, langs hvilken denne kraft virker.

Moderne formulering:

I inertiereferencesystemer er accelerationen opnået af et materialepunkt direkte proportional med den kraft, der forårsager det, falder sammen med det i retning og er omvendt proportional med massen af materialepunktet.

Denne lov er normalt skrevet som en formel

{\vec {a}}={\frac {{\vec {F}}}{m}},

hvor er kroppens acceleration , er kraften påført kroppen og er kroppens masse .

{\vec {a}}

\vec{F}

\m

Eller i anden form:

m{\vec {a}}={\vec {F}}

Formuleringen af Newtons anden lov ved hjælp af begrebet momentum er :

I inertiereferencesystemer er den tidsafledede af momentum af et materialepunkt lig med kraften, der virker på det [12] :

{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}},

hvor er momentum (momentum) af punktet, er dets hastighed , og er tiden .

{\vec p}=m{\vec v}

{\vec {v}}

t

Lovens anvendelsesområde

Newtons anden lov i klassisk mekanik er formuleret i forhold til et materielt punkts bevægelse. Det antages, at massen af et materialepunkt er konstant i tid [13] [14] [15] . De ligninger, der svarer til denne lov, kaldes bevægelsesligningerne for et materielt punkt eller de grundlæggende ligninger for et materielt punkts dynamik .

Nogle gange blev der inden for rammerne af klassisk mekanik gjort forsøg på at udvide ligningens omfang til at omfatte legemer med variabel masse. Men sammen med en så bred fortolkning af ligningen var det nødvendigt at ændre de tidligere accepterede definitioner væsentligt og ændre betydningen af sådanne grundlæggende begreber som et materielt punkt, momentum og kraft [16] [17] . $d{\vec {p}}/dt={\vec {F}}$

I det tilfælde, hvor flere kræfter virker på et materielt punkt, giver hver af dem punktet en acceleration bestemt af Newtons anden lov, som om der ikke var andre kræfter ( princippet om superposition af kræfter ). Derfor kan den resulterende acceleration af et materialepunkt bestemmes af Newtons anden lov ved at erstatte den resulterende kraft i det [18] .

Newtons anden lovligning antager skalær additivitet af masser [19] . ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$

Foruden det materielle punkt er ligningen i Newtons anden lov også anvendelig til at beskrive den mekaniske bevægelse af et mekanisk systems massecenter . Massecentret bevæger sig som et materielt punkt, der har en masse lig med massen af hele systemet og er under påvirkning af alle ydre kræfter påført systemets punkter ( sætningen om bevægelsen af massecentrets massecenter system ).

Newtons anden lov er kun gyldig i inertielle referencerammer [20] [21] . Men ved at tilføje inertikræfter til de kræfter, der virker fra andre legemer, for at beskrive bevægelsen i ikke-inertielle referencerammer, kan man bruge ligningen for Newtons anden lov [22] . I dette tilfælde, for en ikke-inertiel referenceramme , skrives bevægelsesligningen i samme form som for en inertiramme: kroppens masse, multipliceret med dets acceleration i forhold til den ikke-inerti referenceramme, er lig i størrelse og retning med resultanten af alle kræfter, inklusive inertikræfterne påført kroppen [23] [24] .

Den logiske rolle af Newtons anden lov

I den newtonske præsentation af klassisk mekanik er Newtons love ikke "afledt" nogen steder fra, de har status som aksiomer baseret på et sæt eksperimentelle fakta. Ligesom matematikkens aksiomer kan den newtonske dynamiks aksiomer formuleres på lidt forskellige måder.

I en tilgang er Newtons anden lov placeret som et eksperimentelt verificerbart udsagn om proportionaliteten af accelerationen til den kraft, der forårsager den, og på samme tid, definitionen af kroppens inertimasse gennem forholdet mellem kraft og acceleration [25 ] [26] . Så er hovedideen i den anden lov erklæringen om lineariteten af "kraft-acceleration"-forholdet, det vil sige, at det er disse mængder (og ikke for eksempel kraft og hastighed) og på denne måde (og ikke kvadratisk osv.), der er indbyrdes forbundne.

Med en anden tilgang kan man introducere en inertimasse , uanset Newtons anden lov, gennem massen af et bestemt legeme taget som en standard. Så indeholder den anden lov to uafhængigt eksperimentelt verificerede udsagn: om proportionaliteten af accelerationen til kraften og den omvendte proportionalitet til massen [27] .

