Trekantet tal

Den stabile version blev tjekket ud den 16. august 2022 . Der er ubekræftede ændringer i skabeloner eller .

Et trekantet tal er en af klasserne af krøllede polygonale tal , defineret som antallet af punkter, der kan arrangeres i form af en regulær trekant . Som det kan ses af figuren, er det -th trekanttal summen af de første naturlige tal : $n$ $T_{n}$ $n$

{\begin{aligned}T_{1}&=1&=&\ 1\\T_{2}&=1+2&=&\ 3\\T_{3}&=1+2+3&=& \ 6\\T_{4}&=1+2+3+4&=&\ 10\\\end{aligned}}

osv. Den generelle formel for det trekantede tal er: $n$

T_{n}={\frac {1}{2}}n(n+1),\;n=1,2,3\dots

;

Rækkefølgen af trekantede tal er uendelig. Det starter sådan her: $T_{n}$

1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 , 28 , 36 , 45 , 55 , 66 , 78 , 91 , 105,120 ... ( OEIS -sekvens A000217 )

Nogle kilder starter en sekvens af trekantede tal fra nul, som svarer til tallet $n=0.$

Trekantede tal spiller en væsentlig rolle i kombinatorik og talteori , de er tæt beslægtede med mange andre klasser af heltal .

Egenskaber

Rekursiv formel for det n'te trekanttal [1] :

T_{n}=T_{n-1}+n

Konsekvenser ( ) [2] [3] : $n>1$

T_{n+1}=T_{n-1}+2n+1

T_{n+1}+T_{n-1}=2T_{n}+1

{\displaystyle T_{2n-1}=3T_{n-1}+T_{n))

(se billedet til venstre).

{\displaystyle T_{2n}=3T_{n}+T_{n-1))

. (se billedet til højre).

Yderligere to formler er nemme at bevise ved induktion [4] :

T_{m+n}=T_{m}+T_{n}+mn

T_{mn}=T_{m}T_{n}+T_{m-1}T_{n-1}

Alle trekanttal undtagen 1 og 3 er sammensatte . Intet trekantet tal kan slutte med cifferet [2] i decimalnotation. Pariteten af sekvenselementet ændres med en periode på 4: ulige, ulige, lige, lige. $2,4,7,9.$

Den tredje sidelinje (diagonal) i Pascals trekant består af trekantede tal [5] .

Summen af en endelig række af trekantede tal beregnes ved en af formlerne [6] :

S_{m-1}=1+3+6+\dots +{\frac {(m-1)m}{2}}={\frac {m^{3}-m}{6} }

eller:

S_{m}=1+3+6+\dots +{\frac {m(m+1)}{2))={\frac {m(m+1)(m+2)}{ 6}}

En række tal, der er gensidige af trekantede konvergerer (se teleskopisk serie ):

1+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+\dots =2\sum _{n=1}^{\infty } \left({1 \over n}-{1 \over n+1}\right)=2

Kriterier for trekantetheden af et tal

Et naturligt tal er trekantet, hvis og kun hvis tallet er et perfekt kvadrat . $x$ $8x+1$

Faktisk, hvis det er trekantet, så Omvendt er tallet ulige, og hvis det er lig med kvadratet af et tal, så er det også ulige: og vi får ligheden: hvorfra: - trekantet tal ■ . $x$ $8x+1=8{\frac {n(n+1)}{2}}+1=4n^{2}+4n+1=(2n+1)^{2}.$ $8x+1$ $en,$ $-en$ $a=2n+1,$ $8x+1=(2n+1)^{2}=4n^{2}+4n+1,$ $x={\frac {n(n+1)}{2))$

Følge: taltallet i rækken af trekantede tal bestemmes af formlen: $x$

n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}.

Ansøgning

Trekanttal opstår i mange praktiske situationer.

