Rotor (differentialoperatør)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 5. oktober 2021; verifikation kræver 21 redigeringer .

Rotor , rotation eller hvirvelvind er en vektordifferentialoperator over et vektorfelt .

Angivet på forskellige måder:

$\operatørnavn{rot}$ (mest almindeligt i russisksproget [1] litteratur),
$\operatørnavn{curl}$ (i engelsksproget litteratur, foreslået af Maxwell [2] ),
$\mathbf {\nabla } \times$ — som differentialoperator nabla , vektorielt multipliceret med et vektorfelt, dvs. for et vektorfelt, vil resultatet af rotoroperatorens handling, skrevet på denne form, være vektorproduktet af nabla-operatoren og dette felt: . $\mathbf {F}$ $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F}$

Resultatet af rotoroperatørens handling på et specifikt vektorfelt kaldes feltrotoren eller blot rotoren og er et nyt vektorfelt [3] : $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$

\operatorname {rot} \mathbf {F} \equiv \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F}

Feltet (vektorens længde og retning i hvert punkt i rummet) karakteriserer i en vis forstand ( se nedenfor ) feltets rotationskomponent i de tilsvarende punkter. $\operatørnavn {rot} \mathbf {F}$ $\operatørnavn {rot} \mathbf {F}$ $\mathbf {F}$

Definition

Rotoren af et vektorfelt er en vektor, hvis projektion i hver retning er grænsen for forholdet mellem vektorfeltets cirkulation langs konturen , som er kanten af et fladt område , vinkelret på denne retning, til værdien af denne. areal (areal), når størrelsen af området har en tendens til nul, og selve området trækker sig sammen til punkt [4] : $\operatørnavn {rot} \mathbf {a}$ $\mathbf {a}$ $\operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a}$ $\mathbf n$ $L$ $\Delta S$

\operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\oint \limits _{L}\mathbf {a\ cdot \,dr} }{\Delta S))

Konturens gennemløbsretning er valgt således, at konturen, set i retningen , gennemkøres med uret [5] . $\mathbf n$ $L$

Operationen defineret på denne måde eksisterer strengt taget kun for vektorfelter over tredimensionelt rum. For generaliseringer til andre dimensioner, se nedenfor .

En alternativ definition kan være en direkte beregningsmæssig definition af en differentialoperator, som reducerer til

\operatorname {rot} \mathbf {a} =\nabla \times \mathbf {a}

som kan skrives i specifikke koordinater som vist nedenfor .

Nogle gange kan du støde på sådan en alternativ [6] definition [7]

\operatorname {rot} \mathbf {a} {\Big |}_{O}=\lim _{S\to O}{\frac {\oint \limits _{S}[\mathbf {a} \times d\mathbf {S} ]}{V}}

, hvor er det punkt, hvor feltets rotor bestemmes ,

O

\mathbf {a}

S

- en lukket overflade, der indeholder et punkt indeni og krymper til det i grænsen,

O

d\mathbf {S}

er vektoren af et element af denne overflade, hvis længde er lig med arealet af overfladeelementet, vinkelret på overfladen i et givet punkt, tegnet angiver et vektorprodukt,

\ gange

V

er volumenet inde i overfladen .

S

Denne sidste definition er sådan, at den umiddelbart giver rotorvektoren, uden at det er nødvendigt at definere projektionerne på de tre akser separat.

Intuitivt billede

Hvis er hastighedsfeltet for gas (eller væskestrøm), så er en vektor proportional med vinkelhastighedsvektoren af et meget lille og let støvkorn (eller kugle) i strømmen (og medført af bevægelsen af gas eller væske; selvom midten af kuglen kan fastgøres, hvis det ønskes, kun så den frit kan rotere rundt om den). $\mathbf {v} (x,y,z)$ $\operatorname {rot} \mathbf {v}$

Specifikt , hvor er denne vinkelhastighed. $\operatorname {rot} \mathbf {v} =2{\boldsymbol {\omega }}$ ${\boldsymbol {\omega ))$

For en simpel illustration af dette faktum, se nedenfor .

