Elliptisk operatør

En elliptisk operator er en 2. ordens partiel differentialoperator . Det er et særligt tilfælde af den hypoelliptiske operatør

Definition

En differentialoperator kaldes en elliptisk operator, hvis den kvadratiske form har samme fortegn for alle [1] . $L=\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}({\mathbf {x}}){\frac {\ delvis ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{{k=1}}^{n}b_{k}({\mathbf {x}}){ \frac {\partial }{\partial x_{k))}+c$ $\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}({\mathbf {x}})\xi _{i}\ xi _{j}$ $\mathbf {x}$

Anvendelse af elliptiske operatorer

Elliptiske operatorer bruges til at studere og løse elliptiske ligninger . Enhver elliptisk ligning kan skrives som . Desuden bruges operatørernes egenskaber i konstruktionen af numeriske metoder til løsning af ligninger. I nogle tilfælde generaliseres disse resultater til parabolske og hyperbolske ligninger (når disse ligninger kun diskretiseres i tid, opnås elliptiske ligninger for hvert tidslag). $Lu=f$

Eksempler på elliptiske operatorer

Laplace-operatøren , skrevet som $L=\nabla \cdot \nabla$
Generaliseringer af Laplace-operatoren, en operator af formen , hvor . Egenværdierne for en sådan operator er fundet fra Sturm-Liouville-problemet . På sættet af funktioner ( Lebesgue mellemrum på ) er denne operatør selvadjoint og positiv bestemt [2] . $L=-\nabla \cdot p({\mathbf {x)))\nabla +q({\mathbf {x)))$ $p({\mathbf {x}})>0,\ q({\mathbf {x}})\geq 0$ $H_{0}(\Omega )=\venstre\{u\in H(\Omega ),{\Bigl .}u{\Bigr |}_({\partial \Omega }}=0\right\}$ $H(\Omega)$ $\Omega$
Et eksempel på en ikke-lineær elliptisk operator er operatoren $Lu=\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left(|\nabla u|{\frac {\partial u}{\ delvis x_{i}}}\right)$

Noter

↑ Miranda K. Partielle differentialligninger af elliptisk type. - Moskva: Forlaget for Foreign Literature, 1957. - 256 s.
↑ Soloveichik Yu.G. , Royak M.E. , Persova M.G. Finite element-metode til skalar- og vektorproblemer. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 s. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .

Differentialregning

Hoved

private udsigter

Differentialoperatorer
( i forskellige koordinater )

Første ordre	Nabla operatør Gradient Divergens Rotor Helmholtzian
anden orden	Elliptisk operatør Laplace operatør Laplace vektor operatør D'Alembert operatør Laplace-Beltrami operatør
højere ordrer	Hypoelliptisk operatør

relaterede emner