Som en binomial koefficient bestemmer tallet antallet af kombinationer for at vælge to elementer fra de mulige. $T_{n}=C_{n+1}^{2}$ $T_{n}$ $n+1$

Hvis objekter er forbundet i par af segmenter, så vil antallet af segmenter ( antallet af kanter på hele grafen ) blive udtrykt som et trekantet tal: $n$

T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2))

Dette ses af at hvert af objekterne er forbundet med resten af objekterne, så der er sammenhænge, dog med dette regnskab tælles hver forbindelse to gange (fra to forskellige ender), så resultatet skal være delt i to. $n$ $n-1$ $n(n-1)$

På samme måde er det maksimale antal håndtryk for en person eller antallet af skakspil i en turnering med deltagere ens . Ud fra de samme betragtninger kan vi konkludere, at antallet af diagonaler i en konveks polygon med sider (n>3) er ens. til: $n$ $n$ $T_{n-1}.$ $n$

T_{n-2}-1={\frac {n(n-3)}{2))

Det maksimale antal skiver, der kan opnås med lige pizzaudskæringer (se billedet til højre) er (se Centrale polygonale tal , OEIS -sekvens A000124 ). $s$ $n$ $T_{n}+1$

" Dyrets nummer " (666) kendt i mystik er den 36. trekant [7] . Det er det mindste trekantede tal, der kan repræsenteres som summen af kvadrater af trekantede tal [8] : $666=15^{2}+21^{2}.$

Pythagoræerne anså det fjerde trekantede tal 10 ( tetraksis ) for at være helligt, hvilket bestemmer universets harmoni - især forholdet mellem musikalske intervaller , årstidernes skiften og planeternes bevægelse [9] .

Relation til andre klasser af tal

Ethvert -vinkeltal kan udtrykkes i form af trekantet [10] : $k$ $P_{n}^{(k)}\;(k\geqslant 3,n>1)$

P_{n}^{(k)}=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2}}=(k-3)T_{n-1}+T_{ n}

Summen af to på hinanden følgende trekanttal er et kvadrattal (et perfekt kvadrat), dvs. [7] :

T_{n-1}+T_{n}=n^{2}\;

(formel af Theon af Smyrna [11] .

Eksempler:

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

En generalisering af denne formel er den nikomachiske formel - for enhver, forskellen mellem -kul- og -kultal med samme tal er et trekantet tal [12] : $k \geqslant 3$ $(k+1)$ $k$

{\displaystyle P_{n}^{(k+1)}-P_{n}^{(k)}=T_{n-1))

Den foregående formel er opnået ved $k=3.$

Der er en unik pythagoras tripel bestående af trekantede tal [13] :

\{T_{132},T_{143},T_{164}\}=\{8778,10296,13530\}.

Blandt trekantede tal er der palindromtal , det vil sige tal, der er ens, når de læses fra venstre mod højre og fra højre mod venstre (sekvens A003098 i OEIS ):

1,3,6,55,66,171,595,666,3003,5995,8778,\dots

Der er uendeligt mange trekantet tal, der samtidigt er kvadratiske (" kvadratiske trekanttal ") [14] [15] : (sekvens A001110 i OEIS ). $1,36,1225,41616,1413721\dots$

Det trekantede tal kan også være på samme tid

femkantet (sekvens A014979 i OEIS ):

1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172318282466…

sekskantet (alle trekantede tal med et ulige tal);
sekskantet (sekvens A046194 i OEIS ):

1; 21

osv. Det vides ikke, om der er tal, der samtidigt er trekantede, firkantede og femkantede; et computertjek af tal mindre end fandt ikke noget sådant tal, men det er ikke bevist, at der ikke er nogen [16] . $10^{22166},$

De fire trekantede tal er samtidig Mersenne-tal (sekvens A076046 i OEIS ) (se Ramanujan-Nagel-ligningen ). $1,3,15,4095$

Fem tal (og kun dem) er både trekantede og tetraedriske (sekvens A027568 i OEIS ). $1,10,120,1540,7140$

De fire tal er både trekantede og firkantede pyramideformede (sekvens A039596 i OEIS ). $1,55,91,208335$

Intet naturligt tal, undtagen 1, kan samtidigt være [17] [18] :

trekantet og kubisk;
trekantet og tokvadrisk [19] ;
trekantet og femte potens af et heltal [17] ;

Hvert lige perfekt tal er trekantet [20] .