Denne analogi kan drages ganske strengt ( se nedenfor ). Den grundlæggende definition af cirkulation givet ovenfor kan betragtes som ækvivalent med den således opnåede.

Udtryk i specifikke koordinater

Rotorformel i kartesiske koordinater

I et tredimensionelt kartesisk koordinatsystem beregnes rotoren (ifølge definitionen ovenfor) som følger (her angivet med et vektorfelt med kartesiske komponenter , og er orts af kartesiske koordinater): $\mathbf {F}$ $(F_{x},F_{y},F_{z})$ $\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z$

\operatorname {rot} (F_{x}\mathbf {e} _{x}+F_{y}\,\mathbf {e} _{y}+F_{z}\mathbf {e} _{ z})={}

= \left( \partial_y F_z - \partial_z F_y \right) \mathbf e_x+ \left( \partial_z F_x - \partial_x F_z \right) \mathbf e_y+ \left( \partial_x F_y - \partial_y F_x \right) \_math lign

\equiv \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {e } _{x}+\venstre({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf { e} _{y}+\venstre({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e}_{z}

eller

(\operatorname {rot} \mathbf {F} )_{x}=\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\equiv {\frac {\partial F_ {z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}

(\operatørnavn {rot} \mathbf {F} )_{y}=\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\equiv {\frac {\partial F_ {x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}

(\operatorname {rot} \mathbf {F} )_{z}=\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\equiv {\frac {\partial F_ {y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}

(hvilket kan betragtes som en alternativ definition, der i det væsentlige falder sammen med definitionen i begyndelsen af afsnittet, i det mindste under forudsætning af, at feltkomponenterne er differentiable).

For nemheds skyld kan vi formelt repræsentere rotoren som vektorproduktet af nabla-operatøren (til venstre) og vektorfeltet:

\operatorname {rot} \mathbf {F} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\partial _{x}\\\partial _{y}\\ \partial _{z}\end{pmatrix}}\times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e } _{z}\\\partial _{x}&\partial _{y}&\partial _{z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}

(den sidste lighed repræsenterer formelt vektorproduktet som en determinant ).

Rotorformel i krumlinjede koordinater

Et praktisk generelt udtryk for en rotor, der er egnet til vilkårlige krumlinjede koordinater i 3D-rum, er at bruge Levi-Civita-tensoren (ved at bruge hævet skrift, sænket skrift og Einsteins summeringsregel ):

{\displaystyle (\operatørnavn {rot} \mathbf {v} )_{i}=\varepsilon _{ijk}g^{jm}\nabla _{m}v^{k))

hvor er koordinatnotationen af Levi-Civita-tensoren, inklusive faktoren , er den metriske tensor i repræsentationen med superscripts, , og er de kovariante afledte af vektorens kontravariante koordinater . $\varepsilon_{ijk}$ ${\sqrt {g))$ $g^{jm}$ $g\equiv \det(g_{rs})$ ${\displaystyle \nabla _{m}v^{k))$ ${\mathbf v}$

Dette udtryk kan også omskrives som:

{\displaystyle (\operatørnavn {rot} \mathbf {v} )^{n}=g^{ni}\varepsilon _{ijk}g^{jm}\nabla _{m}v^{k))

Rotorformel i ortogonale krumlinjede koordinater

\operatorname {rot} \mathbf {A} =\operatørnavn {rot} (\mathbf {q_{1}} A_{1}+\mathbf {q_{2}} A_{2}+\mathbf {q_ {3}}A_{3})=

{}={\frac {1}{H_{2}H_{3}}}\venstre[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{3}H_{3 })-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{2}H_{2})\right]\mathbf {q_{1}} \ +

{}+{\frac {1}{H_{3}H_{1}}}\venstre[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{1}H_{1 })-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{3}H_{3})\right]\mathbf {q_{2}} \ +

{}+{\frac {1}{H_{1}H_{2}}}\venstre[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{2}H_{2 })-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{1}H_{1})\right]\mathbf {q_{3}}