I mange praktiske og uddannelsesmæssige problemer giver Newtons anden lov dig mulighed for at beregne kraften . Men denne lov er ikke en definition af kraft [28] (et udsagn som "per definition er kraft produktet af masse og acceleration" er upassende), ellers ville det blive til en tautologi.

Hvis der ikke er nogen påvirkning af kroppen fra andre legemer ( ), følger det af Newtons anden lov, at kroppens acceleration er nul. Herfra kan det se ud til, at Newtons første lov går ind i den anden som sit særlige tilfælde. Dette er dog ikke tilfældet, da det er den første lov , der postulerer eksistensen af inertielle referencerammer, som er et selvstændigt meningsfuldt udsagn. Følgelig er Newtons første lov formuleret uafhængigt af den anden [29] . ${\vec {F}}=0$

Newtons anden lov etablerer en sammenhæng mellem dynamiske og kinematiske størrelser [30] . Derudover kan lovens ligning betragtes som ligningen for sammenhæng mellem fysiske størrelser ved bestemmelse af kraftenhederne i SI , CGS og andre systemer [31] . Kraftenheden er defineret som en sådan kraft, der giver en acceleration til et materialepunkt med en masse lig med masseenheden, taget som den vigtigste, lig med accelerationsenheden, tidligere defineret som en afledt enhed [32] . (Med et uafhængigt valg af enheder for masse , kraft og acceleration skal udtrykket for den anden lov skrives på formen ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ $m{\vec {a}}=k{\vec {F}}$ $k$

Kraften i Newtons anden lov afhænger kun af materialepunktets koordinater og hastighed :. Hovedproblemet med fysisk mekanik er reduceret til at finde en funktion [37] . $\vec{F}$ ${\vec {r))$ $\vec{v}$ ${\dot {\vec {p}}}={\vec {F}}({\vec {r}},{\vec {v}})$ ${\vec {F}}({\vec {r}},{\vec {v}})$

Formlen i Newtons anden lov udtrykker kausalitetsprincippet i klassisk mekanik. Koordinaterne og hastighederne for et materialepunkt på et tidspunkt (hvor ) er kontinuerligt og entydigt bestemt gennem deres værdier på et tidspunkt og den givne kraft, der virker på punktet. Udvider vi i en Taylor-serie og begrænser os til lille første orden i , får vi [38] : , . Den form, hvor kausalitet er realiseret i mekanik, kaldes mekanistisk eller laplacisk determinisme [39] . ${\vec {a}}={\vec {F}}/m$ $t+\Delta t$ $\Delta t\til 0$ $t$ $\vec{F}$ $t$ ${\vec {r}}(t+\Delta t)={\vec {r}}(t)+{\vec {v}}\Delta t$ ${\vec {v}}(t+\Delta t)={\vec {v}}(t)+{\vec {a}}\Delta t$

Newtons anden lovligning er invariant under galilæiske transformationer . Dette udsagn kaldes Galileos relativitetsprincip [40] . ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$

I klassisk mekanik er loven om energiens bevarelse , loven om bevarelse af momentum og loven om bevarelse af vinkelmomentum konsekvenser af Newtons anden lov, tidens homogenitet, rummets homogenitet og isotropi samt nogle antagelser vedr. arten af de handlende kræfter [41] .

I det tilfælde, hvor kraften er konstant, fører integration af ligningen af Newtons anden lov til ligheden . Dette forhold viser, at der under påvirkning af en given kraft sker en vis ændring i hastigheden af et legeme med en større masse over længere tid. Derfor siger de, at alle legemer har inerti, og massen kaldes for kroppens inertimål [42] . $\vec{F}$ ${\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {\vec {F}}{m}}$ ${\vec {v_{2}}}-{\vec {v_{1}}}={\frac {\vec {F}}{m}}(t_{2}-t_{1})$ $\vec{F}$ $\Delta {\vec {v}}={\vec {v_{2}}}-{\vec {v_{1}}}$ $m$

Registrering af loven i forskellige koordinatsystemer

Vektornotationen i Newtons anden lov gælder for ethvert inertialkoordinatsystem, i forhold til hvilket de mængder, der er inkluderet i denne lov, bestemmes (kraft, masse, acceleration) [43] . Dekomponeringen til komponenter (fremspring) vil dog være forskellig for kartesiske, cylindriske og sfæriske systemer. Af interesse er også nedbrydningen til normale og tangentielle komponenter. $m{\vec {a}}={\vec {F}}$