Ethvert naturligt tal kan repræsenteres som en sum af højst tre trekantede tal. Udsagnet blev først formuleret i 1638 af Pierre Fermat i et brev til Mersenne uden bevis, først bevist i 1796 af Gauss [21] .

Kvadratet af det n'te trekanttal er summen af kuberne af de første naturlige tal [22] . Konsekvens: Forskellen mellem kvadraterne af to på hinanden følgende trekantede tal giver kubiktallet . For eksempel, $n$ $15^{2}-10^{2}=125=5^{3}.$

Genererer funktion

En potensrække, hvis koefficienter er trekantede tal konvergerer, når : $|x|<1$

{\frac {x}{(1-x)^{3}}}=T_{1}x+T_{2}x^{2}+T_{3}x^{3}+\dots +T_{n}x^{n}+\dots

Udtrykket til venstre er den genererende funktion for sekvensen af trekantede tal [23] .

Variationer og generaliseringer

En variation af trekanttal er centrerede trekanttal .

Begrebet et fladt trekantet tal kan generaliseres til tre eller flere dimensioner. Deres rumlige analoger er tetraedriske tal , og i et vilkårligt -dimensionelt rum kan man definere hypertetraedriske tal [24] : $d$

T_{n}^{[d]}={\frac {(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!)))

Deres særlige tilfælde er:

$T_{n}^{[2]}$ er trekantede tal.
$T_{n}^{[3]}$ er tetraedriske tal.
$T_{n}^{[4]}$ er pentatopnumre .

En anden generalisering af trekanttal er stirlingtal af den anden slags [25] :

T_{n}=S(n+1,n)

Noter

↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 16.
↑ 12 Villemin . _
↑ Deza E., 2011 , s. 24-25, 29.
↑ Deza E., 2011 , s. 66.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 188.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 71.
↑ 1 2 Shamshurin A. V. Trekantet tals magiske kraft . Start i naturvidenskab . Dato for adgang: 7. april 2021. (Russisk)
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 225.
↑ Dimitra Karamanides (2005), Pythagoras: banebrydende matematiker og musikteoretiker i det antikke Grækenland , The Rosen Publishing Group, s. 65, ISBN 9781404205000 , < https://books.google.com/books?id=DQpSA4CEnIwC > Arkiveret 14. oktober 2020 på Wayback Machine
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. femten.
↑ Deza E., 2011 , s. 23.
↑ Bag siderne i en lærebog i matematik, 1996 , s. halvtreds.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 195.
↑ Der findes trekantede tal, der også er kvadratiske . klippe-knuden . Hentet 7. april 2021. Arkiveret fra originalen 27. april 2006.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 25-33.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 34-37.
↑ 1 2 Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers . Hentet: 9. marts 2021.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 77-78.
↑ Dickson, 2005 , s. otte.
↑ Voight, John. Perfekte tal: en elementær introduktion // University of California, Berkley. - 1998. - S. 7 . Arkiveret fra originalen den 25. februar 2017.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. ti.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 79.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 17-19.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 126-134.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 214-215.

Litteratur

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. Bag siderne i en matematik lærebog: Aritmetik. Algebra. Geometri . - M . : Uddannelse, 1996. - S. 30 . - 320 sek. — ISBN 5-09-006575-6 .
Glazer GI Historie om matematik i skolen . - M . : Uddannelse, 1964. - 376 s.
Deza E. Naturseriens særlige numre: Lærebog .. - M . : Boghuset "LIBROKOM", 2011. - 240 s. - ISBN 978-5-397-01750-3 .
Deza E., Deza M. Krøllede tal. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 s. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .
Dickson LE Polygonal. pyramide- og figurtal //Talteoriens historie . - New York: Dover, 2005. - Vol. 2: Diophantinanalyse. - S. 22-23.