{}={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}}}{\begin{vmatrix}\mathbf {(} H_{1}{e}_{1}) &\mathbf {(} H_{2}{e}_{2})&\mathbf {(} H_{3}{e}_{3})\\{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{1))}&{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{2))}&{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{3 }}}\\(A_{1}H_{1})&(A_{2}H_{2})&(A_{3}H_{3})\end{vmatrix}}

hvor er Lame-koefficienterne . $Hej$

Generaliseringer

En generalisering af krøllen som anvendt på vektor- (og pseudovektor-) felter på rum af vilkårlig dimension (forudsat at rummets dimension falder sammen med dimensionen af feltvektoren) er et antisymmetrisk tensorfelt med valens to, hvis komponenter er lige:

(\operatorname {rot} \mathbf {F} )_{ij}=\partial _{i}F_{j}-\partial _{j}F_{i}\equiv {\frac {\partial F_ {j}}{\partial x_{i}}}}-{\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}

Den samme formel kan skrives i form af det ydre produkt med nabla-operatoren:

\operatorname {rot} \mathbf {F} =\nabla \wedge \mathbf {F}

For et todimensionalt plan kan en lignende formel med et pseudoskalært produkt bruges (en sådan krølle vil være en pseudoskalær, og dens værdi falder sammen med projektionen af det traditionelle vektorprodukt på normalen til dette plan, hvis den er indlejret i et tredimensionelt euklidisk rum).

Hvis strukturen af et komplekst rum (med koordinat ) introduceres på et todimensionelt reelt rum (med koordinater og ) og todimensionelle vektorfelter skrives som komplekst værdifulde funktioner , så bruger differentiering med hensyn til en kompleks variabel $x$ $y$ $z=x+iy$ $f(z)$

{\frac {\partial {}}{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {}}{\partial x}}-i{ \frac {\partial {}}{\partial y}}\right)

rotoren og divergensen (og de vil forblive reelle tal) kan skrives som følger:

\operatørnavn {rot} f=2\operatørnavn {Im} {\frac {\partial f}{\partial z))

\operatørnavn {div} f=2\operatørnavn {Re} {\frac {\partial f}{\partial z))

Grundlæggende egenskaber

Rotoroperationen er lineær over konstantfeltet: for alle vektorfelter og og for alle tal (konstant) og $\mathbf {F}$ $\mathbf {G}$ $-en$ $b$

\operatørnavn {rot} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\operatørnavn {rot} \mathbf {F} +b\operatørnavn {rot} \mathbf {G}

Hvis er et skalarfelt (funktion) og er vektor, så: $\varphi$ $\mathbf {F}$

\operatorname {rot} (\varphi \mathbf {F} )=\operatørnavn {grad} \varphi \times \mathbf {F} +\varphi \operatorname {rot} \mathbf {F}

\nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\times \mathbf {F} +\varphi (\nabla \times \mathbf {F} )

Hvis feltet er potentielt , er dets rotor lig med nul (feltet er irroterende): $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$

\mathbf {F} =\operatørnavn {grad} \varphi \implies \operatørnavn {rot} \mathbf {F} ={\boldsymbol {0))

Det omvendte er sandt lokalt [8] : hvis feltet er irrotationelt, så er det lokalt (i tilstrækkeligt små områder) potentielt (det vil sige, at der er et sådan skalarfelt, der vil være dets gradient): $\varphi$ $\mathbf {F}$

\operatorname {rot} \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}\implies \mathbf {F} =\operatørnavn {grad} \varphi

Således kan forskellige vektorfelter have den samme rotor. I dette tilfælde vil de nødvendigvis adskille sig fra et irrotationsfelt (det vil sige lokalt ved gradienten af et eller andet skalarfelt).