Kartesisk koordinatsystem

$m{\ddot {x}}=F_{x}$ , , , hvor , og orterne af det kartesiske system , , er rettet langs koordinatakserne (i retning af stigende specifikke koordinater), $m{\ddot {y}}=F_{y}$ $m{\ddot {z}}=F_{z}$ ${\vec {F}}=F_{x}{\vec {i}}+F_{y}{\vec {j}}+F_{z}{\vec {k}}$ $\vec{i}$ $\vec{j}$ $\vec{k}$

Cylindrisk koordinatsystem

$m({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\varphi }}^{2})=F_{\rho }$ , , , hvor , og orts , , af det cylindriske system tages ved kraftpåvirkningspunktet og er rettet henholdsvis fra aksen 90 0 til den langs omkredsen i planet centreret om aksen, og langs (i retning af at øge specifikke koordinater), $m(\rho {\ddot {\varphi }}+2{\dot {\rho }}{\dot {\varphi }})=F_{\varphi }$ $m{\ddot {z}}=F_{z}$ ${\vec {F}}=F_{\rho }{\vec {e}}_{\rho }+F_{\varphi }{\vec {e}}_{\varphi }+F_{z }{\vec {e}}_{z}$ ${\vec {e}}_{\rho }$ ${\vec {e}}_{\varphi }$ ${\vec {e}}_{z}$ $z$ $xy$ $z$

Sfærisk koordinatsystem

$m({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta -r{\dot {\theta }}^{2})= F_{r}$ , , , hvor , og enhedsvektorerne , , af det sfæriske system er taget ved kraftpåføringspunktet og rettet henholdsvis fra midten , langs "parallellerne" og langs "meridianerne" (i retning af stigende specifikke koordinater). $m([r{\ddot {\varphi }}+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}]\sin \theta +2r{\dot {\varphi }}{\dot {\theta }}\cos \theta )=F_{\varphi }$ ${\displaystyle m(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}-r{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \ cos \theta )=F_{\theta ))$ ${\vec {F}}=F_{r}{\vec {e}}_{r}+F_{\varphi }{\vec {e}}_{\varphi }+F_{\theta } {\vec {e}}_{\theta }$ ${\vec {e}}_{r}$ ${\vec {e}}_{\varphi }$ ${\vec {e}}_{\theta }$ $O$

Dekomponering i et tangentplan

I et sammenhængende plan kan accelerationen af et materialepunkt med en masse og kraften, der virker på det , dekomponeres til normal (vinkelret på tangenten til banen i det sammenhængende plan) og tangentiel (parallel med tangenten til banen i den sammenhængende plan) sammenhængende plan) komponenter. ${\vec {a}}={\vec {a_{n}}}+{\vec {a_{t}}}$ $m$ ${\vec {F}}={\vec {F_{n}}}+{\vec {F_{t}}}$ ${\vec {F_{n}}}=m{\vec {a_{n}}}$ ${\vec {F_{t}}}=m{\vec {a_{t}}}$

Den absolutte værdi af normalkraften er , hvor er krumningsradius for materialets bane, er den absolutte værdi af dets hastighed. Normalkraften er rettet mod krumningscentret af materialepunktets bane. I tilfælde af en cirkulær bane med radius er den absolutte værdi af normalkraften , hvor er punktets vinkelhastighed. Normalkraften kaldes også centripetal . $F_{n}=ma_{n}=mv^{2}/R$ $R$ $v$ $R$ $F_{n}=m\omega ^{2}R$ $\omega$

Den tangentielle komponent af kraften er , hvor er buekoordinaten langs punktets bane [44] . Hvis , så falder kraften i retning med hastighedsvektoren og den kaldes drivkraften . Hvis , så er kraften modsat i retning af hastighedsvektoren, og den kaldes bremsekraften . ${\displaystyle F_{t}=ma_{t}=m{\frac {d^{2}s}{dt^{2))))$ $s=s(t)$ ${\frac {d^{2}s}{dt^{2))}>0$ ${\displaystyle {\vec {F_{t)))))$ $\vec{v}$ ${\frac {d^{2}s}{dt^{2))}<0$ ${\displaystyle {\vec {F_{t)))))$ $\vec{v}$