Links

Krøllede tal . OSNOVA Publishing Group. (Russisk)
Villemin, Gerard. Nombre triangulaire Nombres Triangulaires (fr.) . Nombres-Curiosites, théorie et usages (2007).
Weisstein, Eric W. Triangular Number (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online)

krøllede tal

flad

Klassisk polygonal	trekantet Firkant Femkantet Sekskantet Heptagonal Ottekantet Dodecagonal
Centreret	trekantet Firkant Femkantet Sekskantet Heptagonal Ottekantet Ni-vinklet Dekagonal

Pyramideformet	tetraedrisk Firkantet pyramideformet
mangefacetteret	kubik Oktaedral Dodekaedral icosahedral Stellet oktaedral

mangefacetteret	Pentatopisk Bisquare

Klasser af naturlige tal

Beføjelser og
relaterede numre

Achilles
Grad 2
10 grader
12 grader
firkanter
Cuba
fjerde grader
Femte grad
Perfekt grad
Fuld multiple
Potens af et primtal

Tal på formen
a × 2 b ± 1

Andre
polynomielle
tal

Rekursivt
definerede
tal

Sæt af tal
med specifikke
egenskaber

Udtrykt
i mængder

Ikke-hypotenuse
Praktisk
Principal semisimplet
Ulama
Wolsenholm

Fås
med en sigte

lykketal

Relaterede koder
_

Mirtens

krøllede tal

2-dimensionel

centreret _	trekantet firkant femkantet sekskantet sekskantet ottekantet ikke-kantet tikantet stjerneklar
off- center	trekantet firkant firkantet trekantet sekskantet ottekantet

3-dimensionel

centreret _	tetraedrisk kubik oktaedral dodekaedral icosahedral
off- center	tetraedrisk oktaedral dodekaedral icosahedral Stjerne-oktaedral
pyramideformet _	firkant femkantet sekskantet sekskantet

4-dimensionel

centreret _	pentakorisk trekantet i en firkant
off- center	pentatop

Pseudosimple

Carmichael
Catalana
elliptisk
Euler
Euler-Jacobi
Gård
Frobenius
Luca
Somera - Luca
stærkt pseudo-simpelt

kombinatoriske
tal

Klokkenumre
kage numre
Catalana
Dedekind
Delanoya
Euler
Fussa - Catalana
central polygonal
Lobba
Motzkin-numre
Narayana
Antal Bell-bestillinger
Schroeder-numre
Schroeder - Hipparchus

Aritmetiske
funktioner

σ( n )	overflødig næsten perfekt aritmetik kolossalt overflødig Descartes halvperfekte tal meget overflødige tal høje komponenttal hyperperfekte tal multiperfekte tal engageret praktisk primitivt overflødigt lidt overflødig tau tal majestætiske tal overflod af tal supersammensatte tal superperfekte tal
Ω( n )	næsten simpelt halvsimpelt
φ( n )	meget kovalent høj-totient perfekt totient lidt totient
s( n )	venlige beskæftiget utilstrækkelig semi-perfekt

Euklid
formuetal

Ved divisorer

Andre prime
divisorer eller
relateret
til delelighed

Underholdende
matematik

Talsystemer _	automorfe tal cyklisk Osiris Dudeni lige cifre ekstravagant Factorion Friedman tilfreds Nivena Kita Lichrel beløb med manglende ciffer Armstrong palindromisk pandigital parasitisk skadelig magisk primitiv repdigits genforeninger selvgenereret selvbeskrivende Smarandsha - Wellena strengt ikke-palindromisk skiftere forskydning trimorfe bølget vampyrer

Aronson sekvens
pandekage numre