Rotorens divergens er nul (rotorfeltet er divergensløst):

\operatørnavn {div} \operatørnavn {rot} \mathbf {F} =0

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0

Den omvendte egenskab gælder også lokalt - hvis feltet er divergensfrit, er det lokalt rotoren for et felt , kaldet dets vektorpotentiale : $\mathbf {F}$ $\mathbf {G}$

\operatørnavn {div} \mathbf {F} =0\implies \mathbf {F} =\operatørnavn {rot} \mathbf {G}

Divergensen af krydsproduktet af to vektorfelter udtrykkes i form af deres rotorer med formlen:

\operatørnavn {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\operatørnavn {rot} \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot \operatørnavn {rot} \mathbf {G}

Så hvis og er irrotationelle vektorfelter, vil deres vektorprodukt være divergensløst og vil lokalt have et vektorpotentiale. For eksempel, hvis , og , er det let at finde vektorpotentialet for :

F

G

\mathbf {F} =\nabla f

\mathbf {G} =\nabla g

\mathbf {F} \times \mathbf {G}

\mathbf {F} \times \mathbf {G} =\operatørnavn {rot} (f\nabla g)

. Lokalt er hvert divergensfri vektorfelt i et 3D-domæne krydsproduktet af to gradienter.

Rotorens krølle er lig med divergensgradienten minus Laplacian:

\operatørnavn {rot} \operatørnavn {rot} \mathbf {F} =\operatørnavn {grad} \operatørnavn {div} \mathbf {F} -\Delta \mathbf {F}

Rotoren af vektorproduktet af felterne er lig med:

\operatørnavn {rot} (\mathbf {F\ gange G} )=(\operatørnavn {div} \mathbf {G} )\mathbf {F} -(\operatørnavn {div} \mathbf {F} )\ mathbf {G} +\nabla _{\mathbf {G} }\mathbf {F} -\nabla _{\mathbf {F} }\mathbf {G}

Fysisk fortolkning

Når et kontinuerligt medium bevæger sig , er fordelingen af dets hastigheder (det vil sige væskestrømningshastighedsfeltet) nær punktet O givet af Cauchy-Helmholtz formlen:

\mathbf {v} (\mathbf {r} )=\mathbf {v} _{O}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} +\nabla \varphi +o(\ mathbf {r} )

hvor er vektoren for vinkelrotation af elementet af mediet i punktet , og er den kvadratiske form af koordinaterne, er deformationspotentialet for elementet af mediet. ${\boldsymbol {\omega ))$ $O$ $\varphi$

Bevægelsen af et kontinuerligt medium nær et punkt består således af translationel bevægelse (vektor ), rotationsbevægelse (vektor ) og potentiel bevægelse - deformation (vektor ). Ved at anvende rotoroperationen på Cauchy- Helmholtz- hvor lighedsmiljøelementetformlen opnår vi, at på det punkt, $O$ $\mathbf {v} _{O}$ ${\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$ $\nabla\varphi$ $O$ $\operatorname {rot} \mathbf {v} =2{\boldsymbol {\omega }}$

Som et intuitivt billede, som beskrevet ovenfor, kan du her bruge ideen om rotationen af et lille støvkorn kastet ind i strømmen (medtaget af strømmen med sig selv, uden dens mærkbare forstyrrelse) eller om rotationen af en lille en placeret i flowet med en fast akse (uden inerti, roteret af flowet, mærkbart uden at forvrænge det) hjul med lige (ikke spiralformede) blade. Hvis den ene eller den anden, når man ser på den, roterer mod uret, betyder det, at rotorvektoren for strømningshastighedsfeltet på dette punkt har en positiv projektion mod os.

Kelvin-Stokes formlen

Cirkulationen af en vektor langs en lukket kontur, som er grænsen for en bestemt overflade, er lig med strømmen af denne vektors rotor gennem denne overflade:

\oint \limits _{\partial S}\mathbf {F} \cdot \,\mathbf {dl} =\int \limits _{S}(\operatørnavn {rot} ~\mathbf {F} )\ cdot \mathbf {dS}

Et særligt tilfælde af Kelvin-Stokes-formlen for en flad overflade er indholdet af Greens sætning .