Den anden lov uden for klassisk mekanik

I relativistisk dynamik

Newtons anden lov i formen er tilnærmelsesvis kun gyldig for hastigheder meget mindre end lysets hastighed og i inerti-referencerammer . $m{\vec {a}}={\vec {F}}$

I form af Newtons anden lov er det også nøjagtigt sandt i inerti-referencerammer for den særlige relativitetsteori og i lokale inerti-referencerammer for den generelle relativitetsteori , men i stedet for det tidligere udtryk for momentum, lighed bruges , hvor er lysets hastighed [45] . ${\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}$ ${\vec p}={\frac {m{\vec v}}({\sqrt {1-{\frac {\displaystyle v^{2}}{\displaystyle c^{2}}}}}}}$ $c$

Der er også en firedimensionel relativistisk generalisering af Newtons anden lov. Den afledte af fire-momentum med hensyn til den korrekte tid for et materielt punkt er lig med fire-kraften [46] : ${\vec {\mathrm {P} }}$ $\tau$ ${\vec {\Phi ))$

{\vec {\Phi }}={\frac {d{\vec {\mathrm {P} }}}{d\tau }}

I relativistisk dynamik er den tredimensionelle accelerationsvektor ikke længere parallel med den tredimensionelle kraftvektor [47] . ${\vec {a}}$ $\vec{F}$

I kvantemekanik

Lovene for den newtonske dynamik, herunder Newtons anden lov, er uanvendelige, hvis de Broglie-bølgelængden af det undersøgte objekt er i forhold til de karakteristiske dimensioner af det område, hvor dets bevægelse studeres. I dette tilfælde er det nødvendigt at bruge kvantemekaniske love [48] .

Ikke desto mindre er Newtons anden lov, under visse betingelser, relevant i forhold til bevægelsen af en bølgepakke i kvantemekanikken. Hvis den potentielle energi af en bølgepakke ændres ubetydeligt i det område, hvor pakken er placeret, så vil den tidsafledede af gennemsnitsværdien af pakkens momentum være lig med kraften, forstået som den potentielle energigradient taget med det modsatte fortegn ( Ehrenfests sætning ).

For at beskrive en partikels bevægelse i et potentielt felt, i kvantemekanikken, er en operatorligning gyldig, som i form falder sammen med ligningen for Newtons anden lov: . Her: er partiklens masse, er hastighedsoperatoren, er momentumoperatoren, er den potentielle energioperator [49] . $m{\frac {d{\hat {v}}}{dt}}=-\nabla {\hat {U}}$ $m$ ${\hat {v}}={\frac {\hat {p}}{m}}$ ${\hat {p}}$ ${\hat {U}}=U(x,y,z)$

En modificeret Newtons anden lov bruges også i den kvantemekaniske beskrivelse af elektronernes bevægelse i et krystalgitter. En elektrons interaktion med et periodisk elektromagnetisk felt i gitteret tages i betragtning ved at introducere begrebet effektiv masse .

Lovens videnskabelige og historiske betydning

Ved at vurdere betydningen af Newtons anden lov skrev A. Einstein :

Differentialloven er den eneste form for årsagsforklaring, der fuldt ud kan tilfredsstille den moderne fysiker. En klar forståelse af differentialloven er en af Newtons største spirituelle bedrifter... Kun overgangen til at overveje et fænomen på uendelig kort tid (dvs. til en differentiallov) gjorde det muligt for Newton at give en formulering, der var egnet til at beskrive enhver bevægelse. Så Newton kom... til etableringen af den berømte lov om bevægelse:

Accelerationsvektor × Masse = Kraftvektor.

Dette er grundlaget for al mekanik og måske for al teoretisk fysik.

- Einstein A. Samling af videnskabelige værker. - M. : Nauka, 1967. - T. 4. - S. 82, 92. - 599 s. - 31.700 eksemplarer.

Alle naturlove for kræfter, afhængigt af legemers egenskaber, deres tilstande og bevægelser, er opnået fra eksperimenter og er altid og kun etableret på grundlag af løsning af ligningen , der bruges til at udtrykke kraft [50] . ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$

Newtons anden lov er en vigtig del af det paradigme , der er vedtaget i det klassiske fysiske verdensbillede [51] .