Eksempler

I dette kapitel, for enhedsvektorer langs akserne af (rektangulære) kartesiske koordinater, vil vi bruge notationen $\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z.$

Et simpelt eksempel

Overvej et vektorfelt afhængigt af koordinaterne og så: $\mathbf {F}$ $x$ $y$

\mathbf{F}(x,y)=y\mathbf e_x - x \mathbf e_y

I forhold til dette eksempel er det let at se, at , hvor er radiusvektoren, og det vil sige, at feltet kan betragtes som hastighedsfeltet for punkterne i et stivt legeme, der roterer med en vinkelhastighed af enhed i størrelsesorden , rettet i den negative retning af aksen (det vil sige med uret, hvis man ser "ovenfra" - mod aksen ). Intuitivt er det mere eller mindre indlysende, at feltet er snoet med uret. Hvis vi placerer et hjul med blade i en væske, der strømmer med sådanne hastigheder (det vil sige roterer som helhed med uret), hvor som helst, vil vi se, at det begynder at rotere i urets retning. (For at bestemme retningerne bruger vi, som sædvanligt, reglen om højre hånd eller højre skrue ). $\mathbf {F} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$ $\mathbf {r}$ ${\boldsymbol {\omega }}=-1\mathbf {e} _{z}$ $\mathbf {F}$ $z$ $z$
$z$ -komponent af feltet antages at være lig med nul. Men hvis den ikke er nul, men konstant (eller endda kun afhængig af ) - vil resultatet for rotoren opnået nedenfor være det samme. $\mathbf {F}$ $z$

Lad os beregne rotoren:

\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} =0 \mathbf e_x + 0 \mathbf e_y+ \left[ {\frac{\partial}{\partial x))(-x) -{\frac{\partial }{\partial y)) y \right] \mathbf e_z = -2\mathbf e_z

Som forventet faldt retningen sammen med den negative retning af aksen . I dette tilfælde viste rotoren sig at være en konstant, det vil sige, at feltet viste sig at være homogent, uafhængigt af koordinaterne (hvilket er naturligt for rotationen af et stivt legeme). Hvad er vidunderligt $z$ $\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F}$

væskens rotationsvinkelhastighed, beregnet ud fra rotoren og fundet at være nøjagtigt ens , matchede nøjagtigt, hvad der er angivet i afsnittet om fysisk fortolkning , dvs. dette eksempel er en god illustration af det faktum, der er givet der $\operatørnavn {rot}{\mathbf F}/2$ . (Selvfølgelig giver beregninger, der fuldstændigt gentager ovenstående, men kun for ikke-enhedsvinkelhastighed, det samme resultat ). $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =2{\boldsymbol {\omega }}$

Rotationsvinkelhastigheden i dette eksempel er den samme på ethvert punkt i rummet (drejningsvinklen for et støvkorn limet til et fast legeme afhænger ikke af det sted, hvor støvkornet er limet). Rotorplottet er derfor ikke alt for interessant: $\mathbf {F}$

Et mere komplekst eksempel

Overvej nu et lidt mere komplekst vektorfelt [9] :

{\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=-x^{2}\mathbf {e} _{y))

Hans tidsplan:

Vi ser måske ikke nogen rotation, men ser vi tættere på højre, ser vi et større felt ved f.eks. punkt end ved punkt . Hvis vi skulle installere et lille skovlhjul der, ville det større flow på højre side få hjulet til at rotere med uret, svarende til at skrue i retningen . Hvis vi skulle placere hjulet i venstre side af feltet, ville det større flow på dets venstre side få hjulet til at rotere mod uret, svarende til at skrue i retningen . Lad os tjekke vores gæt med en beregning: $x=4$ $x=3$ $-z$ $+z$

\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} = 0 \mathbf e_x + 0 \mathbf e_y + {\frac{\partial}{\partial x))(-x^2) \mathbf e_z = -2x \ mathbf e_z

Faktisk sker skruning i retningen for negativ og for positiv , som forventet. Da denne rotor ikke er den samme på hvert punkt, ser dens graf lidt mere interessant ud: $+z$ $x$ $-z$ $x$

Det kan ses, at grafen for denne rotor ikke afhænger af eller (som den burde være) og er rettet langs for positiv og i retning for negativ . $y$ $z$ $-z$ $x$ $+z$ $x$

Forklarende eksempler

I en tornado roterer vindene omkring midten, og vektorfeltet for vindhastigheder har en ikke-nul rotor (et sted) i det centrale område. (se hvirvelbevægelse ). (Sandt, tættere på kanten et eller andet sted kan rotoren også få en nulværdi, se nedenfor ).
For vektorfeltet for bevægelseshastigheder for punkter i et roterende stivt (absolut stift) legeme er det det samme i hele dette legemes volumen og er lig med (vektor) det dobbelte af rotationsvinkelhastigheden ( for detaljer, se ovenfor ) . I det særlige tilfælde af ren translationel bevægelse eller hvile kan denne rotor være lig med nul, såvel som vinkelhastigheden, også for alle punkter på kroppen. ${\mathbf v}$ $\operatorname {rot} \mathbf {v}$
Hvis hastighederne for biler på banen blev beskrevet af et vektorfelt, og forskellige baner havde forskellige hastighedsgrænser, ville rotoren ved grænsen mellem banerne være nul.
Faradays lov om elektromagnetisk induktion , en af Maxwells ligninger , er simpelthen skrevet (i differentialform) gennem rotoren: rotoren af det elektriske felt er lig med hastigheden af ændringen af det magnetiske felt (med tiden) taget med det modsatte fortegn.
Maxwells fjerde ligning - Ampère-Maxwell-loven - er også skrevet i differentialform ved hjælp af en rotor: rotoren af den magnetiske feltstyrke er lig med summen af de konventionelle strømtætheder og forskydningsstrømmen [10] .

Et vigtigt kontraintuitivt eksempel

Man skal huske på, at rotorens retning muligvis ikke svarer til feltets rotationsretning (lad det være feltet for væskehastigheder), hvilket virker indlysende, svarende til strømningsretningen. Den kan have en retning modsat strømmen, og især rotoren kan vise sig at være lig nul, selvom strømlinjerne er bøjet eller endda repræsenterer nøjagtige cirkler). Med andre ord er krumningsretningen af vektorlinjerne i et vektorfelt på ingen måde relateret til retningen af vektoren af dette felts rotor.

Lad os overveje et sådant eksempel. Lad væskestrømningshastighedsfeltet defineres af formlen: ${\mathbf v}$

{\displaystyle \mathbf {v} =-f(y)\mathbf {e} _{x))

{\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {v} =f'(y)\mathbf {e} _{z))

Hvis strømmen fører partiklen fra højre mod venstre (det vil sige mod uret for en observatør ovenfra langs aksen ) , men hvis og er en aftagende funktion, så er rotoren rettet nedad overalt, hvilket betyder, at hver væskepartikel er snoet med uret (mens også og deformeret). $f'(y)>0$ $z$ $f'(y)<0$ $f(y)$

Ovenstående betyder, at mediet som helhed kan rotere omkring observatøren i én retning, og hver af dets små volumener kan rotere i den modsatte retning eller slet ikke rotere.