Lagrangske og Hamiltonske generaliseringer af loven

Der er to aksiomatiske tilgange i analytisk mekanik. En tilgang tager Newtons anden lov som et aksiom og udleder Lagranges ligninger fra den . I en anden tilgang tages Lagrange-ligningerne som et aksiom. Så betragtes Newtons anden lov som en konsekvens af dem [52] .

Fra Lagrange-ligningerne for et vilkårligt holonomisk system , som er påvirket af både potentielle ( ) og ikke-potentielle ( ) generaliserede kræfter , følger det, at den tidsafledede af det generaliserede momentum er lig med den samlede generaliserede kraft : ${\displaystyle Q_{i}^{p))$ ${\displaystyle Q_{i}^{n))$ ${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=Q_{i}^{n}$ ${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q))_{i))))$ $Q_{i}=Q_{i}^{p}+Q_{i}^{n}={\frac {\partial L}{\partial q_{i))}+Q_{i}^{ n}$

{\dot {p}}_{i}=Q_{i}

Lagrange-ligningerne skrevet på denne måde i kartesiske koordinater kaldes Newtons bevægelsesligninger [53] .

Sætningen om ændringen af det generaliserede momentum generaliserer og omfatter som særlige tilfælde Newtonsk dynamiks sætninger om ændringen i momentum og om ændringen i vinkelmomentet [54] .

I Hamiltonsk dynamik

{\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i))))

hvor, som ovenfor, er det generaliserede momentum, angivet ved Hamilton-funktionen , og er Lagrangian , det vil sige forskellen mellem systemets kinetiske og potentielle energier. ${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q))_{i))))$ $H=\sum _{i=1}^{s}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L$ $L=L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)$

Se også

Noter

↑ G. A. Bugaenko, V. V. Malanin , V. I. Yakovlev Grundlæggende om klassisk mekanik. - M., Higher School , 1999. - ISBN 5-06-003587-5 - Oplag 3000 eksemplarer. — c. 43
↑ Kuznetsov B. G. Grundlæggende principper for Newtons fysik // red. udg. Grigoryan A. T. , Polak L. S. Essays om udvikling af grundlæggende fysiske ideer. - M., USSR Academy of Sciences , 1959. - Oplag 5000 eksemplarer. - Med. 188;
↑ Tarasov V. N., Boyarkina I. V., Kovalenko M. V., Fedorchenko N. P., Fisenko N. I. Teoretisk mekanik. - M., TransLit, 2012. - ISBN 978-5-94976-455-8 . – Oplag 1000 eksemplarer. - Med. 249
↑ Samme som inerti . Se Inerti // Fysisk encyklopædi : [i 5 bind] / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1990. - T. 2: Kvalitetsfaktor - Magneto-optik. - S. 146. - 704 s. — 100.000 eksemplarer. — ISBN 5-85270-061-4 .
↑ "En yderligere karakteristik (sammenlignet med de geometriske karakteristika) for et materialepunkt er skalarstørrelsen m - massen af materialepunktet, som generelt kan være både konstant og variabel. ... I klassisk newtonsk mekanik, en materialepunkt er normalt modelleret af et geometrisk punkt med dets iboende konstante masse), der er et mål for dets inerti." s. 137 Sedov LI , Tsypkin AG Fundamentals of makroskopiske teorier om gravitation og elektromagnetisme. M: Nauka, 1989.
↑ Markeev A.P. Teoretisk mekanik. - M. : CheRO, 1999. - S. 87. - 572 s. "Massen af et materielt punkt betragtes som en konstant værdi, uafhængig af omstændighederne ved bevægelsen."
↑ Golubev Yu. F. Grundlæggende om teoretisk mekanik. - M. : MGU, 2000. - S. 160. - 720 s. — ISBN 5-211-04244-1 . « Axiom 3.3.1. Massen af et materielt punkt bevarer sin værdi ikke kun i tid, men også under enhver interaktion af et materielt punkt med andre materielle punkter, uanset deres antal og arten af interaktioner.
↑ Targ S. M. Et kort kursus i teoretisk mekanik. - M . : Højere skole, 1995. - S. 287. - 416 s. — ISBN 5-06-003117-9 . "I klassisk mekanik anses massen af hvert punkt eller partikel i systemet for at være en konstant, når den bevæger sig"
↑ Butikov E.I., Bykov A.A., Kondratiev A.S. Fysik for universitetsstuderende. — M.: Nauka, 1982. — S.39.
↑ Landsberg G.S. Elementær lærebog i fysik. Bind 1. Mekanik. Varme. Molekylær fysik. — M.: Nauka, 1975. — C. 107
↑ Isaac Newton. Matematiske principper for naturfilosofi. - M. : Nauka, 1989. - S. 40. - 690 s. - ("videnskabens klassikere"). - 5000 eksemplarer. - ISBN 5-02-000747-1 .
↑ Sivukhin D.V. Almen kursus i fysik. — M .: Fizmatlit; Moscow Institute of Physics and Technology, 2005. - T. I. Mechanics. - S. 76. - 560 s. — ISBN 5-9221-0225-7 .
↑ Markeev A.P. Teoretisk mekanik. - M. : CheRO, 1999. - S. 254. - 572 s. “... Newtons anden lov gælder kun for et punkt med konstant sammensætning. Dynamikken i systemer med variabel sammensætning kræver særlig overvejelse."
↑ Irodov I. E. Grundlæggende love for mekanik. - M . : Højere skole, 1985. - S. 41. - 248 s. "I Newtonsk mekanik... m=const og dp/dt=ma".
↑ Kleppner D., Kolenkow RJ An Introduction to Mechanics . - McGraw-Hill, 1973. - S. 112. - ISBN 0-07-035048-5 . Arkiveret kopi (ikke tilgængeligt link) . Hentet 9. februar 2013. Arkiveret fra originalen 17. juni 2013. (ubestemt) "For en partikel i newtonsk mekanik er M en konstant og (d/dt)(M v ) = M(d v /dt) = M a ".
↑ Sommerfeld A. Mechanics = Sommerfeld A. Mechanik. Zweite, revidierte Auflage, 1944. - Izhevsk: Forskningscenter "Regular and Chaotic Dynamics", 2001. - S. 45-46. — 368 s. — ISBN 5-93972-051-X .
↑ Kilchevsky N. A. Kursus i teoretisk mekanik. Bind 1. - M .: Nauka, 1977. 480 s.
↑ 1 2 Yavorsky B.M. , Detlaf A.A. , Lebedev A.K. Håndbog i fysik for ingeniører og universitetsstuderende. — M.: Oniks , 2007. — ISBN 978-5-488-01248-6 . – Oplag 5.100 eksemplarer. — S. 38 - 39
↑ Orir J. Physics // M., Mir, 1981. - Oplag 75.000 eksemplarer. - Bind 1. - s. 54
↑ Savelyev I.V. Kursus i generel fysik. Bind 1. Mekanik. Molekylær fysik. — M.: Nauka, 1987. — S. 118
↑ Landsberg G.S. Elementær lærebog i fysik. Bind 1. Mekanik. Varme. Molekylær fysik. — M.: Nauka, 1975. — C. 289