Noter

↑ Også på tysk, hvorfra denne betegnelse tilsyneladende kom ind på russisk, og næsten overalt i Europa, bortset fra England, hvor en sådan betegnelse anses for "alternativ" (måske på grund af dissonans: engelsk rot - rot, decay) .
↑ O. Heaviside . Relationerne mellem magnetisk kraft og elektrisk strøm Arkiveret 22. juli 2016 på Wayback Machine . // Elektrikeren, 1882.
↑ Mere præcist - hvis - et pseudo -vektorfelt , så - et almindeligt vektorfelt (vektor - polært), og omvendt, hvis feltet er et felt af en almindelig (polær) vektor, så - et pseudo-vektorfelt. $\mathbf {F}$ $\operatørnavn {rot} \mathbf {F}$ $\operatørnavn {rot} \mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ $\operatørnavn {rot} \mathbf {F}$
↑ Sammentrækning til et punkt er en forudsætning, blot at vende mod nul er ikke nok, fordi vi ønsker at få feltkarakteristikken på et bestemt punkt. $\Delta S$
↑ Den sædvanlige konvention, i overensstemmelse med definitionen gennem vektorproduktet med nabla-operatoren.
↑ Ækvivalensen af disse definitioner, hvis grænsen eksisterer og ikke afhænger af metoden til kontraktion til et punkt, er synlig, hvis vi vælger overfladen af den anden definition i form af en cylindrisk overflade med baser opnået ved parallel overførsel af stedet for den første definition med en meget lille afstand i to modsatte retninger ortogonalt til . I grænsen skal de nærme sig hurtigere end størrelsen på . Derefter opdeles udtrykket for den anden definition i to termer, det ene, der indeholder integralet over sidefladen, falder sammen med den første definition, og det andet giver nul i projektionen på normalen til baserne, da det selv er ortogonalt på det på baser. Man kan i stedet betragte bare et lille parallelepipedum som en overflade, så er det ikke så nemt at umiddelbart strengt, men generelt er analogien klar. $S$ $\Delta S$ $\Delta S$ $\Delta S$ $\Delta S$ $d\mathbf {S}$
↑ Formelt ligner definitionen af divergens gennem strømning gennem en overflade: $\operatorname {rot} \mathbf {a} {\Big |}_{O}=\lim _{S\to O}{\frac {\oint \limits _{S}(\mathbf {a} \cdot d\mathbf {S} )}{V}}$ .
↑ Lokalitetssætningen er vigtig for det generelle tilfælde, når felterne, der betragtes her og kan defineres på et rum (manifold) eller domæne af ikke-triviel topologi, og når betingelserne også generelt er opfyldt på et rum eller domæne af ikke-triviel topologi. triviel topologi. I tilfælde af et euklidisk rum eller dets blot forbundne område, er lokalitetssætningen ikke nødvendig; Det vil sige, så er der sådan et skalarfelt, der vil være sandt overalt i dette rum eller dette område. $\mathbf {F}$ $\varphi$ $\operatørnavn {rot} \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}$ $\varphi$ $\mathbf {F} =\operatørnavn {grad} \varphi$
↑ Den enkleste fysiske implementering af et sådant felt (op til en additiv konstant, der ikke påvirker beregningen af rotoren, da ; desuden, hvis det ønskes, kan denne konstant sættes til nul ved at skifte til en referenceramme, der er knyttet til den hurtigste strømmende vand i midten af strålen) - laminær strømning (viskos) væske mellem to parallelle faste planer vinkelret på aksen under påvirkning af et ensartet kraftfelt (tyngdekraft) eller trykforskel. Væskestrømmen i et rør med et cirkulært tværsnit giver den samme afhængighed , derfor gælder beregningen af rotoren nedenfor også i dette tilfælde (den nemmeste måde er at tage den akse, der falder sammen med rørets akse, og selvom afhængigheden ikke længere vil være en konstant, vil den være nul ved , som i hovedeksemplet, det vil sige, at beregningen og svaret for ethvert plan, der passerer gennem rørets akse, er det samme, og dette løser problemet). $\operatørnavn {rot} \mathrm {const} ={\boldsymbol {0}}$ $x$ $v_y(x)$ $y$ $\mathbf v (z)$ $\partial v_y/\partial z$ $z=0$
↑ Matematisk ordbog for videregående uddannelser. V. T. Vodnev, A. F. Naumovich, N. F. Naumovich

Se også

Differentialregning

Hoved

private udsigter

Differentialoperatorer
( i forskellige koordinater )

Første ordre	Nabla operatør Gradient Divergens Rotor Helmholtzian
anden orden	Elliptisk operatør Laplace operatør Laplace vektor operatør D'Alembert operatør Laplace-Beltrami operatør
højere ordrer	Hypoelliptisk operatør

relaterede emner