↑ Savelyev I.V. Kursus i generel fysik. Bind 1. Mekanik. Molekylær fysik. — M.: Nauka, 1987. — C. 118-119
↑ Landsberg G.S. Elementær lærebog i fysik. Bind 1. Mekanik. Varme. Molekylær fysik. — M.: Nauka, 1975. — C. 291
↑ Savelyev I.V. Kursus i generel fysik. Bind 1. Mekanik. Molekylær fysik. — M.: Nauka, 1987. — S. 119
↑ Landsberg G.S. Elementær lærebog i fysik. Bind 1. Mekanik. Varme. Molekylær fysik. — M.: Nauka, 1975. — S. 106
↑ Khaikin S. E. Mekanikkens fysiske grundlag. — M.: Fizmatgiz, 1963. — S. 104
↑ Butikov E.I., Bykov A.A., Kondratiev A.S. Fysik for universitetsstuderende. - M .: Nauka, 1982. - S. 30.
↑ R. F. Feynman Feynman Forelæsninger om Fysik. Bind I. Moderne naturvidenskab Mekanikkens love. - M .: Nauka, 1978. - S. 209-210.
↑ Savelyev I.V. Kursus i generel fysik. Bind 1. Mekanik. Molekylær fysik. — M.: Nauka, 1987. — C. 54
↑ Seleznev Yu. A. Grundlæggende om elementær fysik. - M., Nauka, 1966. - Oplag 100.000 eksemplarer. - Med. 40
↑ G. D. Burdun, B. N. Markov Fundamentals of metroology. - M .: Forlag for standarder, 1972. - Oplag 30.000 eksemplarer. - S. 49.
↑ Sena L. A. Enheder af fysiske størrelser og deres dimensioner. — M.: Nauka , 1977. — S. 24.
↑ Savelyev I. V. Kursus i generel fysik / 2. udg., revideret. - M . : Nauka, 1982. - T. 1. Mekanik. Molekylær fysik. - S. 54. - 432 s.
↑ Sena L. A. Enheder af fysiske størrelser og deres dimensioner . - M. : Nauka, 1969. - S. 22. - 304 s.
↑ Multanovsky V.V. Teoretisk fysik kursus: Klassisk mekanik. Grundlæggende om den særlige relativitetsteori. Relativistisk mekanik . - M . : Uddannelse, 1988. - S. 73. - 304 s. - ISBN 5-09-000625-3 .
↑ "Du bør ikke forveksle begreberne kraft og produktet af masse og den acceleration, som den er lig med" ( Fok V.A. Mechanics. Boganmeldelse: L. Landau og L. Pyatigorsky. Mechanics. (Teoretisk fysik under den generelle redaktion af Prof. L.D. Landau, bind I), Gostekhizdat, Moskva-Leningrad, 1940, UFN , 1946, bind 28 , udgave 2-3 , s . 377-383 .
↑ Sivukhin D.V. Almen kursus i fysik. Mekanik. - M., Nauka, 1979. - Oplag 50.000 eksemplarer. - Med. 71-72
↑ R. F. Feynman Feynman Forelæsninger om Fysik. Bind I. Moderne naturvidenskab Mekanikkens love. - M .: Nauka, 1978. - S. 164.
↑ Bugaenko G. A., Malanin V. V. , Yakovlev V. I. Grundlæggende om klassisk mekanik. - M .: Højere skole, 1999. ISBN 5-06-003587-5 - Oplag 3.000 eksemplarer. - S. 47.
↑ Sivukhin D.V. Almen kursus i fysik. Mekanik. - M., Nauka, 1979. - Oplag 50.000 eksemplarer. - Med. 94
↑ Sivukhin D.V. Almen kursus i fysik. Mekanik. - M., Nauka, 1979. - Oplag 50.000 eksemplarer. - Med. 199
↑ Zhirnov N. I. Klassisk mekanik. - M., Uddannelse, 1980. - s. 34-35
↑ R. Nevanlinna Rum, tid og relativitet. - M., Mir, 1966. - s. 202
↑ Tarasov V. N., Boyarkina I. V., Kovalenko M. V. Teoretisk mekanik. - M., TransLit, 2012. - ISBN 978-5-94976-455-8 . - Med. 254
↑ Savelyev I.V. Kursus i generel fysik. T. 1. Mekanik. Molekylær fysik. — M.: Nauka, 1987. — S. 237.
↑ Bugaenko G. A. , Malanin V. V. , Yakovlev V. I. Grundlæggende om klassisk mekanik. - M .: Højere skole, 1999. - S. 347. - ISBN 5-06-003587-5
↑ Kychkin I. S., Sivtsev V. I. Skolefysik : Newtons anden lov Arkivkopi dateret 30. maj 2019 på Wayback Machine // International Journal of Experimental Education. - 2016. nr. 3-2. - S. 194-197.
↑ Butikov E. I., Bykov A. A., Kondratiev A. S. Fysik for ansøgere til universiteter. - M .: Nauka, 1982. - S. 544.
↑ Landau L. D. , Livshits E. M. Kvantemekanik. - M., Nauka, 1972. - s. 76
↑ Sedov L.I. Metoder til lighed og dimension i mekanik. - M .: Gostekhteorizdat, 1954. - S. 21 - 28.
↑ Thomas Kuhn De videnskabelige revolutioners struktur . - M., AST, 2020. - ISBN 978-5-17-122824-8 . - Med. 280-282
↑ Aizerman M.A. Klassisk mekanik. - M .: Nauka, 1980. - Oplag 17.500 eksemplarer. — s. 164-165
↑ Medvedev B.V. Begyndelsen af teoretisk fysik. Mekanik, feltteori, elementer af kvantemekanik. - M .: Fizmatlit, 2007. - ISBN 978-5-9221-0770-9 - S. 38.
↑ Bugaenko G. A., Malanin V. V. , Yakovlev V. I. Grundlæggende om klassisk mekanik. - M .: Higher School, 1999. - S. 247. - ISBN 5-06-003587-5

Newtons anden lov